第一章 2 矩形的性质与判定-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

2 矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 要点提示 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫微矩形 矩形的性质：(1)具有一般平行四边形的所有性质.(2)矩形的四个角都是直角，(3)矩形的对角线相等.①直角三 角形斜边中线的性质定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一摩：②直角三角形斛边中线的性质定理的逆 定理（直府三角形的判定定理），如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是黄角三角 形.(4)矩形的对称性，①矩形是轴对称图形，共有而条对张格，即过每一组对边中点的两条直线：②矩形是中心 对赫图形，对称中心是两条对角线的交点 O1固基础念 AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为 知识点1矩形的定义 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜 1.(2025吉安期末)如图，在四边形ABCD中， 边的一半 AB∥DC,AD∥BC.在不添加任何辅助线的 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB 前提下，要使四边形ABCD成为一个矩形， 90°，CD是斜边AB上的中线.若 只需添加的一个条件是 CD=2.5,则AB的长为( A.2.5 B.4 第5题图 C.5 D.6 6.如下图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC 第1题园 第2题园 知识点2矩形的性质 =90°，E是对角线AC的中点，连接BE,DE, BD. 2.(2024南通)如图，直线a∥b,矩形ABCD的 (1)判断△BDE的形状，并说明理由。 顶点A在直线b上.若∠2=41°，则∠1的度 (2)若AC=10,BD=8,求△BDE的周长 数为 ( A.41° B.51° C.49 D.59° 3.(2024一2025榆林府谷期中）如图，在矩形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE 平分∠BAD交BC边于点E,F是AE的中 点，连接OF.若AB=OB=1,则FO的长度 为 A. D.-1 2 B./3-1 C. 第3题图 第4题围 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过 点O的直线分别交AD,BC于点E,F.若 上册第一草 易错点当结论不唯一时，没有分类讨论 (2)若AB=4,BC=8,求△BDF的面积. 而致错 7.在矩形ABCD中，AB=8,AD=7,点E 在AB边上，AE-5.若P是矩形ABCD 边上一点，且与点A,E构成以AE为腰 的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底 边长是 02提能力 8.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 ,。44.44 O3拓思维之 点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=6,则四边 12.如下图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4. 形OCED的周长为 ( M,N在对角线AC上，且AM=CN,E,F A.3 B.6 C.12 D.24 分别是AD,BC的中点。 (1)求证：△ABM≌△CDN: (2)G是对角线AC上的点，∠EGF=90°， 求AG的长. 第8题图 第9题 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O,过点O作OE⊥AC交BC于点E.若△ABE 的周长为12，AB=4,则CE的长为 ( A号 B.5 C.6 号 10.(2024一2025吉安月考）如图， 在平面直角坐标系中有一矩形 OABC,点B的坐标是(1,3)，则 AC的长是 第10题图 11.如下图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD 折叠，点C的对应点是E,BE交AD于点F (1)重合部分是什么图形？请说明理由， 数学九年级BS版 第2课时 矩形的判定 要点提示 矩形的判定方法：(1)定义法，有一个角是直希的平行回边形是矩形，(2)判定定理，①对角线湘的平行四边形 是矩形：②有三个角是重角的四边形是矩形 O1固基础念 5.如下图，在□ABCD中，E为BC的中点，连 接AE并延长，交DC的延长线于点F,连接 知识点1有一个角是直角的平行四边形是 BF,AC.若AD=AF,求证：四边形ABFC 矩形 是矩形 1.(2024一2025吉安月 考)如图，在四边形 ABCD中，对角线AC ⊥BD,且AC=8,BD 第1题围 =6,E,F,G,H分别是四边的中点，则四边 形EFGH的面积为 2.如下图，已知在△ABC中，AB=AC,AD是 BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边 形.求证：四边形ADBE是矩形： 知识点3有三个角是直角的四边形是矩形 6.如图，四边形ABCD各 角的平分线分别相交于 点E,F,G,H.若AD∥ BC,AB∥DC,则四边形 第6题围 EFGH是 形 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 7.(教材变式)如右图，BD,BE 分别是∠ABC与它的邻补角 3,要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行 ∠ABP的平分线，AE⊥BE, 的测量方案是 ( A测量两条对角线是否相等 AD⊥BD,垂足分别为E,D.求证：四边形 B.度量两个角是否是90° AEBD是矩形. C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距 离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 4.如图，在口ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O.若OA= 3,则当OB的长为 第4题因 时，口ABCD为矩形. 上册第一草 易错点对矩形的判定方法理解错误而 (2)设品-k,当长为何值时，四边形 出错 DEBF是矩形？请说明理由。 8.下列说法中，正确的是 A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 4444 ◆02提能力 9.如图，在口ABCD中，过对角 。。。4 03拓思维) 线AC的中点O作直线，分 12.如下图，在口ABCD中，对角线AC,BD交 别交BC,AD于点E,F,连接 于点O,E,F是AC上的动点，且不与点O AE,CF.只需添加一个条件 第9题国 重合 即可证明四边形AECF是矩形，这个条件是 (1)若AE=CF,求证：四边形DEBF是平 行四边形。 10.将两块全等的含30°角的三角尺按如图① (2)已知BD=12cm,AC=16cm,点E,F 所示的方式摆放在一起，设较短直角边的 均以2cm/s的速度分别从点A,C同时出 长为1.如图②，将Rt△BCD沿射线BD的 发，向点C,A运动，设运动时间为ts.当t 方向平移，得到Rt△BC'D',连接BC, 为何值时，以D,E,B,F为顶点的四边形是 AD'.在平移的过程中，当点B的移动距离 矩形？ 为 时，四边形ABCD'为矩形. B30 30 图①D 周2 第10题图 11.如下图，□ABCD中，AC,BD相交于点O, E,F分别是OA,OC的中点，连接DE, BF.DF,BE. (1)求证：BE=DF. 数学九年级BS版 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 要点提示 矩形的性质与判定：(1)矩形是特珠的平行四边形，它具有一薇平行四边形的所有性质，同时还具有一些热持的 性质，可归钠为三个方面.①从边看，矩形的对边平行且相￥：②从角看，矩形的四个角都是黄南：③从对角线看， 矩形的对角线互相平且相等.(2)判定一个四边形为矩形可以从三个角度进行，①证明四边形有三个府为直 角：②先判定四边形为平行四边形，再证明它有一个角为直角：③先判定四边形为平行四边形，再证明对角线相等 O1固县础乡 (1)求证：口ABCD是矩形 (2)求AD的长. 知识点矩形的性质与判定的综合应用 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,且OA=OD,∠OAB=35°，则∠ODA的 度数为 ) A.55 B.409 C.45 D.50 第1题图 第2题周 2.如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE ∥AC,CE∥BD.若AC=6,BD=8,则线段 OE的长为 () A.3 B.5 C.5 D.6 3.如图，在矩形ABCD中，AE=AF,过点E作 6.如右图，在四边形ABCD中，∠A EH⊥EF,交CD于点H,过点F作FG⊥EF, =60°，∠B=∠ADC=90°，BC= 交BC于点G,连接GH.当AD,AB的数量关 1,CD=10,过点D作DH⊥AB 系是 时，四边形EFGH为矩形. 于点H,求DH的长 第3题围 第4题图 4.如图，在矩形ABCD中，BC=40cm,点P和点 Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向 沿矩形ABCD的边运动.点P和点Q的速度 分别为5cmm/s和3cm/s,则最快 后，四边形ABPQ为矩形 5.(教材变式)如下图，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O,△OAB是等边三角形，AB =6. 上册第一草 11 02提能力 (2)若AB=4,∠ABC=60°，求四边形 OCED的面积. 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB 3,AC=4,P为BC边上一动点.过点P分 别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M 为EF的中点，连接AM,则EF的最小值为 () A.4.8 B.4 C.3 D.2.4 第7题图 第8题图 之O3拓思维 8.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, 11.如下图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC AD上的动点，P是线段EF的中点，PGI =4cm,E,F是对角线AC上的两个动点， BC,PH⊥CD,G,H分别为垂足，连接GH, 分别从点A,C同时出发且相向而行，速度 若AB=8,AD=6,EF=5,则GH的最小值 均为1cm/s.设运动时间为ts(0≤t≤5). 是 (1)AE= cm,EF= cm. 9.如图，将由四根木条钉成A…… (2)若G,H分别是AB,CD的中点，求证： 的矩形木框ABCD变形 四边形EGFH是平行四边形 为□A'BCD,并使其面 (3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形 积为矩形ABCD面积的 第9题图 EGFH为矩形？ 一半.若AD'与CD交于点E,且AB=2,则 △ECD的面积为 10.(2024一2025吉安月考)如下图，O是菱形 ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD, 过点D作DE∥AC,CE与DE相交于 点E (1)求证：四边形OCED是矩形 数学九年级BS版:AB=AC,AD是∠BAC的平分线， .AD LBC,.MF∥BC 又：EF∥AB,∴.四边形BEFM为平行四边形， .SaB度w=MF·FH 当SamAM-是5asw时，MF·GP=MF· 。1 FH,:.GP-FH. 易得GD-FH,iGP-GD, AG=GP=PD,AP=号AD 故当四边形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一 半时，AP=号AD 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.∠A=90(答案不唯-)2.C3.D4.65.C 6.解：(1)△BDE是等腰三角形.理由如下： :∠ABC=∠ADC=90, .△ABC,△ADC都是以AC为斜边的直角三角形. :E是AC的中点， DE=BE-号AC, ,△BDE是等腰三角形. (2),AC=10,BD=8, ,△BDE的周长为BD+BE+DE=BD+AC=18. 7.5√②或458.C9.B10.√10 11.解：(1)重合部分是等腰三角形. 理由：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,,,∠ADB=∠DBC :△BDE是由△BDC折叠得到的， ∴.∠EBD=∠DBC,∴.∠EBD=∠ADB, .BF=DF,重合部分是等腰三角形. (2)设DF=BF=x. 四边形ABCD是矩形， .AD=BC=8,∠A=90°， ..AF=AD-DF=8-x. 由勾股定理，得BF=AB十AF, 即x2=4+(8-x),解得x=5,即DF=BF=5, ∴5am=号AB·DF=X4X5=10, 12.解：1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,AB=CD, .∠MAB=∠NCD.在△ABM和△CDN中， (AB=CD, ∠MAB=∠NCD,.△ABM≌△CDN(SAS) AM=CN, (2)如图，连接EF,交AC于点O. 在矩形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点， .AD∥BC,AD=BC, .AE=CF,∠DAC=∠BCA 在△AEO和△CFO中， '∠EAO=∠FCO, ∠EOA=∠FOC, AE-CF. ∴△AEO≌△CFOCAAS), ∴.OE=OF,OA=OC 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC -5i0A-2 易得四边形ABFE是矩形，∴EF=AB=3. 当点G在OA上时，：∠EGF=90, 0G-号EF-iAG-0A-0G=1 当点G在OC上时，.同理可得OC-名EF- 21 ∴.AG=OA+OG=4. 综上所述，AG的长为1或4 第2课时 矩形的判定 1.12 2.证明：：在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 中线， AD⊥BC, ∴∠ADB=90 :四边形ADBE是平行四边形， 四边形ADBE是矩形. 3.C4.3 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD=BC, ·∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE E为BC的中点，.EB=EC, ,.△ABE≌△FCE(AAS),'.AB=FC 又：AB∥CF,四边形ABFC是平行四边形. .AD=BC,AD-AF, .BC=AF,∴.四边形ABFC是矩形 6.矩 7.证明：：BD,BE分别是∠ABC,∠ABP的平分线， ∠ABD+∠ABE=(∠ABC+∠ABP)=90,即 ∠EBD=90 :AE⊥BE,AD⊥BD, ∠E=∠D=90°， ∴.四边形AEBD是矩形 8.D9.∠ABC=90(答案不难-）10号 11,解：(1D证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,∴.BO=OD,AO=OC. :E,F分别为AO,OC的中点， E0=0A,0F=号0c, ..EO=FO, .四边形BFDE是平行四边形， ..BE=DF. 171 上册参考答案 (2)当k=2时，四边形DEBF是矩形.理由如下： 当BD=EF时，□DEBF是矩形 由题意可知，EF-号AC 当BD=AC 郎部-2时，口DEBF是矩彩 12.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..0A=OC,OB=OD. AE=CF,..OE=OF, .BD,EF互相平分， ∴.四边形DEBF是平行四边形 (2)分以下两种情况讨论： ①当点E在线段AO上，点F在线段OC上时， 若四边形DEBF是矩形， 则EF=BD=12cm AE=CF=2t cm, ,.16-2-2t=12. 解得t=1: ②当点E在线段OC上，点F在线段OA上时， 若四边形DEBF是矩形， 则EF=BD=12cm AE=CF=2t cm, ,.2t-12+2t=16, 解得t=7. 综上所述，当t的值为1或7时，以D,E,B,F为顶点 的四边形是矩形 第3课时矩形的性质与判 定的综合应用 1.A2.C3.AD=AB4.5 5.解：(1)证明：，△OAB是等边三角形， ..OA=OB. :四边形ABCD是平行四边形， 0A-OC-AC.OB-OD-BD, .AC=BD, ,□ABCD是矩形 (2):▣ABCD是矩形， .∠BAD=90°，BD=2OB. :△OAB是等边三角形， ∴.OB=AB=6 ,.BD=12, ,∴.AD=√BD-AB=63 6.解：如图，过点C作CE⊥DH于点E,则∠CEH ∠CED=90° DH AB. .∠AHD=∠BHE=90 ∠B=90°，.四边形BCEH是矩形， HE=BC=1. 在RL△AHD中，∠A=60°， .∠ADH=90°-∠A=30 172 数学九年级BS版 又：∠ADC=90°， ∴∠CDE=90°-∠ADH=60°， .∠DCE=90°-∠CDE=30°， DE-CD-5, .DH=HE+DE=1+5=6. 7.D8,599 10.解：(1)证明：：CE∥OD,DE∥AC, ∴四边形OCED是平行四边形. 又：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,即∠COD=90°， ∴.四边形OCED是矩形， (2),在菱形ABCD中，AB=4, ∴.AB=BC=CD=4, 又：∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， ∴.AC=4, 0c-4c-3 .0D=/CD-OC=V4-2=23, ∴.四边形OCED的面积是23×2=45. 11.解：(1)t15-2t (2)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD, ∴.∠GAF=∠HCE. 又，G,H分别是AB,CD的中点， AG-=号AB=2CD=CH 又AE=CF=tcm, :.AF=CE, △AFG≌△CEH(SAS), ,∴.GF=HE 同理可得△AGE≌△CHF(SAS), ∴GE=HF, ∴.四边形EGFH是平行四边形 (3)如图，连接GH,易得四边形 BCHG是矩形， ∴.GH=BC=4cm, ∴.当EF=GH,即|5-2t=4时， □EGFH是矩形， 解得t=0.5或4.5， 故当：的值为0,5或4,5时，四边形EGFH为矩形. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.D2B3号4.1355.4 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90 .BM-CN...AB-BM-BC-CN, 即AM=BN. 在△ABN和△DAM中，