第二章 2 用配方法求解一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

(AB=DC, 在△ABM和△DCM中，∠1=∠2， BM-CM, ,∴.△ABM≌△DCM(SAS). ∠A=∠D. 又.AB∥CD ∴.∠A+∠D=180°，.∠A=∠D=90°， ∴.□ABCD为矩形 10.证明：(1)在△AOB和△DOC中， ∠ABO=∠DCO, OB-OC, ∠AOB=∠DOC, ,∴.△AOB2△DOC(ASA),.OA=OD :E,F分别为AO,DO的中点， 0E=名A0,0F=D0.0E=0E (2)在Rt△AB0中，∠A=30°， B0-7A0,∠B0A=60 ,BO=EO,,,△BOE为等边三角形， .∠OBE=60°，同理△COF为等边三角形，∠B0 =60° 又OE=OF,∴.BO=OF=BE=CF :∠OBE=∠BCF, .BE∥CF,四边形BECF是平行四边形 :OB=OF,∠BOE=60°， .∠OBF=∠OFB=30°， ,,∠EBF=∠OBE+∠OBF=90° ,四边形BECF为矩形 11.A12.B13.614.C15.1616.2-1 17.解：(1)①DBC⊥CF②BC=CD+CF (2)BC⊥CF成立；BC=CD十CF不成立，正确结 为CD=CF+BC 证明：，四边形ADEF为正方形， .AD=AF,∠DAF=90 :∠DAF-∠BAD+∠BAF=90°，∠BAC=∠CA +∠BAF=90°， ∠BAD=∠CAF (AB-AC. 在△DAB与△FAC中，∠BAD=∠CAF, AD=AF, .△DAB≌△FAC(SAS), ,·∠ABD=∠ACF,BD=CF ,∠BAC-90°，AB=AC, ,∴.∠ACB=∠ABC=45, .∠ACF=∠ABD=180°-∠ABC=180°-4 =135, .∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°， ,BC⊥CF :CD=BD+BC,BD=CF, .CD=CF+BC. 174 数学九年级BS版 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.B2.C3.5x2-x-3=04.C 5.(32-x)(20-x)=5406.D7.a≠18.-2 9.x2+(x+2)2+(x+4)F=251 10.解：根据一元二次方程的定义可知，m一4≠0，解得 m≠士2，故当m≠士2时，这个方程是一元二次 方程， 第2课时一元二次方程的 解及其估算 1.A2.A3.20244.20245.C6.D7.C 8.-4.39.x1=-4,x2=-110.2 11.解：(1)4 （2由题意，得受=3，m=6 把x=2代入x2-mx十n=0,得2-6×2十n=0,解 得n=8,.mn=6X8=48. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时直接开平方法与用配方法 求解二次项系数为1的一元二次方程 1.A2.D3.x=2,x=0 4.解：(1)移项，得(x+1)=36, 两边开平方，得x十1=士6， …=5,=-7. (2)整理为一般式，得x一2=0， 移项，得x=2, 两边开平方，得x=士√区， ∴=W2,x=一2 5.A6.B7.x1=x=38.11 9.解：移项，得-x=1,配方，得-x+}=1+ 子即(x-2)》”- 两边开平方，得一音-士停“五-5，云 =1-6 2 (2)移项，得x2-6x■7，配方，得x一6x十9=7十9， 即(x-3)°=16， 两边开平方，得x一3=士4，.x1=7,x=一1. 10.②11.B12.C13.C14.2 15.解：(1)两边开平方，得3x十4=4x十3或3x十4= 一(4x+3), 解得x1-1,x:=一1. 2移项，得2-号-1 配方，得-号+号1+ (》”-9 两边开平方，得x一}士四 3 =1+,4=1而 3 3 16,解：0-是子 ②将m-一号代人(+mP-子得(x-是} = 两边开平方，得x是-士 nin 2 17.解：(1)532-12 (2)原方程可变形为[(x+2)-4][(x+2)+4)=4, .(x+2)-4=4,.(x十2)2=4+4，(x+2)3 20,两边开平方，得x十2=士25，x1=-2+25, 8=-2-2/5. 第2课时用配方法求解二次项 系数不为1的一元二次方程 1.A2(①号(2%3.D 4.解：x-y=4a2-12ab+96-(8a-12b-4)=(2a- 3b)-4(2a-3b)+4=[(2a-3b)-2]. [(2a-36)-2]≥0，∴.x≥y. 5.D6,A73我号 8.解：(1)移项，得4x2一7x=一2， 两边同除以4，得文-子=一是 配方，得-子+（餐）-（餐）- (-}-品 8 4-7+亚，6-7二☑ 8 (2)方程变形为2x十x=4, 两边同除以2，得父+号女=2， 配方，得+号+。-2+品 即(e+》- 两边开平方，得x十}=士 4 4 解得五33-1 4 ,x=-33+1 4 3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解 一元二次方程 1.B2.A 3.解：1)这里a=3,b=-4,c=-1. 4=6-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0, x=二b±B-4ac-4±27-2±7 6 3 x27 即=2+7 3 3 (2)这里a=2,b=-6,c=-3√2， 4=6-4ac=36-4×√2×(-32)=60>0， x=二6土G-4ac_6±60 2a 22 即=32+30 2 G-32-30 2 4.A5.D6.2 1 7.解：由题意，得△>0，且-1≠0. ,该一元二次方程中的a=k-1,b=1,c=1, .4=1-4(-1)×1=5-4≥0， 解得长及 k一1≠0，∴k≠1. 故的取值范图是≤胥且≠1， 8.A9.5没有实数根10.-2 11.解：(1)原方程可化为x2+25x-4=0,这里a=1,b =25,e=-4. △=8-4ac=(25)*-4×1×(-4)=36>0, “x=-b±B-4c=-25±V36--25±6 2a 2 2 =-5士3，即无=-5+3，x=-5-3. (2)原方程可化为x2-6x十9=0，这里a=1,b=-6, c=9. :△=6-4ae=(-6)2-4X1×9=0, 六x=-性B=恤c-9=3, 2a 2 即1==3. 12.解：(1)把=m十2代入方程，得mx2-(m十2)x+1 =0. :△=[-(m+2)]-4m=m2+4m十4-4m=m2+4 >0, “方程有两个不相等的实数根 (2)当m=2时，方程为2x-4x十1=0， 这里a=2,b=-4,c=1. :△=6-4ac=(-4)2-4×2×1=8>0, x4土⑧ 2×21 即石2+，-22 2 2 13.解：(1)-x2-4x-3=0 (2)①01 ②将m=0,n=1代入3x2+(m-1)x-n=0,得3x -x-1=0, x=-6士-4c_1生4X3x(-D 2a 2×3 上册参考答案 C1752用配方法求解一元二次方程 第1课时 直接开平方法与用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 要点提示 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做童模开平方法， 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程x十bx十℃=0的一般步骤：(1)将常数项移到方程的右边；(2)在 方程两边同时加上一染项桑敲一建的平方，(3)原方程就可写戒(x十m)=m的形式，(4)用直接开平方法解 方往。 念O1固县础念 6.若一元二次方程x2十px十q=0配方后的结 果为(x一3)2=2，则 () 知识点1直接开平方法 A.p=6,9=7 B.p=-6,q=7 1.关于x的方程(x一4)2=m一1可以用直接 C.=6,q=-7 D.p=-6,9=-7 开平方法求解，则m的取值范围是( 7.一元二次方程x2十3一2√3x=0的解是 A.m≥1 B.m>1 C.m>-1 D.m>-1 8.若关于x的一元二次方程x2十6x十c=0配 2.一元二次方程(x十6)2=16可以转化为两个 方后得到方程(x十a)2=1,则a十c的值为 一元一次方程，其中一个一元一次方程为x 十6=4，则另一个一元一次方程为( 9.用配方法解下列方程： A.x-6=-4 B.x-6=4 (1)x2-x-1=0. C.x+6=16 D.x+6=-4 3.方程(x一1)2=1的解是 4.用直接开平方法解下列方程： (1)(x+1)2-34=2. (2)x2-3x=3x十7. (2)x(x+1)=x+2. 》易错点用配方法解一元二次方程时，仅 一边加一次项系数一半的平方 导致错误 知识点2用配方法解二次项系数为1的一 10.下列是小静同学解方程x2十2x一8=0的 元二次方程 步骤：①x2+2x=8;②x2+2x十1=8； 5.(2024一2025榆林府谷期中)用配方法解方 ③(x+1)2=8:④x+1=士2；⑤x=-1士2： 程x2+8x+7=0,配方正确的是( ⑥x=1,x2=一3.小静的解法是从步骤 A.(x+4)2=9 B.(x-4)2=9 开始出现错误的（填序号）， C.(x-8)2=16 D.(x十8)3=57 数学九年级BS版 02提能力 ……… (2)求出此时方程的解. 11.将一元二次方程x2+2√2x+1=0的左边 配方成完全平方式之后，右边的常数应该 是 ( ) A.2 B.1 C.2 D.3 12.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时， 误算成a与2的积，求得的答案比正确答 案小1，则a= ( 03拓思维念 A.1 B.2-1 17.在解一元二次方程时，发现有一种解法 C.2+1 D.1或2+1 如下： 13.在实数范围内定义运算“⊕”为a⊕b=a2一 解方程：x(x十8)=4. b,则方程(3⊕2)⊕x=24的解为( 解：原方程可变形为[(x+4)一4][(x十4) A.x1=x2=1 B.x1=x2=-1 +4]=4,.(x+4)2-42=4,∴.(x+4) C.x1=1,x2=-1D.x1=2,x2=4 =20, 14.小明设计了一个魔术盒，当任意的实数对 (a,b)进人其中，会得到一个新的实数a2- 两边开平方，得x十4=士2√5， 2b十3.若将实数对(x,2x)放入其中，得到 ∴.x1=-4十25，x2=-4-2V5. 一1，则x的值为 我们称这种解法为“平均数法”， 15.解下列方程： (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x十 (1)(3x十4)2=(4x+3)2. 2)(x十8)=40时写的解题过程： 解：原方程可变形为[(x十a)一b][(x+ a)+b]=40,∴.(x+a)2-b2=40,∴.(x+ a)2=40+6(a>0,b>0), 2②-号-1=0 直接开平方，得x1=c,x2=d(c>d). 上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分 别是 (2)请用“平均数法”解方程：(x一2)(x十6) =4. 16.把关于x的一元二次方程x一3x十p=0 配方，得(x十m)2=1 2 (1)m= p= 上册第二章 23 第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 要点提示 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤： (1)化桑数：方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1： (2)穆顶：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； (3)配古：在方程的两边同时加上一次项系数一毕的平方，使方程的左边能化成完全平方式： (4)东解：如果方程的右边是非负数，就直接用开平方法求解：如果方程的右边是负数，那么说明原方程无实 敏极 O1固基础 02提能力 知识点①用配方法解二次项系数不为1的 5.若方程9x2-(k十2)x十4=0的左边可以写 一元二次方程 成一个完全平方式，则k的值为 () 1.用配方法解方程2x2十3x一1=0时，可以将 A.10 B.10或14 方程化为 ( ) C.-10或14 D.10或-14 A(x+}产-器 B(e+2》=是 6.若一元二次方程4x2+12x十5=0的两根为 a,b,且a>b,则3a十b的值为 () c(e+-品 D.(z+)- A.-4 B.- c-2 D.-8 2.(1)将一元二次方程3x2-6x+1=0配方 7.若代数式2x2一5.x与一2x十3的值互为相 后，得(x一1)2 反数，则x的值为 (2)将一元二次方程5x2+2=8x配方后，得 8.用配方法解下列方程： (红-}- (1)4x2-7x十2=0. 知识点2配方法的应用 3关于多项式一++x一1的值，说法正确的 是 () A.一定是正数 B.一定是负数 C.不可能为负数 D.不可能为正数 4.已知x=4a2-12ab+96,y=8a-12b-4, (2)(2x-1)(x+1)=3. 求x,y的大小关系. 数学九年级BS版