1—2 认识有理数 有理数的加减运算-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

1—2 认识有理数 有理数的加减运算 认识有理数 一、正数和负数 1.正数的定义：大于0的数。 2.负数的定义：在正数前面加上负号的数。负数小于0。 3.零既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 二、有理数 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 （1）整数包括正整数、零和负整数。 （2）分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 2.有理数的分类： （1）按整数、分数的关系分类：有理数包括整数和分数。 （2）按正数、负数与0的关系分类：有理数包括正有理数（正整数和正分数）、零和负有理数（负整数和负分数）。 三、数轴 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的画法：画一条直线，选取一点为原点，用箭头表示正方向，选取适当的长度作为单位长度。 3.数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，零用原点表示。 4.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。 四、相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如4与-4互为相反数。 2.相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。0的相反数是0。 五、绝对值 1.绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“|a|”。 2.绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身。 （2）一个负数的绝对值是它的相反数。 （3）0的绝对值是0。 有理数的加减运算 一、有理数加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 二、有理数减法法则 减去一个数等于加上它的相反数，即a-b=a+(-b)。 三、运算步骤 1.确定加数或减数的符号。 2.忽略符号，进行数值的加减运算。 3.根据第一步的符号，确定最终结果的符号。如果结果是正数，直接写出结果；如果是负数，在结果前加上负号。 四、有理数加减混合运算 在进行有理数加减混合运算时，可以遵循先加后减或先将减法转化为加法，再进行运算的原则。同时，要注意运算的优先级和括号的使用。 巩固课内例1:标准质量、净含量问题 1．乒乓球被誉为我国的 “国球 ”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.8克．质检员在检验乒乓球质量时，把超出标准质量0.13克 的乒乓球记作，那么一个质量为2.4克的乒乓球记作（   ） A． B． C． D． 2．一袋化肥净含量是，表示这袋化肥最少是 ． 3．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的8袋牡丹鲜花饼，净含量为400g，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 差值/g 0 0 0 请问：这8袋被检牡丹鲜花饼的总净含量是多少？ 巩固课内例2:求各数的相反数和绝对值 1．的相反数为（    ） A． B． C． D．2024 2．的绝对值是： ． 3．写出下列各数的相反数和绝对值：，2，，0，，． 巩固课内例3:比较每组数的大小 1．下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小： ； (填“”或“”) 3．比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 巩固课内例4:在数轴上表示数 1．如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 2．如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 3．给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 巩固课内例5:有理数的加法运算 1．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 2． ． 3．计算： (1) (2) 巩固课内例6:多个有理数加法运算 1．计算：（    ） A．15 B． C．3 D． 2．计算：的结果是 ． 3．计算：． 巩固课内例7:有理数的减法运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．3 2． ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例8:海拔问题 1．，，三个地方的海拔分别是168米、52米、米，则这个三个地方中的最低点比最高点低（    ） A．89米 B．116米 C．205米 D．131米 2．海拔比高 m；比海拔低的海拔高度是 m． 3．武功山作为国家级旅游景区，被中国国家地理评为中国十大“非著名”山峰之一．某登山爱好者组团徒步攀登武功山，沿路经过了四个补给点．已知地海拔是米，地海拔是米，地比地低米，地比地高米，试问： (1)地海拔为多少？地海拔为多少？ (2)四处补给点中，最高处比最低处高多少米？ 巩固课内例9:有理数加减混合运算 1．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．把写成省略括号和加号的形式是 ． 3．计算； 巩固课内例10:有理数加减简便运算 1．计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 2．计算 . 3．例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 类型一、相反意义的量 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉早期（约公元1世纪）的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，其中记录了一道关于家畜买卖的题目，若将卖出家畜获得1000元记为元，则买入家畜付出800元记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．若一袋小麦质量比标准质量多记作，则比标准质量少记作 ． 3．如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．例如：用千米表示向东行驶60千米，那么下列各数分别表示什么？ (1)千米； (2)千米； (3)0千米． 类型二、绝对值的非负性 1．成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 2．已知，则，，的值分别是 ． 3．若，求，的值． 类型三、时差问题 1．五个国际大都市的时差（单位：时）在数轴上表示如下图，那么当北京时间为2024年11月5日13时，下列选项中时间正确的应该是（   ） A．东京时问2024年11月5日12时 B．迪拜时间2024年11月5日8时 C．伦敦时间2024年11月5日6时 D．纽约时间2024年11月5日0时 2．下表列出了国外几个城市与北京的时差．2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，小红在北京观看电视直播的时间为 ．（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h 3．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h 类型一、有理数的分类 1．在中，负有理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在这四个数中，整数共有 个． 3．将下列各数填入相应的集合中． 正整数集合：{              …}； 分数集合：{                …}； 负有理数集合：{             …}． 类型二、数轴上表示数并比较大小 1．在，，4，这4个数中，最小的有理数是（　　） A． B． C．4 D． 2． （选填“”“”或“”）． 3．画出数轴，把下列各数表示在数轴上，并用“”号连接起来． ，，0，，． 类型三、化简多重符号 1．计算的结果等于（   ） A． B．1 C．2 D． 2．化简： ． 3．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 类型四、有理数的加法应用 1．一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 2．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 3．有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 类型五、有理数的减法应用 1．某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为的乒乓球是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是（    ） A． B． C． D． 2．武汉境内大小近百个湖泊星罗棋布，形成了水系发育、山水交融的复杂地形，最高点海拔，最低陆地海拔，平均海拔．以平均海拔为基准，高于的记作正数，比如最高点记作，则最低陆地记作 ． 3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 类型一、数轴上两点之间的距离 1．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且．若，则点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．3 2．已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 3．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 类型二、点在数轴上的平移 1．数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 2．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    3．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1—2 认识有理数 有理数的加减运算 认识有理数 一、正数和负数 1.正数的定义：大于0的数。 2.负数的定义：在正数前面加上负号的数。负数小于0。 3.零既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 二、有理数 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 （1）整数包括正整数、零和负整数。 （2）分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 2.有理数的分类： （1）按整数、分数的关系分类：有理数包括整数和分数。 （2）按正数、负数与0的关系分类：有理数包括正有理数（正整数和正分数）、零和负有理数（负整数和负分数）。 三、数轴 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的画法：画一条直线，选取一点为原点，用箭头表示正方向，选取适当的长度作为单位长度。 3.数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，零用原点表示。 4.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。 四、相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如4与-4互为相反数。 2.相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。0的相反数是0。 五、绝对值 1.绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“|a|”。 2.绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身。 （2）一个负数的绝对值是它的相反数。 （3）0的绝对值是0。 有理数的加减运算 一、有理数加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 二、有理数减法法则 减去一个数等于加上它的相反数，即a-b=a+(-b)。 三、运算步骤 1.确定加数或减数的符号。 2.忽略符号，进行数值的加减运算。 3.根据第一步的符号，确定最终结果的符号。如果结果是正数，直接写出结果；如果是负数，在结果前加上负号。 四、有理数加减混合运算 在进行有理数加减混合运算时，可以遵循先加后减或先将减法转化为加法，再进行运算的原则。同时，要注意运算的优先级和括号的使用。 巩固课内例1:标准质量、净含量问题 1．乒乓球被誉为我国的 “国球 ”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.8克．质检员在检验乒乓球质量时，把超出标准质量0.13克 的乒乓球记作，那么一个质量为2.4克的乒乓球记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的实际应用．超出标准质量用正数表示，不足则用负数表示．计算实际质量与标准质量的差值，即可确定对应的符号． 【详解】解：∵（克）， ∴该乒乓球比标准质量少0.4克，记作． 故选：D 2．一袋化肥净含量是，表示这袋化肥最少是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数与负数的实际应用，有理数的减法，根据题意列式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，这袋化肥最少是（）， 故答案为：． 3．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的8袋牡丹鲜花饼，净含量为400g，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 差值/g 0 0 0 请问：这8袋被检牡丹鲜花饼的总净含量是多少？ 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的应用，有理数的加法；将各记录相加，得出总的误差，再加上总的标准重量，即可解答。 【详解】解：， ， 答：这8袋被检牡丹鲜花饼的总净含量是． 巩固课内例2:求各数的相反数和绝对值 1．的相反数为（    ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟记相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数为， 故选：D． 2．的绝对值是： ． 【答案】3 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 3．写出下列各数的相反数和绝对值：，2，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查相反数和绝对值，根据相反数的定义和绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：的相反数为，绝对值为； 的相反数为，绝对值为； 的相反数为，绝对值为； 0的相反数为0，绝对值为0； 的相反数为，绝对值为； 的相反数为，绝对值为． 巩固课内例3:比较每组数的大小 1．下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数比较大小的法则． 根据，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 2．比较大小： ； (填“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了有理数数比较大小．根据0大于任何负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可回答． 【详解】解：∵大于任何负数 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：；． 3．比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）分别利用绝对值、相反数的定义化简，再比较大小即可； （2）根据负数的大小比较方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：，， ∵，，， ∴， 即． 巩固课内例4:在数轴上表示数 1．如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 2．如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了了数轴表示数，根据所给数轴，得出一个单位长度为小格，据此可得出答案，能根据题意得出一个单位长度为小格是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，一个单位长度为小格， ∴点与相距个单位长度，且在的左边， ∴点表示的数为， 故答案为：． 3．给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 【答案】(1) (2)见详解； 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； 【详解】（1）解：将3，，0，，，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： 巩固课内例5:有理数的加法运算 1．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法．根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数加法法则进行计算即可，掌握有理数加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法运算法则即可解答． （1）直接根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据零与任何数的和不变即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：． 巩固课内例6:多个有理数加法运算 1．计算：（    ） A．15 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，加法运算律，先将两个同分母的数相加，可以简便计算，据此即可解答． 【详解】解：． 故选：A 2．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键．根据有理数的加法运算法则进行计算． 【详解】解： ． 巩固课内例7:有理数的减法运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法运算．根据减法法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 巩固课内例8:海拔问题 1．，，三个地方的海拔分别是168米、52米、米，则这个三个地方中的最低点比最高点低（    ） A．89米 B．116米 C．205米 D．131米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用最高点的海拔减去最低点的海拔，即可求解． 【详解】解：依题意，米， 故选：C． 2．海拔比高 m；比海拔低的海拔高度是 m． 【答案】 10 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，分别计算，即可解答． 【详解】解：， ， ∴海拔比高；比海拔低的海拔高度是． 故答案为：10， 3．武功山作为国家级旅游景区，被中国国家地理评为中国十大“非著名”山峰之一．某登山爱好者组团徒步攀登武功山，沿路经过了四个补给点．已知地海拔是米，地海拔是米，地比地低米，地比地高米，试问： (1)地海拔为多少？地海拔为多少？ (2)四处补给点中，最高处比最低处高多少米？ 【答案】(1)地海拔为米，地海拔为米 (2)最高处比最低处高米 【分析】（）根据有理数的加减运算计算即可； （）先比较的大小，再用最大值减最小值即可； 本题考查了有理数加减的实际应用，有理数大小的比较，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：地海拔为（米），地海拔为（米）； 答：地海拔为米，地海拔为米； （2））解：∵， ∴（米）， 答：最高处比最低处高米． 巩固课内例9:有理数加减混合运算 1．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．把写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题关键要掌握加减法法则．利用加减法法则进行即可． 【详解】解： 故答案为： 3．计算； 【答案】 【分析】先将减法转化为加法，然后运用加法的交换律和结合律进行简便计算即可得到结果 此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算律的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 巩固课内例10:有理数加减简便运算 1．计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 2．计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 类型一、相反意义的量 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉早期（约公元1世纪）的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，其中记录了一道关于家畜买卖的题目，若将卖出家畜获得1000元记为元，则买入家畜付出800元记为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，需根据题意确定正负号的意义． 【详解】解：根据题意，卖出家畜获得的1000元记为元，说明“收入”用正数表示，对应的“支出”应用负数表示， ∴买入家畜需付出800元，属于支出，因此应记为元． 故选：B． 2．若一袋小麦质量比标准质量多记作，则比标准质量少记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量， 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：∵一袋小麦质量比标准质量多记作， ∴比标准质量少记作． 故答案为：． 3．如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．例如：用千米表示向东行驶60千米，那么下列各数分别表示什么？ (1)千米； (2)千米； (3)0千米． 【答案】(1)向东行驶800千米 (2)向西行驶50千米 (3)原地不动 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及0的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量． （1）根据向东行驶为正作答即可； （2）根据向西行驶为负作答即可； （3）根据0表示“没有”即可． 【详解】（1）解：∵千米表示向东行驶60千米， ∴向东行驶为正， 则千米表示向东行驶800千米； （2）解：由题意可知，向东行驶为正，向西行驶为负， 则千米表示向西行驶50千米； （3）解：0千米表示原地不动． 类型二、绝对值的非负性 1．成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得，，求解即可选出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且 故选：C 2．已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 3．若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了非负数的性质等知识点，几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0，故此，进而即可得解，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，． 类型三、时差问题 1．五个国际大都市的时差（单位：时）在数轴上表示如下图，那么当北京时间为2024年11月5日13时，下列选项中时间正确的应该是（   ） A．东京时问2024年11月5日12时 B．迪拜时间2024年11月5日8时 C．伦敦时间2024年11月5日6时 D．纽约时间2024年11月5日0时 【答案】D 【分析】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键．按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断． 【详解】解：由图得：当北京时间11月5日13时， 由于，故东京时间应为2023年11月5日14时，故A选项错误； 由于，故迪拜时间应为2023年11月5日9时；故B选项错误； 由于，故伦敦时间应为2023年11月5日5时，故C选项错误； 由于，故纽约时间应为2023年11月5日0时，故D选项正确． 故选：D． 2．下表列出了国外几个城市与北京的时差．2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，小红在北京观看电视直播的时间为 ．（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正负数的实际意义，理解时差的含义是解题关键．根据巴黎与北京的时差为，即可求解． 【详解】解：2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，巴黎与北京的时差为， 则小红在北京观看电视直播的时间为时分时时分，即北京时间， 故答案为：． 3．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，请根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟下面表明五个城市的名称． 城市 纽约 悉尼 伦敦 罗马 时差/h 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正数，负数，有理数的加减运算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意列式计算确定北京时间，再通过计算确定其他四个城市的时间即可得到答案． 【详解】解：由题可知五个时钟显示的时间分别为， 当北京时间为时，悉尼时间为，即当日 五个时钟显示的时间中没有 北京时间不是； 当北京时间为时，悉尼时间为，悉尼时间为当日， 五个时钟显示的时间中没有， 北京时间不是； 当北京时间为时， ，悉尼时间为当日，存在； ，纽约时间为前一天的，时钟显示为，存在； 伦敦时间为前一天，时钟显示为，存在； ，罗马时间为前一天，时钟显示为，存在； 如图，即为所求. 类型一、有理数的分类 1．在中，负有理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了负有理数：既是负数又是有理数的数，即小于0的有理数，有理数包括整数和分数，熟记负有理数的定义是解题关键．根据负有理数的定义逐个判断即可得． 【详解】解：都是正有理数， 0是有理数，但既不是正数也不是负数， 都是负有理数，共有4个， 故选：C． 2．在这四个数中，整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值， 先求出，再根据整数包括正整数，0，负整数解答即可． 【详解】解：因为， 所以整数有， 一共有3个． 故答案为：3． 3．将下列各数填入相应的集合中． 正整数集合：{              …}； 分数集合：{                …}； 负有理数集合：{             …}． 【答案】正整数集合：； 分数集合：； 负有理数集合：； 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 根据正整数，分数，负有理数的定义分类即可. 【详解】解： ，， 正整数集合：； 分数集合：； 负有理数集合：. 类型二、数轴上表示数并比较大小 1．在，，4，这4个数中，最小的有理数是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解题的关键． 先化简多重符号和绝对值，再根据有理数的大小比较法则进行比较，即可得出结果． 【详解】解：，， ∵正数大于负数， ∴最小的有理数是． 故选：D． 2． （选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确： ①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于负数；④两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数大小比较法则进行比较即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．画出数轴，把下列各数表示在数轴上，并用“”号连接起来． ，，0，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． 先化简各数，再把各个数表示在数轴上，根据“数轴上右边的点表示的数总比左边的大”进行比较大小即可． 【详解】解：，，0，，， 数轴表示如图： 根据数轴可得：． 类型三、化简多重符号 1．计算的结果等于（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查多重符号的化简．根据“负负得正”的规则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．化简： ． 【答案】2 【分析】本题考查了多重符号化简，与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正．根据符号化简法则进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 3．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”结果为负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： 类型四、有理数的加法应用 1．一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法． 根据题意，早晨气温为，中午上升了，通过加法计算中午的气温即可． 【详解】解：∵一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了， ∴这天中午的气温是 故选B． 2．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 3．有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1) (2)与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数比较大小的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）超过或不足的重量的绝对值最小的那筐白菜最接近标准重量，据此求解即可； （2）把这6筐白菜超过或不足的重量相加，若结果为正，则与标准重量比较是超过，计算结果即为超过的重量，若结果为0，则等于标准重量，若结果为负，则与标准重量比较是不足，计算结果的绝对值即为不足的重量，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜是编号为4的白菜， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重千克； （2）解： 千克， 答：与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克． 类型五、有理数的减法应用 1．某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为的乒乓球是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．计算有理数的加减法可得该品牌乒乓球的产品直径在（含）与（含）之间是合格品，由此即可得． 【详解】解：，， 则该品牌乒乓球的产品直径在（含）与（含）之间是合格品， 观察四个选项可知，不合格的是， 故选：C． 2．武汉境内大小近百个湖泊星罗棋布，形成了水系发育、山水交融的复杂地形，最高点海拔，最低陆地海拔，平均海拔．以平均海拔为基准，高于的记作正数，比如最高点记作，则最低陆地记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数减法的应用．利用有理数的减法计算即可求解． 【详解】解：∵高于的海拔用正数表示， ∴低于的海拔用负数表示， ∵， ∴最低陆地记作， 故答案为：． 3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 类型一、数轴上两点之间的距离 1．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且．若，则点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，相反数的定义，根据，得到点A、B分别表示a、b互为相反数，即点A、B到原点的距离相等，利用数轴上两点间距离即可求解． 【详解】解：∵点A、B分别表示数a、b，且， ∴a、b互为相反数， ∵， ∴A，B两点到原点的距离为3， ∵B点位于数轴上正半轴， ∴B点表示的数为3， 故选：D． 2．已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 3．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【详解】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 类型二、点在数轴上的平移 1．数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为；当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为，解答即可. 本题考查了数轴上的平移，有理数加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解：向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为； 当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为. 故选：D. 2．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    【答案】 【分析】通过两点间的距离比求出数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离，进而求刻度“”在数轴对应的数及符号，最后通过“左加右减”即可求解． 本题主要考查了数轴与刻度尺，解题关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：因为刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和， ∴刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离是，是刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离的倍； 而数轴上刻度“”和“”之间的数轴距离是， 所以数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离是，由于刻度“”在数轴的左边，属于负数，所以对应的数应为，向右平移个单位后为． 故刻度尺上对应数轴上的数为． 故答案为：． 3．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；② (2)①2019；②，1010；③． 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，，则点表示，点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题； 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为， 故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． （2）①对称中心是1， 表示的点与表示2019的点重合， 故答案为：2019； ②对称中心是1，， 则点表示，点表示1010， 故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，利用数形结合的思想来找到规律，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$