第02讲 一元二次方程应用-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第02讲 一元二次方程应用 知识点及学习目标 平均率问题，销售利润问题，形积问题等 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤： 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”． （1）“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础； （2）“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； （3）“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键； （4）“解”就是求出所列方程的解； （5）“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验． 2．列方程解应用题的关键： （1）审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系； （2）设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数． 3．列方程解应用题应注意： （1）要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系； （2）由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的 考点一：平均率问题 例1．一种药品原价每25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（　　） A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16 C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25 反馈练习1．2019年，某贫困户的家庭年人均纯收入为5000元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2021年，家庭年人均纯收入达到了7200元．则该贫困户2019年到2021年家庭年人均纯收入的年平均增长率为　 　． 反馈练习2．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为　 　． 反馈练习3．某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　） A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000 C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000 例2．某公司2020年9月份对一电子产品投入的研发资金为50万元，已知10，11月份对该电子产品投入的研发资金共200万元，假设对该电子产品投入的研发资金的月增长率均为x，则下列方程正确的是（　　） A．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200 B．50（1+x）2＝200 C．50（1+2x）2＝200 D．50（1+x）+50（1+x）2＝200 反馈练习4．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（　　） A．10（1+x）2＝33.1 B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 C．10+10（1+x）2＝33.1 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 考点二：传染问题 例3．疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（　　） A．3x2＝147 B．3（1+x）2＝147 C．3（1+x+x2）＝147 D．（3+3x）2＝147 反馈练习5．有一个人患了流感，两轮传染后共有225人患了流感，则平均每人传染　 　人． 反馈练习6．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（　　） A．4（1+R0）＝64 B．4（1+R0）＝400 C．4（1+R0）2＝64 D．4（1+R0）2＝400 考点三：握手问题 例4．2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次握手，共握手595次．设全班有x名同学，则可列方程为　　 　． 反馈练习7．2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有　 家公司参加了这次会议． 例5．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为　 　 　． 反馈练习8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为　 　 　． 考点四：销售利润问题 例6．某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元，每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程为　 　 　.（方程不需化简） 反馈练习9．某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价（　　） A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元 例7．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克35元时，销售量是　 　千克、月销售利润是　 　元； （2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 反馈练习10．某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为　 　箱； （2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？ 反馈练习11．甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 例8．某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克． （1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？ （2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y与x之间的函数关系式； （3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获利1000元？（利润＝销售收入﹣进货金额） 反馈练习12．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元．当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元． （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？ （2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，为了尽快售出且使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值． 考点五：形积问题 例9．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为　　 　 　． 反馈练习13．如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为　　 　 　． 反馈练习14．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是888cm2，则剪掉的小正方形的边长为　 　cm． 例10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，则点P、Q运动的时间为　 　秒． 反馈练习15．如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为　 　秒． 反馈练习16．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 1．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为（　　） A．9.5% B．10% C．10.5% D．11% 2．香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（　　） A．8棵 B．9棵 C．10棵 D．11棵 3．某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，依题意列方程，化成一般式为　 　． 4．一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场、赛程计划安排9天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为　 　．（化用一般式表示） 5．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　 　元时，商场每天盈利达1500元． 6．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了　 　元． 7．现代互联网技术的广泛应用，加速了快递行业的发展，据调查，某家小型快递公司，今年3月与5月完成投递的快件总数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递的快件总数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快件总数的月平均增长率？ （2）如果该公司平均每名快件投递业务员每月最多可投递快件0.6万件，那么该公司现有的21名快件投递业务员能否完成今年6月的快件投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 8．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件． （1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？ （2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，点E从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C沿边CD以1cm/s的速度向点D移动，当E、F两点中有一点到达终点时，则另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底的等腰三角形时，求点E运动的时间． 10．如图，在一块矩形ABCD的草坪上有两条部分重叠的平行四边形（▱AEFH、▱BFHG）小路，小路进出口的宽AE、BG、FH均为2m，小路的边EF、GH与AB所成的夹角均为60°，小路的面积是整个矩形面积的，设AB长为xm． （1）EF与GH的交点记为P，△PHF的面积为 　　 m2． （2）用含x的代数式分别表示线段BE、BC的长（直接写出答案，不必说明理由）； （3）求x的值． 第02讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：平均率问题 例1． B． 反馈练习1． 20%． 反馈练习2． 20（1+x）2＝20+4.2． 反馈练习3． A． 例2． D． 反馈练习4． D 考点二：传染问题 例3． B． 反馈练习5．【解答】解：设平均每人传染x个人， 由题意得：1+x+x（1+x）＝225， 解得：x1＝14，x2＝﹣16， ∵x＞0， ∴x2＝﹣16不合题意，舍去， ∴x＝14． 反馈练习6． C． 考点三：握手问题 例4． x（x﹣1）＝595． 反馈练习7． 【解答】解：设共有x家公司参加了这次会议， 根据题意，得x（x﹣1）＝28 整理，得 x2﹣x﹣56＝0 解得x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去） 答：共有8家公司参加了这次会议． 故答案是：8． 例5． x（x﹣1）＝1190． 反馈练习8． x（x﹣1）＝1056． 考点四：销售利润问题 例6．（x﹣30）[200+10（50﹣x）]＝3000． 反馈练习9． D． 例7．【解答】解：（1）500﹣10×（35﹣30）＝450（千克）， （35﹣20）×450＝6750（元）． 故答案为：450；6750． （2）设销售单价应为x元/千克，则每千克的利润为（x﹣20）元，月销售量为（800﹣10x）千克， 依题意得：（x﹣20）（800﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60． 当x＝40时，20（800﹣10x）＝8000＞6000，不合题意，舍去； 当x＝60时，20（800﹣10x）＝4000＜6000，符合题意． 答：销售单价应为60元/千克． 反馈练习10．【解答】解：（1）平均每天的销售量为80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（箱）． 故答案为：（200﹣2x）． （2）依题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200， 整理得：x2﹣150x+5600＝0， 解得：x1＝70，x2＝80． 当x＝70时，利润率＝×100%＝40%＜50%，符合题意； 当x＝80时，利润率＝×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 答：应按每箱70元销售． 反馈练习11． 【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）； 答：这个降价率为10%； （2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件， 根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000， 解得：y＝0（舍去）或y＝10， 答：该商品在原售价的基础上，再降低10元． 例8．【解答】解：（1）设现在实际购进这种牛肉每千克a元，则原来购进这种牛肉每千克（a+2）元， 由题意得：32（a+2）＝33a， 解得：a＝64（元）， 答：现在实际购进这种牛肉每千克64元； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（70，140），（80，40）代入得：， 解得：， 故y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+840； （3）由题意得：（x﹣64）（﹣10x+840）＝1000， 解得：x1＝x2＝74（元）， 答：将这种牛肉的销售单价定为74元时，能获得利润是1000元． 反馈练习12．【解答】解：（1）设甲种苹果的进价为a元/千克，乙种苹果的进价为b元/千克， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种苹果的进价为10元/千克，乙种苹果的进价为8元/千克． （2）依题意，得：（4+x）（100﹣10x）+（2+x）（140﹣10x）＝960， 化简，得：x2﹣9x+14＝0， 解得：x1＝2，x2＝7， ∵要尽快售出， ∴x＝2． 答：x的值为2． 考点五：形积问题 例9．【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步． 根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864． 故答案为：x（x﹣12）＝864． 反馈练习13．（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24． 反馈练习14．【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为＝20cm，宽为xcm， 依题意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888， 整理得：x2+20x﹣156＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣26（不合题意，舍去）． 故答案为：6． 例10．【解答】解：8÷2＝4（秒）． 设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm， 依题意得：×2x×（6﹣x）＝5， 整理得：x2﹣6x+5＝0， 解得：x1＝1，x2＝5（不合题意，舍去）． 故答案为：1． 反馈练习15．【解答】解：根据题意可知CN＝tcm，AM＝2tcm， ∴BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm， ∵△MNB的面积为24cm2， ∴×（12﹣2t）×（8﹣t）＝24， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 反馈练习16．【解答】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s， 当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm， ∴AP＝4cm，AQ＝4cm， ∴S△APQ＝×4×4＝8（cm2）． （2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 根据题意得：S△ABC＝××12×8＝24cm2， 当0＜t＜6 时如图1： S△APQ＝（12﹣2t）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12（舍去）或t＝2． 当6＜t＜8 时如图2： S△APQ＝（2t﹣12）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14t+72＝0， △＜0，无解． 当t＞8时如图3： S△APQ＝（2t﹣12）（t﹣8）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12或t＝2（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 1． B． 2． A． 3． x2+x﹣132＝0． 4． x2﹣x﹣72＝0． 5． 【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件， 依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500， 整理得：x2﹣320x+25500＝0， 解得：x1＝150，x2＝170． 故答案为：150或170． 6．【解答】解：设此长方体箱子的底面宽为x米，则长为（x+2）米， 依题意得：1•x•（x+2）＝15， 整理得：x2+2x﹣15＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， ∴矩形铁皮的长为x+2+2＝7（米），宽为x+2＝5（米）， ∴购回这张矩形铁皮的费用为7×5×10＝350（元）． 故答案为：350． 7． 【解答】解：（1）设该快递公司投递快件总数的月平均增长率为x，根据题意得 10（1+x）2＝14.4， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递快件总数的月平均增长率为20%； （2）今年6月份的快件投递任务是14.4×（1+20%）＝17.28（万件）． ∵平均每人每月最多可投递0.6万件， ∴21名快递投递业务员能完成的快件投递任务是：0.6×21＝12.6＜17.28， ∴该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月份的快件投递任务 ∴需要增加业务员（17.28﹣12.6）÷0.6≈8（人）． 答：该公司现有的21名快件投递业务员不能完成今年6月份的快件投递任务，至少需要增加8名业务员． 8．【解答】解：（1）设售价应为x元，依题意有 1160﹣≥1100， 解得x≤15． 答：售价应不高于15元． （2）10月份的进价：10（1+20%）＝12（元）， 由题意得： 1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]＝3388， 设m%＝t，化简得50t2﹣25t+2＝0， 解得：t1＝，t2＝， 所以m1＝40，m2＝10， 因为m＞10， 所以m＝40． 答：m的值为40． 9．【解答】解：设点E运动的时间是x秒． 根据题意可得：22+（2x）2＝（3﹣2x）2+x2， 解这个方程得：， ∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s）， ∴两点运动了1.5s后停止运动． 由得：，， 答：当△AEF是以AF为底的等腰三角形时，点E运动的时间是秒． 10．【解答】解：过点P作PM⊥HF于点M， ∵小路的边EF、GH与AB所成的夹角均为60°， ∴∠PFH＝∠HPF＝60°， ∴△PHF是等边三角形， ∵FH＝2m， ∴HM＝MF＝1m， ∴PM＝＝＝m， ∴S△PHF＝×HF×PM＝＝（m2）； 故答案为：； （2）∵AB长为xm，AE＝2m， ∴BE＝AB﹣AE＝（x﹣2）m， ∵∠PEG＝∠PGE＝60°， ∴△PEG为等边三角形， ∵PG∥BF，∴△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝（x﹣2）m，∠CFB＝60°， ∴CF＝BE＝（x﹣2）m，∴BC＝（x﹣2）m； （3）∵小路的面积是整个矩形面积的， ∴4×， 解得x1＝10，x2＝（舍去）．∴x＝10． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$