1.2.4 绝对值 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

1.2.4 绝对值 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、绝对值的定义 几何定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 例如：5对应的点到原点的距离是 5，故|5| = 5\； -3对应的点到原点的距离是 3，故|-3| = 3。 代数定义 例如：若。 二、绝对值的性质 非负性 任何数的绝对值都是非负数，即。 若； 若。 对称性，即互为相反数的两个数绝对值相等。 例如：。 三、绝对值的应用 比较有理数的大小 正数比较：绝对值大的数大，如|5| > |3|； 负数比较：绝对值大的反而小，如。 距离问题 数轴上两点a和b之间的距离为|a - b|。 例如：点A表示 2，点B表示 - 3，则AB的距离为|2 - (-3)| = 5。 四、绝对值与数轴的关系 几何意义 |a|表示数a对应的点到原点的距离； |a - b|表示数a与b对应的两点之间的距离。 应用示例 若|x| < 2，则x对应的点在数轴上到原点的距离小于 2，即-2 < x < 2； 若|x - 1| ，则x对应的点到 1 的距离不超过 3，即。 五、绝对值的化简 基本化简规则 若(a > 0)，则(|a| = a\)； 若(a < 0)，则(|a| = -a)； 若(a = 0)，则(|a| = 0)。 含字母的绝对值化简 例如：化简|x - 3|（需分类讨论） 当x > 3时，|x - 3| = x - 3； 当x < 3时，|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x； 当x = 3时，|x - 3| = 0。 六、典型例题 求绝对值 计算： 专项练习 一、选择题 1．的绝对值是（　　） A． B．7 C． D． 2．若|m－1|＝－m＋1，则m一定（　　） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 3．绝对值不大于11.1的负整数有 (　　) A．11个 B．12个 C．22个 D．23个 4．数a的绝对值是2.5，且数轴上表示数a的点在原点的左侧，则数a等于(　　) A．2.5 B．-2.5 C．2.5或-2.5 D．-0.4 5．已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 6．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四个有理数在数轴上分别对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是　 　． 10．如图，数轴上的点 A 所表示的数为a，则化简|a|-|1-a|的结果为　 　. 11．若用a的一个值说明“|a|=a”是错误的，则a的值可以是　 　. 12．在数轴上，如果点A所表示的数是-1，那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是　 　. 13．下图表示在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为 p，q，r，s.若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|的值是　 　. 三、解答题 14．把下列各数填在相应的大括号里 ，，，，，，，，，． 正整数集合{ …} 非正数集合{ …} 负分数集合{ …} 15．下面是一个不完整的数轴， （1）将下列各数按从小到大的顺序用“”号连接起来：；；；． （2）请将数轴补充完整，并将（1）中各数表示在数轴上； 16．正式的足球比赛对所用足球的质量有严格的规定.下面是6个足球的质量检测结果(其中正数表示超过规定质量的克数，负数表示不足规定质量的克数)：+11，-24，+29，-11，+13，-39. （1）通过计算说明这6个足球中哪个足球的质量更接近规定质量. （2）求出这6个足球中质量最大的足球比质量最小的重多少克. 17．如图，数轴的单位长度为1． （1）如果点P，T表示的数是互为相反数，那么点S表示的数是多少？ （2）如果点R，T表示的数是互为相反数，那么点s表示的数是正数，还是负数？图中表示的五个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？ 18．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且满足|a|＝|b|＝2|-c|＝4. （1）求a，b，c的值； （2）求|a-2b|+|-b+c|+|c-3a|的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得， 故答案为：B． 【分析】 根据有理数绝对值的性质：0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数，解答即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵|m-1|＝-m+1≥0， ∴m≤1． 故答案为：C． 【分析】根据绝对值的非负性可得-m+1≥0，解之即可求解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：原点（0点）左边绝对值不大于11.1的整数有：-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，-10，-11， 所以绝对值不大于11.1的负整数有11个； 故答案为：A. 【分析】根据绝对值的定义和数轴上的点与实数的对应关系，即可得出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵a的绝对值是2.5，且数轴上表示数a的点在原点的左侧， ∴a=-2.5， 故答案为：B 【分析】根据有理数在数轴上的表示结合题意化简有理数的绝对值，从而即可求解。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 【分析】本题主要考查绝对值的性质，由，，得到，，即可得到答案. 6．【答案】A 【解析】【解答】由数轴可知， ∴ ∴ 故答案为：A. 【分析】本题考查绝对值得化简，首先根据数轴判断a，b得大小，从而得到绝对值里每个整式得正负性，然后逐个化简整理即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：点M，N表示的有理数互为相反数， 原点在点M与点N的中点， 根据数轴可知，点Q到原点的距离最大，即点Q的绝对值最大， 故答案为：D. 【分析】根据互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称可得M，N 两点的中点就是原点，根据离原点越远的点所表示的数的绝对值越大即可求解. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴最标准的足球为选项C的足球； 故选C． 【分析】本题考查正负数的意义，以及有理数比较大小，任何正有理数都大于零，任何负有理数都小于零，正数大于一切负数， 两个正有理数比较大小时，绝对值大的数大，两个负有理数比较大小时，绝对值大的数反而小，据此解答，即可得到答案. 9．【答案】 【解析】【解答】∵一个数的绝对值等于4， ∴这个数是， 故答案为：. 【分析】利用绝对值的性质求解即可. 10．【答案】1 【解析】【解答】解：由图可知， ∵数轴上的点A所表示的数为a， ∴1<a<2， ∴1-a<0， ∴|a|-|1-a|=a-(a-1)=1； 故答案为：1. 【分析】结合题意，根据数轴的性质，得到a的取值范围；再结合绝对值的性质计算，即可得到答案. 11．【答案】-1 【解析】【解答】解：根据|a|=a”是错误的，利用绝对值的意义可得：a<0 据此可找出a的值为-1 故答案为：-1(答案不唯一，a<0即可) . 【分析】本题考查绝对值的意义.根据“|a|=a”是错误的，利用绝对值的意义可得：a<0，据此可找出a的值. 12．【答案】2或-4 【解析】【解答】解： 根据点A所表示的数是-1， 所以到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数为： 再进行计算可得点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数为： 故答案为：2或-4 . 【分析】根据根据点A所表示的数是-1，利用绝对值的意义可得：到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数为：，再进行计算可求出答案. 13．【答案】7 【解析】【解答】解：由题意得p<q<r<s， ∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9， ∴p-s=-10，p-s=-12，q-s=-9， ∴p=r-10，p=s-12， ∴r-10=s-12， ∴s=r+2， ∴q-r=-7， ∴|q-r|=7. 故答案为：7 【分析】先根据数轴得到p<q<r<s，进而化简得到p-s=-10，p-s=-12，q-s=-9，即p=r-10，p=s-12，从而得到s=r+2，从而即可得到q-r=-7，再根据有理数的绝对值即可求解。 14．【答案】解：因为，， 所以正整数集合，， 非正数集合，，，，； 负分数集合，，． 【解析】【分析】本题考查的是化简双重符号，绝对值定义与运算，以及有理数的分类，结合有理数的分类逐一把符合条件的数填入相对应的集合，即可得到答案. 15．【答案】（1）解：，，∴； （2）解：补全数轴，数字表示在数轴上如图所示， 【解析】【分析】（1）根据有理比较大小的方法，任何正有理数都大于零，任何负有理数都小于零，正数大于一切负数， 两个正有理数比较大小时，绝对值大的数大，两个负有理数比较大小时，绝对值大的数反而小，把这些数由小到大用“<”号连接起来，即可求解.； （2）根据数轴的组成元素，数轴与有理数的对应关系，即可在数轴上把各个数表示出来，得到答案． （1）解：，， ∴； （2）解：补全数轴，数字表示在数轴上如图所示， 16．【答案】（1）解：|+11|=11，|-24|=24，|+29|=29，|-11|=11，|+13|=13，|-39|=39，11<13<24<29<39. 即这6个足球中质量最接近规定质量的是质量检测结果是+11和-11的足球. （2）解： 29-(-39)=29+39=68(克)， 即这6个足球中质量最大的足球比质量最小的足球重68克. 【解析】【分析】（1）比较所有数据的绝对值大小，绝对值越小，代表最接近规定质量； （2）质量最大，意味着超出规定质量最大，即为29克；质量最小，意味着低于规定质量最小，即为-39克，用前者减去后者即可. 17．【答案】（1）解：∵ 点P，T表示的数是互为相反数， ∴点P表示的数是-4， 点S表示的数是0，T表示的数是4. （2）解：∵ 点R，T表示的数是互为相反数， ∴点R表示的数是-3， 点T表示的数是3，S表示的数是-1，是负数，Q点表示的数的绝对值最大，绝对值时7. 【解析】【分析】（1）由数轴的特点和相反数的意义并结合已知条件可求解； （2）由数轴的特点和相反数的意义并根据几何意义"在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值"可求解. 18．【答案】（1）解：∵a＜0，b＞0，c＞0，且满足|a|＝|b|＝2|-c|＝4， ∴a＝-4，b＝4，c＝2 （2）解：|a-2b|+|-b+c|+|c-3a| ＝|-4-8|+|-4+2|+|2+12| ＝12+2+14 ＝28. 【解析】【分析】（1）根据数轴可得a＜0，b＞0，c＞0，然后结合|a|＝|b|＝2|-c|＝4就可得到a、b、c的值； （2）将a、b、c的值代入|a-2b|+|-b+c|+|c-3a|中进行计算即可 学科网（北京）股份有限公司 $$