1.2.2 数轴 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

1.2.2 数轴 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、数轴的定义与三要素 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素详解 原点（Origin）：表示数 0 的点，是数轴的基准点。 正方向（Positive Direction）：通常规定向右为正方向，用箭头表示。 单位长度（Unit Length）：数轴上相邻刻度之间的距离，需保持统一。 二、数轴的画法步骤 画直线：用直尺画一条水平直线。 定原点：在直线中间选取一点，标注为 0。 标正方向：在直线右端画上箭头，表示向右为正。 取单位长度：从原点开始，向右每隔相同距离取一点，依次标注 1, 2, 3…；向左每隔相同距离取一点，依次标注 - 1, -2, -3…。 三、有理数与数轴的关系 所有有理数都可以用数轴上的点表示 正有理数：位于原点右侧，如 3 在原点右侧 3 个单位长度处。 负有理数：位于原点左侧，如 - 2.5 在原点左侧 2.5 个单位长度处。 0：位于原点处。 数轴上的点与有理数的对应关系 每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 但数轴上的点不都表示有理数。 四、利用数轴比较有理数的大小 几何法则 数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。 即：若点 A 在点 B 右侧，则 A 表示的数 > B 表示的数。 代数应用 正数 > 0 > 负数 两个负数比较：绝对值大的反而小。 例如：比较 - 3 和 - 1 在数轴上的位置，-1 在 - 3 右侧，所以 - 1 > -3。 五、数轴上的距离与中点 两点间的距离 数轴上两点 A（表示数a）和 B（表示数b）之间的距离为： 中点公式 数轴上两点 A（表示数a）和 B（表示数b）的中点 M 表示的数为：。 六、相反数在数轴上的几何意义 定义回顾 只有符号不同的两个数互为相反数，如 5 与 - 5。 几何特征 在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 例如：5 和 - 5 对应的点到原点的距离都是 5 个单位长度。 七、典型例题 数轴的画法 画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，3。 答案：（数轴略）依次在原点左侧 2 个单位、原点处、原点右侧 1.5 个单位、原点左侧 1.5 个单位、原点右侧 3 个单位处标注各数。 比较大小 用 “<” 连接下列各数：。 八、易错点提醒 单位长度不统一 画数轴时必须保证相邻刻度间距相等，否则会导致数值表示错误。 方向与原点混淆 原点位置必须明确标注为 0 正方向需用箭头表示，不可省略。 专项练习 一、选择题 1．下列数轴，正确的画法是（　　） A． B． C． D． 2．数轴上点M到表示的点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A． B．5 C．或4 D．或5 3．一只蚂蚁沿数轴从点A向右直行15个单位长度到达点B.若点B表示的数为-2，则点A所表示的数为(　　) A．15 B．13 C．-13 D．-17 4．点A，B在数轴上的位置如图所示，如果点C也在数轴上，且B，C两点间的距离是1，那么AC的长度为 (　　) A．2 B．4 C．2或4 D．0或2 5．如图，数轴上有，，，四棵小树，那么离原点距离最近的小树是（　　） A． B． C． D． 6．用刻度尺画数轴时，刻度尺上的2.5cm处对应数轴上的原点，3cm处对应数轴上的1，则数轴上表示3的点对应的刻度尺上的刻度是 (　　) A．5cm B．4cm C．3cm D．2.5cm 7．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上“0 cm”和“3c m”分别对应数轴上的4 和1，那么刻度尺上“5.6 cm”对应数轴上的数为(　　) A．-1.4 B．-1.6 C．-2.4 D．-2.6 8．一条数轴上有两点A与B，已知点A到原点O的距离为3个单位，点B在点A的右侧且到点A的距离为5个单位，则点B所表示的数可能是（　　） A．8 B．2 C．-8或2 D．8或2 二、填空题 9．数轴上与原点距离小于 的整数点有　 　个. 10． 如果数轴上点 A 表示的数是-2，那么与点 A相距3 个单位长度的点所表示的数是　 　 11．小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，可确定墨迹遮盖住的整数共有　 　个． 12．如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是　 　． 13．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示l的点与表示﹣3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为　 　． 三、解答题 14．在数轴上表示下列各数： （1） （2）200，-150，-50，100，-100。 15．某牛奶厂在一条东西走向的大街上设有O，A，B，C四家特约经销店，A店位于O店的西面3千米处；B店位于O店的东面1千米处，C店位于O店的东面2千米处。 （1）请以O为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，画一条数轴，并在数轴上分别表示出O，A，B，C的位置。 （2）如果牛奶厂的送货车从O店出发，要把一车牛奶分别送到A，B，C三家经销店，最后有事又回到O店，那么送货车所行驶的路程是多少千米? 16．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8，设A，B，C所对应的数的和为m． （1）若以B为原点，求数轴上A，C所表示的数，并求出此时m的值； （2）若原点到B的距离为3，求m的值． 17．数学魔术：如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示、、0、4，请回答下列问题． （1）在数轴上描出A、B、C、D四个点，用“”将4个数按照从小到大的顺序连接； （2）B、C两点间的距离是多少？A、D两点间的距离是多少？ （3）点A、B、C、D的位置不动，现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A、B、C、D分别表示什么数？ 18．阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例：如图，线段AB=1=0-(-1)，线段BC=2=2-0，线段AC=3=2-(-1). 问题： （1）数轴上点 M，N代表的数分别为-9 和1，则线段MN=　 　. （2）数轴上点 E，F代表的数分别为-6和-3，则线段 EF=　 　. （3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，另一个点表示的数为m，求m的值 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A.无正方向，画法不正确，故选项A错误； B.无原点，无单位长度，画法不正确，故选项B错误； C.单位长度不统一，画法不正确，故选项C错误； D.数轴的三要素：原点、正方向与单位长度且单位长度统一，故选项D正确； 故答案为：D. 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度且单位长度要统一，解答即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：因为数轴上到表示-1的点的距离是5的点有两个， 且， 所以点M表示的数是或4． 故选：C． 【分析】本题考查数轴的定义及应用，根据数轴上的点所表示的数的特征，即可得到答案． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：数轴上，与-2的距离是15，且在-2的左侧的数为-17. 故答案为：D. 【分析】根据题意，只需要将问题转化成求在数轴上与-2的距离为15，且在-2的左侧的数. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：因为点B表示的数字是1，那么数轴上到B点距离为1的点C表示的数字应该是0或2， 所以AC的长度为 故答案为：C . 【分析】此题考查的是绝对值的概念，数轴上到一个点距离为定值的点应该有两个，分别在这个点的两侧。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：，，，， 离原点距离最近的小树是， 故选：． 【分析】根据数轴上两个点之间的距离分别求出OM、ON、OP、OQ的值，再比较大小即可求解. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：因为此时1个单位长度＝3cm－2.5cm=0.5cm， 所以数轴上表示3的点的刻度＝2.5+30.5＝4（cm） 故答案为：B . 【分析】数轴的三要素：单位长度、原点和正方向 7．【答案】B 【解析】【解答】解：刻度尺5.6距离0有5.6cm，则数轴上的数距离4也是5.6个单位长度，对应的数为4-5.6=-1.6， 故选B. 【分析】根据刻度尺上距离0的长度等于数轴上距离4的长度，4减去对应刻度值即可得到数轴上对应的数. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 点A到原点O的距离为3个单位 ，∴点A为3或-3； 当点A为3时，点B就是3+5=8； 当点A为-3时，点B就是-3+5=2； ∴ 点B所表示的数可能是8或2. 故答案为：D. 【分析】本题首先根据条件“ 点A到原点O的距离为3个单位 ”，可以直到点A为3或-3。然后分两种情况来讨论计算，即可计算出点B的值。 9．【答案】7 【解析】【解答】 ， 则数轴上与原点距离小于 的整数点有 ，共7个， 故答案为：7. 【分析】利用数轴可得到数轴上与原点距离小于 的整数，由此可得到整数点的个数。 10．【答案】1或-5 【解析】【解答】解：∵数轴上点 A 表示的数是-2， ∴与点 A相距3 个单位长度的点所表示的数是-2-3=-5或-2+3=1， 故答案为：1或-5 【分析】根据有理数在数轴上的表示结合数轴上两点间的距离即可求解。 11．【答案】3 【解析】【解答】 解：∵和2之间的整数有3个：-1、0、1， ∴墨迹遮盖住的整数共有3个． 故答案为：3． 【分析】 根据有理数大小比较的方法，判断出和2之间的整数有多少个即可． 12．【答案】1或-7 【解析】【解答】①当点A向左平移4个单位长度后点B表示的数为-3-4=-7； ②当点A向右平移4个单位长度后点B表示的数为-3+4=1； 综上，点B表示的数为1或-7. 【分析】分类讨论，再利用数轴上“左减右加”的原则求解即可. 13．【答案】-5 【解析】【解答】画出数轴如下所示： 依题意得：两数是关于1和-3的中点对称， 即关于（1-3）÷2=-1对称. ∵A、B两点之间的距离为8且折叠后重合， 则A、B关于-1对称. 又A在B的左侧， ∴A点坐标为：-1-8÷2=-1-4=-5． 故答案为：-5. 【分析】根据A、B之间的距离，以及中心对称的定义，可求解A点的坐标。 14．【答案】（1）解： 如图。 （2）解： 如图。 【解析】【分析】 要解答这个问题，我们需要先理解数轴的基本概念。数轴是一种用直线表示数的图形工具，其中0是原点，正数在原点右侧，负数在原点左侧。每个点与数轴上一个确定的数相对应。解答本题需要我们在数轴上准确地表示出给定的每个数。 15．【答案】（1）解：如图所示， 在数轴上表示位置： 点A在O点的西面3千米处，因此点A在数轴上表示为-3； 点B在O点的东面1千米处，因此点B在数轴上表示为+1； 点C在O点的东面2千米处，因此点C在数轴上表示为+2。 （2）解： 计算送货车行驶的总路程： 送货车从O店出发，先到达A店，即从0到-3，行驶3千米； 然后从A店到B店，即从-3到1，行驶4千米； 从B店到C店，即从1到2，行驶1千米； 最后从C店返回O店，即从2回到0，行驶2千米 路线为O→A→B→C→O， 因此，送货车的总行驶路程为 3 + 4 + 1 + 2 = 10 千米 答：送货车所行驶的路程是10千米。 【解析】【分析】本题考查数轴上的点表示方法，两点之间的距离计算，有理数的混合运算. (1)根据点A在O点的西面3千米处；点B在O点的东面1千米处；点C在O点的东面2千米处；可求出点A，B，C在 数轴上表示的数，再表示在数轴上可求出答案； (2)利用有理数的混合运算可求出：O店出发，到达A店的距离；从A店到B店的距离；从B店到C店的距离；从C店返回O店的距离，再进行相加可求出送货车的总行驶路程. 16．【答案】（1）解：∵B为原点，点A到点的距离为3， 数轴上点A所表示的数为； 为原点，点到点的距离为8， 数轴上点C所表示的数为8， （2）解：当数轴上的原点在点的右侧时，并且到点的距离为3，点所表示的数为， 点A到点的距离为3， 点A所表示的数为， 点到点的距离为8， ∴点所表示的数为， ． 当数轴上的原点在点的左侧时，并且到点的距离为3， 点所表示的数为， 点A到点的距离为3， 点A所表示的数为， 点到点的距离为8， ∴点所表示的数为， ． 综上分析可知，或 【解析】【分析】（1）根据点的位置得到 数轴上A，C所表示的数 即可解题； （2）分数轴上的原点在点的右侧、原点在点的左侧两种情况进利用两点间距离公式解题即可． （1）解：∵B为原点，点A到点的距离为3， 数轴上点A所表示的数为； 为原点，点到点的距离为8， 数轴上点C所表示的数为8， ； （2）解：当数轴上的原点在点的右侧时，并且到点的距离为3， 点所表示的数为， 点A到点的距离为3， 点A所表示的数为， 点到点的距离为8， ∴点所表示的数为， ． 当数轴上的原点在点的左侧时，并且到点的距离为3， 点所表示的数为， 点A到点的距离为3， 点A所表示的数为， 点到点的距离为8， ∴点所表示的数为， ． 综上分析可知，或． 17．【答案】（1）解：如图 所以由数轴得：． （2）解：B、C两点间的距离：， A、D两点间的距离： （3）解：：－，：，：，：． 【解析】【分析】（1）将各数分别在数轴上表示出来，再根据数轴上右边的数大于左边的数求解即可； （2）利用数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）先建立新的数轴，再直接求出点A、B、C、D表示的数即可. 18．【答案】（1）10 （2）3 （3）解：∵数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，另一个点表示的数为m，∴2-m=5，m=-3或m-2=5，m=7. i故m的值为-3或7. 【解析】【解答】（1）解：代表的数分别为-9和1， ， 故答案为：10； （2）解：代表的数分别为-6和-3， ， 故答案为：3. 【分析】（1）根据MN=1-(-9)即可求解； （2）根据EF=-3-(-6)即可求解； （3）根据距离为5，分点在表示2的点的左右两侧两种情况讨论即可求解 学科网（北京）股份有限公司 $$