1.2.1 有理数的概念 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

1.2.1 有理数的概念 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、有理数的定义 1.整数和分数统称为有理数。 2.整数：整数包括正整数、零和负整数。 （1）正整数：像1、2、3、4……这样大于0的整数，是正整数，它们在日常生活中常用来表示物体的个数等，比如教室里有50个学生，这里的50就是正整数。 （2）零：0是一个特殊的整数，它既不是正数也不是负数，在数轴上是正数和负数的分界点，在很多实际情境中表示“没有”的状态，比如钱包里没钱了，就可以用0来表示金额。 （3）负整数：像 -1、-2、-3、-4……这样小于0的整数，是负整数，比如温度零下5摄氏度，如果规定零上温度用正数表示，那么零下温度就可以用负整数表示，这里就是 -5。 3.分数：分数包括有限小数和无限循环小数。 （1）有限小数：小数部分的位数是有限的小数，例如0.25、3.14等，它们都可以表示为分数形式，如0.25就是，3.14就是（可化简为）。 （2）无限循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数，比如0.333……（可写成），它等于；还有像1.666……（可写成），它等于等，这些无限循环小数也属于分数范畴，进而属于有理数。 二、有理数的分类 1.按定义分类：有理数可以分为整数和分数两类。其中整数又分为正整数、0、负整数；分数又分为有限小数和无限循环小数。 （1）正有理数：包括正整数和正分数，比如2、等。 （2）0：单独作为一类。 （3）负有理数：包括负整数和负分数，比如 -3、等。 专项练习 一、选择题 1．若b是有理数，则（　　） A．b一定是正数 B．b正数，负数，0均有可能 C．一定是负数 D．b一定是0 2．下列说法中，正确的是（　　） A．非负数一定是正数 B．有最小的正整数，也有最小的有理数 C．若在一个数前面加上“”号，则这个数一定是负数 D．最大的负整数是 3．下列说法中正确的是（　　） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 4．下列四个数中，属于负整数的是（　　） A． B． C．0 D．6 5．下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（　　） A．3 B． C．0 D．2.4 6．在中，非负数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．有理数中，最大的负整数是　 　 ． 8．在 这四个有理数中，整数有　 　. 9．写出一个是分数但不是正数的数：　 　. 10．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是　　 　 ． 11．我们可以把﹣1，9，10，﹣5，7，﹣8分为正整数和　 　 ． 12．请你写出一个大于 ，小于 的最简分数，这个分数是　 　．（只需写出一个） 三、解答题 13．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合.把下列各数分别填入相应的集合中： 5，-2，0，-，1.2，，50，25%，-2.7%. 14．把下列各数填在相应的集合中： ； 正分数集合； 整数集合； 非正数集合. 有理数集合； 15．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做“进步数”，例如四位正整数1234：因为1<2<3<4，所以1234是“进步数”. （1）写出四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”. （2）已知一个四位正整数m是“进步数”，m的千位、个位上的数字分别是1，8，且m能被9整除，求这个四位正整数m. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、b一定是正数，错误；例如当b=0时，b不是正数； B、正确； C、一定是负数，错误；例如当b=0时，不是负数； D、因为有理数包括正数、负数、0，所以b不一定是0，错误； 故答案为：B． 【分析】根据有理数，逐一进行判断即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、非负数包括0和正数，故A错误； B、有最小的正整数1，但没有最小的有理数，故B错误； C、在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，但不一定是负数，故C错误； 零的绝对值是零，故C错误； D、最大的负整数是，故D正确； 故选：D． 【分析】根据有理数、整数、非负数、负数的概念进行逐一判断推理得出结果． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：A、正分数和负分数统称为分数，故A符合题意； B、正整数、零、负整数统称为整数，故B不符合题意； C、零既不是正整数，也不是负整数，故C不符合题意； D、一个有理数不是正数就是负数或零，故D不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据整数、分数、有理数的定义逐项进行判断，即可得出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：根据负整数的定义可知，是负整数． 故答案为：B． 【分析】根据负整数的概念即可求出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵3是正数，但不是分数，∴A不符合题意； B、∵是分数，但不是正数，∴B不符合题意； C、∵0不是正数，也不是分数，∴C不符合题意； D、∵2.4是分数，也是正数，∴D符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用分数和正数的定义逐项分析判断即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：负数有，共3个，其余的都是非负数，共3个， 故选：C． 【分析】本题主要考查了负数的定义， 负数的意义在于表示与正数相反的量，在数轴上，负数位于零的左侧，用负号“-”表示，根据负数的定义找出负数的个数，进而求出非负数的个数，得到答案． 7．【答案】-1 【解析】【解答】解：有理数中，最大的负整数是﹣1， 故答案为：﹣1． 【分析】根据小于零的整数是负整数，再根据最大的负整数，可得答案． 8．【答案】 【解析】【解答】解：在 这四个有理数中，整数有﹣5，0. 故答案为：﹣5，0. 【分析】整数分为正整数、0和负整数，据此解答即可. 9．【答案】答案不唯一，如－ 【解析】【解答】解：是分数，但不是正数的数有很多，如： . 故答案为：本题答案不唯一，如 . 【分析】开放性的命题，答案不唯一，此题就是写一个负分数. 10．【答案】0 【解析】【解答】解：在有理数中，既不是正数也不是负数的数是0． 【分析】有理数分为：正数，0，负数． 11．【答案】负整数　 【解析】【解答】解：9，10，7为正整数，﹣1，﹣5，﹣8为负整数， 所以把﹣1，9，10，﹣5，7，﹣8分为正整数和负整数． 故答案为：负整数． 【分析】根据整数的意义可知整数分为正整数，0，和负整数，据此可判断． 12．【答案】 （答案不唯一） 【解析】【解答】解： = = ， = = ， ∵ < < ∴这个分数是 ，也可化为其他分母，故答案不唯一. 故答案为： （答案不唯一）. 【分析】先将两个分数进行通分，然后，再找出一个符合条件的分数即可. 13．【答案】解：如图 【解析】【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，整数包括：正整数、0、负整数，分数包括：正分数、负分数可得结果. 14．【答案】解：由题意得， 正分数集合； 整数集合； 非正数集合. 有理数集合； 【解析】【分析】分别根据正分数、整数、非正数、有理数的定义进行判断即可求解. 15．【答案】（1）9 999，1 111 （2）解：根据题意a≤b≤c≤d，且四位“进步数”m的千位、个位上的数字分别是1、8， ∴这个“进步数”m如下： ①当b＝1时，c取1≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1118，1128，1138，1148，1158，1168，1178，1188； 其中，只有1188是9的倍数； ②当b＝2时，c取2≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1228，1238，1248，1258，1268，1278，1288； 其中，只有1278是9的倍数； ③当b＝3时，c取3≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1338，1348，1358，1368，1378，1388； 其中，只有1368是9的倍数； ④当b＝4时，c取4≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1448，1458，1468，1478，1488； 其中，只有1458是9的倍数； ⑤当b＝5时，c取5≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1558，1568，1578，1588； 其中，没有9的倍数； ⑥当b＝6时，c取6≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1668，1678，1688； 其中，没有9的倍数； ⑦当b＝7时，c取7≤c≤8中的整数，这个进步数可能是1778，1788； 其中，没有9的倍数； ⑧当b＝8时，c＝8，这个进步数可能是1888； 不是9的倍数； ∴这个四位正整数m是1188或1278或1368或1458 【解析】【解答】解：（1）根据题意a≤b≤c≤d， ∴四位正整数中，最大的“进步数”是9999，最小的“进步数”是1111， 故答案为：9999；1111； 【分析】（1）根据“进步数”的概念分析最大数和最小数； （2）根据“进步数”的概念和千位、个位上的数字分别是1、8，且m能被9整除，分情况分析求解 学科网（北京）股份有限公司 $$