第四章对数运算与对数函数单元测试卷-2025-2026学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第四章　对数运算与对数函数　单元检测卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合M={y|y=2x},P={x|y=log2x-1},则M∩P= (　　) A.(,+∞) B.(,1)∪(1,+∞) C.(,+∞) D.(,1)∪(1,+∞) 2.已知2x=3y=36,则+= (　　) A.2 B. C.1 D.-1 3.围棋棋盘共19行19列,361个交叉点,每个交叉点上可能出现黑、白、空三种情况,因此棋盘交叉点上共有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书‘万’字五十二”种,即10 00052.下列最接近的是(lg 3≈0.477) (　　) A.10-26 B.10-32 C.10-36 D.10-25 4.若函数f(x)=ax-k·a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的大致图象是 (　　) 　A　　　　　B　　　　　C　　　　D　　 5.已知函数y=loga(3-ax)在[0,1]上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(0,3) D.[3,+∞) 6.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f()=2,则不等式f(log4x)>2的解集为(　　) A.(0,)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(0,)∪(,+∞) D.(0,) 7.已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 8.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为>(a>b>0,m>0).若x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,则 (　　) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x1<x2 D.x3<x2<x1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若1<<,则下列结论中正确的是 (　　) A.logab>logba B.|logab+logba|>2 C.(logba)2<1 D.|logab|+|logba|>|logab+logba| 10.设函数f(x)=lox,下列四个命题正确的是 (　　) A.函数f(|x|)为偶函数 B.若f(a)=|f(b)|,且a>0,b>0,a≠b,则ab=1 C.函数f(-x2+2x)在(1,3)上单调递增 D.若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)| 11.若函数f(x)的定义域为R,且满足对任意的x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),则称f(x)为“V形函数”;若函数g(x)的定义域为R,g(x)恒大于0,且对任意的x1,x2∈R,有lg g(x1+x2)≤lg g(x1)+lg g(x2),则称g(x)为“对数V形函数”,则下列结论正确的是 (　　) A.当f(x)=2x时,f(x)为“V形函数” B.当f(x)=x2时,f(x)为“V形函数” C.当g(x)=x2+2时,g(x)是“对数V形函数” D.若f(x)是“V形函数”,且满足对任意的x∈R,有f(x)≥2,则f(x)为“对数V形函数” 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知正实数a满足aa=(9a)8a,则loga(3a)的值为　　　　. 13.已知函数f(x)=ln x和g(x)=ex的图象与函数y=-x+2的图象在第一象限内的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=　　　　. 14.函数f(x)满足ln x=,且x>e.函数f(x)的解析式为　　　　;若f(x1)+f(x2)=1,则f(x1x2)的最小值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知　　　　　　　　,a,b∈R. ①f(x)=ln(kx-10k+1)+过定点(a,b); ②f(x)=ax+b,f-1(x)=lg(x-); ③lg a,lg b是方程x2-x-=0的两个根. (1)从①②③中任选一个填入上述横线,并求(lg )2的值; (2)若对于(1)中所求结果,有logn(-x2+2)≤(lg)2恒成立,求n的取值范围. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)已知f(x)=(lox)2-2lox+4,x∈[2,4]. (1)设t=lox,x∈[2,4],求t的最大值与最小值; (2)求f(x)的值域. 17.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1). (1)求f(0),f(1); (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围. 18.(17分)已知函数g(x)=是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数. (1)求m+n的值; (2)设h(x)=f(x)+x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意的x≥1恒成立,求实数a的取值范围. 19.(17分)对于定义在区间[m，n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在[m，n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已知函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga(a＞0，a≠1). (1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围; (2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”. 第四章　对数运算与对数函数　单元检测卷　参考答案 1.D　集合M表示函数y=2x的值域,为(0,+∞);集合P表示函数y=log2x-1的定义域,由解得x>且x≠1,则P=(,1)∪(1,+∞).故M∩P=P,选D. 2.B　∵2x=3y=36,∴x=log236,y=log336,∴+=log362+log363=log366=. 3.C　根据题意lg 3≈0.477,对于,可得lg =lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈-35.8,则≈10-35.8,分析选项,可得C中10-36最接近.故选C. 4.B　∵函数f(x)=ax-k·a-x(a>0,且a≠1)在R上是奇函数,∴f(0)=0,即0=1-k,∴k=1. 又f(x)=ax-a-x在R上是增函数,∴a>1. 函数g(x)=loga(x+1)的图象可看作是函数y=logax的图象向左平移一个单位长度得到的,故函数g(x)=loga(x+1)(a>1)在定义域上是增函数,图象恒过点(0,0),只有B选项中的图象符合. 5.B　记u=3-ax,当0<a<1时,u=3-ax是减函数,y=logau是减函数,所以y=loga(3-ax)在[0,1]上单调递增,不满足题意;当a>1时,u=3-ax是减函数,y=logau是增函数,所以y=loga(3-ax)在[0,1]上单调递减,又3-ax在区间[0,1]上恒大于0,所以3-a>0,a<3,所以1<a<3. 6.A　由题意知,f(log4x)>2,即f(log4x)>f(),又偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴log4x>=log42或log4x<-=log4,∴x>2或0<x<,故不等式的解集为(0,)∪(2,+∞). 7.A　因为()5=84>55,所以>5,所以=log8>log85=b,即b<.因为(1)5=134<85,所以1<8,所以=log131<log138=c,即c>.又2 187=37<55=3 125,所以lg 37<lg 55,所以7lg 3<5lg 5,所以<,所以a=<<,而85<57,所以5lg 8<7lg 5,所以>,所以b=>,所以c>b>a. 8.B　因为x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,所以x1=,x2==,x3=,根据题意,当a>b>0,m>0时,>成立,又lg 3>lg 2>0,lg 5>0,所以>,>,即x2>x1,x3>x1.又x2-x3=-=>0,所以x2>x3,所以x1<x3<x2,故选B. 9.ABC　∵1<<,∴0<b<a<1, 则logab>1,0<logba<1,∴logab>logba,故A正确; 易知logab·logba=1,由基本不等式得,logab+logba>2=2,故B正确; 由上述分析可知,0<(logba)2<1,|logab|+|logba|=|logab+logba|,故C正确,D错误. 10.ABD　由题知,f(x)=x,x>0,函数f(|x|)=|x|,∵f(|-x|)=f(|x|),∴f(|x|)为偶函数,A正确; 若f(a)=|f(b)|,且a>0,b>0,a≠b,则f(a)=|f(b)|=-f(b),∴a+b=(ab)=0,∴ab=1,因此B正确; 函数f(-x2+2x)=(-x2+2x),由-x2+2x>0,解得0<x<2, ∴函数的定义域为(0,2),因此在(1,3)上不具有单调性,C不正确; 若0<a<1,则2>1+a>1>1-a>0,∴f(1+a)<0<f(1-a),故|f(1+a)|-|f(1-a)|=-f(1+a)-f(1-a)=-lo(1-a2)<0,即|f(1+a)|<|f(1-a)|,因此D正确. 11.CD　对于A,f(x1+x2)=,f(x1)+f(x2)=+≥,当且仅当x1=x2时取等号,显然f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)不一定成立,故A错误. 对于B,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2-(+)=2x1x2, ∵x1,x2∈R,∴2x1x2>0可能成立,f(x)不是“V形函数”,故B错误. 对于C,若要使对任意的x1,x2∈R,有lg g(x1+x2)≤lg g(x1)+lg g(x2), 只需使lg g(x1+x2)-lg g(x1)-lg g(x2)=lg[(x1+x2)2+2]-lg(+2)-lg(+2)≤0,即(x1+x2)2+2≤(+2)(+2), 即+(x1-x2)2+2≥0,显然成立,∴g(x)是“对数V形函数”,故C正确. 对于D,f(x)是“对数V形函数”,证明如下. ∵f(x)是“V形函数”,∴对任意的x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2). ∵对任意的x∈R,有f(x)≥2,∴f(x1)≥2,f(x2)≥2,则0<+≤1,∴0<f(x1)+f(x2)≤f(x1)f(x2), ∴2≤f(x1+x2)≤f(x1)f(x2),∴lg f(x1+x2)≤lg f(x1)+lg f(x2),∴f(x)是“对数V形函数”,故D正确. 12.　由正实数a满足aa=(9a)8a,得alogaa=8aloga(9a),∴1=8(loga9+1),∴loga9=-,∴loga3=-. 则loga(3a)=1+loga3=1-=. 13.2　函数f(x)=ln x和g(x)=ex互为反函数,图象关于直线y=x对称,它们的图象与y=-x+2的图象在第一象限内的交点M,N也关于直线y=x对称,由得x=1,所以=1,所以x1+x2=2. 14.f(x)=　　∵ln x=,∴ln x-ln x·f(x)-1-f(x)=0,∴f(x)=. ∵f(x1)+f(x2)=1, ∴+===1, ∴ln x1ln x2=ln(x1x2)+3. ∵x1,x2均大于e,∴ln x1,ln x2均大于1, ∴ln x1ln x2=ln(x1x2)+3≤()2=(当且仅当ln x1=ln x2时等号成立), ∴[ln(x1x2)]2-4ln(x1x2)-12≥0,∴ln(x1x2)≤-2(舍去)或ln(x1x2)≥6,∴ln(x1x2)≥6. ∴f(x1x2)==1-≥1-=(当且仅当即x1=x2=e3时等号成立). 15.(1)选①. f(x)=ln[k(x-10)+1]+,则f(x)过定点(10,),即a=10,b=,∴(lg)2=4. 选②. f(x)=ax+b,则f-1(x)=loga(x-b),又f-1(x)=lg(x-),∴a=10,b=,∴(lg)2=4. 选③. 由根与系数的关系可知,lg a+lg b=,lg a·lg b=-, 故(lg)2=(lg a+lg b)2-4lg a×lg b=2+4×=4. (2)易知logn(-x2+2)≤4恒成立. 若0<n<1,logn(-x2+2)∈[logn2,+∞),显然不成立. 若n>1,logn(-x2+2)≤logn2,则logn2≤4,即n4≥2,解得n≥. 综上,n∈[,+∞). 16.(1)因为函数t=lox在[2,4]上单调递减,所以tmax=lo2=-1,tmin=lo4=-2. (2)令t=lox,x∈[2,4],由(1)得t∈[-2,-1],则f(x)可转化为g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,t∈[-2,-1].因此当t=-2,即x=4时,f(x)max=g(t)max=12; 当t=-1,即x=2时,f(x)min=g(t)min=7. 故函数f(x)的值域为[7,12]. 17.(1)由题意知f(0)=lo1=0, f(1)=f(-1)=lo2=-1. (2)令x>0,则-x<0, ∴f(-x)=lo(x+1)=f(x),∴当x>0时,f(x)=lo(x+1). ∴f(x)= (3)易知f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又f(a-1)<-1=f(1), ∴|a-1|>1, ∴a>2或a<0. 故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 18.(1)∵g(x)是奇函数,且定义域为R,∴g(0)=0, 即=0,解得n=1. ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), 即log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x=log4(4x+1)+mx,∴(2m+1)x=0. 又x∈R,∴2m+1=0,即m=-.∴m+n=. (2)∵h(x)=f(x)+x=log4(4x+1), ∴h[log4(2a+1)]=log4(2a+2), 又g(x)==2x-2-x在区间[1,+∞)上单调递增, ∴当x≥1时,g(x)min=g(1)=. 由题意得>log4(2a+2),即2a+2<,解得a<3, 又2a+1>0,∴a>-,∴-<a<3. 故实数a的取值范围是{a|-<a<3}. 19.(1)f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义， 则必须满足，解得a＜1，又a＞0且a≠1， 所以a的取值范围为(0，1). (2)假设存在实数a，使得f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|≤1， 即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1， 因为a∈(0，1)，则2a∈(0，2)，a+2＞2，所以[a+2，a+3]在x=2a的右侧， 由复合函数的单调性可得y=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2，a+3]上为减函数， 从而当x=a+2时，ymax=loga(4-4a)，当x=a+3时，ymin=loga(9-6a)， 所以，即，解得0＜a≤， 所以当0＜a≤时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“友好”的; 当 ＜a＜1时，f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是“不友好”的. 学科网（北京）股份有限公司 $$