高教版《一课一练》第12练-含绝对值的不等式 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第12练，内容是第二章不等式2.4 含绝对值的不等式。 高教版《数学》基础模块上册 第12练 第二章 不等式 2.4 含绝对值的不等式 一课一练 一、选择题 1．不等式∣2x−3∣<5的解集是（　　） A.(−1,4) B.(−5,5) C.(−∞,−1)∪(4,+∞) D.无解 【答案】A 【分析】直接解绝对值不等式。 【详解】转化绝对值不等式：对于绝对值不等式∣2x−3∣<5，根据绝对值的性质：当b>0时，∣a∣<b等价于−b<a<b。因此可转化为：−5 < 2x−3 < 5 。 求解不等式组：对不等式−5<2x−3<5的三边同时加3，不等号方向不变： −5+3<2x<5+3 ⟹− 2<2x<8。再对三边同时除以2，不等号方向不变：−1<x<4 。 确定解集的区间表示：不等式−1<x<4表示x的取值范围是大于−1且小于4，不包含端点−1和4，对应的区间为(−1,4)。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 2．不等式∣x∣+∣x−1∣<3的解集是（　　） A.(−1,2) B.(−∞,−1)∪(2,+∞) C.(−2,1) D.(1,2) 【答案】A 【分析】解集表示型（多绝对值项的解集）求解。 【详解】确定绝对值的零点：不等式含两个绝对值∣x∣和∣x−1∣，零点分别为x=0和x=1。这两个零点将实数轴分为三个区间：x<0，0≤x<1，x≥1。 分区间讨论不等式： 区间 1：x<0 此时∣x∣=−x，∣x−1∣=−(x−1)=−x+1，原不等式化为： −x+(−x+1)<3⟹− 2x+1<3⟹− 2x<2⟹ x>−1。结合区间条件x<0，解集为−1<x<0。 区间 2：0≤x<1 此时∣x∣=x，∣x−1∣=−x+1，原不等式化为： x+(−x+1)<3⟹ 1<3。该不等式恒成立，结合区间条件，解集为0≤x<1。 区间 3：x≥1 此时∣x∣=x，∣x−1∣=x−1，原不等式化为： x+(x−1)<3⟹ 2x−1<3⟹ 2x<4⟹ x<2。结合区间条件x≥1，解集为1≤x<2。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 3．某药物浓度要求在20±5mg/L范围内，正确的不等式表示是（　　）​ A.∣x−20∣≤5​ B.∣x∣≤25 C.∣x−5∣≤20 D.∣x∣≥15 【答案】A 【分析】含绝对值的不等式实际应用型（温度范围建模）求解。 【详解】明确浓度范围的实际意义：药物浓度要求“20±5mg/L”，表示浓度x的最小值为20−5=15mg/L，最大值为20+5=25mg/L，即x的取值范围是15≤x≤25。 转化为绝对值不等式：对于范围a−b≤x≤a+b（包含端点），对应的绝对值不等式为 ∣x−a∣≤b（其中a为中心值，b为误差范围）。本题中中心值a=20，误差范围b=5，因此对应的绝对值不等式为∣x−20∣≤5，其解集为15≤x≤25，完全匹配“20±5”的范围。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．不等式∣x∣<2x+1的解集是（　　） A.x>1​ B.x<−1 C.x>− D.无解 【答案】C 【分析】变形讨论型（分情况解含绝对值的不等式）求解。 【详解】确定不等式成立的前提条件：绝对值∣x∣≥0，因此不等式∣x∣<2x+1成立的必要条件是右边2x+1>0（否则非负数不可能小于非正数），即：2x+1>0⟹ x>− 。 分情况去掉绝对值符号求解： 情况 1：x≥0 此时∣x∣=x，不等式化为：x<2x+1⟹ −x<1⟹ x>−1。结合前提x≥0和x>−， 解集为x≥0 。 情况 2：−<x<0 此时∣x∣=−x，不等式化为：−x<2x+1⟹ −3x<1⟹ x>−。结合前提−<x<0，解集为−<x<0。 合并解集：两种情况的解集合并后为x>− 。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 5．表达式∣x−1∣+∣x+2∣的最小值是（　　） A.1 B.2​ C.3 D.4 【答案】C 【分析】几何意义型（绝对值的最小值）求解。 【详解】明确绝对值的几何意义：∣x−1∣表示数轴上点x到点1的距离， ∣x+2∣=∣x−(−2)∣表示数轴上点x到点−2的距离。因此表达式∣x−1∣+∣x+2∣的意义是“点x到点1和点−2的距离之和”。 分析点x的位置与距离和的关系：点1和点−2在数轴上的位置固定，两点之间的距离为： 1−(−2)=3。当点x在点−2和点1之间（即−2≤x≤1）时，点x到−2的距离与到1的距离之和恰好等于两点之间的距离（3），此时距离和为定值3。当点x在点−2左侧（x<−2）或点1右侧（x>1）时，距离和会大于两点之间的距离（例如：x=−3时，距离和为 ∣−3−1∣+∣−3+2∣=4+1=5>3；x=2时，距离和为∣2−1∣+∣2+2∣=1+4=5>3）。 确定最小值：综上，当点x在−2和1之间时，距离和取得最小值3。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 6．不等式||≤3的解集是（　　） A.[−,] B.[−,−2)∪(−2,-] C.(−∞,−)∪(-,+∞) D.[−2,] 【答案】C 【分析】分式型（绝对值与分式结合）求解。 【详解】转化绝对值不等式：不等式||≤3等价于−3≤≤3，且分母不为 0（即x+2≠0 ⟹ x≠−2）。 解右边不等式 ≤3：移项通分得：−3≤0⟹ ≤0⟹ ≤0⟹ ≥0。该分式不等式等价于(2x+7)(x+2)≥0且x≠−2，解得：x≤−或x>−2。 解左边不等式 ≥−3：移项通分得：+3≥0⟹ ≥0⟹ ≥0。该分式不等式等价于(4x+5)(x+2)≥0且x≠−2，解得：x<−2或x≥−。 求交集并排除无效点：结合两步解集，取交集得：x≤−（满足x≤−且x<−2）；x≥−（满足x>−2且x≥−）。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．不等式∣3x−6∣≤9的解集是 。 【答案】[−1,5] 【分析】直接解绝对值不等式。 【详解】转化绝对值不等式：原不等式为∣3x−6∣≤9，根据绝对值不等式的性质（B=9>0），可转化为：−9≤3x−6≤9。 求解不等式组：解左边不等式：−9≤3x−6，两边同时加6得：−3≤3x，两边再除以3（正数，不等号方向不变）得：−1≤x。解右边不等式：3x−6≤9，两边同时加6得：3x≤15，两边再除以3得：x≤5。综合两边结果，不等式组的解集为−1≤x≤5。 确定解集的区间表示：解集−1≤x≤5包含端点−1和5，对应的区间为[−1,5]. 故答案：[−1,5]. 8．若不等式∣ax+2∣<4的解集为(−1,3)，则实数a的值为 。 【答案】2 【分析】参数逆向型（含参数的绝对值不等式）求解。 【详解】转化绝对值不等式：原不等式为∣ax+2∣<4，根据绝对值不等式的性质“∣A∣<B（B>0）等价于−B<A<B”，可转化为：−4<ax+2<4。 化简不等式：两边同时减去2，得：−6<ax<2。 结合解集分析参数a的取值：已知不等式的解集为(−1,3)，即−1<x<3。需分情况讨论a的符号（因不等式两边除以a时，不等号方向需根据a的正负判断）： 若a>0，不等式−6<ax<2两边除以a得−<x<，此时解集应为(−,)。对比已知解集(−1,3)，需满足−=−1且=3，但两式解得a=6和a=，矛盾，故a>0不成立。 若a<0，不等式−6<ax<2两边除以a（不等号方向改变）得>x>，即<x<。此时解集应为(,)，对比已知解集(−1,3)，需满足：=−1且=3。 解第一个方程：=−1⟹ a=−2；验证第二个方程： =3，完全成立. 故答案：2. 三、解答题 9．解不等式∣x−2∣+∣x+1∣>5。 【答案】(−∞,−2)∪(3,+∞)。 【分析】解集表示型（多绝对值项的解集）求解。 【详解】确定绝对值的零点：不等式含两个绝对值∣x−2∣和∣x+1∣，零点分别为x=2和x=−1。这两个零点将实数轴分为三个区间：x<−1，−1≤x≤2，x>2。 分区间讨论不等式： 区间 1：x<−1 此时x−2<0，x+1<0，绝对值去掉后变号：∣x−2∣=−x+2，∣x+1∣=−x−1。原不等式化为：(−x+2)+(−x−1)>5⟹ −2x+1>5⟹ −2x>4⟹ x<−2。结合区间条件x<−1，解集为x<−2。 区间 2：−1≤x≤2 此时x+1≥0，x−2≤0，绝对值去掉后：∣x+1∣=x+1，∣x−2∣=−x+2。原不等式化为： (−x+2)+(x+1)>5⟹ 3>5。该不等式恒不成立，因此此区间无解集。 区间 3：x>2 此时x−2>0，x+1>0，绝对值去掉后不变号：∣x−2∣=x−2，∣x+1∣=x+1。原不等式化为：(x−2)+(x+1)>5⟹ 2x−1>5⟹ 2x>6⟹ x>3。结合区间条件x>2，解集为x>3。 合并解集：三个区间的解集合并后为x<−2或x>3，对应的区间为(−∞,−2)∪(3,+∞)。 故答案：(−∞,−2)∪(3,+∞). 10．已知不等式∣ax−4∣<2的解集为(1,3)，求实数a的值。 【答案】实数a的值为2。 【分析】参数逆向型（含参数的绝对值不等式）求解。 【详解】转化绝对值不等式：原不等式为∣ax−4∣<2，根据绝对值不等式的性质（B=2>0），可转化为：−2<ax−4<2 。 化简不等式组：两边同时加4，得：2<ax<6 。 结合解集分析a的取值：已知不等式的解集为(1,3)，即1<x<3。需分a>0、a<0、a=0三种情况讨论： 当a=0时：不等式化为∣0−4∣<2，即4<2，显然不成立，解集为空集，与已知解集(1,3)矛盾，故a≠0。 当a>0时：不等式2<ax<6两边除以a（不等号方向不变），得：<x<。已知解集为(1,3)，因此需满足：=1且=3。解第一个方程得a=2，代入第二个方程验证：=3，完全成立，故a=2是可能解。 当a<0时：不等式2<ax<6两边除以a（不等号方向改变），得：<x<。已知解集为(1,3)，因此需满足：=1且=3。解第一个方程得a=6（与a<0矛盾），解第二个方程得a=（同样矛盾），故a<0不成立。 验证结果：当a=2时，原不等式为∣2x−4∣<2，转化为−2<2x−4<2，解得1<x<3，与已知解集完全一致，验证成立。 故答案：实数a的值为2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第12练，内容是第二章不等式2.4 含绝对值的不等式。 高教版《数学》基础模块上册 第12练 第二章 不等式 2.4 含绝对值的不等式 一课一练 1、 选择题 1．不等式∣2x−3∣<5的解集是（　　） A.(−1,4) B.(−5,5) C.(−∞,−1)∪(4,+∞) D.无解 2．不等式∣x∣+∣x−1∣<3的解集是（　　） A.(−1,2) B.(−∞,−1)∪(2,+∞) C.(−2,1) D.(1,2) 3．某药物浓度要求在20±5mg/L范围内，正确的不等式表示是（　　）​ A.∣x−20∣≤5​ B.∣x∣≤25 C.∣x−5∣≤20 D.∣x∣≥15 4．不等式∣x∣<2x+1的解集是（　　） A.x>1​ B.x<−1 C.x>− D.无解 5．表达式∣x−1∣+∣x+2∣的最小值是（　　） A.1 B.2​ C.3 D.4 6．不等式||≤3的解集是（　　） A.[−,] B.[−,−2)∪(−2,] C.(−∞,−2)∪(,+∞) D.[−2,] 2、 填空题 7．不等式∣3x−6∣≤9的解集是 。 8．若不等式∣ax+2∣<4的解集为(−1,3)，则实数a的值为 。 3、 解答题 9．解不等式∣x−2∣+∣x+1∣>5。 10．已知不等式∣ax−4∣<2的解集为(1,3)，求实数a的值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$