高教版《一课一练》第11练-一元二次不等式 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第11练，内容是第二章不等式2.3 一元二次不等式。 高教版《数学》基础模块上册 第11练 第二章 不等式 2.3 一元二次不等式 一课一练 1、 选择题 1．不等式x2−5x+6<0的解集是（　　） A.(−∞,2)∪(3,+∞) B.(2,3) C.(−∞,2]∪[3,+∞) D.[2,3] 2．不等式2x2−3x−2>0的解集是（　　） A.(−,2) B.(−∞,−]∪[2,+∞) C.(−∞,−)∪(2,+∞) D.[−,2] 3．二次函数y=x2−4x+3的图像在x轴下方时，x的取值范围是（　　）​ A.(−∞,1)∪(3,+∞)​ B.(1,3) C.(−∞,1]∪[3,+∞) D.[1,3] 4．一个长方形的长比宽多2cm，面积不超过24cm²，设宽为xcm，则x的取值范围对应的不等式解集是（　　） A.(0,4] B.(−6,4] C.(0,6] D.[4,6) 5．若不等式mx2+3x+2>0是一元二次不等式，则m的取值范围是（　　） A.m≠0 B.m>0​ C.m<0 D.m≥0 6．若不等式x2+bx+c<0的解集是(2,5)，则b+c的值为（　　） A.7 B.-7 C.3 D.-3 2、 填空题 7．解不等式x2−3x−10<0，解集为 。 8．若不等式ax2+4x+a>0对所有实数x成立，则a的取值范围是 。 3、 解答题 9．解不等式 ≥ 1 。 10．某商店销售商品，进价为每件40元，售价60元时每周可卖300件。每涨价1元，销量减少10件。求售价x元时，每周利润不低于6240元的取值范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第11练，内容是第二章不等式2.3 一元二次不等式。 高教版《数学》基础模块上册 第11练 第二章 不等式 2.3 一元二次不等式 一课一练 一、选择题 1．不等式x2−5x+6<0的解集是（　　） A.(−∞,2)∪(3,+∞) B.(2,3) C.(−∞,2]∪[3,+∞) D.[2,3] 【答案】B 【分析】因式分解法解一元二次不等式。 【详解】对不等式左边进行因式分解：不等式为x2−5x+6<0，左边是二次三项式，因式分解得：x2−5x+6=(x−2)(x−3)；因此不等式可转化为(x−2)(x−3)<0。 分析二次函数的符号规律：令y=(x−2)(x−3)，这是一个开口向上的二次函数（二次项系数为正），其零点为x=2和x=3。当x<2时，(x−2)<0且(x−3)<0，乘积为正（y>0）；当2<x<3时，(x−2)>0且(x−3)<0，乘积为负（y<0）；当x>3时，(x−2)>0且(x−3)>0，乘积为正（y>0）。因此，不等式(x−2)(x−3)<0的解集为2<x<3。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 2．不等式2x2−3x−2>0的解集是（　　） A.(−,2) B.(−∞,−]∪[2,+∞) C.(−∞,−)∪(2,+∞) D.[−,2] 【答案】C 【分析】求根公式法解一元二次不等式。 【详解】对不等式左边进行因式分解或求零点：不等式为2x2−3x−2>0，左边是二次三项式。通过因式分解：尝试十字相乘法，将2x2拆分为2x⋅x，常数项−2拆分为1⋅(−2)，验证得：2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)；因此不等式可转化为(2x+1)(x−2)>0。 确定二次函数的零点和开口方向：令y=(2x+1)(x−2)，这是一个二次函数，二次项系数为2>0，因此抛物线开口向上。令y=0，解得零点为：2x+1=0，x=-；x-2=0,x=2。 分析不等式的解集：对于开口向上的二次函数y=(2x+1)(x−2)：当x<-时，2x+1<0且x−2<0，乘积为正（y>0）；当-<x<2时，2x+1>0且x−2<0，乘积为负（y<0）；当x>2时，2x+1>0且x−2>0，乘积为正（y>0）。因此，不等式(2x+1)(x−2)>0的解集为x<-或x>2。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 3．二次函数y=x2−4x+3的图像在x轴下方时，x的取值范围是（　　）​ A.(−∞,1)∪(3,+∞)​ B.(1,3) C.(−∞,1]∪[3,+∞) D.[1,3] 【答案】B 【分析】通过二次函数图像与一元二次不等式关系判断。 【详解】求二次函数的零点：二次函数为y=x2−4x+3，令y=0，解方程x2−4x+3=0。因式分解得：(x−1)(x−3)=0，因此零点为x=1和x=3。 分析二次函数的开口方向：二次项系数为1>0，因此抛物线开口向上，图像呈“U”形。 确定图像在x轴下方的区间：对于开口向上的抛物线，图像在x轴下方的部分位于两个零点之间（即零点左侧和右侧图像在x轴上方，中间部分在下方）。因此，当1<x<3时，函数值y<0，图像在x轴下方。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 4．一个长方形的长比宽多2cm，面积不超过24cm²，设宽为xcm，则x的取值范围对应的不等式解集是（　　） A.(0,4] B.(−6,4] C.(0,6] D.[4,6) 【答案】A 【分析】一元二次不等式实际应用题（面积问题）求解。 【详解】确定长方形的长和面积表达式：设宽为xcm，已知长比宽多2cm，则长为(x+2)cm。长方形面积公式为“长×宽”，因此面积可表示为x(x+2)cm2。 根据面积限制列不等式：题目要求面积“不超过24cm2”，即面积≤24，因此列不等式：x(x+2)≤24；整理得：x2+2x−24≤0。 求解一元二次不等式：对不等式左边因式分解：x2+2x−24=(x+6)(x−4)≤0；二次函数y=(x+6)(x−4)开口向上（二次项系数为正），零点为x=−6和x=4。不等式(x+6)(x−4)≤0的解集为−6≤x≤4。 结合实际意义确定取值范围：长方形的宽x必须为正数（长度不能为负或零），因此x>0。 结合不等式解集−6≤x≤4，实际取值范围为0<x≤4，对应区间(0,4]。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 5．若不等式mx2+3x+2>0是一元二次不等式，则m的取值范围是（　　） A.m≠0 B.m>0​ C.m<0 D.m≥0 【答案】A 【分析】含参数的一元二次不等式类型判断。 【详解】明确一元二次不等式的定义要求：对于不等式mx2+3x+2>0，要使其为一元二次不等式，需满足两个核心条件：只含有一个未知数（本题中未知数为x，满足条件）；未知数的最高次数是2，且二次项系数不能为0（若二次项系数为0，则不等式变为一次不等式）。分析二次项系数的取值：不等式中二次项为mx2，其系数为m。若m=0，则不等式化简为3x+2>0，这是一元一次不等式，不符合“一元二次不等式”的定义；若m≠0，则二次项存在，未知数最高次数为2，满足一元二次不等式的定义。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 6．若不等式x2+bx+c<0的解集是(2,5)，则b+c的值为（　　） A.7 B.-7 C.3 D.-3 【答案】C 【分析】解集逆问题（参数关系）求解。 【详解】明确不等式与方程的关系：已知不等式x2+bx+c<0的解集是(2,5)，说明二次函数y=x2+bx+c的图像开口向上（二次项系数为正），且与x轴的交点为x=2和x=5。因此，对应二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=2和x2=5。 利用韦达定理求b和c：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若两根为x1和x2，则韦达定理为：x1+x2=−，x1⋅x2= ；本题中方程为x2+bx+c=0，a=1，两根x1=2，x2=5，代入得：两根之和：2+5=−⟹ 7=−b⟹ b=−7；两根之积：2×5= ⟹ c=10。 计算b+c的值：将b=−7，c=10代入得：b+c=−7+10=3。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．解不等式x2−3x−10<0，解集为 。 【答案】(−2,5) 【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式。 【详解】对不等式左边进行因式分解：不等式为x2−3x−10<0，左边是二次三项式，因式分解得：x2−3x−10=(x−5)(x+2)；因此不等式可转化为(x−5)(x+2)<0。 确定二次函数的零点和开口方向：令y=(x−5)(x+2)，这是一个开口向上的二次函数（二次项系数为正），其零点为x=−2和x=5（即函数图像与x轴的交点）。 分析不等式的解集：对于开口向上的二次函数，图像在x轴下方的部分位于两个零点之间（零点左侧和右侧图像在x轴上方，中间部分在下方）。因此：当−2<x<5时，(x−5)(x+2)<0，满足不等式条件。 确定解集的区间表示：不等式x2−3x−10<0的解集为−2<x<5，对应的区间为(−2,5). 故答案：(−2,5). 8．若不等式ax2+4x+a>0对所有实数x成立，则a的取值范围是 。 【答案】(2,+∞) 【分析】通过参数讨论（恒成立条件）求解。 【详解】分析不等式类型：不等式ax2+4x+a>0对所有实数x成立，需分两种情况讨论：若a=0，不等式化为4x>0，即x>0，显然不能对所有实数x成立（如x=−1时不成立），因此a≠0。若a≠0，不等式为一元二次不等式，需结合二次函数y=ax2+4x+a的图像分析。 确定二次函数的开口方向：要使二次函数y=ax2+4x+a的值对所有x都大于0，抛物线必须开口向上，即二次项系数a>0（若开口向下，函数值最终会趋向负无穷，无法恒正）。 确保二次函数与x轴无交点：二次函数与x轴无交点时，对应的一元二次方程ax2+4x+a=0无实数根，即判别式Δ<0。判别式公式为Δ=b2−4ac，其中a为二次项系数，b=4，c=a，因此：Δ=42−4⋅a⋅a=16−4a2<0解不等式：16−4a2<0⟹ 4a2>16⟹ a2>4⟹ a>2或a<−2。 结合开口方向确定a的范围：由步骤2可知a>0，结合步骤3的结果a>2或a<−2，取交集得a>2. 故答案：(2,+∞). 三、解答题 9．解不等式 ≥ 1 【答案】不等式的解集为x<−3或x≥4，对应的区间为(−∞,−3)∪[4,+∞)。 【分析】通过分式不等式化为一元二次不等式求解。 【详解】移项化为标准形式：原不等式为≥1，首先移项使右边为0，便于通分：−1≥0。 通分合并分子：通分后分子为(2x−1)−(x+3)，分母保持不变：≥0⟹ ≥0⟹ ≥0。 转化为整式不等式组：分式不等式≥0等价于分子分母同号（且分子可以为0，但分母不能为0），即：(x−4)(x+3)≥0；x+3≠0。 求解整式不等式：解(x−4)(x+3)≥0：二次函数开口向上，零点为x=−3和x=4，因此解集为x≤−3或x≥4。结合分母不为0的条件x+3≠0⟹ x≠−3，排除x=−3。 确定最终解集：综合上述条件，不等式的解集为x<−3或x≥4，对应的区间为(−∞,−3)∪[4,+∞)。 故答案：不等式的解集为x<−3或x≥4，对应的区间为(−∞,−3)∪[4,+∞). 10．某商店销售商品，进价为每件40元，售价60元时每周可卖300件。每涨价1元，销量减少10件。求售价x元时，每周利润不低于6240元的取值范围。 【答案】售价x的取值范围是[64,66]。 【分析】实际应用型问题（利润问题转化为一元二次不等式）求解。 【详解】确定单件利润和销量的表达式：设售价为x元，进价为40元，则单件利润为(x−40)元。原售价60元时销量为300件，每涨价1元销量减少10件，因此售价为x元时，涨价金额为(x−60)元，销量减少10(x−60)件。销量表达式为：300−10(x−60)=300−10x+600=900−10x（件）。 根据利润条件列不等式：每周利润=单件利润×销量，要求利润“不低于6240元”，即利润≥6240，因此：(x−40)(900−10x)≥6240。 化简并求解一元二次不等式：整理不等式：(x−40)(900−10x)≥6240；−10(x−40)(x−90)≥6240（提取-10）；(x−40)(x−90)≤−624（两边除以-10，不等号变向）；x2−130x+3600≤−624；x2−130x+4224≤0。 因式分解或求根：解方程x2−130x+4224=0，判别式Δ=1302−4×1×4224=16900−16896=4，根为：x=⟹ x1=64,x2=66。二次函数y=x2−130x+4224开口向上，因此不等式x2−130x+4224≤0的解集为64≤x≤66。结合实际意义验证范围：售价需大于进价（x>40），且销量不能为负：900−10x≥0⟹ x≤90。解集64≤x≤66在实际范围内，有效。因此，售价x的取值范围是[64,66]。 故答案：售价x的取值范围是[64,66]. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$