6．电势差与电场强度的关系-【金版教程】2025-2026学年高中物理必修第三册创新导学案全书Word（教科版2019）

物理 必修 第三册(教科) 6．电势差与电场强度的关系 1．理解匀强电场中电势差与电场强度的关系E＝，并能进行相关计算。2.理解“等势面越密的地方场强越大”。 一　匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．关系式：E＝(注：公式中d是匀强电场中A、B两点沿电场线方向的距离)。 2．在匀强电场中，两点间的电势差等于场强与这两点间沿电场线方向的距离的乘积；场强的大小在数值上等于沿场强方向单位距离上的电势差。 3．适用条件：匀强电场。 4．由于1 V×1 C＝1 J＝1 N×1 m，所以1__V/m＝1__N/C，即这两个场强的单位是相同的。 二　等势面的疏密与电场强度大小的关系 等势面越密的地方场强越大。 判一判 (1)公式UAB＝Ed适用于任何电场。(　　) (2)在电场中相同距离的两点，电势差大的其电场强度也必定大。(　　) (3)在匀强电场中，沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等。(　　) (4)电势降落的方向必定是电场强度的方向。(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究　匀强电场中电势差与电场强度的关系 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：图甲中，沿电场线方向有A、B两点，距离为d，电势差为UAB，电荷＋q从A运动至B，电场力所做的功从力和位移的角度怎么计算？ 提示：电场为匀强电场，电场力为恒力F＝qE，方向水平向右，力、位移方向一致，WAB＝Fl＝qEd。 活动2：从功能关系的角度怎么计算图甲中电荷＋q从A运动至B电场力所做的功？ 提示：电场力做功WAB＝EpA－EpB＝qUAB。 活动3：综合活动1和活动2能得到什么结论？ 提示：从A至B电场力所做的功是确定的，故有qUAB＝qEd，从而得到UAB＝Ed。 活动4：如图乙所示，若A、B不在同一条电场线上，还能得出活动3的结论吗？ 提示：WAB＝Flcosα，α为AB与电场线方向的夹角，由于lcosα＝d，故WAB＝qEd。又因为WAB＝qUAB，故有qUAB＝qEd，从而得到UAB＝Ed。 1．E＝的理解 (1)大小关系：匀强电场的电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。 (2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 (3)物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢。 2．E＝的两个重要推论 在匀强电场中由于U＝Ed，则在沿电场线方向上，U∝d，可以得出以下两个推论。 推论1：匀强电场中沿任一方向上电势随距离均匀变化，对任一线段AB的中点C的电势均满足φC＝，如图甲所示。 推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。 如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷，由a点移到b点和由a点移到c点电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，求： (1)a、b两点的电势差Uab； (2)匀强电场的场强大小和方向。 (1)如何求电势差？ 提示：电势差可由U＝求得。 (2)如何求E的大小及方向？ 提示：借助电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，可求得E的方向；由E＝可求得E的大小。 [规范解答]　(1)Uab＝＝ V＝60 V。 (2)因为正电荷q从a到b和从a到c电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，场强方向与bc边垂直且由a指向c。 由U＝Ed可得， E＝＝＝ V/m＝375 V/m。 [答案]　(1)60 V (2)375 V/m　方向与bc边垂直且由a指向c 1．电场中两点间电势差的求法 (1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解。 (2)应用关系式UAB＝来求解。 (3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。 2．电场强度E的三种计算方式 区别 公式 物理含义 引入过程 适用范围 说明 E＝ 电场强度的定义式 F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质 适用于一切电场 q为检验电荷的电荷量 E＝k 真空中静止点电荷场强的决定式　　 由E＝和库仑定律导出 在真空中，场源电荷Q是静止点电荷　 Q为场源电荷的电荷量　　 E＝ 匀强电场中电场强度与电势差的关系式 由F＝qE、W＝Fd和W＝qU导出 匀强电场 d为沿电场方向的距离　　 　如图所示，以O点为圆心、以R＝0.20 m为半径的圆与坐标轴的交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V、4 V、－4 V，则下列说法正确的是(　　) A．该匀强电场的场强E＝40 V/m B．该匀强电场的场强E＝80 V/m C．d点的电势为－2 V D．d点的电势为－4 V 答案　D 解析　由题意可知Uac＝φa－φc＝8 V，由几何关系可得dac＝2Rsin60°＝0.2 m，所以该匀强电场的场强E＝＝40 V/m，A、B错误；而dbd＝2Rsin30°＝0.20 m，所以Ubd＝Edbd＝8 V，又Ubd＝φb－φd，故d点的电势为－4 V，C错误，D正确。 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m (1)此题要用什么方法来计算电场强度？ 提示：坐标涉及距离，电势涉及电势差，此题用E＝来计算电场强度。 (2)怎么找出公式E＝中的U和d? 提示：电势3 V是6 V的一半，于是可以联想到推论：φC＝。坐标(3，0)与坐标(0，)两点的连线为等势线，与O点的电势差U为3 V，作该等势线的垂线就可找到d。 [规范解答]　在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此BC为等势面，O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m。根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故A正确，B、C、D错误。 [答案]　A 用“等分法”求电势 (1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落(或升高)都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势的方法，叫等分法。 (2)若已知电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。 　为了测定某平行于纸面的匀强电场的场强，某同学进行了如下操作：取电场内某一位置为坐标原点O建立x轴，x轴上的P点与O点距离为r，以O为圆心、r为半径作圆，如图甲所示，从P点起沿圆周逆时针测量圆上各点的电势φ和转过的角度θ，可以用此数据绘制φ­θ图，当半径r分别取r0、2r0、3r0时，分别绘制出如图乙中所示的三条曲线，三条曲线均在θ＝θ0时达到最大值，最大值分别为4φ0、3φ0、2φ0，下列说法正确的是(　　) A．曲线①对应的r取值为r0 B．电场方向沿x轴正方向 C．坐标原点O的电势为φ0 D．电场强度的大小为 答案　C 解析　匀强电场中U＝Ed，曲线①对应的φ峰值最大，则曲线①对应的r取值为3r0，A错误；电势降低最快的方向为电场方向，则虚线圆上电势最高点指向电势最低点的方向就是电场方向，根据图乙，电场方向与x轴负方向成θ0角，B错误；根据上述分析作出过O点的电场线如图，电场强度的大小为E＝＝，设坐标原点O的电势为φO，则2φ0－φO＝Er0，解得φO＝φ0，故C正确，D错误。 探究　非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：如图所示，在一个非匀强电场中，某一条电场线上有A、B、C三点，且AB＝BC，能比较A、B间的电势差UAB和B、C间的电势差UBC的大小吗？ 提示：电场线越密集，电场强度越大，可知AB段的电场强度一定大于BC段的电场强度，又AB＝BC，根据U＝d可知，UAB>UBC。 活动2：大致画出过A点和B点的等势面；如果要求相邻等势面之间的电势差相等，且A、B两点间没有另一个等势面，在B点右侧的相邻等势面应该画在哪里？ 提示：越向右越小，根据U＝d，结合等势面与电场线垂直，可画出过A、B点的等势面及B点右侧的相邻等势面如图所示： E＝在非匀强电场中的妙用 (1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。 (2)判断电势差的大小：同一电场线上距离相等的两点间E越大，U越大。 (3)沿电场线方向建立x轴，可利用φ­x图像上的点的切线斜率判断该电场线上电场强度随位置变化的规律：切线斜率k＝＝＝－＝－Ex，斜率的绝对值表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。 (多选)高压电线落地可能导致行人由于跨步电压触电。在电路中电势差也称为电压。如图所示，带正电的高压直流输电线掉落在水平地面上的O点，O点附近地质结构均匀，O点附近水平地面上的电场可等效成位于O点、且与地面垂直的带正电的金属棒产生的电场。该电场的等差等势线是地面上以O为圆心的一系列同心圆，且从O向外，等势线的间距逐渐增大。已知A、B点在同一半径上，电势分别为φA、φB。则下列说法正确的是(　　) A．图中A点的电场强度小于B点的电场强度 B．行人无论向哪个方向跨步，两脚间距离越大，跨步电压越大 C．A、B连线中点C的电势φC＝ D．A、B连线中点C的电势φC< (1)如何判断电场强度大小？ 提示：由等差等势面的疏密可判断场强大小。 (2)计算跨步电压的公式是什么？ 提示：U＝d，是平均场强大小。 (3)若是匀强电场，C点的电势是多少？ 提示：φC＝。 [规范解答]　根据E＝可知，同一电场中，等差等势线越密集的地方，场强越大，则图中A点的电场强度小于B点的电场强度，A正确；根据U＝d可知，行人在OA连线上跨步时，两脚间距离越大跨步电压越大，而沿着某同心圆上跨步时，无论两脚间距离多大，电势都相等，跨步电压都为0，B错误；若O点附近的电场是匀强电场，根据等分法可知，C点的电势φC＝，实际上B、C间的平均场强比C、A间的大，即BC>CA，根据U＝d，且地面上O点电势最高，可得UBC>UCA，而UBC＝φB－φC，UCA＝φC－φA，联立可得φC<，C错误，D正确。 [答案]　AD 虽然在非匀强电场中E＝并不成立，但是却可以用此公式来进行定性分析。 　空间某一静电场沿x轴方向，电势φ在x轴上的分布如图所示，x轴上两点B、C的电场强度大小分别是EB、EC，下列说法中正确的是(　　) A．EB>EC B．EB的方向沿x轴负方向，EC的方向沿x轴正方向 C．另放一电荷在O点，其受到的电场力为零 D．一电子沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功 答案　C 解析　在B、C附近沿x轴方向分别取很小的一段长度d，由φ­x图像知，B点段对应的电势差小于C点段对应的电势差，因d很小，该段可看作匀强电场，由E＝，可得EB<EC，同理可知，d趋向于0时，＝0，则EO＝0，所以电荷在O点受到的电场力为零，故A错误，C正确；沿电场线方向电势降低，在O点左侧，EB的方向沿x轴正方向，在O点右侧，EC的方向沿x轴负方向，故B错误；电子带负电荷，电子沿x轴从B移到C的过程中，所受电场力先向左后向右，则电场力先做负功后做正功，故D错误。 1．(电势、电势能、电势差、电场强度)关于静电场，下列结论普遍成立的是(　　) A．电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低 B．匀强电场中任意两点之间的电势差只与场强有关 C．在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向 D．在电场强度越大的地方，电荷的电势能也越大 答案　C 解析　电势高低与电场强度大小没有直接关系，所以电场强度大的地方电势不一定高，电场强度小的地方电势不一定低，故A错误。由公式U＝Ed可知，匀强电场中两点之间的电势差与场强和两点间沿电场线方向的距离都有关，故B错误。在正电荷或负电荷产生的静电场中，沿场强方向电势降低最快，故C正确。电势能的大小与电势的高低和电荷的电性有关，与场强的大小没有关系，故D错误。 2．(电场强度的三个公式)关于场强的三个公式：①E＝，②E＝k，③E＝的适用范围，下列说法正确的是(　　) A．三个公式都只能在真空中适用 B．公式①和②只能在真空中适用，公式③在真空中和介质中都适用 C．公式②和③只能在真空中适用，公式①在真空中和介质中都适用 D．公式①适用于任何电场，公式②只适用于点电荷形成的电场，公式③只适用于匀强电场 答案　D 解析　①是通过比值的方法定义电场强度的，所以适用于任何电场；②是由库仑定律推导出来的，所以它适用于真空静止点电荷形成的电场；③适用于匀强电场，故D正确。 3.(电场强度、电势差、电场力做功)(多选)如图所示，匀强电场中某电场线上的两点A、B相距0.2 m。一正点电荷所带电荷量为q＝1×10－6 C，从A移到B，电场力做功2×10－6 J，则(　　) A．A、B间的电势差为10 V B．该电场的场强为10 V/m C．该点电荷所受电场力大小为1×10－5 N D．B点的电势比A点的高 答案　BC 解析　由题意知，UAB＝＝ V＝2 V，A错误；E＝＝ V/m＝10 V/m，B正确；该点电荷所受电场力大小为F＝qE＝1×10－5 N，C正确；因为从A到B电场力对正点电荷做正功，所以场强方向由A到B，A点电势比B点高，D错误。 4.(电势差与电场强度的关系)如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差为(　　) A．UOP＝－10sinθ(V) B．UOP＝10sinθ(V) C．UOP＝－10cosθ(V) D．UOP＝10cosθ(V) 答案　A 解析　过P作PM垂直于x轴且交x轴于M，则d＝＝sinθ，又沿电场线方向电势逐渐降低，所以UOP＝－E·＝－10sinθ(V)，A正确。 5.(电势差与电场强度的关系)如图所示是某电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离均为2 cm，A和P点间的距离为1.5 cm，则该电场的场强E和P点的电势φP分别为(　　) A．500 V/m，－2.5 V B. V/m，－2.5 V C．500 V/m，2.5 V D. V/m，2.5 V 答案　B 解析　由E＝得：E＝＝ V/m＝ V/m，UBP＝E·PB·sin60°＝×0.5×10－2× V＝2.5 V，由于φB＝0，所以φP＝－UBP＝－2.5 V，故B正确。 6.(等分法求电势、电场强度)如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是(　　) A．A点的电势为－5 V B．B点的电势为－19 V C．该电场的电场强度方向由B点指向A点 D．该电场的电场强度大小为800 V/m 答案　D 解析　由公式φ＝可知，φA＝＝＝5 V，故A错误；同理可知，φP2＝＝＝－3 V，由φP2＝得φP1＝2φP2－φA＝－11 V，由φP1＝得φB＝2φP1－φA＝－27 V，故B错误；从A点到B点电势均匀降落，设P1B的中点为P3，则该点电势为φP3＝＝－19 V，又φC＝＝＝－19 V，则P3点与C点为等势点，连接两点的直线为等势线，如图虚线P3C所示，由几何关系知，P3C与AB垂直，所以电场线平行于AB，又因为电场线方向由高电势处指向低电势处，所以该电场的电场强度方向由A点指向B点，故C错误；A与P2间的电势差为U＝φA－φP2＝8 V，AP2的长度为＝＝×＝1 cm，故该电场的电场强度大小为E＝＝ V/cm＝800 V/m，故D正确。 7.(U＝d在非匀强电场中的应用)某同学制作了一除尘装置，装置由带正电的圆筒Q和带负电的线状电极P组成。由于制作失误，线状电极偏离圆心，形成如图所示的电场线。若A、B两点到P距离相等，A、C两点到Q距离相等，则(　　) A．A、B两点电场强度相等 B．A点的电势比B点电势高 C．带负电的粉尘从B点运动到C点电场力做负功 D．电荷量均为－q的粉尘在A、C两点电势能相等 答案　B 解析　由题图电场线的分布特点可以看出，A点附近电场线比B点附近电场线更密集，所以A点电场强度大于B点电场强度，A错误；由电场线疏密程度可以看出，A、P间平均场强大于B、P间平均场强，由U＝d知A、P间电势差大于B、P间电势差，结合电场线方向有UAP>UBP，即φA－φP>φB－φP，得φA>φB，B正确；带负电的粉尘从B点运动到C点，所受电场力与位移方向都向右，电场力做正功，C错误；A与圆筒间平均场强大于C与圆筒间平均场强，结合电场线方向有UQA>UQC，即φQ－φA>φQ－φC，得φA<φC，由电势能决定式Ep＝qφ知，电荷量均为－q的粉尘在A、C两点电势能不相等，D错误。 8.(电势差与电场强度的关系)如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm。求： (1)A点的电势； (2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？ 答案　(1)－30 V　(2)－10 V 解析　板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处，Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值。 (1)电场强度E＝＝ V/m＝5×102 V/m， Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V， A点电势φA＝φQ－UQA＝－30 V。 (2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离 d″＝10 cm－5 cm＝5 cm， Q板与A点间距离变为 d＝10 cm－4 cm－5 cm＝1 cm， 电场强度E′＝＝ V/m＝1.0×103 V/m， Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1×10－2 V＝10 V， 所以A点电势φA′＝φQ－UQA′＝－10 V。 9．(U＝Ed在非匀强电场中的应用)半径为R、均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场，场强E沿半径方向分布的示意图如图所示，图中E0已知，E­r曲线下O～R部分的面积等于R～2R部分的面积，则下列说法正确的是(　　) A．r＝2R处的电场强度大小为E＝ B．球体所带总电荷量为Q＝ C．球心与球表面间的电势差U＝E0R D．质量为m、电荷量为－q的负电荷在2R处静止释放，到达球面时的速度大小v＝ 答案　B 解析　球外电场可等效于电荷量集中在球心的点电荷产生的电场，则E0＝k，E＝k，解得r＝2R处的电场强度大小为E＝，球体所带总电荷量为Q＝，故A错误，B正确；根据U＝Ed，由微元累积法知，题图E­r图线与r轴所围图形的面积表示r轴上两点的电势差，则球心与球表面间的电势差U＝E0R，故C错误；E­r曲线下O～R部分的面积等于R～2R部分的面积，由动能定理有－q×(－U)＝mv2－0，解得v＝，故D错误。 [名师点拨]　解本题的关键是：灵活运用必修第一册所学的微元累积法。 10．(等分法求电势、场强)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是(　　) A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行 B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为 C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为 D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差 答案　BD 解析　根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$