函数与导数：零点问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：零点问题专项训练 函数与导数：零点问题专项训练 考点一 零点存在性定理判断零点所在区间 1．（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数可知：该函数在上单调递增， ，， ，， ，结合选项所给区间， 只有，根据零点存在性定理知， 的零点所在区间为， 故选：B. 2．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 3．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 5．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C. 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：函数定义域为，且在上单调递增. 因为函数在上单调递减， 所以 因为， 所以由零点的存在性定理可得：该函数的零点所在区间是， 故选：C. 7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末·多选）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】函数的定义域为，由可得， 于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间. 如图作出两函数的图象如下： 对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增， 且，，故两函数在上必有交点， 即为原函数的一个零点所在区间，故A正确； 对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立， 而在上恒为增，且，故两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故B错误； 对于C，时，因在上递增，在上递减， 而在上恒为增，且，，， 即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确； 对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立， 而在上恒为增，且，即两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故D错误. 故选：AC. 考点二 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 2．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数，则此函数的所有零点的和为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【详解】由题意的零点个数，即为函数与图象交点个数， 函数的图象关于直线对称，函数是周期为4的周期函数，且图象也关于直线对称， 作出它们的图象，如图， 函数的最大值是2，，因此由图象可得它们在直线右侧有三个交点，总共6个交点， 所以的所有零点的和为， 故选：D． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， ∴实数的取值范围是. 故选:A. 4．（2025·黑龙江·二模）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即. 故选：B. 5．（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 6．（24-25高二下·浙江舟山·期末）记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故当时，，此时； 当时，，此时， 所以. 当时，令，可得； 当时，令，可得. 令，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，要使得直线与函数的图象有三个交点， 只需，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：D. 7．（2024·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【详解】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合. 故选：BCD. 8．（24-25高一上·河北保定·期末·多选）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由解析式，可得大致图象如下，结合题设知，A错， 令，可得或， 所以，且，B对， 而，，则，C错， 由且，而在上单调递增， 所以，D对. 故选：BD 9．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 10．（23-24高一上·陕西西安·期末·多选）已知函数若方程有三个不等的实数解、、且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】画出的大致图象如图所示. 若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且. 令，得；令，得， 则，， ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以. 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD. 11．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高三下·北京·阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 考点三 利用导数讨论函数零点数量 1．（2025·湖南郴州·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). (3)答案见解析 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以在上单调递减，所以当时，. （3）令，得，即， 所以. 令，则，即①， 当时，由，得在上恒成立， 所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数. 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，且当时，. 因为，所以. 当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为 ，即时，方程①无解，的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 【答案】(1)证明见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【详解】（1）若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2）因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （3）若，可知在上单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知有且仅有1个零点； 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 当趋近于，时，趋近于 则， 可知在内单调递增，且， 当时，则，即，可知无零点； 当时，则，可知有且仅有1个零点； 当时，则，可知有且仅有2个零点； 综上所述：当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 3．（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)， (2)2 【详解】（1）求导得到， 根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. 又，解得. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点. 4．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为，没有最大值. (2)答案见解析 【详解】（1），令，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值为，没有最大值. 所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值. （2），由（1），可知在上递增，而，. 根据k的不同取值，分情况讨论： ①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点. ②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点. ③当时，由，即恒成立，故没有零点. 综上，当时，在上没有零点. 当时，在上有1个零点. 5．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数. (1)证明：，； (2)求函数的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）欲证，， 即证，， 令， 则 ， 因为，， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，成立. （2）令， 所以， ①当时，，， 所以， 即在时无零点； ②当时，，， 所以， 所以在时单调递增， 所以， 即在时无零点； ③当时，令， 则， 显然在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 因此可得时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得， 即时，，，单调递减； 时，，，单调递增，又，， 所以在上有2个不同的零点； ④当时，单调递增， 所以， 即成立， 所以在上无零点， 综上，函数有2个不同的零点. 6．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数， (1)证明：当时，； (2)设且函数，若恒成立，求实数的值； (3)设函数，讨论当时，函数在的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析 【详解】（1）设，则在区间上恒成立， 故在上为减函数，故，得到， 即成立. （2）由题意得， 令，， ，所以在上递增，在上递减， 时，从而有， 又，则，所以， 当时，，时，， 故有. （3）由题意得，则， 当，则，即有在上递增； 若，由得到，由得到， 即有时，的增区间为，减区间为； 所以的极小值为，也为最小值． ① 当，即， 的最小值大于， 则在区间上无零点； ② 当，即，即有，而， ，，则在上有一个零点； ③ 当，即，即有， (i)若，即，而， 当时，，则在上有零点． 当时，，则在上有个零点； (ii)若，即，而，，则在上有零点． 综上：当时，函数无零点； 当或时，函数有零点； 当时，函数有个零点． 7．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：； （ii）求在区间内的零点个数 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）2个 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i）， ，由题意， 得，设，则有， ，且在上单调递增， 根据零点存在定理得； （ii）由（i）知，所以，得， ，设，则， 当时，，故，单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，，， 故存在，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 故，， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. 8．（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)对于任意恒成立，求的取值范围； (3)试讨论函数的极值点的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由题意得：，所以， 所以，，所以切线方程为； （2）对于任意的恒成立，所以在上恒成立， 令，则， 当即时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以满足题意. 当即时，令，得舍去， 减 极小值 增 当时，不合题意， 综上； （3），所以，所以. ①当即时，恒成立， 在上单调递增，且，， 由零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，不妨设为， 减 极小值 增 所以有一个极值点. ②当时，即时，令，则， 减 极小值 增 所以的最小值为. （i）当即时，恒成立. 分析不等式的解: 令，则. 由，解得， 所以,, 所以在上单调递增，在上单调递减，得恒成立， 结合得. 所以当时单调递增，无极值点，即时，无极值点. （ii）当时，即时，且， 由，所以在上有唯一的零点， 下面先证: 设， 所以， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即得证； 所以， 又因为， 由零点存在性定理可得在上存在唯一的零点，不妨设为， 递增 递减 递增 所以有两个极值点， （iii）当时，且，， 又有， 由零点存在性定理可得在与上各存在唯一的零点， 同上（ii）可知有两个极值点， 综上所述，当时，有一个极值点；当时，且时，有两个极值点；当时，无极值点. 考点四 已知零点数量求参数范围 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 2．（24-25高二下·北京房山·期末）设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（   ） A．{或} B． C．{或 D． 【答案】C 【详解】当时，，求导得， ，， 所有在单调递增，在单调递减， 且当从0的右边趋于0时，趋于，当时，趋于0， 当时，在单调递减， 当时，，且， 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示， 由图可知，若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是{或. 故选：C. 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末·多选）已知函数，若有两个极值点，则实数a的取值可能是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【详解】因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根， 因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 4．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知函数有两个零点，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABD 【详解】由题意得， 当时，在R上恒成立，函数在R上单调递增，不存在两个零点； 当时，令，解得， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 若存在两个零点，则，即，化简得， 因为，所以，解得，所以A正确； 由题意得，得， 作商得，不妨设，则，令，因为，所以，变形得， 则，解得，可得， 令，则， 由可知，在上单调递增，有， 所以，即，所以B正确； 由B可知，， 令，则， 由可知，在上单调递减，有， 所以，即，所以C错误； 由A可知，函数有两个零点时，，在上单调递减， 则，所以在上单调递减，所以D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 7．（24-25高一下·云南昆明·期末）若函数有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当， 时，，且有两个零点， 且，所以都是负值，所以，所以， 时，，且有1个零点， 且，所以都是负值，所以，所以， 时，，所以不存在零点； 所以时，有2个零点； 时，有1个零点； 时，有0个零点； 因为函数有三个零点， 则当时，有2个零点，则有1个零点； 当时，有1个零点，则有2个零点； 当时，有0个零点；则有3个零点； 当，单调递增， 当单调递增至多有1个零点，不可能有3个零点；所以不合题意； 当 单调递减；单调递增； ， ， 且的极小值为， 所以至多有一个零点， 当时，设，，单调递减， ， 所以有一个零点，符合函数有三个零点； 故答案为： 8．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据题意可得，所以． 因为在上单调递增，且，所以， 则．令，则与有三个交点， ， 当-3时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增．当时，， 画出的大致图象，如图所示，所以的取值范围为． 故答案为： 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，则， 所以，又， 则曲线在点处的切线方程为. （2），若若有两个不同的零点，即， 则令，解得， 所以在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递增， 所以的极小值也即是最小值为， 因为当时，；当时，， 又因为函数有两个不同的零点，所以的最小值， 即，所以， 即的取值范围是． 10．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）若当时，恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 令，则 所以当时，单调递增， 当时单调递减， 所以，所以，即a的取值范围是． （2）（i）若关于x的方程有两个不同实数根， 即有两个不同实数根， 等价于与的图象有两个交点， 因为， 所以当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，作出函数的图象： 所以直线与的图象有两个交点的a的取值范围是． （ii）方法（一）由（i）知，，由（1）知， 因为，所以， 设的根为，即，所以， 从而，所以， 令，则， 所以当时，单调递增， 从而，从而． （ii）方法（二）由（i）知，，构造函数 则令 则再令 ， 所以当时，，从而单调递增， 因为， 所以存在，满足， 此时当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又因为 所以存在满足 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 即， 设的根为，即， 则，从而有， 又由得，，从而， 又由（1）知，，设的根为，即 所以，从而，所以． 11．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知，. (1)曲线与直线相切，求的值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由，，则， 设切点为，， 则，则， 又，所以， 则，即， 设， 则， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，又 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，则. （2）由，，则， 当时，，则在单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意； 当时，， 令，解得；令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要使有两个零点，需， 则，解得， 而，， 当时，令， 则，所以函数在上单调递增， 故，则， 所以， 由零点存在性定理可知，在与上分别存在唯一零点. 综上所述，实数的取值范围为. 12．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【详解】（1）因为， 所以；，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）令，即，解得或， 在区间上，的单调递增区间为，递减区间为， 且，，； 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为. （3）c的取值范围为. 因为函数有三个零点，所以方程有三个根. 对函数求导得. 当或时，；当时，. 所以函数在单调递增，在上单调递减， 当时，；；；当时， 画出图象为： 要使函数有三个零点，则的取值范围为. 13．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最大值为：. （2）因为， 所以. 由（1）知，当时，函数无零点. 当时，，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最大值为，所以函数无零点. 当时： 若，则，由或. 即或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 又极大值，极小值， 且当时，. 所以此时函数只在上有1个零点. 若，则恒成立，所以在上单调递增. 此时，因为. 所以函数只有一个零点. 当时，，由或，所以或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以极小值，极大值. 且当时，. 所以函数只在有1个零点. 综上可知：当时，函数只有1个零点. 所以的取值范围为： 14．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，点在函数图象上， 由得，， 则在点处的切线方程为，即. （2）定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 则在上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，即， 设，则， 故在上单调递增，又； 当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则， 故，即， 设，所以， 当时，，当时，， 所以当时函数取得最小值，最小值为，即， 则，即， 因此在上也有一个零点． 当时，，故此时没有两个零点； 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 15．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）若在上单调递减， 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，因为在上单调递增，所以的最小值为， 所以. （2）（i）法一：， 令，则，判别式，且两根之积为， 故该方程有唯一正根，设为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又当时，； 当时，； 若有两个不同的零点，则， 所以， 又因为，所以， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 所以，所以. （ii）不妨设，因为，可得， 因为，，所以， 令，则， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增，又， 所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 对于，， 当时，，所以在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 法二：（i）若有两个不同的零点，，则有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，，则， 当时，故，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，；当时，；所以. （ii）不妨设，由（i）知，则， 令， 则， 当时，，可得在上单调递增， 又，所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 由（i）知在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 16．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. （2）（ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得 ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：零点问题专项训练 函数与导数：零点问题专项训练 考点一 零点存在性定理判断零点所在区间 1．（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·天津·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末·多选）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 考点二 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数，则此函数的所有零点的和为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·二模）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江舟山·期末）记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 8．（24-25高一上·河北保定·期末·多选）设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 10．（23-24高一上·陕西西安·期末·多选）已知函数若方程有三个不等的实数解、、且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 12．（24-25高三下·北京·阶段练习）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 考点三 利用导数讨论函数零点数量 1．（2025·湖南郴州·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 3．（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 4．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 5．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数. (1)证明：，； (2)求函数的零点个数. 6．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数， (1)证明：当时，； (2)设且函数，若恒成立，求实数的值； (3)设函数，讨论当时，函数在的零点个数. 7．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：； （ii）求在区间内的零点个数 8．（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)对于任意恒成立，求的取值范围； (3)试讨论函数的极值点的个数. 考点四 已知零点数量求参数范围 1．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京房山·期末）设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（   ） A．{或} B． C．{或 D． 3．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末·多选）已知函数，若有两个极值点，则实数a的取值可能是（    ）． A． B． C．0 D． 4．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知函数有两个零点，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 5．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 6．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25高一下·云南昆明·期末）若函数有三个零点，则a的取值范围为 ． 8．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为 ． 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 10．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 11．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知，. (1)曲线与直线相切，求的值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 12．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 13．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围. 14．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 15．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 16．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$