第2章 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性（课件）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 目录 01.再认再现——课前基础落实 02.互动课堂——解题思维建模 03.即练即评——课堂效果评价 3 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且__________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且__________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 3.函数的对称性 (1)①若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a-x)=f(a+x). ②若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数关于点_______对称. (2)两个函数图象的对称 ①函数y=f(x)与y=f(-x)关于______对称. ②函数y=f(x)与y=-f(x)关于______对称. ③函数y=f(x)与y=-f(-x)关于______对称. (a，0) y轴 x轴 原点 1.(人A必修①P84·例6改编)[多选]下列给出的函数是奇函数的是 (　　) A.y=x4 B.y= C.y=x3+1 D.y=sin x 细作教材小题 √ √ 2.(苏教必修①P134·T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是 (　　) A.f(-1)<f(-2) B.f(1)<f(2) C.f(-1)<f(2) D.f(-1)>f(2) √ 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称.又f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，即f(x)在对称轴处取最大值.所以自变量的值离对称轴越近，其函数值也越大.因为|-1|=|1|<|-2|=|2|，所以f(-1)=f(1)>f(2)=f(-2). 3.(人A必修①P203·T4改编)设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=(x-1)2，则f的值为　 　　.  解析：f=f=f==. 4.(湘教必修①P86·T6改编)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2+，则f(-1)=　　　.  解析：因为f(x)为奇函数，故f(-1)=-f(1)=-12-1=-2. 5.(苏教必修①P127·T5改编)设m为实数，函数f(x)=x2+mx+1是偶函数，则m=　　　　.  -2 0 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　函数的奇偶性 题点1　函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+； 解：原函数的定义域为{x|x≠2}，关于原点不对称，从而函数f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x)=lg(4-x2)； 解：由4-x2>0得-2<x<2，即函数f(x)的定义域是{x|-2<x<2}，关于原点对称.又f(-x)=lg(4-(-x)2)=lg(4-x2)=f(x)，因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)=+； 解：f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0，f(-1)=-f(1)=0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)f(x)= 解：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 个性点拨 题点2　函数奇偶性的应用 [例2]　(求解析式)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x-1，则当x<0时，f(x)等于(　　) A.2-x-x-1 B.2-x+x+1 C.-2-x-x-1 D.-2-x+x+1 解析：当x<0时，-x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)= -2-x+x+1. √ [例3]　(求参数值)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 √ 解析：法一　设g(x)=ln，易知g(x)的定义域为∪ ，且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x)，所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln 为偶函数，则y=x+a也应为奇函数，所以a=0，故选B. 法二　因为f(x)=(x+a)ln 为偶函数，f(-1)=(a-1)ln 3，f(1)=(a+ 1)ln =-(a+1)ln 3，所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3，解得a=0，故选B. [例4]　(求函数值)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为m，则M+m等于 (　　) A.0 B.2 C.1 D.3 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[-2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M-1+m-1=0，所以M+m=2. √ 函数奇偶性的应用及解题策略 个性点拨 求函 数值 将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值 求解 析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 求参 数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值 √ 逐点清(二)　函数的周期性 [例5]　(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则 f(k)= (　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析：因为f(1)=1，所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，令y=1， 得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)，所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)　①， 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)　②. 由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0，故f(x+3)+f(x)=0，所以f(x+3)= -f(x)，所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x+y) +f(x-y)=f(x)f(y)中，令x=1，y=0，得f(1)+f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2.令x=1，y=1，得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x)，得f(3)= -f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1，f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2，所以f(1)+f(2)+…+ f(6)=1-1-2-1+1+2=0，根据函数的周期性知， f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)=1-1-2-1=-3，故选A. [例6]　函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2)，当x∈(0，2)时，f(x)=x2，则f(2 025)=　 　.  解析：由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期为4，故f(2 025)=f(506×4+1) =f(1)=1. 1 函数周期性的应用特点 (1)求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 点拨•建模 √ 逐点清(三)　函数的对称性 [例7]　(2025·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为 (　　) A.0 B.m C.2m D.4m 解析：依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，即y=f(x)的图象关于直线x=2对称.函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称，所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1+x2+…+xm=4×=2m. [例8]　(双对称)(2025·东北育才学校模拟)设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-3)与函数y=f(1-x)的图象关于 (　　) A.直线x=-1对称 B.直线x=-2对称 C.直线x=2对称 D.直线x=1对称 解析：y=f(1-x)的图象是函数f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到的，由于y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，所以y=f(1-x)与y=f(x-1)的图象关于x=1对称.y=f(x-3)的图象是函数y=f(x-1)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以函数y=f(x-3)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=2对称，故选C. √ [例9]　(中心对称)(2025·黔东南模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足 f(-x)=6-f(x)，若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi+yi)等于 (　　) A.4m B.3m C.2m D.m √ 解析：由f(-x)+f(x)=6，即f(x)关于(0，3)对称，而y==3+也关于(0，3)对称，所以y=与y=f(x)在(0，3)两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在，所以 xi=0， yi=×6=3m，故 (xi+yi)=3m.故选B. 对称性的3个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 点拨•建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　函数的奇偶性 1.已知函数f(x)=a+(ab≠0)是奇函数，则(　　) A.2a+b=1 B.2a-b=-1 C.a+b=1 D.a-b=-1 解析： f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+ f(x)=0，即++a+=2a++=2a+=2a+ =2a+1-b=0，所以2a-b=-1. √ 2.[多选]下列函数是偶函数的是 (　　) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x 解析：由题意，四个函数定义域都是R，在f(x)=x+sin 2x中，f(-x) =-x+sin(-2x)=-x-sin 2x=-f(x)，是奇函数；在g(x)=x2-cos x中，g(-x)= (-x)2-cos(-x)=x2-cos x=g(x)，是偶函数；在h(x)=2x+中，h(-x)=2-x+ =2x+=h(x)，是偶函数；在w(x)=x2+sin x中，w(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sin x≠±w(x)，∴y=x2+sin x既不是奇函数，也不是偶函数. √ √ 3.设f(x)为偶函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)=x-1，则使f(x)>0的x的取值范围是 (　　) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|-1<x<0或x>1} √ 解析：∵当x∈(0，+∞)时，f(x)=x-1单调递增， 又∵f(x)为偶函数， 故可以作出f(x)的大致图象如图所示. 由图象可知，若f(x)>0，则x<-1或x>1. 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，则f(2 023)+f(2 025)的值为　　.  解析：由题意得，g(-x)=f(-x-1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(-x)=-g(x)，f(-x)=f(x)，∴f(x-1)= -f(x+1)，即f(x-1)+f(x+1)=0.∴f(2 023)+f(2 025)=f(2 024-1)+f(2 024 +1)=0. 0 逐点验收(二)　函数的周期性 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=，且f(2)=-1，则f(100)=(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 解析：由f(x+2)=，可得f(x+4)==f(x)，所以f(x)的周期为4，则f(100)=f(0)==-3. √ 6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，若对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(4)成立，则f(2 026)的值为 (　　) A.2 026 B.2 022 C.2 018 D.0 解析：因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(-2)=-f(2)=0，f(x+4)=f(x)+f(4)，所以f(-2+4)=f(-2)+f(4)，所以f(4)=0，y=f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 026)=f(2)=0.故选D. √ 7.已知函数f(x)=则f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(2 025)=(　　) A. B.1 518 C. D.1 517 √ 解析：由题意，在f(x)=中，因为当x>0时，f(x)=f(x-2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.故f(2 025)=f(2 023) =…=f(3)=f(1)=f(-1)=2-1=，f(2 024)=f(2 022)=…=f(4)=f(2)=f(0)=20=1.所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=1 013×f(-1)+1 012×f(0)=1 013× +1 012×1=. 逐点验收(三)　函数的对称性 8.(2025·郑州联考)[多选]已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)=f(1-x)-1，g(x)=f(x+1)-1，若g(x)是奇函数，则(　　) A.y=f(x)的图象关于(1，1)对称 B.f(x)=f(x+4) C.F(x)是奇函数 D.F(x)与g(x)关于原点对称 √ √ √ 解析：因为g(x)是奇函数，所以g(x)+g(-x)=0，即f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0，整理得f(x+1)+f(-x+1)=2，所以y=f(x)的图象关于(1，1)对称，故A正确；因为f(x)为偶函数，所以f(x)+f(x-2)=f(x)+f(2-x)=2，所以f(x-2) +f(x-4)=2，f(x)=f(x-4)，所以f(x)=f(x+4)，故B正确；F(x)+F(-x)=f(1-x) -1+f(1+x)-1=0，故C正确；因为F(-x)=g(x)，所以F(x)与g(x)关于y轴对称，不关于原点对称，故D错误. 9.已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 　B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 　D.关于点(3，0)对称 解析：设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. √ (1)求奇函数解析式时，忽略x=0的情况，会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 细节、微点提醒 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（九）” (单击进入电子文档) $$