2025年中考数学一轮复习知识点精讲精练 模块四：欧拉公式

2025年中考数学一轮复习知识点精讲精练 模块四：欧拉公式 考纲要求： （1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （2）V+F-E=X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数． 解答题 1．一个多面体，若顶点数为5，面数为5，则棱数有多少？ 2．如图，观察图（1）中三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱；四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱；五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱…由此推得 （1）十棱柱有　 　 个面，　 　 个顶点，　 　 条棱． （2）n棱柱的面为x，顶点为y，棱为z，则x，y，z的关系是怎样的？ 3．（1）图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块．我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表： （2）观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系是：　 　 ． （3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 　 　 ，棱数为 　 　 ，面数为 　 　 ． 4．观察如图所示的立体图形，请你数一下图中每个多面体具有的顶点数（V），棱数（E）和面数（F），并把结果记入下表中，观察最后一栏的数，你能得到什么结论？ 几何体 顶点数（v） 棱数（E） 面数（F） V+F﹣E 三棱锥 4 6 4 三棱柱 6 9 5 长方体 8 12 6 八面体 6 12 8 5．根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+F﹣E＝2），判断是否存在满足以下条件的多面体． （1）4个顶点，4个面，8条棱； （2）14个顶点，9个面，21个棱． 6．是否存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱？若存在，请指出是几棱柱；如果不存在，请说明理由． 7．已知一个多面体的各个面都是五边形，你能运用欧拉公式证明这个多面体的顶点数V，棱数E，面数F之间有2V＝3F+4的关系吗？试试看吧! 8．“每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，今年的世界杯西班牙队夺冠，不仅仅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事．自1998年以来，12年里，世界足坛再没有迎来新的霸主．此前，夺取过世界杯冠军的球队只有7支：巴西五次加冕（1958年、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次称雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德国三次登顶（1954年、1974年、1990年），阿根廷两次抡元（1978年、1986年），乌拉圭两次夺冠（1930年、1950年），法国（1998年）、英格兰（1966年）各自夺冠一次．如今，西班牙光荣的成为历史上第八支世界杯冠军球队．这意味着，世界杯的历史已被突破！” 实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e＝2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？ 9．每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e＝2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？ 10．由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体：正方体又叫做 　 　 面体，有五条侧棱的棱柱又叫做 　 　 面体． （1）探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E V+F﹣E 四面体 　 　 　 　 　 　 　 　 长方体 　 　 　 　 　 　 　 　 五棱柱 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ （3）验证：在课本的插图中再找出一个多面体，数一数它有几个顶点，几条棱，几个面，看看面数、顶点数、棱数还是否满足上述关系； （4）应用：（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，上述关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 11．观察如图所示的几何体，回答下列问题： （1）填写下表： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 （2）由此可推测n（n为大于或等于3的正整数）棱柱有多少个面？多少个顶点？多少条棱？ 12．如图，若将类似a、b、c、d的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系，观察图b和表中对应的数值，回答下列问题． （1）填表： 图 a b c d 顶点数 7 边数 9 区域数 3 （2）根据表中数值，写出该种平面图的顶点数、边数、区域数满足的一种关系式； （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，可知这个平面图有 　 　 条边． 13．观察下列多面体，把下表补充完整，并回答问题． 名称 图形 顶点数a 棱数b 面数c 三棱柱 6 9 5 四棱柱 12 五棱柱 10 （1）根据上表中的规律推断，十四棱柱共有 　 　 个面，共有 　 　 个顶点，共有 　 　 条棱； （2）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 　 　 个侧面，共有 　 　 个面，共有 　 　 个顶点，共有 　 　 条棱； （3）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式． 14．做一个正方体模型，观察它有几个面、几条棱、几个顶点？再计算一下它的面数（f）、顶点数（ν）的和与棱数（e）的差（即f+v﹣e）等于多少？ 15．三棱柱有9条棱、6个顶点、5个面，三棱锥有6条棱、4个顶点、4个面；四棱柱有12条棱、8个顶点、6个面，四棱锥有8条棱、5个顶点、5个面等等，问能否组成一个有24条棱，10个面，15个顶点的多面体？请简要说明． 16．分别数一数四棱锥、五棱锥、六棱锥和八棱锥的顶点数、面数和棱数，填写下表，你发现了什么规律？ 顶点数 面数 棱数 顶点数+面数﹣棱数 四棱锥 　 　 　 　 　 　 　 　 五棱锥 　 　 　 　 　 　 　 　 六棱锥 　 　 　 　 　 　 　 　 八棱锥 　 　 　 　 　 　 　 　 你发现的规律是 　 　 ． 17．观察下列多面体，并把下表补充完整： 　名称 　三棱柱 　四棱柱 　五棱柱 　六棱柱 　图形 　顶点数a 　6 　 　 　10 　12 　棱数b 　9 　12 　 　 　 　 　面数c 　5 　 　 　 　 　8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱共有　 　 个面，共有　 　 个顶点，共有　 　 条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为　 　 棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有　 　 个侧面，共有　 　 个面，共有　 　 个顶点，共有　 　 条棱； （4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式． 18．核心素养推理能力观察如图所示的几何体，回答下列问题： （1）填写下表： 几何体 顶点数 面数 棱数 三棱柱 　 　 　 　 　 　 四棱柱 　 　 　 　 　 　 六棱柱 　 　 　 　 　 　 （2）若棱柱顶点的个数用V表示、棱的条数用E表示、面的个数用F表示，观察你的统计数据，写出V，E，F三者间的数量关系． （3）若某几何体满足（2）的数量关系，且有24条棱和10个面，则这个几何体有多少个顶点？ 19．十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察如图几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据图中的多面体模型，完成表格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　 　 长方体 8 6 12 正八面体 　 　 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：　 　 ． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 　 　 ． （3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，每个顶点处都有3条棱，且每个顶点都是3个面的交点，已知共有棱36条．求该多面体外表面三角形的个数． 20．观察下表中的立体图形，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 10 12 棱数 9 12 面数 5 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱共有 　 　 个面，共有 　 　 个顶点，共有 　 　 条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 　 　 棱柱； （3）分析上表中的数据，你能发现顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请写出来． 模块四：欧拉公式 参考答案与试题解析 解答题答案解析 1．一个多面体，若顶点数为5，面数为5，则棱数有多少？ 【分析】简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．依此即可求解． 【解答】解：依题意有 5+5﹣E＝2， 解得E＝8． 故棱数有8． 【点评】考查了欧拉公式，公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． 2．如图，观察图（1）中三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱；四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱；五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱…由此推得 （1）十棱柱有　12　 个面，　20　 个顶点，　30　 条棱． （2）n棱柱的面为x，顶点为y，棱为z，则x，y，z的关系是怎样的？ 【分析】（1）结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案； （2）利用（1）中规律得出x，y，z的关系． 【解答】解：（1）∵三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱；四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱；五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱… 由此推得：十棱柱有12个面，20个顶点，30条棱； 故答案为：12、20、30． （2）由（1）得：∵n棱柱的面为x，顶点为y，棱为z， ∴x＝n+2，y＝2n，z＝3n， 则x，y，z的关系是：x+y﹣z＝2． 【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键． 3．（1）图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块．我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表： （2）观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系是：　顶点数+面数﹣棱数＝2　 ． （3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 　8　 ，棱数为 　12　 ，面数为 　6　 ． 【分析】（1）只要将图②、③、④、⑤各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可． （3）按要求作出图形，注意是与图②～⑤不同的切法，然后数出该木块的顶点数，棱数和面数即可． 【解答】解：（1）见表： ． （2）观察上表，即可归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数的关系是：顶点数+面数﹣棱数＝2． （3）如切过之后为一长方体，所画图形如下所示： 则该木块的顶点数为8，棱数为12，面数为6． 故答案为：顶点数+面数﹣棱数＝2；8，12，6． 【点评】本题考查了欧拉公式的知识，同时考查了平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想． 4．观察如图所示的立体图形，请你数一下图中每个多面体具有的顶点数（V），棱数（E）和面数（F），并把结果记入下表中，观察最后一栏的数，你能得到什么结论？ 几何体 顶点数（v） 棱数（E） 面数（F） V+F﹣E 三棱锥 4 6 4 三棱柱 6 9 5 长方体 8 12 6 八面体 6 12 8 【分析】利用欧拉公式顶点数+面数﹣棱数＝2（即V+F﹣E＝2），进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 几何体 顶点数（v） 棱数（E） 面数（F） V+F﹣E 三棱锥 4 6 4 2 三棱柱 6 9 5 2 长方体 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 结论为：V+F﹣E＝2是固定值． 【点评】此题主要考查了欧拉公式，根据公式直接求出结果是解题关键． 5．根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+F﹣E＝2），判断是否存在满足以下条件的多面体． （1）4个顶点，4个面，8条棱； （2）14个顶点，9个面，21个棱． 【分析】根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+F﹣E＝2），即可得出答案． 【解答】解：（1）V+F﹣E＝4+4﹣8＝0≠2，所以不存在满足条件（1）的多面体． （2）V+F﹣E＝14+9﹣21＝2，所以存在满足条件（2）的多面体． 【点评】本题考查了欧拉公式的知识，属于基础题，注意对欧拉公式的熟练掌握． 6．是否存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱？若存在，请指出是几棱柱；如果不存在，请说明理由． 【分析】一个直棱柱有18个顶点，说明它的上下底面是两个九边形，从而可以确定它的面的个数． 【解答】解：由棱柱的特性可知：不存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱． 因为有18个顶点构成的棱柱是九棱柱，它有9+2＝11个面、3×9＝27条棱． 【点评】本题主要考查n棱柱的构造特点：（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点． 7．已知一个多面体的各个面都是五边形，你能运用欧拉公式证明这个多面体的顶点数V，棱数E，面数F之间有2V＝3F+4的关系吗？试试看吧! 【分析】根据各个面都是五边形的多面体的构造特点及欧拉公式V+F﹣E＝2可证． 【解答】解：一个多面体的各个面都是五边形，这个多面体E＝FFF， ∵V+F﹣E＝2， ∴V+FF＝2， ∴2V＝3F+4． 【点评】本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系． 8．“每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，今年的世界杯西班牙队夺冠，不仅仅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事．自1998年以来，12年里，世界足坛再没有迎来新的霸主．此前，夺取过世界杯冠军的球队只有7支：巴西五次加冕（1958年、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次称雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德国三次登顶（1954年、1974年、1990年），阿根廷两次抡元（1978年、1986年），乌拉圭两次夺冠（1930年、1950年），法国（1998年）、英格兰（1966年）各自夺冠一次．如今，西班牙光荣的成为历史上第八支世界杯冠军球队．这意味着，世界杯的历史已被突破！” 实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e＝2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？ 【分析】把e＝48，v＝24直接代入所给关系式即可． 【解答】解：∵f+v﹣e＝2且v＝24，e＝48， ∴f＝2+e﹣v＝2+48﹣24＝26， 故面数必为26面． 【点评】本题考查用待定系数法求未知字母的解．对于任一凸多面体均满足f+v﹣e＝2这一关系式． 9．每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e＝2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？ 【分析】把e＝48，v＝24直接代入所给关系式即可． 【解答】解：∵f+v﹣e＝2且v＝24，e＝48， ∴f＝2+e﹣v＝2+48﹣24＝26，故面数必为26面． 【点评】本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系． 10．由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体：正方体又叫做 　六　 面体，有五条侧棱的棱柱又叫做 　七　 面体． （1）探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E V+F﹣E 四面体 　4　 　4　 　6　 　2　 长方体 　8　 　6　 　12　 　2　 五棱柱 　10　 　7　 　15　 　2　 （2）猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ （3）验证：在课本的插图中再找出一个多面体，数一数它有几个顶点，几条棱，几个面，看看面数、顶点数、棱数还是否满足上述关系； （4）应用：（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，上述关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 【分析】（1）分析题意，由题中所给的多面体，不难求得多面体的顶点数、棱数、面数，即可完成表格； （2）接下来，观察表格中的数据便不难得到简单多面体中顶点数（V）面数（F）棱数（E）之间的关系； （3）可以找出任意一个多面体，比如六棱柱，数一数它的顶点数、棱数、面数； （4）根据已知数据，结合顶点数V、面数F及棱数E间的关系，即可作出判断． 【解答】解：正方体有6个面，又叫做六面体，有五条侧棱的棱柱有7个面，又叫做七面体． 故答案为：六，七． （1） 多面体 V F E V+F﹣E 四面体 4 4 6 2 长方体 8 6 12 2 五棱柱 10 7 15 2 （2）多面体的顶点数V、棱数E、面数F满足关系式：V+F﹣E＝2； （3）比如六棱柱：有12个顶点，18条棱，8个面，12+8﹣18＝2． 六棱柱的面数、顶点数、棱数还是满足上述关系． （4）不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点， ∵假如会有， 则V+F﹣E＝2， 根据题意：V+F﹣E＝0，与V+F﹣E＝2矛盾， ∴不会有． 【点评】本题考查了简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． 11．观察如图所示的几何体，回答下列问题： （1）填写下表： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 （2）由此可推测n（n为大于或等于3的正整数）棱柱有多少个面？多少个顶点？多少条棱？ 【分析】（1）观察图可得：三棱柱、四棱柱、六棱柱的底面边数、侧面数、侧棱数和顶点数； （2）由（1）得到规律：n棱柱有（n+2）个面，顶点数为2n，棱数为3n． 【解答】解：（1） 　 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 　3 3 3 6 图② 四棱柱 　4 4 4 8 图③ 六棱柱 　6 6 6 12 （2）根据填表可知n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱． 【点评】本题考查立体图形，掌握立体图形的各部分组成是解题的关键． 12．如图，若将类似a、b、c、d的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系，观察图b和表中对应的数值，回答下列问题． （1）填表： 图 a b c d 顶点数 7 边数 9 区域数 3 （2）根据表中数值，写出该种平面图的顶点数、边数、区域数满足的一种关系式； （3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，可知这个平面图有 　30　 条边． 【分析】（1）顶点数与区域数的和与边数相差1， （2）观察表格三者的关系为：顶点数+区域数﹣边数＝1． （3）将数据代入上式即可求出． 【解答】解：（1）观察图形，完成表格如下： 图 a b c d 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 （2）观察表格，可知三者关系为： 3+4﹣6＝1，3+7﹣9＝1，5+8﹣12＝1，6+10﹣5＝1； 综上可知，三者的关系为：顶点数+区域数﹣边数＝1． （3）将顶点数＝20、区域数＝11代入顶点数+区域数﹣边数＝1，得 20+11﹣边数＝1，解得边数＝30， 即如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面有30条边． 故答案为：30． 【点评】本题考查探究规律，正确找出表中的规律是本题的解题关键． 13．观察下列多面体，把下表补充完整，并回答问题． 名称 图形 顶点数a 棱数b 面数c 三棱柱 6 9 5 四棱柱 12 五棱柱 10 （1）根据上表中的规律推断，十四棱柱共有 　16　 个面，共有 　28　 个顶点，共有 　42　 条棱； （2）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 　n　 个侧面，共有 　n+2　 个面，共有 　2n　 个顶点，共有 　3n　 条棱； （3）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式． 【分析】首先根据四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，填表即可； （1）（2）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱的侧面数、面数、顶点数、棱数； （3）由（2）中可得到用n表示的a、b、c，进而找出a，b，c之间的关系，问题便可解答． 【解答】解：填表如下：． 名称 图形 顶点数a 棱数b 面数c 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 （1）十四棱柱共有14+2＝16个面，共有14×2＝28个顶点，共有14×3＝42条棱， 故答案为：16，28，42； （2）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有（n+2）个面，共有2n个顶点，共有3n条棱， 故答案为：n，n+2，2n，3n； （3）观察上表中的结果，能发现a、b、c之间的关系是：a+c﹣b＝2． 【点评】本题考查欧拉公式，从所填表格发现规律是解题关键． 14．做一个正方体模型，观察它有几个面、几条棱、几个顶点？再计算一下它的面数（f）、顶点数（ν）的和与棱数（e）的差（即f+v﹣e）等于多少？ 【分析】通过观察正方体得到面数、顶点数、棱数，进而计算面数、顶点数的和与棱数的差． 【解答】解：正方体有6个面，12条棱，8个顶点， 即正方体的面数f＝6，顶点数v＝8，棱数e＝12， 则f+v﹣e＝6+8﹣12＝2， 即正方体的面数、顶点数的和与棱数的差等于2． 【点评】本题考查欧拉公式，观察能力和列式计算能力是解题的关键． 15．三棱柱有9条棱、6个顶点、5个面，三棱锥有6条棱、4个顶点、4个面；四棱柱有12条棱、8个顶点、6个面，四棱锥有8条棱、5个顶点、5个面等等，问能否组成一个有24条棱，10个面，15个顶点的多面体？请简要说明． 【分析】简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．依此即可求解． 【解答】解：∵10+15﹣24＝1，不符合欧拉公式V+F﹣E＝2， ∴不能组成一个有24条棱，10个面，15个顶点的多面体． 【点评】考查了欧拉公式，公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．解题的关键是熟练掌握欧拉公式． 16．分别数一数四棱锥、五棱锥、六棱锥和八棱锥的顶点数、面数和棱数，填写下表，你发现了什么规律？ 顶点数 面数 棱数 顶点数+面数﹣棱数 四棱锥 　5　 　5　 　8　 　2　 五棱锥 　6　 　6　 　10　 　2　 六棱锥 　7　 　7　 　12　 　2　 八棱锥 　9　 　9　 　16　 　2　 你发现的规律是 　顶点数+面数﹣棱数＝2　 ． 【分析】根据四棱锥、五棱锥、六棱锥和八棱锥的特征即可填表，然后根据所填的数据即可写出规律． 【解答】解：填表如下： 顶点数 面数 棱数 顶点数+面数﹣棱数 四棱锥 5 5 8 2 五棱锥 6 6 10 2 六棱锥 7 7 12 2 八棱锥 9 9 16 2 规律：顶点数+面数﹣棱数＝2． 故答案为：5，5，8，2；6，6，10，2；7，7，12，2；9，9，16，2；顶点数+面数﹣棱数＝2． 【点评】考查了欧拉公式，一般地，对于任意多面体来说，有：顶点数+面数﹣棱数＝2，这个关系式是伟大的数学家欧拉得出的，被称为欧拉公式． 17．观察下列多面体，并把下表补充完整： 　名称 　三棱柱 　四棱柱 　五棱柱 　六棱柱 　图形 　顶点数a 　6 　8　 　10 　12 　棱数b 　9 　12 　15　 　18　 　面数c 　5 　6　 　7　 　8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱共有　16　 个面，共有　28　 个顶点，共有　42　 条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为　二十八　 棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有　n　 个侧面，共有　n+2　 个面，共有　2n　 个顶点，共有　3n　 条棱； （4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式． 【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表： （1）（2）（3）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案； （4）利用前面的规律得出a，b，c之间的关系． 【解答】解：填表如下： 　名称 　三棱柱 　四棱柱 　五棱柱 　六棱柱 　图形 　顶点数a 　6 8 　10 　12 　棱数b 　9 　12 15 18 　面数c 　5 6 7 　8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱； （4）a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2． 故答案为：8；15，18；6，7；16，28，42；二十八；n，n+2，2n，3n． 【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键． 18．核心素养推理能力观察如图所示的几何体，回答下列问题： （1）填写下表： 几何体 顶点数 面数 棱数 三棱柱 　6　 　5　 　9　 四棱柱 　8　 　6　 　12　 六棱柱 　12　 　8　 　18　 （2）若棱柱顶点的个数用V表示、棱的条数用E表示、面的个数用F表示，观察你的统计数据，写出V，E，F三者间的数量关系． （3）若某几何体满足（2）的数量关系，且有24条棱和10个面，则这个几何体有多少个顶点？ 【分析】（1）结合三棱柱，四棱柱和六棱柱的特点，即可填表： （2）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案； （3）根据（2）中的猜想，可得这个几何体是8棱柱，进而得出答案． 【解答】解：（1）填写下表： 几何体 顶点数 面数 棱数 三棱柱 6 5 9 四棱柱 8 6 12 六棱柱 12 8 18 故答案为：6，5，9；8，6，12；12，8，18； （2）V，E，F三者间的数量关系为：V+E＝5F﹣10； （3）由题意得：这是24÷3＝8棱柱，则这个几何体有16个顶点． 【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键． 19．十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察如图几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据图中的多面体模型，完成表格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　6　 长方体 8 6 12 正八面体 　6　 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：　E＝V+F﹣2　 ． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 　20　 ． （3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，每个顶点处都有3条棱，且每个顶点都是3个面的交点，已知共有棱36条．求该多面体外表面三角形的个数． 【分析】（1）四面体E＝6，正八面体V＝6，发现规律得E＝V+F﹣2； （2）由题意得F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20， （3）由每个顶点处都有3条棱，得3V÷2＝E＝36，即V＝24，代入E＝V+F﹣2，得F＝14；设三角形的个数为x，得3x+8（14﹣x）＝24×3，得x＝8，即三角形的个数为8． 【解答】解：（1）四面体E＝6，正八面体V＝6， 发现规律得E＝V+F﹣2； 故答案为：6，6，E＝V+F﹣2； （2）由题意得F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20， 故答案为：20； （3）由每个顶点处都有3条棱， 得3V÷2＝E＝36，即V＝24， 代入E＝V+F﹣2，得F＝14； 设三角形的个数为x， 得3x+8（14﹣x）＝24×3， 得x＝8，即三角形的个数为8． 【点评】本题主要考查了欧拉公式，解题关键是应用简单多面体模型解决问题． 20．观察下表中的立体图形，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 10 12 棱数 9 12 面数 5 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱共有 　16　 个面，共有 　28　 个顶点，共有 　42　 条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 　二十八　 棱柱； （3）分析上表中的数据，你能发现顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请写出来． 【分析】首先根据三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，填表即可； （1）（2）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱的侧面数、面数、顶点数、棱数； （3）根据顶点数、棱数、面数与n棱柱中的n的关系，进而找出顶点数、棱数、面数之间的关系，问题便可解答． 【解答】解：填表如下． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （1）十四棱柱共有14+2＝16个面，共有14×2＝28个顶点，共有14×3＝42条棱． 故答案为：16，28，42； （2）30﹣2＝28， 若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱． 故答案为：28； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱，可得2n+n+2﹣3n＝2， 分析上表中的数据，我能发现，顶点数、棱数、面数之间的关系为顶点数+面数﹣棱数＝2． 【点评】本题考查欧拉公式，规律型—数字的变化规律，解题的关键是推出规律。 学科网（北京）股份有限公司 $$