第05讲 三角形全等的判定 （知识清单+12大题型+好题必刷）（讲义）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第05讲 三角形全等的判定 （知识清单+12大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用SAS证明三角形全等 题型二 全等的性质和SAS综合 题型三 用ASA证明三角形全等 题型四 全等的性质和ASA（AAS）综合 题型五 用SSS证明三角形全等 题型六 全等的性质和SSS综合 题型七 用HL证全等 题型八 全等的性质和HL综合 题型九 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型十 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型十一 全等三角形综合问题 题型十二 尺规作一个角等于已知角 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2、用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 题型方法 题型一 用SAS证明三角形全等 1．如图:，欲证，则可增加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出． 【详解】解：添加， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 题型二 全等的性质和SAS综合 3．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在 中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若 则 的度数是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了邻补角的定义、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，首先根据邻补角的定义可以求出，根据角平分线的定义可证，根据可证，根据全等三角形的性质可求，根据角的和与差可以求出． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ， ． 故答案为： ． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是他的关键． 证明，得到． 【详解】解：， ， ∵为中点， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 题型三 用ASA证明三角形全等 6．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ∴， ∴（米）， 故选：A． 7．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 【答案】3； 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 8．（2025·云南昆明·二模）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用两直线平行同位角相等得到，由此根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 题型四 全等的性质和ASA（AAS）综合 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，．如果的面积．那么的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．作于M，于N，证明得到，根据三角形的面积公式可求得得． 【详解】解：作于M，于N，如图， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A． 10．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 【答案】7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 11．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型五 用SSS证明三角形全等 12．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 13．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是 . 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：；三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：由题意得：，，， 由判定 故答案为： 14．（2025八年级上·全国·专题练习）课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)； (2)④． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1 ）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2 ）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 题型六 全等的性质和SSS综合 15．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键． 由已知可知，然后根据全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：C． 16．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，则 ． 【答案】/55度 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】先证明，可得，再根据题意即可求出结果． 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∵， ， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，即 ∵，， ∴， ∴ ∴ 题型七 用HL证全等 18．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 19．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在 和中， ， ， 故答案为： ． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 题型八 全等的性质和HL综合 21．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 22．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接，．若，且的面积为7，则的面积为 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积计算，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得出，再根据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型九 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定. 利用全等三角形的判定方法，结合图形和条件，逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； B、，，，不能得到，故本选项符合题意； C、在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； D、在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； 故选：B． 25．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 26．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选，见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当选择①时，与的夹角为，不是， 故无法判定； 不选择①； 当选择②时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：②． 题型十 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 27．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 28．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断和全等的有 ． ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】①②③ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据以上知识点逐个判断即可． 【详解】①、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意； ②、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意； ③、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意； ④、不符合全等三角形的判定定理，即两三角形不全等，故不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判断定理有，，，． 题型十一 全等三角形综合问题 29．如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE的面积． 【详解】解：作EG⊥AC于点G，作BF⊥AC于点F，作DH⊥AC于点H， 则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC＝∠CHD＝90°， ∴∠EAG＋∠AEG＝90°， ∵AB⊥AE，BC⊥CD， ∴∠EAB＝∠BCD＝90°， ∴∠EAG＋∠FAB＝90°， ∴∠AEG＝∠BAF， 在△EAG和△ABF中， ， ∴△EAG≌△ABF（AAS）， ∴AG＝BF，EG＝AF， 同理可证：△BFC≌△CHD， ∴BF＝CH，CF＝DH， 设AG＝x，EG＝y，CF＝z，则BF＝CH＝x，AF＝y，DH＝z， ∴S凸五边形ABCDE＝S△AEG＋S△AFB＋S△BFC＋S△CDH＋S梯形EGHD ＝ ＝， ∵y＋z＝AF＋FC＝AC＝m， ∴＝12m2， 即凸五边形ABCDE的面积等于12m2， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 30．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝ ．    【答案】2.5 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，先分别证明，，由此可得，，再结合可得，由此可得，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，    ∵EF⊥AB，AH⊥BC， ∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°， ∵AEBC， ∴∠EAF＝∠B， 在与中， ∴， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵BH＝1， ∴CH＝1.5， ∴BC＝BH＋CH＝2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 31．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作∥，且DF＝AB，连接FA． （1）依题意补全图形； （2）判断AF与BD的位置关系是 ，数量关系是 ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系． （3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值． 【答案】（1）见解析，（2）平行，相等，（3）120°或40° 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）依据题意画图即可； （2）连接BF，证明△BDF≌△FAB，即可得出AF与BD的位置关系和数量关系； （3）证明△DFG≌△ACF，利用平行线的性质和全等三角形的性质导角可求度数． 【详解】（1）补全图形如图图所示， （2）AF与BD的位置关系是平行，数量关系是相等， 连接BF， ∵∥， ∴∠BFD＝∠ABF， ∵DF＝AB，BF＝FB， ∴△BDF≌△FAB， ∴DB＝AF，∠DBF＝∠AFB， ∴DB∥AF； 故答案为：平行，相等， （3）如图所示，当DG1＝DB，FG1＝FC时， ∵DB＝AF，AB＝AC，DF＝AB， ∴DG1＝AF，DF＝AC， ∴△DFG1≌△ACF， ∴∠FDG1＝∠CAF， ∵DB∥AF， ∴∠ABM+∠BAF＝180°， ∵DF∥AB， ∴∠ABM+∠FDB＝180°， ∴∠BAF＝∠FDB， ∴∠BDG1＝∠BAC＝40°； 当DG2＝DB，FG2＝FC时， 同理，△DFG2≌△ACF， ∴∠FDG2＝∠CAF， ∵DB∥AF，∠ABM＝80°， ∴∠BAF＝100°， ∵∠BAC＝40°； ∴∠FDG2＝∠CAF＝140°， ∵DF∥AB， ∴∠ABM＝∠FDM＝80°， ∴∠MDG2＝60°， ∴∠BDG2＝120°； 综上，∠BDG的度数为120°或40°； 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定证明三角形全等． 题型十二 尺规作一个角等于已知角 32．如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（   ） A．以点C为圆心，以长为半径的弧 B．以点C为圆心，以长为半径的弧 C．以点F为圆心，以长为半径的弧 D．以点F为圆心，以长为半径的弧 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 先以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，E，再以点C为圆心，以为半径画弧，交于点F，然后以点F为圆心，以为半径画弧，交前弧于点P，作射线，则，根据上述过程解答即可． 【详解】解：作图痕迹弧是以点F为圆心，以为半径的弧． 故选：C． 33．（24-25八年级上·北京·期中）如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ． 【答案】以点E为圆心，长为半径画弧 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】根据做一个角等于已知角的作图方法，即可求解， 本题考查了，作图做一个角等于已知角，解题的关键是：熟练掌握作图做一个角等于已知角． 【详解】解：以点E为圆心，长为半径画弧， 故答案为：以点E为圆心，长为半径画弧． 34．（23-24八年级上·广东汕头·期中）尺规作图：已知 ，求作，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作图步骤．） 【答案】作图见解析． 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，作，，，然后然后通过证明即可，掌握相关知识的应用的解题的关键． 【详解】解：如图，作，，，所以即为所求； 理由：由作图可知，，，， ∴， ∴即为所求． 好题必刷 一、单选题 1．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 2．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据“”可证第②个三角形和全等， 根据“”可证第③个三角形和全等， 故选：B． 3．如图，，要使△≌△，不能添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，可以利用证明，本选项不符合题意； B、当时，，可以利用证明，本选项不符合题意； C、当时，不能证明，本选项符合题意； D、当时，，可以利用证明，本选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，点E在线段上，点F在线段上，．则的理论依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 由于，加上为公共角，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 5．如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　） A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90° 【答案】C 【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果． 【详解】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示： ∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAC， 在△ABC与△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（SAS）， ∴BC＝EC，∠B＝∠AEC， ∵CB＝CD， ∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴∠B＝∠CDE， ∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE． 7．如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 8．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 9．如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 10．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可. 【详解】解：∵D为的中点， ∴， 又∵为公共边 ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，即，故②③④正确. 综上所述：正确的结论有①②③④共4个， 故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键. 二、填空题 11．如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，则只需要即可用“”证明，据此求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】， 12．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据作图得到，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 14．如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意得，，由余角性质得，进而可得，即得，，再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．如图，点，，，在的边上，，且，且，于点，于点，，，，，，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】易证△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF即可求得AO＝BH，AH＝EO，CH＝DF，BH＝CF，即可求得梯形DEOF的面积和△AEO，△ABH，△CBH，△CDF的面积，即可解题． 【详解】解：∵∠EAO+∠BAH＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°， ∴∠BAH＝∠AEO， 在△AEO和△BAH中， ， ∴△AEO≌△BAH（AAS）， 同理△BCH≌△CDF（AAS）， ∴AO＝BH＝3，AH＝EO＝6，CH＝DF＝4，BH＝CF＝3， ∴梯形DEOF的面积（EO+DF）•FO＝80， S△AEO＝S△ABHAO•OE＝9， S△BCH＝S△CDFCH•BH＝6， ∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF是解题的关键． 16．如图，在四边形中，，，于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明得到，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴，． ∵， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：5． 17．如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明．利用已知条件求解，证明，得到，从而，即可求得的周长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平分交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：2，7． 18．如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过可得出，即可判断①；根据可得，，再通过外角和定理即可得出，即可判断②；根据已知条件无法得出，即可判断③；根据可得，再根据，，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 19．画，使，，．满足这些条件而形状不同的三角形有几个？ 【答案】见解析；1个 【分析】本题考查的是全等三角形的判定的有关知识，根据大边对大角，可得，进一步得到，根据满足条件并且边边的夹角为钝角的两个三角形全等即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ， ， 满足这些条件而形状不同的三角形有个． 20．如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．已知 ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据，求出，再根据证明，即可得出． 【详解】证明： ， ，即 ， 在 和 ， ， ， ． 22．如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 23．如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 24．在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形全等的判定 （知识清单+12大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用SAS证明三角形全等 题型二 全等的性质和SAS综合 题型三 用ASA证明三角形全等 题型四 全等的性质和ASA（AAS）综合 题型五 用SSS证明三角形全等 题型六 全等的性质和SSS综合 题型七 用HL证全等 题型八 全等的性质和HL综合 题型九 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型十 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型十一 全等三角形综合问题 题型十二 尺规作一个角等于已知角 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2、用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 题型方法 题型一 用SAS证明三角形全等 1．如图:，欲证，则可增加的条件是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    题型二 全等的性质和SAS综合 3．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 4．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在 中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若 则 的度数是 ． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 题型三 用ASA证明三角形全等 6．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ． 8．（2025·云南昆明·二模）如图，，，，求证：． 题型四 全等的性质和ASA（AAS）综合 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，．如果的面积．那么的面积为（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 11．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 题型五 用SSS证明三角形全等 12．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 13．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是 . 14．（2025八年级上·全国·专题练习）课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 题型六 全等的性质和SSS综合 15．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，则 ． 17．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 题型七 用HL证全等 18．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 题型八 全等的性质和HL综合 21．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为7，则的长为（    ） A．4 B． C． D．7 22．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接，．若，且的面积为7，则的面积为 23．（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 题型九 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 26．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型十 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 27．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断和全等的有 ． ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 题型十一 全等三角形综合问题 29．如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ） A．2 B． C． D． 30．如图，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若，BH＝1，则BC＝ ．    31．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线BM，∠ABM＝80°，过射线BM上一点D，作∥，且DF＝AB，连接FA． （1）依题意补全图形； （2）判断AF与BD的位置关系是 ，数量关系是 ，连接FB，证明你所填写的AF与BD的位置关系和数量关系． （3）平面内有一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值． 题型十二 尺规作一个角等于已知角 32．如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（   ） A．以点C为圆心，以长为半径的弧 B．以点C为圆心，以长为半径的弧 C．以点F为圆心，以长为半径的弧 D．以点F为圆心，以长为半径的弧 33．（24-25八年级上·北京·期中）如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ． 34．（23-24八年级上·广东汕头·期中）尺规作图：已知 ，求作，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作图步骤．） 好题必刷 一、单选题 1．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 3．如图，，要使△≌△，不能添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点E在线段上，点F在线段上，．则的理论依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（    ） A． B． C． D． 6．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　） A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90° 7．如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 8．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ． 12．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 13．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 14．如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 15．如图，点，，，在的边上，，且，且，于点，于点，，，，，，图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，在四边形中，，，于点E，且，若，则的长为 ． 17．如图，中，，，，平分交于，在截取，则的长为 ，的周长为 ． 18．如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 19．画，使，，．满足这些条件而形状不同的三角形有几个？ 20．如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：． 21．已知 ，求证： ． 22．如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 23．如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED． 24．在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$