第12讲 圆与圆的位置关系（知识清单+易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第12讲 圆与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 题型方法 题型一 圆与圆位置关系的判断 题型二 与两圆相切有关的问题 题型三 与两圆相交有关的问题 题型四 与两圆位置关系有关的综合问题 知识清单 知识点01两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 易错分析 【易错点一】两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 【例1】（24-25高二上·北京·期中）已知圆与圆相切，则（    ） A． B． C． D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江西·阶段练习）若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）已知圆和圆相切，则 【变式3】（20-21高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知圆． (1)求证：该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆相切，求的值． 题型方法 【题型一】圆与圆位置关系的判断 【例1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解题技巧 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【变式3】（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【题型二】与两圆相切有关的问题 【例2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【变式3】（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【题型三】与两圆相交有关的问题 【例3】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【变式3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【题型四】与两圆位置关系有关的综合问题 【例4】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知圆，圆（为实数）.若圆和圆M上分别存在点，使得，则的取值范围为（） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25高二下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【变式3】（24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点和 (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·河南开封·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆，恒有公共点 B．圆，至多有三条公切线 C．若圆平分圆的周长，则 D．若圆平分圆的周长，则的最小值为9 三、填空题 8．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 9．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）（1）已知圆和．求证：圆和圆相交； （2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程． 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 14．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 15．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 16．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，求圆的方程； (3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 题型方法 题型一 圆与圆位置关系的判断 题型二 与两圆相切有关的问题 题型三 与两圆相交有关的问题 题型四 与两圆位置关系有关的综合问题 知识清单 知识点01两圆位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 易错分析 【易错点一】两圆相切问题中考虑不全面漏解致误 【例1】（24-25高二上·北京·期中）已知圆与圆相切，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径之间的关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆圆心距； 若两圆内切，则，即，解得：； 若两圆外切，则，即，解得：； 综上所述：或. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江西·阶段练习）若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出两个圆的半径和圆心之间的距离，然后分外切和内切两种情况进行讨论，即可得到的值. 【详解】两圆的方程可分别化为和. 从而可求得两圆圆心之间的距离为. 如果两圆外切，则，得，即，从而. 如果两圆内切，则，得或，但，故，从而，得. 所以或. 故选：D 【变式2】（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 【变式3】（20-21高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知圆． (1)求证：该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆相切，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）将分离出来，得，对任意的成立，得，求解即可得出定点坐标； （2）将圆的方程化为标准方程，由题意可将两圆关系分为外切和内切，运用几何法分别求出的值. 【详解】（1）圆的方程可整理为， 此方程表示过圆和直线交点的圆系， 由，得， 所以已知圆恒过定点． （2）圆的方程可化为， ①当两圆外切时，，即，解得； ②当两圆内切时，，即，解得； 综上所述，． 【点睛】若经过参数分离后，能将曲线方程整理成（为参数），则这个曲线系就是过和交点的曲线系，解方程组，即可得定点坐标. 题型方法 【题型一】圆与圆位置关系的判断 【例1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 解题技巧 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据圆心和半径判断两圆为外切，结合图形可得内公切线时斜率最大，根据垂直关系即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【答案】(1) (2)圆C与圆W相交 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程； （2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可. 【详解】（1）设圆W的方程为，， 则，解得， 故圆W的方程为，标准方程为． （2）圆W的圆心为，半径为5， 圆C的标准方程为， 圆心为，半径为3． 设两圆圆心之间的距离为d，则． 因为，所以圆C与圆W相交． 【题型二】与两圆相切有关的问题 【例2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆的半径，即可根据标准式求解圆的方程. 【详解】点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此圆的方程为， 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 【题型三】与两圆相交有关的问题 【例3】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 解题技巧 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两圆的圆心的坐标及半径，再根据两圆相交可得，即可得解. 【详解】圆化为标准方程得， 则其圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则其圆心，半径， 因为两圆相交，所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·全国·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】求出两圆的公共弦方程，转化为直线与圆相交弦长问题，由垂径定理，在弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【详解】（1）经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 【题型四】与两圆位置关系有关的综合问题 【例4】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，再根据计算得出，最后结合圆与圆的位置关系计算求参即可. 【详解】设，则. 因为，所以， 化简得，故点在以为圆心，为半径的圆上. 又因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上. 结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以， 解得，故正数的最大值为. 故选：D. 解题技巧 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知圆，圆（为实数）.若圆和圆M上分别存在点，使得，则的取值范围为（） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】从圆上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,,利用圆和圆上分别存在点,使得,可得,进而得出答案. 【详解】由题意，圆为实数)，圆心为 圆上任意一点向圆作切线,切点为 ,所以,所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 其方程为， 依题意圆与圆有交点，所以, 解得, 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，由可得，问题转化为圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系列式求解. 【详解】设，因为， 所以，化简得， 则圆与圆有公共点，所以，即，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点和 (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心为，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出半径； （2）点在以为直径的圆上，求出圆方程为，故两圆相交，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】（1）圆化为，故，解得， 所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得. （2）点在以为直径的圆上， 由于点和，故此圆方程为， 从而圆与圆有两个交点，其中圆心距， 只需满足， 得，即，解得 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.当点运动时，直线AB经过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点. 【详解】圆，则圆心，半径， 点为直线上一动点，设， 由题意知在以PC为直径的圆上， 且圆心为，半径为， 则此圆的方程为， 化简得：， 与圆相减，得直线AB的方程：， 即，由，解得， 所以直线过定点. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二下·河南开封·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 6．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 【答案】ACD 【分析】根据圆的半径为，求得的值，可判定A正确；根据点与圆的位置关系的判定方法，可判定B不正确；根据圆圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；根据平分圆C的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D正确． 故选：ACD. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆，恒有公共点 B．圆，至多有三条公切线 C．若圆平分圆的周长，则 D．若圆平分圆的周长，则的最小值为9 【答案】ABD 【分析】由两圆方程的常数项都为0，可知两圆都过原点，且知两圆一定不外离，由此判断A、B；由题中条件，得到公共弦所在直线过点，求出公共弦所在直线方程并代入点列出方程即可判断C；利用C中得到的的关系将转化为二次函数即可求解判断D. 【详解】解：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，圆和圆都一定过原点，则圆，恒有公共点，故A正确； 对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以公切线至多有三条，所以B正确; 对于C，圆平分圆的周长，则两圆的公共弦必过圆的圆心， 联立，整理可得， 所以，即，所以C不正确; 对于D，由C可得，即， 所以， 当时的最小值为9，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 9．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出圆关于直线的对称圆的圆心和半径，则将问题转化为和有交点即可，由圆和圆的位置关系的相关知识即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为， 圆的圆心为，半径为， ， 由题意得，解得. 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）（1）已知圆和．求证：圆和圆相交； （2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系. （2）设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，即， 所以圆和圆相交. （2）由，解得，即点， 设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 依题意，点在直线上，得， 化简得：，所以直线的方程为. 13．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 14．（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)2条，有， 【分析】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【详解】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 15．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相切先确定过且垂直于的直线也过圆心，再利用两直线交点的计算求出圆心，结合两点距离公式计算半径即可得圆的标准方程； （2）利用圆的性质将问题转化为两圆有交点，结合圆心距计算参数即可. 【详解】（1）因为圆C与直线相切于， 所以过且垂直于的直线过圆心C. 易求得该直线为， 又圆心C在直线上， 所以，即圆心， 半径； 所以圆C的标准方程为； （2）由于，所以P的轨迹是以为直径的圆（除外）， 所以以为直径的圆O为：， 又因为P在圆C上，所以圆C与以为直径的圆有公共点，                      易知圆心距，所以，解得. 16．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，求圆的方程； (3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先利用圆的一般方程设出圆的方程，将三个点的坐标代入求出圆的一般方程，再转化为标准方程； （2）先求出已知圆的圆心关于对称直线的对称点，即得到对称圆的圆心，半径不变； （3）根据弦长公式结合圆心到直线的距离公式来求解直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为. 把，，三点分别代入方程可得： 解得，，， 所以圆的方程为，其标准方程为. （2）设圆的圆心.因为圆与圆关于直线对称， 则直线与直线垂直，且线段的中点在直线上. 直线的斜率为，两直线垂直斜率之积为，所以 . 线段中点在直线上，即 . 由得，代入式得：，，解得，则. 所以圆的圆心，半径与圆相同为. 则圆的方程为. （3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 此时到直线的距离，弦长，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因，弦长公式得，两边平方得解得. 所以，两边平方得. 展开得，移项可得. 则直线的方程为，即. 综上所得，直线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$