3.3 多项式的乘法 同步培优 2025—2026学年浙教版数学七年级下册

3.3 多项式的乘法 模块一：知识清单 多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。 模块二：同步培优题库 全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列多项式相乘，结果为的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意．故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 2．若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式法则展开后，根据项的系数相等0可得出a的值 【详解】 ∵的结果中不含项，∴，解得，故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解不含二次项则二次项系数为0 3．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中的新定义将已知等式左边化简，再利用多项式相等的条件即可确定出m的值． 【详解】∵， ∴．∴的值为4． ∴，故选D． 【点睛】此题考查了规律探索，整式的加减法，正确掌握整式的运算法则是解题的关键． 4．如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案． 【详解】解：依题意，， ∵类卡片的面积为，∴需要类卡片张数为，故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 5．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．2 【答案】D 【分析】直接由多项式乘以多项式进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，∴；故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 6．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边， 右边□，∴□内上应填写，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 7．下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可得，阴影部分的面积可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即阴影部分面积；然后把四个选项中的整式都用整式运算法则进行变形，则最终变形结果不是，就是不能表示图中阴影部分面积的整式． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和， 即阴影部分面积； ∵，， ， 又∵， ∴不能表示图中阴影部分面积的是，故A符合题意．故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算法则，准确计算． 8．长方形相邻两边的长分别是 与 ，那么这个长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用长方形的面积公式和多项式乘多项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：长方形的额面积为：；故选D． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键． 7．从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法则面积变为 平方米， ∵，∴，∴面积变小了，故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算． 10．如图，7张长为a，宽为的小长方形纸片不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．当的长度变化时，按照同样的放置方式，若S始终保持不变，则a，b满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与无关即可求出a与b的关系式即可得到答案． 【详解】解：由图可知：左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为a， ∵，∴，∴， ∴阴影部分面积之差 ， ∵当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变， ∴，即 ．故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．计算：______． 【答案】 【分析】根据整式的乘法法则计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握计算法则． 12．若，则m的值为___________ 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，可得，再建立方程组解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算，二元一次方程组的解法，熟练的利用多项式的乘法法则进行计算是解本题的关键． 13．（河南省洛阳市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）已知，是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则______． 【答案】## 【分析】先利用整式的乘除计算出B，进而利用整式的加减法计算即可． 【详解】，是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是， ， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘除和整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 14．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________． 【答案】 【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答． 【详解】根据题意，有： 长方形的面积：， 长方形的面积：， 则剩余部分的面积为：， 即有：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用多项式乘以多项式求解图形的面积的知识，掌握多项式乘以多项式是解答本题的关键． 15．关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为______． 【答案】2 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出m的值即可． 【详解】解：， 由结果不含x的一次项，得到， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________． 【答案】 【分析】根据整式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 17．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________． 【答案】 【分析】根据大长方形的面积个小长方形或正方形的面积公式进行解答． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键． 18．三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）． 【答案】 【分析】根据图形的面积不变原则，分别表示图形的面积即可． 【详解】根据图1，得图形的面积为； 根据图2，得图形的面积为； ∵图形的面积相等， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形面积的不同表示法，正确表示图形的面积是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知的展开式中不含项，常数项是．(1)求m、n的值；(2)求的值． 【答案】(1)，(2)7 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值； （2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 由于展开式中不含项，常数项是， 则且， 解得：，； （2）由（1）可知：，， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20．在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【详解】（1）根据题意得：， ， 所以，， 解得：，； （2）当，时，． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后算加减． （2）利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则求解即可． 【详解】（1）解：原式= =． （2）解：原式= = =． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则等知识，解题关键是牢记运算法则． 22．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积； (2)若，，求出此时绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)196平方米 【分析】（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式，列式求解即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： 平方米； （2）当，， （平方米）． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式混合运算以及代数式求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 23．小亮家刚刚买了一套新房，其结构和尺寸（单位：米）如图，他打算厨房和卫生间铺地砖，其余部分铺木地板，请你帮他解决下面的问题． (1)至少需要多少平方米的木地板？ (2)如果地砖价格在前期元平方米的基础上上涨了元，那么小亮家至少需要花多少钱买地砖？ 【答案】(1)至少需要平方米的木地板 (2)小亮家至少需要花元买地砖 【分析】（1）根据题意列出算式求解即可； （2）首先求出地砖的面积，然后根据题意列式求解即可． 【详解】（1） 平方米， 答：至少需要平方米的木地板； （2） 平方米， 地砖钱数至少为： 元， 答：小亮家至少需要花元买地砖． 【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算的实际应用，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法． 24．用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若，，试比较P与Q的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】(1)利用题中的新定义运算进行运算，即可求出其值； (2)已知等式，利用题中的新定义运算，可得方程，解方程即可求出a的值； (3)首先利用题中的新定义运算，分别求得P、Q的最简式，再利用作差法进行大小的比较，即可判定． 【详解】（1）解： （2）解：， ， 解得； （3）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，理解题意，准确计算是解决本题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 多项式的乘法 模块一：知识清单 多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。 模块二：同步培优题库 全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列多项式相乘，结果为的是(　　) A． B． C． D． 2．若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 3．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 5．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．2 6．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（    ） A． B． C． D．1 7．下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 8．长方形相邻两边的长分别是 与 ，那么这个长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 10．如图，7张长为a，宽为的小长方形纸片不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．当的长度变化时，按照同样的放置方式，若S始终保持不变，则a，b满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．计算：______． 12．若，则m的值为___________ 13．（河南省洛阳市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）已知，是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则______． 14．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________． 15．关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为______． 16．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________． 17．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________． 18．三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知的展开式中不含项，常数项是．(1)求m、n的值；(2)求的值． 20．在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：． (1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算的结果． 21．计算： (1)(2) 22．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积；(2)若，，求出此时绿化的总面积． 23．小亮家刚刚买了一套新房，其结构和尺寸（单位：米）如图，他打算厨房和卫生间铺地砖，其余部分铺木地板，请你帮他解决下面的问题． (1)至少需要多少平方米的木地板？ (2)如果地砖价格在前期元平方米的基础上上涨了元，那么小亮家至少需要花多少钱买地砖？ 24．用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：． (1)求的值；(2)若，求a的值； (3)若，，试比较P与Q的大小，并说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$