专题09 三角形（湖南专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题09 三角形 考点01 三角形的有关性质 1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【解答】解：∵1+3＝4， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ∵2+2＜7， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ∵4+5＞7， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ∵3+3＝6， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 2．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B、∵3+5＝8， ∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵4+5＜10， ∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； D、∵4+5＞6， ∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3.（2025•湖南）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　22.5　度． 【分析】根据题意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数． 【解答】解：∵1宣矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘， ∴∠A＝90°，∠B＝190°＝67.5°， ∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°， 故答案为：22.5． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 考点02 全等三角形的判定与性质 1．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 【分析】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACE的度数是60°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 2．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； （2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴AD＝AE＝6， 在Rt△ACD中，AC10， ∵AB＝AC＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 考点03 直角三角形的性质 1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长． 【解答】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　） A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸 【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长． 【解答】解：依题意得：BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸， 由勾股定理得：． ∴BC的长为24寸． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 3．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　5　． 【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解． 【解答】解：连接CM， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB， ∵点M是AB的中点， ∴CMAB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键． 考点04 线段垂直平分线和三角形的中位线 1．（2025•湖南）如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得垂直平分，则点D为的中点，据此可证明是的中位线，则可得到． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴点D为的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 2．（2024•长沙）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 　24　． 【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 考点05 相似三角形 1．（2024•湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADES△ABC 【分析】根据题中所给条件可得出△ADE与△ABC相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE． 故A、C选项不符合题意． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． 故B选项不符合题意． ∵△ADE∽△ABC， ∴， 则． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 　． 【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到 ∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC10． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． ∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 3．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E． （1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 　 　（结果保留π）； （2）若，则　 　． 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出的长； （2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，连接OC， ∵∠A＝30°，AB＝6， ∴∠BOC＝60°，OB＝3， ∴的长π； 故答案为：π； （2）如图，连接OC， ∵点C为的中点， ∴， ∴OC⊥BD， 又∵EC是⊙O的切线， ∴OC⊥EC， ∴EC∥BD， ∵， ∴， 设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OCx，EOx，AE＝4x， ∴EC2x， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键． 4．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　 　，点A2023的坐标为 　 　． 【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题． 【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n， ∴△A2023OB2023的边长为22023， ∵2023÷6＝337…1， ∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022）． 故答案为：22023，（22022，﹣22022）． 【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型—点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 5．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA； （2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长． 【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠BDA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC， 又∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA； （2）解：由（1）知△ABD∽△CBA， ∴， ∴， ∴BD＝3.6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 6．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4． （1）证明：△ABC∽△DEB． （2）求线段BD的长． 【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论； （2）根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°， ∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE， ∴△ABC∽△DEB； （2）解：∵△ABC∽△DEB， ∴， ∴， ∴BD＝3． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键． 7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB． （1）求证：△ADE≌△A′DG； （2）求证：AF•GB＝AG•FC； （3）若AC＝8，tanA，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长． 【分析】（1）利用ASA证明； （2）要证AF•GB＝AG•FC，也就是证明△FAC∽△GAB，但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明△AFG∽△ACB即可． （3）设DE＝DG＝x，利用S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE建立方程求解． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°， ∴∠A＝∠A'， ∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°， ∴△ADE≌△A′DG（ASA）； （2）证明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB， ∴△AFG∽△ACB， ∴， ∴， ∵∠FAC＝∠GAB， ∴△FAC∽△GAB， ∴， ∴AF•GB＝AG•FC； （3）解：∵tanA，AC＝8， ∴BC＝4， ∴S△ACB＝16， 设DE＝DG＝x，则AD＝A'D＝2x，AE＝A'Gx， ∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x， ∴S△ADE＝S△A′DG＝x2， ∵△A'FE∽△A'DG， ∴， ∴S△A'FE：S△A'DG＝1：5， ∴S四边形DGFES△A'DGx2， ∵S△ACB＝S△ADE+S四边形DCBE，A′G平分四边形DCBE的面积， ∴S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE， ∴16＝x2x2， x2 ∴x1，x2（舍）， ∴AD． 【点评】本题考查了三角形全等和相似，对应（3），设DE＝DG＝x，利用什么等量关系建立方程是关键． 8．（2023•湘西州）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F． （1）求证：AE2＝AF•AD； （2）若sin∠ABD，AB＝5，求AD的长． 【分析】（1）由EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径，得∠AHE＝∠AEC＝90°，而∠HAE＝∠EAC，所以△HAE∽△EAC，则，于是得AE2＝AH•AC，再证明△AHF∽△ADC，得，则AH•AC＝AF•AD，所以AE2＝AF•AD； （2）连接BC，因为∠ADB＝∠CDB，所以，则AB＝BC＝5，由勾股定理得AC5，而∠ACD＝∠ABD，则sin∠ACD＝sin∠ABD，所以ADAC＝2． 【解答】（1）证明：∵EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径， ∴∠AHE＝∠AEC＝90°， ∵∠HAE＝∠EAC， ∴△HAE∽△EAC， ∴， ∴AE2＝AH•AC， ∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°， ∴△AHF∽△ADC， ∴， ∴AH•AC＝AF•AD， ∴AE2＝AF•AD． （2）解：连接BC， ∵∠ADC的平分线交⊙O于点B， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC＝5， ∵∠ABC＝90°， ∴AC5， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴sin∠ACD＝sin∠ABD， ∴ADAC52， ∴AD的长是2． 【点评】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M． （1）求证：AE2＝EF•EM； （2）若AF＝1，求AE的长； （3）求的值． 【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x， 最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答； （3）连接BE，CE，根据正五边形的性质可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，从而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，从而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，从而可证利用ASA可证△FAE≌△EBC，再利用（2）的结论可得：，从而可得，进而可得，最后设△ABE的面积为（1）k，则△AEF的面积为2k，从而可得△ABE的面积＝△DEC的面积＝（1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，进而可求出五边形ABCDE的面积＝2k，再进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝∠AED＝108°， ∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°， ∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°， ∵AM平分∠FAE， ∴∠FAM＝∠MAE∠FAE＝36°， ∴∠F＝∠MAE， ∵∠AEM＝∠AEF， ∴△AEM∽△FEA， ∴， ∴AE2＝EF•EM； （2）解：设AE＝x， 由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°， ∴FM＝AM， 由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°， ∴FA＝FE＝1， ∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°， ∴∠AME＝∠AEF＝72°， ∴AM＝AE， ∴AM＝AE＝FM＝x， ∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x， 由（1）可得：AE2＝EF•EM， ∴x2＝1•（1﹣x）， 解得：x或x（舍去）， ∴AE， ∴AE的长为； （3）连接BE，CE， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°， ∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°， 由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°， ∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB， ∴△FAE≌△EBC（ASA）， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴设△ABE的面积为（1）k，则△AEF的面积为2k， ∴△ABE的面积＝△DEC的面积＝（1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k， ∴五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积＝2k， ∴， ∴的值为． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC． （1）求证：△BAE≌△CAE； （2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M． 求证：①AF•MH＝AM•AE； ②GF＝GD． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE； （2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明； ②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， 又∵E在AD上， ∴EB＝EC， 在△BAE和△CAE中， ， ∴△BAE≌△CAE（SSS）； （2）①连接AH， ∵A，H分别是ED和EC的中点， ∴AH为△EDC的中位线， ∴AH∥DC， ∴∠EAH＝∠EDC＝90°， 又∵DF⊥AB， ∴∠AFD＝90°， 又∵HG∥AB， ∴∠FAD＝∠AMH， ∴△AFD∽△MAH， ∴， ∴AF⋅MH＝AM⋅AD， ∵AE＝AD， ∴AF⋅MH＝AM⋅AE； ②∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM， ∴∠AHM＝∠ACB， ∴△AMH∽△DAC， ∵A、H分别为ED和EC中点， ∴AH为△EDC的中位线， ∴， ∴AMAD，即M为AD中点， ∵AF∥GH， ∴G为FD中点， ∴GF＝GD． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角形 考点01 三角形的有关性质 1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 2．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm 3.（2025•湖南）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　 度． 考点02 全等三角形的判定与性质 1．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 2．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 考点03 直角三角形的性质 1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 2．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　） A． 寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸 3．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　 　． 考点04 线段垂直平分线和三角形的中位线 1．（2025•湖南）如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是 ． 2．（2024•长沙）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 　 ． 考点05 相似三角形 1．（2024•湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADES△ABC 2．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 　． 3．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E． （1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是 　 　（结果保留π）； （2）若，则　 　． 4．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　 　，点A2023的坐标为 　 　． 5．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． （1）证明：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 6．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4． （1）证明：△ABC∽△DEB． （2）求线段BD的长． 7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB． （1）求证：△ADE≌△A′DG； （2）求证：AF•GB＝AG•FC； （3）若AC＝8，tanA，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长． 8．（2023•湘西州）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F． （1）求证：AE2＝AF•AD； （2）若sin∠ABD，AB＝5，求AD的长． 9．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M． （1）求证：AE2＝EF•EM； （2）若AF＝1，求AE的长； （3）求的值． 10．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC． （1）求证：△BAE≌△CAE； （2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M． 求证：①AF•MH＝AM•AE； ②GF＝GD． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$