第11讲等腰三角形（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测)-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第11讲等腰三角形（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等边对等角 典型例题二 三线合一 典型例题三 等腰三角形的判定与性质 知识点一：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）用刻度尺测量得出下图（    ）是等腰三角形． A．B．  C．   D．   2．（23-24七年级上·湖北襄阳·开学考试）甲木条长9厘米，乙木条长7厘米，用这两种长度的木条三根，围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是 厘米 知识点二：等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【即时训练】 1.（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 【典型例题一 等边对等角】 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，点，在边上，．求证：． 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知等腰三角形顶角的度数是，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，平分交边于，则长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【典型例题二 三线合一】 1.（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，是中线，的周长为，的周长为，求的长． 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）山西万荣东岳庙的飞云楼的建筑风格是典型的重檐歇山式，如图①所示，飞云楼的顶端可以近似看作是等腰三角形（如图②），其中，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）结合图，用符号语言表达定理“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”的推理形式：， ，． 4．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 【典型例题三 等腰三角形的判定与性质】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为20，AC＝8，则DC为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD＝AB．求证：△ABC是直角三角形． 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边上的中线，平分分别交、于点O、E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）△ABC如图所示 (1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 3．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角称为“主智慧角”，内角称为“次智慧角”．如图，在中，，，为边上一点，连接．若是“智慧三角形”，且为“主智慧角”，为“次智慧角”，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南昆明·三模）若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 6．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 7．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ）个． ①等腰三角形的底角一定是锐角； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级上·重庆·开学考试）下列对的判断，错误的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，，则是等腰三角形 10．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，的平分线过点，与交于点，若，则的度数为 °． 12．（24-25七年级下·广东梅州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ． 13．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，为的平分线，若，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD= cm． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm． 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． (1)求证：； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 17．（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 19．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲等腰三角形（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等边对等角 典型例题二 三线合一 典型例题三 等腰三角形的判定与性质 知识点一：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）用刻度尺测量得出下图（    ）是等腰三角形． A．B．  C．   D．   【答案】B 【分析】分别量取各三角形的三边长，然后根据等腰三角形两腰相等，进行判断即可． 【详解】解：A中三边长分别为：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求； B中三边长分别为：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求； C中三边长分别为：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求； D中三边长分别为：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形两腰相等． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·开学考试）甲木条长9厘米，乙木条长7厘米，用这两种长度的木条三根，围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是 厘米 【答案】25或23 【分析】此题关键是分两种情况确定三角形的腰和底的长度， 因为根据题意不能确定腰和底的长度，所以分两种情况讨论：①当腰为厘米，底为厘米时，周长为厘米；②当腰为厘米，底为厘米时，周长为厘米． 【详解】解：①当腰为厘米，底为厘米时，能构成三角形， 周长为厘米 ②当腰为厘米，底为厘米时，能构成三角形， 周长为厘米 答：这个等腰三角形的周长是或厘米． 故答案为：或． 知识点二：等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【即时训练】 1.（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等角对等边，根据，得到，即可． 【详解】解：在中，， 则：； 无法得到， 故选B． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 【典型例题一 等边对等角】 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2）， ∴， ∴， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知等腰三角形顶角的度数是，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形两个底角相等，据此利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形的两个底角相等，且顶角的度数为， ∴ 底角的度数， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，平分交边于，则长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，角平分线的定义，得出，再求出，进而根据和差即可得出答案． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，先根据等边对等角得出，，再根据三角形的外角得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角， ， ． 【典型例题二 三线合一】 1.（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，是中线，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】首先根据是中线得到，，然后利用的周长和的周长关系求解即可． 【详解】解：∵，是中线，且， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平， 所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）山西万荣东岳庙的飞云楼的建筑风格是典型的重檐歇山式，如图①所示，飞云楼的顶端可以近似看作是等腰三角形（如图②），其中，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质，利用等腰三角形三线合一性质可得，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可． 【详解】∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）结合图，用符号语言表达定理“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”的推理形式：， ，． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟悉性质内容并会用符号语言表示是解题的关键；根据性质内容，结合图形即可完成． 【详解】解：推理形式为： ，， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 【答案】3 【分析】先根据三线合一定理得到AD⊥BC，再由角平分线的性质即可得到ED＝EF＝3． 【详解】解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝EF＝3． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理和角平分线的性质，熟知三线合一定理和角平分线的性质是解题的关键． 【典型例题三 等腰三角形的判定与性质】 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为20，AC＝8，则DC为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，求出DC的长度，然后根据三角形的周长即可求出DC的长． 【详解】∵EF垂直平分AC， ∴AE=EC， ∵AD⊥BC，AB=AE， ∴BD=DE，AB=EC， ∴DC=DE+EC=， ∵△ABC周长为20，AC＝8， ∴AB+BC=20-8=12， ∴DC=． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记线段垂直平分线和等腰三角形的性质并求出DC的长． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD＝AB．求证：△ABC是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形内角和为即可求解． 【详解】证明：∵CD是中线 ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴△ABC是直角三角形 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，解题的关键是掌握相关基本性质． 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线性质和三角形内角和定理，先由等腰三角形性质得到，再由三角形内角和定理确定，利用垂直平分线性质及等腰三角形的判定与性质即可得到答案，熟记相关几何性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则, 由三角形内角和定理可得, 是的垂直平分线， ,则， , 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边上的中线，平分分别交、于点O、E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）△ABC如图所示 (1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线即可； （2）利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，再根据平行线的性质得到∠EDB＝∠ABD，则∠EDB＝∠EBD，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，BD为所作； （2）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DEAB， ∴∠EDB＝∠ABD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 3．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角称为“主智慧角”，内角称为“次智慧角”．如图，在中，，，为边上一点，连接．若是“智慧三角形”，且为“主智慧角”，为“次智慧角”，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，利用“智慧三角形”的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为“主智慧角”，为“次智慧角”， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·云南昆明·三模）若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质． 根据三线合一得到平分，根据角平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰底边上的中线， ∴平分， ∴点H到直线的距离=点H到直线的距离， 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 6．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 7．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ）个． ①等腰三角形的底角一定是锐角； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰三角形，等边三角形的性质逐一判断即可得解； 【详解】解：等腰三角形的底角一定是锐角，①正确； 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，②错误； 等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线是其对称轴，③错误； 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；④正确； 正确的为：①④，共2个； 故选：B 【点睛】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 9．（23-24八年级上·重庆·开学考试）下列对的判断，错误的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则 C．若，，则是等边三角形 D．若，，则是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据答案选项的条件逐一判断即可． 【详解】解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，，所以△ABC是直角三角形，正确，故选项不符合题意； B．若AB＝BC，∠C＝50°，所以∠A＝∠C＝50°，那么∠B＝80°，故 D选项错误，符合题意； C．若AB＝BC，∠A＝60°，所以∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，正确，故选项不符合题意； D．若∠A＝20°，∠C＝80°，所以∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，正确，故选项不符合题意 . 故选：B． 【点睛】本题考查了解三角形的相关知识，根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键． 10．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角平分线的定义，角平分线的定义得到，结合题意得到的周长为，由的周长为，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为16， 故选：D ． 11．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，的平分线过点，与交于点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的定义得，运用等边对等角，得，结合全等三角形的性质，得，再进行角的整理，即可得的度数． 【详解】∵，的平分线过点，与交于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 12．（24-25七年级下·广东梅州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和是，等腰三角形的两个底角相等得到等腰三角形的顶角是．即可解答问题． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴等腰三角形的底角不可能是， ∴等腰三角形的顶角是． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，为的平分线，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD= cm． 【答案】4.5 【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案． 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D， ∴AD是△ABC的中线， ∵G是△ABC的重心， ∴AG=2GD， ∵AG=9 cm， ∴GD=4.5cm， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm． 【答案】8 【分析】利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，从而求出BG，利用等腰三角形的性质求出BC． 【详解】解：∵△BEF是等边三角形 ∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60° ∵DE＝2cm ∴DF=4cm ∵AB＝AC，AD平分∠BAC ∴AG⊥BC，BG=BC ∴∠GDF=90°-∠EFB=30° ∴GF=DF=2cm ∴BG=BF-GF=4cm ∴BC=8cm 故答案为8 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决问题的关键． 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． (1)求证：； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点是否在的平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵、是的两条高线， ∴， 在和中，     ∵，，， ∴； （2）解：点是否在的平分线上，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在的平分线上． 17．（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 18．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，是底边上的高，E为的中点，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，由三角形的高的定义得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，是底边上的高， ∴，即， ∵E为的中点， ∴． 19．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点C作交的延长线于点H，证明得到，再利用平行线和角平分线得到，得出，即可得出结论； （2）根据条件先得出，再利用对应边成比例及其夹角相等得出，即可得出，，根据等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作交的延长线于点H， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及同角的余角相等，先求出，，，进而证明，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$