（九上预习篇）第21章 21.2.2 公式法-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

第二十一章一元二次方程 预习篇 9.阅读材料： 为解方程(x2-1)2一5(x2一1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2一1=y…①，那么原 方程可化为y2-5y十4=0，解得为=1，y=4. 当y=1时，x2-1=1,x2=2..x=土√2； 当y=4时，x2-1=4,.x2=5..x=士5. ∴.原方程的解为x1=√2，x=一√2，x3=√5,4=一√5. 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程(x2一1)2-5(x2-1)十4=0得到方程①的过程中，利用 法达到了 解方程的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程x一x2一6=0. 21.2.2公式法 学习目标4g 1.读懂求根公式的推导过程。 2.根据一个实数的平方为非负数理解根的判别式 3.会运用根的判别式判断一个一元二次方程是否有根，会根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的 值或取值范围， 4.会利用求根公式解一元二次方程。 知识点讲解g 知识点一一元二次方程根的判别式 1.一般地，式子一4ac叫做一元二次方程a.x2+bx十c=0(a,b,c是已知数，a≠0)根的判别式，通常用希 腊字母“△”表示它，即△=6一4ac. 2.一元二次方程根的情况： (1)当6一4ac时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b一4ac=0时，方程有 (3)当b2-4ac 时，方程没有实数根. 方法技巧：(1)使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值： (2)用判别式可以判断方程根的情况，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根：当△=0时，一 元二次方程有两个相等的实数根：当△<0，一元二次方程没有实数根.反之也成立. (3)当△=b2一4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个根. 【典型例题1】当m为什么值时，关于x的方程(m一4)x2+2(m十1)x十1=0有实数根？ 思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m一4=0和m2一4≠0两 种情况讨论. 解：当m一4=0，即m=士2时，2(m十1)≠0，方程为一元一次方程，总有实数根： 当m2一4≠0，即m≠士2时，方程有根的条件： 8-4ac=[2(m+1D]P-4(m-40=8m+20≥0，解得m>-是， 29 假期：成路 RJ·数学·九年级·上 .当m≥一 且m≠士2时，此方程有两个实数根。 综上所述，当m>一昌时，方程有实数根。 【跟踪练习1】 1.下列方程中，没有实数根的是 A.x2-3x=0 B.x2-6x+10=0 C.x2一6x+9=0D.x2=1 2.关于x的一元二次方程kx2一4x十1=0有两个实数根，则k的取值范围是 A.k>4 B.k≤4 C.k<4且k≠0D.k≤4且k≠0 3.关于x的一元二次方程x2一(m一1)x十(m一2)=0，求证：无论m取何值，方程总有实数根. 知识点二用公式法解一元二次方程 一般形式的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，在△≥0的前提下的根是 .这种求解一元 二次方程的方法叫做公式法. 方法技巧：要用公式解方程，首先化为一般式； 确定系数a,b,c,代人计算判别式： 判别式值与0比，有无实根立马知； 若有实根套公式，若无实根婴要告之 【典型例题2】用公式法解方程4x2一3x一1-3(x一1). 思路点拨：用公式法解方程，必须先找到a,b,如果方程不是一般形式，那么首先要将方程化成一元二次 方程的一般形式 解：去括号，得4x2一3x-1=3x一3，化简，得2x2-3x十1=0. a=2,b=-3,c=1, ∴.△=6-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0. x=二b土B-4ac-3±1 2a 4 原方程的解为=1，函=之 【跟踪练习2】 1.用公式法解方程3x2一2x一1=0时，正确代入求根公式的是 A.x=二（-2)±(-2)-4X3X B.x=二（-2)±W-2)-4X3X(-D 2×3 9 C.x=二2±(-2)1-4X3×(-1D 2×3 D.x=二（-2)±-2)-4X3X(-1D 2X3 2.用公式法解方程： (1)x2-x-2=0: (2)(x+1)(x-2)=4: (3)6x2-2x-1=2x2-2x. 30 第二十一章一元二次方程 预习篇 X学法指导40 1.根据求根公式可知，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有实数根的前提条件是b一4ac≥0. 2.运用公式法时，一定要先将方程化为一般形式，弄清各项系数（不能把系数前的符号漏掉），再代入公式 求解， 五自主检测4 一、选择题 1.用公式法解方程3.x2+5.x十1=0，正确的是 A.x=-5±13 6 Bx=二5±13 C.x=5±13 3 D.x=5±I3 6 3 2.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 A.2x2+2x+1=0B.4x2-4x十1=0 C.x2-2x-1=0 D.-2x2-5x+3=0 3.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2+2x+1=0没有实数根，则是的取值范围是 A.k<2 B.k<2且k≠1C.k>2 D.k≥2 4.若关于x的一元二次方程(m一1)x2+5x十m-3m十2=0有一个根为0，则m的值等于 A.1 B.2 C.1或2 D.0 二填空题 5.用公式法解一元二次方程，得工=二（一3)±》X4X西，则该一元二次方程是 2×4 6.一元二次方程a2一4a一7=0的解为 7.若关于x的一元二次方程（一1）x十x十1=0有实数根，则k的最大整数值是 8.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2+2bx十(a-c)=0有两个相等的实数根，其中a,b,c分别为△ABC 三边的长，则△ABC是 三角形. 三、解答题 9.解方程：x(x一3)=4(x-1). 10.已知一元二次方程x2一3x十m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围： (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根， 31x1=1十√3，=1一√3，第五步。 9.解：(1)换元 (2)设x2■y,那么原方程可化为5y2一y一6=0， 解得1=3，为=一2. 当y=3时，x2=3,x=士3： 当y=一2时，x2=一2，不符合题意含去. ,'原方程的解为1=√3，x1=一√3， 21.2.2公式法 知识点讲解 知识点一 2.(1)>0(2)两个相等的实数根(3)<0 【跟踪练习1】 1.B 2.D【解析】：方程有两个实数根， ,'.根的别别式△一b一4ac■16一4k≥0且k≠0， 即k≤4且≠0.故选D. 3.证明：△=[-(m一1)]2-4×1×(m一2) =m2一2m十1一4m十8=m2一6m十9=(m一3)2≥0， 无论m取何值，方程总有实数根 知识点二 c=-b吐F-4a 2a 【跟踪练习2】 1.D 2.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, ∴2-4ae=(-1)2-4×1×(-2)=9>0. x=-b吐-4a=1±_1士3 2a 2×12 ∴=2=-1 (2)方程整理，得x2一x一6=0， .a=1,b=-1,c=-6. .b2-4ac=(-1)2-4×1×(-6)=25>0. “x=-b生-4@4=-(-1D±5 2 x1=3,x2=-2. (3)方程整理，得4x2-1=0, a■4，b=0,c■-1. .-4ac=16>0. “x=二吐B4c=吉去4 2a -- 自主检测 1.A2.B3.C 4.B【解析】将x■0代入方程，得m2一3m+2■0，由求根公 式解得m=1或2.又因为方程是关于x的一元二次方程， 所以m≠1.所以m=2.故选B 5.4x2-3x+5=0 6.a:=2+√1T,a:=2-√T 7.0【解析】根据题意，得△=1°-4（一1）=-4k+5≥0， 解得长号，且1， k的最大些数值为0. 8.直角【解析】：关于x的一元二次方程(a十c)x2十2bx十 (a一c)=0有两个相等的实数根， .△=0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0..a2=+c2. ,△ABC是直角三角形， 9.解：x(x一3)=4(x一1)， .x2-7x十4=0. a=1,b=-7,c=4, .b-4ac=(-7)2-4X1×4=33>0. x=-吐4a_7±33 2a 2 即7什压=7二 2 2 10.解：(1)方程有两个不相等的实数根， ,.b一4ae>0,即9-4m>0. 解得m<是。 (2)方程有两个相等的实数根， .-4ac=0,即9一4m=0. 9 解得m= 六方程为2-3x+号=0， 3 x1=x4=2 21.2.3因式分解法 知识点讲解 知识点一 1.两个一次式的乘积 【跟踪练习1】解：(1)3x(x一1)=2(1一x), ,3x(x-1)+2(x一1)=0. .(x-1)(3x+2)=0. .x-1■0或3x十2=0 六西=1，=-2 (2)2x(x-1)=3(x-2)+3, .2x(x-1)=3(x-1). .(x-1)(2x-3)=0. .x-1=0或2x-3=0 解得=1：函=是 知识点二(a+b)(a一b) 【跟踪练习2】解：(1)，(x十2)2一4(x一3)2=0， .[(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]-0, 即(3x-4)(-x十8)=0. 则3x一4=0或一x十8=0 解得一号4-8。 (2)方程变形为(3x-1)2-4(x十3)2=0. .(3x-1+2x+6)(3x-1-2x-6)=0. 即5(x+1)(x-7)=0. 则x+1=0或x一7=0. 解得x1=一1，x2=7, 自主检测 1.C2.D3.A 4.B【解析】由原方程，得(x一3)3一4=0，则(x一3一2)(x一3 十2)=0，脚x一5=0或x一1=0.解得x=5,x1=1.故选B 5.x=3,x2=9 6.一1【解析】由题意，得x2一3x一(2x2一x一1)=2，可得 -x2-2x-1=0,.-(x+1)=0.∴x=-1. 7.解：(1)由原方程，得x(x十4)=0， 则x=0或x十4=0， 解得x1=0,x1=一4. (2)由原方程，得2x(x一3)一(x一3)=0， .(x-3)(2x-1)=0. 则x-3=0或2x一1=0 解得五=3，=分 (3)由原方程， 得[2(x十3)-3(x-3)][2(x+3)+3(x-3)]=0, .2(x十3)-3(x-3)=0或2(x十3)+3(x-3)=0. ∴.x1=15,x4=0.6. 8,解：①二方程两边除以x一5时，x一5的值可能为0 ②正确的求解过程如下： (x-5)3=10-2x, .(x-5)2=一2(x-5). .(x-5)2+2(x-5)=0. 则(x-5)(x-3)=0. .x-5=0或x一3=0.解得x=5,x2=3. 97