（九上预习篇）第1章 1.2 怎样判定三角形相似-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（青岛版）

第1章图形的相似 预习篇 1.2怎样判定三角形相似 汉学习目标gwQ一 1.知道基本事实9及其推论，会应用基本事实9及其推论解决问题： 2.熟记相似三角形的三个判定定理，并会运用判定定理证明三角形相似： 3.会应用三角形相似解决实际问题 石知识点讲解4心4w 知识点一基本事实9及其推论 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 2.平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的 【典型例题1】如图，直线41∥∥l,已知AG=0.6cm,BG=1.2cm,CD=1.5cm,求CH的值. D] 拨：由直线4∥儿：∥，得到CS册设CH=x,则DH1,5一，代入数值解方程即可求得 的长 解：h%%瓷器 AG=0.6 cm,BG=1.2 cm,CD=1.5 cm,CH=.c cm,DH=(1.5-c)cm, 是8一解得=0.5甲CH=0,5cm 【跟踪练习1】 L.如图，AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是 A架器 距-恶 c n课架 第1题图 第2题图 2.如图，已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则 BF= () A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 3.如图，在△ABC中，DE∥BC,BD=AE.AB=5,AC=10,求线段AE的长. 33 假期密笼 QD·数学·九年级·上 知识点二相似三角形的判定定理1 1.根据相似多边形的定义，三角分别 ,三边 的两个三角形叫做相似三角形. 2. 分别相等的两个三角形相似 【典型例题2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC-∠ACD. 求证：△ABC△ACD. 证明：在△ABC与△ACD中， :∠ABC=∠ACD,∠A=∠A, ∴.△ABC∽△ACD. 【跟踪练习2】 1.如图，在△ABC中，∠AED=∠B,则下列等式成立的是 A器-裙 B能-品 c器- n品能 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点 F,那么与△BFD相似的三角形是 () A.△BFE B.△BDC C.△BDA D.△AFD 3.如图，已知∠1=∠2=∠3，图中有 对相似三角形. 知识点三相似三角形的判定定理2 两边 ,且 相等的两个三角形相似。 【典型例题3】如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）： (2)请分别说明两对三角形相似的理由. 思路点拨：∠BAD=∠CAE,在此等式两边同时加∠DAC,可证∠BAC=∠DAE,再结合已知中的∠ABC =∠ADE,可证△ABC∽△ADE:利用△ABCC∽△ADE,可得AB：AD=AC：AE,再结合∠BAD= ∠CAE,也可证△BAD∽△CAE. 解：(1)△ABCn△ADE,△ABDn△ACE. (2)①证△ABC∽△ADE,:∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC= ∠DAE.又：∠ABC=∠ADE,∴.△ABCn△ADE. ②i证△MBD△ACE,:△ABC△ADE.A8-AS又：∠BAD=∠CAE.△ABDAACE. 【跟踪练习3】 1.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是 A.∠D=∠B B8股 c常能 D.∠E=∠C 34 第1章图形的相似 预习篇 2.在△ABC和△DEF中，是-距.要使△ACv△DEF,还需要添加一个条件，那么这个条件可以是 (答案不唯一，只需填写一个正确的答案) 3.已知：点P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 知识点四相似三角形的判定定理3 三边 的两个三角形相似， 【典型例题4】如图，D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点. (1)求证：△DEFn△ABC: (2)图中还有哪几对三角形相似？ 思路点拔：根据三商形中位线的性质可得DF=号AC,易得△BDF△BCA,同理可得△AFED△ABC, △CDE∽△CBA,根据有三边对应成比例的三角形相似，可得△DEF∽△ABC. 解：(1)证明：：D,F分别是△ABC的边BC,BA的中点， .DF-TAC. 同理EF=2BC.DE=之AB, 既器 .△DEF∽△ABC. (2):E,F分别是△ABC的边AC,AB的中点， ∴.EF∥BC. ,.△AFEc∽△ABC 同理，△FBD∽△ABC,△EDC∽△ABC .图中还有的相似三角形是△AFE∽△ABC,△FBD∽△ABC,△EDC∽△ABC. 【跟踪练习4】 1.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边长是下列哪 一组时，这两个三角形相似 () A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm.6 cm D.6 cm,7 cm 2.下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是 () A.∠A=∠D,∠B=∠F B祭-且∠B=∠D c能s-品 D0S且∠A=∠D 35 假期好岗饿 QD·数学·九年级·上 3.如图，在△ABC和△ABC'中，D.D分别是AB,AB上一点，把AB. 当品-瓷-治时求证△ABCn△ABC 知识点五利用相似三角形解决实际问题 1.由于太阳离地球非常远，而且太阳的体积比地球大得多，所以可以把太阳光线近似看成平行线.借助太 阳光下的影子测量旗杆的高度，基本思路是利用太阳光是平行光线以及， 构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解 2.借助标杆测量旗杆的高度，基本思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据 构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解. 3.利用镜子反射测量旗杆的高度，基本思路是根据入射角等于反射角， 构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解. 【典型例题5】如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m,在点G处测得自己影长DG=3m, E,D,G,B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m,求灯杆AB的高度. 思路点拨：先摆明△ECD△EAB,利用相复比得到需-品中-什3G秀证明△DPG☑ △DAB,利月相似比得到明后-脂即品3十G于是得到+3年BC3G解得BG=9,然后利用 3 AB3十9求AB的长. 1.63 解：：CD∥AB, .△ECD△EAB. 器器即8+3 4 FG∥AB,∴.△DFG∽△DAB. 招治即83+G ·4+3+BG=3+BG,解得BG=9. ÷83gAB=64m,即灯杆AB的高度为64m 36 第1章图形的相似 预习篇 【跟踪练习5】 1.如图，已知零件的外径25mm,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD)量零件的内孔直径 AB,若OC:AC=1:3,量的CD=10mm,则零件的厚度r为 () A.2 mm B.2.5 mm C.3 mm D.3.5 mm 0.8m G 4 35m -25 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度力为 m. 3.如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树 根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端.小英估计自己的眼睛到地面的距离 为1.6m,则大树的高度是 m. 学法指导24Q 1.经历基本事实9及其推论的探索过程.知道基本事实9的条件是两条直线被一组平行线所截，结论是截得 的对应线段成比例：基本事实9推论成立的前提条件是一条直线平行于三角形的一边且与其他两边相交， 结论是截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 2.经历三角形相似判定定理的探究过程，熟记三个判定定理，知道三个定理成立的条件，然后结合题目所给条 件，选择合适的定理证明三角形相似，通过证明三角形相似利用相似多边形的性质解决实际问题. 3.(1)逆向考虑相似三角形的性质，即两个三角形相似，对应角相等，对应边成比例，在解答此类问题时，通常 可先假设两个三角形相似。 有平行截线一用平行线的性质，找等角 另一对等角 有一对等角，找 角的两对边成比例 夹角相等 有两边对应成比例，找)第三边也成比例 (2)三角形相似的证题思路 有一对直角 直角三角形，找 对锐角相等 斜边、直角边对应成比例 顶角相等 等腰三角形，找 一对底角相等 底和腰成比例 五自主检测4保 一、选择题 L.如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和 △BAC相似的是() A.∠DAC=∠ABC B.AC是∠BCD的角平分线 C.AC=BC·CD D.AD_DC AB AC 37 假期母留器 QD·数学·九年级·上 2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AE⊥BC于点E,交BD于点F,下列三角形中不一定与△BCD相似 的是 () A.△BFE B.△AFD C.△ACE D.△BAE 2 第2題图 第3题图 3.如图小明在作业纸上画出(1)，(2)两组三角形，每组各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对 于图(1)、(2)中的两个三角形而言，下列说法正确的是 () A.都相似 B.都不相似 C.只有①相似 D.只有②相似 4.如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是 3 A.①④ B.①③ C.②③ D.②④ 二、填空题 5.如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件 是 D 6.为了测量一棵树的高度，小梦在同一时间、同一地点测得小兰身高1.5m,她的影子长是2.4m,树的影子 长是4m,则这棵树高有 m. 7.在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在：x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 时，使得△BC∽△AOB. 三、解答题 8.如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C,求证：△ABC∽△ADE B 9.如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图 形，直线OC是它的对称轴.已知DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm.求点A与点B之间的距离. 38 第1章图形的相似 预习篇 10.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上， (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由： (2)P,P,P,P,P,D,F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶 点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明 理由). 1.3相似三角形的性质 级学习目标gQ 1,知道相似三角形的对应高、中线、角平分线等成比例，并会运用求值： 2.知道相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并会运用求值. 的知识点讲解4g 知识点一相似三角形对应线段的比等于相似比 1,相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 2.相似三角形周长的比等于 【典型例题1】R△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别为边AB,BC上的点，且CD=CA,DE⊥AB,求证：CA =CE·CB: DC CE 思路点拨：通过证明△DCE△BCD,可得BC=C步·从而得出结论. 证明：(1)，DE⊥AB. .∠EDB=∠ACB=90°. ∴.∠A+∠B=90°=∠B+∠DEB. ∴.∠A=∠DEB. CA=CD. ∴.∠A=∠CDA. ∴.∠CDA=∠DEB. ·∠CDB=∠CED. 又：∠DCE=∠BCD, 39当202_302时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D 边成比例但无法江明其夹角相等，故其不能推出两三角形 30 20 相似：C.符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角 相似，解得x=9 形相似，故选B. 8.解：边框外缘所围成的矩形的长为640cm,宽为420cm, 2.∠B=∠E(答案不唯一). 长与宽的比为640：420=32：21， 3.证明：在正方形ABCD中， 而矩形ABCD中，6001400=3：2， ,32：21≠3￥2，即对应边不成比例。 Q是cD的中点認-2 ∴，边框内外边象所国成的两个矩形不相似 9.解：当(100十3)：100=(80+2x)￥80时，小路内，外边缘 所围成的两个矩形相似， 又：c-20Q瓷-2 解得r-1.2. 答：当为1,2m时，小路内，外边缘所国成的两个矩形相似 在△ADQ和△QCP中，提-器.∠C=∠D=90, 1.2怎样判定三角形相似 ∴.△ADQ△QCP. 知识点讲解 知识点四对应或比例 知识点一 【跟踪练习4】 1.成比例2.三边对应成比例 l,C【解析】设△DEF的另两边为rcm,ycm 【跟踪练习1】 若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm: 1.A 2B【解折1a/6/c合S架 别言-嘉=音解得15y=6 若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm, AC=4,CE=6,BD=3, “音-品解得DF=5 则.言=音解得x=品2y=4.8: 若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm, ,BF=BD+DF=3十4.5=7,5.故选B. 3DEBc裙能 则音--六解得一号y-号故选C 2.B【解析】A.∠A=∠D,∠B=∠F,可以得出△ABC'∽ 'BDAE..'.ADAB-BDAB-AE. AB-5.AC-10,..5-AE_AE △DFE,此比选项不合题意：B-诉县∠B=∠D,不 5 101 AB AE-10 是两边成比例且大角相等，故此遍项特合题意：C龍 3 BC AC 知识点二 EF一示，可以得出△ABC∽△DEF,故此选项不合题意： 1.相等对应成比例2.两角 【跟踪练习2】 n提-品县∠A=∠D,可以释出△ABC△DEF,或比 1.C【解析】'∠AED-∠B,∠A-∠A, 选项不合题意，故选B △ADEn△ACB是福-器技选C 4证開：治密。 2.C【解析】，△ABC与△BDE都是等边三角形 ·∠A=∠BDF=60, 品指 ,∠ABD=∠DBF, .△BFD∽△BDA. ,',与△BFD相似的三角形是△BDA.故选C. 需指品 3.4【解析】∠A=∠A,∠1=∠2， .△AD∽△A'D'C' ,'.∠ADE△ABC .∠A=∠A', :∠A=∠A.∠1=∠3， '.△ADE∽△ACD “指带 .△ABC∽△ACD .△ABC∽△A'B'C. ∠1=∠2， 知识点五 .DE∥BC 1.人旗杆与地面垂直 .∠EDC=∠DCB. 2.人标杆旗杆与地面垂直 ∠2=∠3. 3.人旗杆与地面垂直 ∴.△BDC△CED. 【跟踪练习5】 知识点三对应成比例夹角 L,B【解析】两条尺长AC和BD相等，OC=OD。 【跟踪练习3】 ..0A=OB. 1.B【解析】∠1=∠2， OC+AC-1:3. ∴.∠1+∠BAE=∠2十∠BAE,即∠DAE=∠BAC. ∴.0C￥OA=1￥2. A和D特合有两组角对应相等的两个三角彩相似：且.对应 .OD:OB=OC:OA=112. 88 .∠COD=∠AOB, △AOC△DOB ∴.△AOB△C)D. 故选A. CD AB=OCOA=112. +.B【解析】①号三角形的边长分别为w5,√/10,5：②号三角 CD=10 mm. 形的边长分别为√5,2√瓦，、17：③号三角形的边长分别为 ,∴.AB=20(mm) /2,2,√10：①号三角形的边长分别为√2，w5,3:对应边成 ,∴.2x+20=25. 比例的是①和③.故选B '.r=2.5(mm). 5.∠A=∠CBD或∠CDB=∠ABC(答案不唯一). 故递B, 6.2.5【解析】设树高为h未， 2.1.5【解析】知图，：DE∥BC,.△ADE△ACB.=C DE 同一时制物高与影长成正比， -AE 4 .1.512.4=h14, 后·州31+5·h一1.5m】 解得h=2.5. 7.(-1,0)或(1,0)【解析】点A的坐标为(4,0)， .A0=4. 08m ,点B的坐标为(0,2)， .0B=2. 3.8【解析】：∠ABC=∠DBE 若△BOC∽△AOB, ∠ACB=∠DEB=90, 器-票竖 ,.△ABCo△DBE ∴.OC=1. ..BC BE=AC:DE, 故点C的坐标为（一1,0）或(1,0). 脚115=1.64DE 8.证明：：∠1=∠2： ∴.DE=8m ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠BAC 自主检测 ∠AEDm∠C, 1.C【解析】在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC, .△ABC△ADE 果△AD(Ctn△BAC,需满足的条件有①∠DAC=∠ABC 9.解：如图，连接AB交直线OC于点E,得AB⊥(OC,AE=BE 或AC是∠BCD的平分线： ∴.OC=√0D+CD=√24+10=26(mm). ©铝故选C :∠AOE=∠COD. 2.D【解析】BD⊥AC,AE⊥BC, ∠OEA=∠ODC=90°， ,'.∠BDC=∠AEC=90. △OAE∽△OCD. .∠DBC+∠C=∠EAC+∠C=9O. '.∠DBC=∠EAC 带兴普-器 ,.△ACE∽△BCD ,.AE=15mm, 又：∠ADF=∠BDC=90°， ..AB=2AE=30 mm. ,△AFD∽△BCD. 10.解：(1)△ABC和△DEF相似 '∠FBE=∠DBC,∠BEF-∠BDC-9O 根据勾骰定理，得AB=25,AC=5,BC=5,DE=4√2， '.△BFE∽△BCD. DF=2v2,EF=2/10. ,一定与△BCD相似的是△BFE,△AFD,△ACE, 故不一定与△BCD相椒的是△BAE. 提器 故选D ∴.△ABC∽△DEF 3.A【解析】如图①，，∠A=35,∠B=75 (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个即可. ÷∠C=180°-∠A-∠B=70. △DPP,△PPF,△DPP,△PPD,△P,PP, :∠E=75°，∠F=70°， △FDP1. .∠B=∠E,∠C=∠F ,.△ABC∽△DEF: P 1.3 相似三角形的性质 图2 如识点讲解 知识点一 如图④，，0A=4,OD=3.C=8,OB=6, 1,相似比2.相似比 品器 【跟踪练习1】 1.A ,∠AOC=∠DOB. 2.D【解析】BC∥DF, 89