（九上预习篇）第2章 5 三角函数的应用-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（鲁教版五四学制）

假期品器 小·数学·九年级·上 5 三角函数的应用 X学习目标4Q. 1.知道仰角、俯角的概念，并会用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的问题， 2.知道方向角的概念，并会用解直角三角形的知识解决与方向角有关的问题 3.知道坡度的概念，并会用解直角三角形的知识解决与坡度有关的问题. 7s知识点讲解22g4gg.… 知识点一仰角、俯角问题 仰角是向上看的视线与水平线的夹角：俯角是向下看的视线与水平线的夹角. 【典型例题1】如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A,B时，在雷达站C 处测得点A,B的仰角分别为34°，45°，其中点O,A,B在同一条直线上，求A,B两点间的距离.（结果精确 到0.1km,参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) 思路点拨：在Rt△AOC中，求出OA,在Rt△BOC中求出OB,即可解决问题. 解：由题意可得∠AOC=90°，OC=5km. 在R△A0c中，an3r-82, 349 45° 3 km C ∴.0A=0C·tan34°≈5X0.67=3.35(km). 在Rt△BOC中，∠BCO=45°， ..OB=OC-5 km. ∴.AB=OB-OA=5-3.35=1.65≈1.7(km). ,∴.A,B两点间的距离约为1.7km 【跟踪练习1】 1.如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是 A.35 B.45 C.55 D.65 2.如图，某飞机在空中A处探测到地平面上的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为a,飞行高度AC-a, 则飞机到目标B的距离AB为 () A.a·sina B.a sing C.a·cosa cosa 第2题图 第3题图 3.如图，在高度是24米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建 筑物的高度CD= 米.（结果可保留根号） 知识点二方向角问题 在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数. 【典型例题2】如图所示，C城市在A城市的正东方向，现计划在A,C两城市间 E 北 修建一条高速公路（即线段AC),经测量，森林保护区的中心P在A城市 个东 的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在B 309 609 的北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的 圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区？为什么？（参 考数据：v3≈1.73) 48 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 思路点拨：过点P作PH⊥AC于，点H,求出PH与100比较即可解决问题. 解：不会.理由如下： 北 如图，过点P作PH⊥AC于点H. 由题意可知∠EAP=60°，∠FBP=30°， 609 ∴.∠PAB=30°，∠PBH=60. ∠PBH=∠PAB+∠APB, ∴.∠BAP=∠BPA=30°. .'.AB=BP=120 km. 在RAPBH中，sin∠PBH=P, BP PH=BP·sin60°=120X9≈103.8(km), ,103.8>100,∴.这条高速公路不会穿越保护区. 【跟踪练习2】 1.如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56 n mile的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45方向匀 速驶离港口P,4h后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是 () A.7√2 n mile/h B.7√3 n mile/,h C.7.6 n mile/h D.282 n mile/h 必 北 个东 601459 160e 0 第1题图 第2题图 2.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km,某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达 B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 3.如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°方向上，轮 船又由A向北航行30 n mile到B,测得灯塔在其北偏西76°方向上. (1)求∠ACB的度数； (2)当轮船在B处时，轮船到灯塔C的距离是多少？ 知识点三坡度、坡角问题 (1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一 般用i表示，常写成i=1:m的形式 (2)把坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度i与坡角a之间的关系为i=么=tana 49 假期母留宽 L小·数学·九年级·上 【典型例题3】为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高 2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1(即BD:BE=1：1),如图所示，已知AE=4米，∠EAC =130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈L.2) 思路点拨：设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得 D 到BD=BE,进而列出关于x的方程，求出x的值即可. 解：设BC=x米，在Rt△ABC中，∠CAB=180°-∠EAC=50°， 130 AB-tanco 6, 在Rt△BDE中，i=BD:BE=11,.BD=BE. CD+BC-AE+AB,+5 元 解得x=12. ∴.水坝原来的高度为12米. 【跟踪练习3】 L.如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD,BD=2CD,设斜坡 AC的坡度为ic,坡角为∠ACD,斜坡AB的坡度为is,坡角为∠ABD,则下列结论正确的是() B水平面 A.inc=2iA B.∠ACD=2∠ABDC.2ic=i D.2∠ACD=∠ABD 2.如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1：3,斜坡CD的 坡度i'=1:2.5,则坝底宽AD= m 6 B市自 ie1:3 i=12.5 23m D E 3.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10m,其 坡度为i1=1:√3，将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1:4,求斜坡AF的长度.（结果精确到0.01m,参 考数据：3≈1.732，√17≈4.123) 50 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 Xa学法指导4Q.→ 1.解决仰角俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实 际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决 2.在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角 三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角. 3.在解决有关坡度的问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是该锐角的正切 值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.应用领域：①测量领域；②航海领域：③ 工程领域等。 五自主检测44g. 一、选择题 1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为a,则树OA的高度为 () A.tm B.30sina m C.30tana m D.30cosa m 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东 60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 A.250米 B.2503米 c95米 D.500w2米 3.如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M,N两地，俯角分别为30°，45°，则M,N两地的距离为() A.200米 B.200√3米 C.400米 D.200(W3+1)米 4.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜 角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为 () A.2/3m B.2√6m C.(23-2)m D.(2√6-2)m 二、选择题 5.如图，在吉林北大湖滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为 每分50米，从山脚下A到达山顶B乘缆车需要14分，则山的高度BC可以表示为 31 A 第5题图 第6题图 6.如图，小明在教学楼AB的楼顶A处测得对面实验大楼CD的顶端C的仰角为a,底部D的俯角为B,如果 教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为米 51 假期母假宽 小·数学·九年级·上 7.如图所示，在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站，已知AB=2km,从A处测得船C在A的北偏东60的 方向上，从B处测得船C在B的北偏东30的方向上，则船C离海岸线L的距离（即CD的长）为 km. 十东 13 602 第7题图 第8题图 8.某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB,调整为坡 度=1：√3的新传送带AC(如图所示).已知原传送带AB的长是4√2米.那么新传送带AC的长 是 米 三、解答题 9.如图，海中一小岛有一个观测点A,某天上午观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南 向北匀速航行.B处距离观测点30√6海里，若该渔船的速度为每小时30海里，问该渔船多长时间到达观 测点A的北偏西60°方向上的C处？（计算结果用根号表示，不取近似值） 10.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部 门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3. (1)求新坡面的坡角a: (2)原天桥底部正前方5米(PB的长)处的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由. 52.∠C=45 ∠A=38°.∠CBN=76 ∴.CD=AD-3. .∠ACB=76°-38-38. △ABC的面积=之×3X3+D-号 (2):∠ACB=∠A=38, .'BC=AB-30 n mile. 5 三角函数的应用 .当轮船在B处时，轮船到灯塔C的距离是30 n mile. 知识点讲解 知识点三坡度，坡角问题 知识点一 【跟踪练习3】 【跟踪练习1】 L.A【解析】根搭两，点之间的仰角与俯角构成的两条水平线 LA【解折w-品m-品6BD-2CD, 央角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角 AD 1AD 1 是35.故选A im2C02×CDzi加，即ix=2im 2.B【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=a,AC=d, 故C错误，而B,D选项无法判断 故选A “m一6 2.132.5【解析】，AB的坡度i=1·3, AB品 改选B 3.(24+85) 【解析】如图，过点A作AE⊥CD于，点E BE=23 m, ..AE=69 m. BC=6 m. '.EF=6 m. ,CD的坡度'=1t2.5, :∠AED=∠EDB=∠ABD=90.∴.四边形AEDB是矩形. :∠DAE=45.,四边形AEDB是正方形.AE-DE mD-带- ,'.DE=AE=BD=AB=24米 流动 在R△ABC中，CE=AE·tm∠CAE=24×5 =83(米). .DF=57.5m ,.AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5(m. 则CD=DE+CE=(24+83)米. 知识点二 3.解：，DE=10m,其坡度为i1=1:3, 【跟踪练习2】 :罡清即E-c 1.A【解析】设货船的航行速度为r n mile/h,4h后货船在点 B处，如图，作PQ⊥AB于点Q由题意得AP=56 n mile,. .在R△DCE中，DE=√CD+CE区=2CD. BP=4 r n mile,在Rt△APQ中，∠APQ=60,所以PQ ∴.CD=5m 28 n mile.在R1△PQB中，∠BPQ=45°，所以PQ=BP× :四边形ABCD为矩形， AB=CD=5 m. c0s45=2W2x.所以2√2x=28,解得x=7/2.故这A. ,斜坡AF的坡度为i2=1:4, 北 .BF=4AB=20(m). 60P4452 在Rt△ABF中，AF=√AB+BF=5√17≈20,62(m). .斜坡AF的长度约为20.62m 2.2√2km【解析】如图，过点A作AD⊥OB于点D. 自主检测 在Rt△AOD中，∠AD0=90,∠AOD=30°，OA=4km. 1.C ∴AD=号OA=2km在R△ABD中，∠ADB=90,∠B 2.A【解析】由题意得∠A0B=90°一60°=30°，0A=500米. =∠CAB-∠AOB=75°-30°=45.BD=AD=2km, AB⊥0B,∠AB0=90.AB=号0A=250(来). AB=√2AD=22km.该船航行的距离（即AB的长）为 故选A 2/2 km. 3D【解析】如图，过点A作AB⊥MN于点B.在Rt△ABM 中，∠ABM=90°，AB=200米，∠M =30,anM-"- BM 3 ∴.BM=200/3米 在R△ABN中，∠ABN=90°，∠N=∠BAV=45, 3.解：(1)规察图形，得∠NBC=∠A十∠ACB. 80 ,BN=AB=200来.∴.MN=200V3+200=200(3+1D米. AB·sin45=30√3（海里）. 故选D 在R△APC中，∠APC=90°，∠PAC=90°-60°=30°， 4B【解折1在R△ABD中，”n∠ABD-铝AD an∠PAC=S 3 460=25(m.在R△AcD中，sn∠ACD=把. ,'.CP=AP·tan∠PAC=30(海里). ,CP+BP=C=(30+30V3)海里， AC-品幕=26m.故选且 ∴.航行时间为(30+30V5)÷30=(1+5)时. 5.700sin31米【解析】在RL△ABC中，∠ACB=90, 即该渔船从B处开始航行(1十√3)小时到达C处. ∠BAC=31”, 10.解：(1)，新坡而的坡度为1√3 :AB=50X14=70米).m∠BAC-那 ,.BC=sin∠BAC·AB=700sim3I(米). CAD-后-得a-那 .新坡而的坡角a为30 6.m【解析】如图，连接AH. tan? (2)文化墙PM不需要拆除，理由如下： 由题念知四边形ABDH是矩彩， 如图，过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6米 则DH=AB=m米. 在R△MDH中，∠DAH=A∠DAH-=R D 点AH米 坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：√3， 在R△ACH中∠CAH=e,m∠CAH-得 .BD=CD=6米，AD=63米 ∴AB=AD-BD=(63-6)米<5米. ∴，CH=tna· 品米 ,.文化墙PM不需要拆除。 6利用三角函数测高 知识点讲解 知识点 1.测倾度盘铅锤支杆 2.(1)中心铅垂0°(2)直径 7.3【解析】根据题意，得∠CAD=90°-60°=30，∠CBD 【跟踪练习】解：根据题意，可知∠A(CB=45,∠ADB=60°， =90°-30°=60°. CD=50 m. ∴.∠ACB=∠CBD-∠CAD-30° 在R△ABC中，由∠BAC=∠BCA=45,得BC=AB. ∴∠CAB=∠ACB. ∴BC=AB=2km 在R△ABD中，南m∠ADB-品 在R△CB中，CD=c·sn60-2x号-B(n. 得DmE品-号B AB 8.8【解析】如图，过点A作ADLCB的延长线于点D. 又：BC-BD-CD, AB-号AB=50, 1:3 即(3-3)AB=150. 45 ÷AB=150≈118m. 3-√3 :∠ABD=45,.AD=BD. 该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118m :AB=42米， 自主检测 1.D 六AD=BD=AB·in45=4W2×号=4（米）. 2 2.C【解析】D、②可利用三角函数的知识，求出AB的长： :AC的流度=原，品高后则CD=5来 ③可通过三角形相似求出AB的长：①无法求出.故选C 3.C【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E, 故AC=√AD+CD=8(米). 9,解：如图，过点A作AP⊥BC,垂足为 60 P. 在Rt△APB中，∠APB=90°，∠PAB =5,AB=306海里，∴.BP=AP= 则四边形ADCE为矩形. 81