（九上预习篇）第2章 1 锐角三角函数-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（鲁教版五四学制）

假期母留器 ·数学·九年级·上 第二章直角三角形的边角关系 X衔接思维导图心gQ一 实际背最 锐角三角函数的定义 锐角三角函数的计算 30.45.60°角 股锐角的 由三角函数 的三角函数值 三角函数值 值求锐角 解直角三角形 三角函数的应用 利用三角函数测高 1锐角三角函数 X☒学习目标e4Q一 1.理解正切的概念，并会计算角的正切值， 2.了解坡度、坡角的概念，并会解决实际问题 3.理解正弦、余弦的概念，并会计算角的正弦、余弦值. 4.知道三角函数的性质 s知识点讲解4g低… 知识点一正切 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边BC与邻边AC的比便随之确定，这 个比叫做∠A的 ,记作 ,即 斜边c ∠A的对边a dc ∠A的邻边b 【典型例题1】已知在长方形ABCD中，AB=3,BC=1,则tan∠DAC= 解析：如图，连接AC,在长方形ABCD中，AB=3,BC=1, CD=3AD=1.∠D=0.am∠DAC-8- 答案：3 【跟踪练习1】 L.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,BC=2,那么tanB的值等于 A号 c. D26 5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是 34 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC,D为AC的中点，求tan∠ABD的值. 知识点二坡度 坡面的 与 的比称为坡度（或坡比），一般用i表示 【典型例题2】如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米 高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为 ()传送带 A1:2.6 B1:最 577777777777777 C.1:2.4 n1:是 解析：如图，根据题意知AB=13,AC=5, 则BC=√/AB-AC=√13-5=12， 传送带 斜技的坡度=uan/ABC-瓷-是-1t24 B77777777 故选C 答案：C 【跟踪练习2】 如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD=BE-15cm,深DE=30cm,在台阶处加装一段斜坡作为 无障碍通道，设台阶起点为A,斜坡的起点为C,若斜坡BC的坡度i=1:9,则AC的长为 cm. 知识点三正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的 ,记作 ,即 :∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 斜边 ∠A的对边a 的 ,记作 ,即 ,锐角A的 和 都是∠A的三角函数. ∠A的邻边6 【典型例题3】如图，在Rt△ABC中，a=5,c=13,求sinA,cosA. 思路点拨：首先利用勾股定理得出AC的长，再利用锐角三角函数关系分别求出 B 即可 解：在Rt△ABC中，a-5.c=13..AC=√C-a=12. smA-指-总oM-6-号 AB 13 【跟踪练习3】 1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值 A不变 且缩小为原来的号 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 2.在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则sin∠AOB的值为 A号 C26 5 n 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,则cosA的值是 A号 4 n号 35 假期母留宠 ·数学·九年级·上 4.如图，A,B,C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为 5.在R△ABC中，∠C=90,AB=6,osB=号，则AC的长为 知识点四三角函数的性质 在直角三角形中，锐角越大，其正切值越 ,正弦值越 ,余弦值越 【典型例题4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90,45°<∠A<90°，则下列各式成立的是 A.sinA=cosA B.sinAcosA C.sinA>tanA D.sinA<cosA 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，45<∠A<90°，.BC>AC sinA-指osA-6sinA>msA 由此可判断B项正确，A,D项错误。 intAC,sinA<tanA. 由此可判断C项错误.综上，应选B. 答案：B 【跟踪练习4】 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 A.tan70°<cos70°<sin70 B.cos70°<tan70°<sin70° C.sin70°<cos70°<tan70 D.cos70°<sin70°<tan70° X学法指导4服 L熟记正切的概念，在求解正切时，可先根据勾股定理或直角三角形的性质求解出所需要的数值，然后再求正 切的值. 2.熟记正弦、余弦的概念，在求解正弦、余弦值时，可先根据勾股定理或直角三角形的性质求解出所需要的数 值，然后再求正弦、余弦值 a自主检测保 一、选择题 L.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为 A号 A号 c号 D.Z 2.河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度=1：√3，AB=6m,则BC的长是 B A.3 m B.3 m C.3/3m D.6 m 3.在Rt△ABC中，∠C-90°，各边都扩大5倍，则tanA的值 A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定 36 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 4.在①0<cosa≤1(0°<a≤90°)：②sin78°>cos78°，③sin45>tan45°：④sin25°=cos65这四个式子中，正确 的是 () A.①③ B.②④ C.①④ D.③④ 二、填空题 5在R△ABC中，∠C=90,mB=号则anB= 6在R△ABC中，∠C=0,aB=点，BC=15,则AC= 7.已知sina=2m一3，且a为锐角，则m的取值范围是 8.AE,CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE:CF=3:2,则sin∠BAC:sin∠ACB等于 三、解答题 9.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10,求∠A的正弦、余弦，正切的值. 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，imA=号，D为AC上一点∠BDC=45,DC=6,求AB的长. L如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90,AD=6,simA=青，BC=12,求∠C的三个三角函数值 37m=号x4=2 .点P(4,2) ”函数y一生(>0)的图象过点户 ∴.k=4×2=8. （2将y=3代人y号x中，得x=6. .点A(6,3) 将)=3代入y一是中，得x=号 点B(号3)∴AB=6-号-9 3 =31 20.解：(1)把点B(-1,2)代人y=”中，得m=一2. ”点A(一4，)在反比例函数y一的图象上， .-4n=-2. m=2 ∴点A(-4,2) :点A(-4,2),B(-1,2)在一次函数y=x+6的 象上， =2 b=2 :一次函数的表达式为y一受十受m的值为一2 (2②设点P的坐标为(，2+）， 则5e=号×2X+4)=+1, 5m=×1x(2--）)=-- 'S△PC=SAPED, 51 =5 ∴点P的坐标为(-号，)》 第二章 直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 知识点讲解 知识点一正切tanAtanA ∠A的对边 a ∠A的邻边 【跟踪练习】 L.C【解析】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=3,BC-2, .AC=VAB-BC=√3-z=5 ∴tanB=AS-5 BC 2 故选C 2.22【解析】在R△ABC中，∠C=90°， 设BC=x,则AB=3x,AC=√AB-BC=22x, 尉amB-瓷-2E. 3.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E 设AC=BC=2a,根据勾股定理， 得AB=22a. D为AC的中点，∴AD=a ∠A=∠ABC=45,DE⊥AB. ∴.△ADE是等腰直角三角形. .DE-AE-,BE-AB-AE-3/ 2 mABD-器- 知识点二铅直高度水平宽度 【跟踪练习2】240 【解析】如图，延长BE交CA的廷长线于 点F,则BF=30m c ,BF_1 :坡度=1：9，…C示=9 ∴.CF=9X30=270(cm). ∴.AC=CF-DE=270-30=240(cm). 知识点三正弦sinA sinA-∠A的对边 余弦cosA 斜边 0A=∠A的邻边正弦余弦正切 斜边 【跟踪练习3】 1.A 2.C【解析】如图，作AE⊥OB交OB于点E. 在R△AOE中，AE=4,OE=2, ∴.0A=√AE+0E=25. A08错清- 故选C 3.B【解析】在Rt△ABC中，AB=√3+4=5. imA-品-专k选B 4号 【解析】如图，连接BC ”每个小正方形的边长均为1， ,AB=+3=√10，BC=√+2 =5,AC=+2=√5 .AB=BC+AC △ABC是直角三角形. sin∠BAC-S=互=2 AB 102 5.25 【解折o8=号器-号 AB=6,∴BC=4,∴，AC=√AB-BC=25. 知识点四大大小 【跟踪练习4】D【解析】根据锐角三角函数的概念，知si70 <1,cos70°<1，tan70>1. 又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大， '.sin70>cos70=sin20. 75 故选D. 自主检测 1.D【解析】如图，取格点D,连接BD 根据图象可知∠ADB=45十45°=90°， BD=√/+1平=2，CD=√2+2=22， Ac器指古 故选D. 2.B【解析】，斜坡AB的坡度=1t√3， '.设BC的长为xm,则AC的长为W3xm x2+(3x)=62 解得x=3或一3（负值舍去）. 故选B 3.A4.B 55【解析1周，在R△ABC中，∠C-90,nB=S -号，设AC-2红，则AB=3x, .BC=√AB-AC=√/5x ∴tamB-AS=2g-25 BC 5x 5 B 636【解折I:cosB=器-高，BC=15AB=30, 由勾股定理，得AC=36. 7.是<m<2【解析Ja为战角∴1>sina>0, 则1>2m-3>0,即 亿n一301解得2>m心是 12m-3<1, 8.2:3【解析】如国， ”sn∠BAC-Esn乙ACB-能， AC ∴∠BACi血∠ACB-是：能 CF:AE-2:3. 9.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10, .AC=AB-BC=√10-6=8 即∠A的正弦值为，余弦值为号，正切值为子 10.解：在△BCD中，∠C=90°，∠BDC=45°， ,∠DBC=45°.，.BC=DC=6. 在Rt△ABC中，∠C=90°， 血A=号-器A=警=音×6=16 L解：A-器-号设D-,则AB=5正 在Rt△ABD中，(5x)-(4x)=62,解得x=2. 76 .BD=8,AB=10.∴.CD=√/BD+BC=4√I3. hc-器添最压ac器4 =亮瓜， mc肥-是-号 230°，45,60°角的三角函数值 知识点讲解 知识点 a sina COSa tana 30 2 5 受 号 60 2 3 【跟踪练习1】 1.A2.C 3C【解折：in30=之 .75°-0=30. 0=45.故选C. 4解：D原式=2×号-1-V1- =3-1-(w3-1) =0. (2)原式=}×+， 3 sin40 =+4-号+2-1 =3. 知识点二 【跟踪练习2】 1.C【解析】：∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B,∠C= 90°， ,2∠B+∠B+90°=180°. ∴.∠B=30 .∠A=60° ∴mA=sns0-号 故选C 2.B【解析】在R△ABC中，∠C=90 ..oo ∠A=30° ∠B=60 tanB=tan6o°=√3. 故选D 3.45【解析】：∠C-90°，AC=52,AB=10, coA-A光-0-号∴2A=46 AB 10 4解：2oasa-15)）5,cmsa-15)号