（九上预习篇）第2章 6 应用一元二次方程-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期母带 BS·数学·九年级·上 6 应用一元二次方程 X☒学习目标g4职.· 1.掌握有关增长率方面的应用题。 2.能熟练地用一元二次方程解决有关行程方面的应用题. 3.经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系来建立 一元二次方程. 8如识点讲解4g展· 知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤 列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为 1.“审”是指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的数量关系。 2.“设”是指设元，也就是设未知数，设元又分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，如 果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂，这时可以考虑间接设元，间接设元虽然所设未知数 不是我们所要求的，但对列方程有利，因此间接设元也是经常用到的一种方法. 3.“列”就是列方程，这是非常重要的步骤.列方程就是找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未 知数的等式，即方程. 4.“解”就是求出所列方程的解. 5.“验”是指检验方程的解能否保证实际问题有意义， 6.“答”就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 知识点二列一元二次方程解应用题的主要类型 I,面积、体积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出 未知量与已知量的内在联系，根据面积、体积公式列出方程， 【典型例题1】如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分别出2个小长方形，与 墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米 (1)为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米： (2)用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由. 思路点拨：(1)设AB的长为x米，则BC的长为(34+2一3x)米，从而得到方程x(34十2-3x)=96. (2)根据题意得到方程x(34十2一3x)=110,确认方程是否有解即可. 解：(1)设AB的长为x米，则BC的长为(34十2-3x)米， 根据题意，得x(34十2-3x)-96. 解得x1=4,x2=8. 所以，边AB的长度为4米或8米， (2)不能.理由如下： 假设长方形ABCD的面积是110平方米. 根据题意，得x(36-3x)=110, 即3.x2-36.x+110=0. ,△=(-36)2-4×3×110=-24<0， 该一元二次方程无实数根。 假设不成立 .长方形ABCD的面积不能为110平方米 54 第二章一元二次方程 预习篇 【跟踪练习1】 1.如图，某农场有一块长40m、宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵，横各修建一 条等宽的小路，要使种植面积为1140m2,求小路的宽. 2.如图，某学校有一块面积为84m的矩形空地，准备进行绿化.计划在空地的中间修建两个相同的正方形花 坛，其余地方铺草坪，两个花坛之间及与四周的距离均为2，求正方形花坛的边长. Ⅱ，平均增长（或降低）率问题 解这类问题需要牢记公式：b=a(1十x)”,其中a为增长（或降低）的基础数量，x为增长（或降低）率，n 为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的数量. 【典型例题2】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到 捐款10000元，第三天收到捐款12100元. (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率： (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 思路点拨：(1)设每天收到捐款的增长率为x,则第二天收到捐款10000(1十x)元，第三天收到捐款10000(1十 x)+10000(1+x)x=10000(1+x)2元，从而得方程10000(1+x)2=12100. (2)第四天收到的捐款等于第三天收到的捐款加上第四天比第三天增长的，即12100(1十x)元 解：(1)设每天收到捐款的增长率为x. 根据题意，得10000(1十x)2=12100 整理，得(x十1)2=1.21. 解得x1=0.1,x2=一2.1（不合题意，舍去）. 所以，捐款的增长率为10%. (2)第四天收到的捐款为12100×(1十10%)=13310（元）. 所以，第四天该单位能收到13310元的捐款 【跟踪练习2】 股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停：当跌了原价的10%后， 便不能再跌，叫做跌停，已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增 长率为x,则x满足的方程是 () A1+=是 B(1+x)=10 c1+2x-是 n1+2z-=9 Ⅲ.营销问题 解决营销问题最为重要的量就是利润，常用的关系式有 ①利湖=售价一进价：@利润率-器-作价价， ③售价=进价×(1十利润率)：④总利润=每件利润×销售量=总收入一总支出. 55 假期母假宽 BS·数学·九年级·上 【典型例题3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库 存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 思路点拨：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利诚少了x元，即每件盈利(40一x)元，而每件降价1元，则 每天多售出2件，每件降低x元则多售出2x件，故每天售出(20十2x)件.根据平均每天要盈利1200元， 可得关系：件数X每件盈利一总盈利，从而解决问题(1)，在此基础上，通过配方法可解决问题(2) 解：(1)设每件衬衫应降价x元. 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200. 整理，得x2一30x十200=0. 解得x1=20,x2=10. 因为要尽快减少库存，所以x应取20. 所以每件衬衫应降价20元. (2)商场每天盈利(40-x)(20十2.x)=-2(x-15)2十1250. 当x=15时，代数式-2(x-15)2+1250的值最大，即-2(x-15)2+1250有最大值为1250. 所以每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，为1250元. 【跟踪练习3】 某服装经营户以20元/件的价格购进一批衣服，以30元/件的价格出售，每天可售出20件.为了促销，该经营 户决定降价销售，经调查发现，这种衣服每件降价1元，每天可多售出5件.另外，每天的房租等固定成本共 25元，该经营户要想每天盈利200元，应将每件衣服的售价降低多少元？ 学法指导49 L.几何图形问题一般从面积（或体积）等方面找等量关系，要熟练掌握有关的面积（或体积）公式. (1)面积公式：Sk打=ab,SE带=d2,Sa=元R,S最=号ah, (2②)体积公式V体=aM,V室#=d,a雕=Rh,V=子RL 2.增长率问题，要理解a(1十x)=b(其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量) 的含义.原来的量经过一次增长后达到α(1十x):在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到 a(1十x)(1十x)=a(1十x)2:在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a(1十x)(1十x)(1十x)= a(1十x)3;…以此类推。 a自主检测44紧 1.2020年是国家脱贫攻坚战收官之年.据悉，2018年中央财政专项扶贫资金为1060.95亿元，2020年中央财 政专项扶贫资金为1136亿元，设2018年到2020年中央财政专项扶贫资金年平均增长率为x,可列方程为 () A.1060.95(1+x%)2=1136 B.1060.95(1+x2)=1136 C.1060.95(1+2x)=1136 D.1060.95(1+x)2=1136 56 第二章一元二次方程■ 预习篇 2.如图，在一块长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为 1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 A.(54-x)(38-x)=1800 B.(54-x)(38-x)+x2=1800 C.54×38-54x-38x=1800 D.54x+38x=1800 3.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价 的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是 () A.560(1+x)2=315 B.560(1-x)2=315 C.560(1-2x)2=315 D.560(1-x2)=315 4.某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元，若每次降价的百分率都是x,则可以 列出方程 () A.600(1-2.x)=486 B.600(1-x)2=486 C.600(1-x%)2=486 D.486(1+x)2=600 5.某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出，每天可卖200件，在换季时期，预计单价每降低1元， 每天可多卖10件，则销售单价定为多少元时，商店可获利3000元？设销售单价定为x元/件，可列方程为 ·(方程不需化简) 6.如图，学校综合实践小组的种植园是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条 等宽的小道，要使种植面积为627平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为 7.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边是10m的直角三角形，则两条直角边分别是 cm, cm. 8.2019年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2021年生产1吨该商品的成本 是5000元，求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x,则所列的方程应为 (不增加其他未知数) 9.某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是 40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元. (1)若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 57 假期岛假宽BS·数学，九年级·上 10.一面墙长为22m,一养殖户要利用长为41m的篱笆和这面墙圈成一个面积为216m的矩形养殖场，其 中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1m的门，如图所示，求这个矩形养殖场的长、宽各是多少米。 LLLLLLLLLLLLLLLL 11.某品牌衣服原售价为每件400元，由于商店要处理库存，经过连续两次降价处理，按每件256元的售价销 售，求该衣服每次平均降价的百分率. 12.某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱.为了促销， 该水果店决定降价促销.市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱.设该苹果每箱售价 x元(50≤x≤80)，每星期的销售量为y箱. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？ 58(2)把x=1代人方程，可得1+2一k■0.解得k=3. .方程为x2+2x-3=0. 令方程的另一个根为。 .1×1=-3. 解得1=一3 9.解：(1)证明：，△=m-4×1×(m-2)=m2一4m+8= (n-2)2+4>0, ,,无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根， (2)不存在.理由如下： :x,x是关于x的一元二次方程x2十mx十m一2=0的 两个同号的实数根， 十=一m,A·=m-2>0. ∴.2+022十m(+x)■(+x)2-2x1·+m(0+ xa)=m2-2(m-2)-m2=-2(m-2)<0. ,m2+1>0, .不存在m使x13十x2十m(知十)=m+1成立 10.解：(1)根据题意，得△=(2m)2-4(m+m)>0. 解得m<0. ,m的取值范围是m<0 (2)根据题意，得x十x2=一2m,x1x2=m2十m. x2十x2=12, (0十)2-2m=12. .(-2m)2-2(m2+m)=12. ∴，解得m1=一2，m=3(不合题意，舍去) m的值是一2. 6应用一元二次方程 知识点讲解 知识点一审、设列、解、验，答 知识点二 【跟踪练习1】 1.解：设小路的宽为x米 根据题意有(40一x)(32-x)=1140. 整理，得x2一72x+140=0. 解得x1=2,x2=70(不合题意，舍去). 所以，小路的宽是2m 2.解：设正方形花坛的边长为xm,则矩形空地的长为(2x十 2×3)m,宽为(x+2×2)m. 根据题意，得(2x+2×3)(x+2×2)=84. 整理，得x2十7x一30=0. 解得1=3，x1=一10（不合题意，合去）. 所以，正方形花坛的边长为3m 【跟踪练习2B 【跟踪练习3】解：设应将每件衣服的售价降低x元，则每件的 利润为(30一20一x)元，每天可售出(20+5x)件 根据题意，得(30一20一x)(20+5x)-25=200. 整理，得x一6x+5=0. 解得x1=1,x=5. 所以，应将每件衣服的售价降低1元或5元 自主检测 1.D2.A3.B4.B 5.(x-30)[200+10(x-50)]=3000 6.(35-2x)(20-x)=627(或2x2-75x+73=0) 7.688.3000(1+x)2=5000 9.解：(1)(45-30)×[80-(45一40)×2]=1050（元）. 所以，每天的销售利润为1050元. (2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80 2(x-40)]件 根据题意，得(x一30)[80一2(x一40)]=1200 整现，得x2-110x+3000=0. 解得x)1=50,x2=60(不合题意，舍去) 所以，每件工艺品售价应为50元. 10.解：设这个矩形养殖场的长为xm,则宽为1+】一工m 根据题意，得x·1+)-工=216. 2 解得x1=18,x1=24(不合题意，舍去) 所以，这个矩形养殖场的长，宽各是18m和12m. 1L,解：设平均每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价 格为400(1一x),第二次降价后的价格为400(1一x)2. 根据题意，得400(1一x)2=256. 解得x1=0.2=20%,x=1.8(舍去). 所以，该衣服每次平均降价的百分率是20%. 12.解：(1)根据题意，得y=200+10(80-x)=1000-10x (50≤r≤80)， 即y=1000-10x(50≤x80). (2)根据题意，得(x一50)(1000一10.x)=6000 整理，得x2-150x+5600=0. 解得x=70,x=80(不合题意，舍去). 所以，当每箱售价为？0元时，每星期的销售利润达到 6000元. 章未预习自测 1.A2.D3.D4.D5.B6.D 7.B【解析】，(x一2)(x一5)=0， ,.x一2=0，或x一5=0. x1=2,x2=5. 菱形ABCD的一条对角线长为6， .AB的长为5. .菱形ABCD的周长=4×5=20. 故选B 8.C 9-8210-号 11.512.213.40 14.7200(1+x)2=8450 15.解：(1)移项，得2(x一2)2-(x-2)(x十2)=0. 分解因式，得(x一2)(2x一4一x一2)=0. x=2,r2=6. (2)移项，两边同除以2，得2-2红=一之 配方，得2-2z+1=-+1, 即(x-1)2=之 1=士竖 =1+竖=1-。 16.解：(1)根据题意，得一4ac=(一2)2一4(m一2)≥0，且 m-2≠0. m≤3且m≠2. (2):m≤3且m≠2， ∴.可取m=1. 当m=1时，原方程化为一x2-2x十1=0. x=先牛 2×(-1) 解得x=-1一√2，x=-1十√2 17.解：(1)设平均增长率为x 根据题意，得64(1十x)=100. 解得-0.25，=-2.25（舍）. 89