专题02 函数与导数（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 2．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京丰台·二模）“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数，波源发出的光波的频率为正数，和f满足光的普遍多普勒效应公式（为波源运动速率与光速的比值，为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入和的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（   ） A．输入和任意β，运行结果显示“红移” B．输入和任意β，运行结果显示“蓝移” C．输入和任意，运行结果显示“红移” D．输入和任意，运行结果显示“蓝移” 4．（2025·北京·二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京东城·二模）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． ( 题型02 )指对幂函数 7．（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 8．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 9．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·北京东城·二模）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 ( 题 型 0 3 )函数的应用 13．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 14．（2025·北京东城·二模）设函数，其中. (1)当时，求的零点： (2)当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. ( 题型0 4 )导数的几何意义 15．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 16．（2025·北京丰台·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求的取值范围． ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 17．（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 18．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 19．（2025·北京昌平·二模）已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过； ③曲线与直线围成图形的面积小于5； ④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数． 其中所有正确结论的序号是 ． 20．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 21．（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 22．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值点个数； (3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为， 作出函数图象，如图， 由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确； 图象不关于点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 令，则，故D错误. 故选：A 3．（2025·北京丰台·二模）“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数，波源发出的光波的频率为正数，和f满足光的普遍多普勒效应公式（为波源运动速率与光速的比值，为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入和的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（   ） A．输入和任意β，运行结果显示“红移” B．输入和任意β，运行结果显示“蓝移” C．输入和任意，运行结果显示“红移” D．输入和任意，运行结果显示“蓝移” 【答案】D 【分析】利用已知条件去研究另一个变量的函数值域，通过值域分析与1的大小，从而去比较与的大小关系，即可判断各选项. 【详解】对于A，由， 可知， 由于接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．故A错误； 对于B，由， 可知， 由于接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”．故B错误； 对于C，由，可知， 因为，则，即， 此时，由于，所以与的大小关系不确定，故C错误； 对于D，由，可知， 因为，则，即， 此时，所以， 由于接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．故D正确； 故选：D. 4．（2025·北京·二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 5．（2025·北京东城·二模）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图象判断即可. 【详解】 对于A选项：如图，不符， 对于B选项：如图，符合， 对于C选项：如图，不符， 对于D选项：如图，不符， 故选：B. 6．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. ( 题型02 )指对幂函数 7．（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 8．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数， 因为，可得，即，可得； 又由，可得， 由函数为单调递减函数，可得，即， 所以. 故选：A. 9．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 10．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 11．（2025·北京东城·二模）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解. 【详解】当马赫数为8时，速度， 解得，即，， 当马赫数为13时，速度， 解得，即，， 所以,. 故选：C. 12．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 【答案】C 【分析】根据已知视力值求出的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值. 【详解】已知当，时，代入，解得. 小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解； 因为题中参考数据已知，； 所以. 所以. 故选：. ( 题 型 0 3 )函数的应用 13．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B 14．（2025·北京东城·二模）设函数，其中. (1)当时，求的零点： (2)当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 【答案】(1)1 (2)（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果； （2）（i）利用极小值定义即可证明结论； （ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论. 【详解】（1）已知，定义域为，令， 则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1. （2）（i）当时，函数，定义域为， ，则， 当时，所以， 故在区间上单调递减， 当时，所以， 故在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点. （ii）已知， 故曲线在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为， 因为与互为相反数，所以， 令，， 则， 当时，单调递增，且， 根据零点存在定理可知：存在，使得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，故函数在区间上的值域为， 令，， 则， 当时，单调递减，且， 故时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 故的值域为， 因为当时，， 所以是的子集， 故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. ( 题型0 4 )导数的几何意义 15．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程，根据题意，得到，求得，求得函数的单调性与最值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得，可得， 所以曲线在点处的切线方程为：， 又由， 因为，其中， 若时，，其中， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以， 又由，且，即不恒成立， 所以C正确，A不正确； 若时，，其中， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以不恒成立， 又由，，此时，所以不恒成立， 所以B、D均不正确. 故选：C. 16．（2025·北京丰台·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据函数在某点处的切线方程，利用导数几何意义以及该点在函数图像和切线上来求解的值； （2）通过对函数求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （3）将的表达式代入不等式，通过移项、因式分解等方法求解的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以． 由题意，解得. （2）由（1）得． 令，解得． 当变化时，的变化情况如表所示： -4 -1 0 - 0 + 0 - 0 + 单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）设． 设，则． 当时，在上单调递增，， 当时，在上单调递减，， 所以恒成立． 由题意，等价于或， 解得或． 综上，的取值范围是． ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 17．（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)0 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解； （2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证； （3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【详解】（1）求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 18．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证. （2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解. 【详解】（1）（i）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，且，在上单调递增，又 所以当时，函数的最大值为. （ii）设切点为，而，， 曲线在点处的切线方程为 由经过点，得，整理得， 由，得，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极小值点，得，即， 则，令， 求导得，令，即，，得， 当时，；当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ①当时，即时，得，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； ②当时，即时，则，而， 则存在，使，当时，， 因此不是函数的极小值点，不符合题意， 所以的取值范围为. 19．（2025·北京昌平·二模）已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过； ③曲线与直线围成图形的面积小于5； ④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】用代换方程中的，方程不变，可判定①正确；设曲线上的一点，求得点到点的距离为，可判定②不正确；当和时，求得交点坐标，结合梯形的面积为，可得判定③正确；求得直线，联立方程组，求得方程组的解，可判定④正确． 【详解】由曲线， 用代换方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，所以①正确； 设曲线上的一点，其中， 则点到点的距离为， 当时，可得， 所以点到点的距离可以超过，所以②不正确； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 令，可得，所以为增函数， 令，可得，所以为单调递增函数， 所以的增长趋势越来越快，可得曲线大致图象如图所示， 可得梯形的面积为， 所以曲线与直线围成图形的面积小于5，所以③正确； 过点且与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数，所以④正确． 故答案为：①③④. 20．（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 21．（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】设，联立直线和圆的方程，求出点纵坐标即可得出解析式，根据函数的奇偶性可判断①，对求导，求出的单调区间，可判断②，对于③，分，再利用基本不等式，即可求解；对于④，根据条件得，令，则，利用其单调性，即可求解. 【详解】圆的圆心在轴上，设圆与的另一个交点为， 设，当点不与点重合时，直线的方程为， 联立，解得，所以点纵坐标为，此时点， 当点与点重合时，点的纵坐标也满足，所以， 对任意的，，所以的定义域为， 对于命题①，因为，所以是偶函数，故①正确； 对于命题②，因为，当时，，即在区间上单调递增， 所以当时，若，则，所以②错误， 对于命题③，，因为，当时，， 当时，，又，当且仅当，即时取等号， 所以，故③正确， 对于命题④，，令， 则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，， 即当时，的最小值为，所以④错误， 故答案为：①③. 22．（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的极值点个数； (3)若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解； （2）利用三阶导数研究函数的单调性可知当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减（），结合极值点的概念即可求解； （3）由（2）知，当时，若，则，不符合题意；当时，可知，证得在上为上凸函数，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知， 令，则， 令，则， 又当时，，， 所以，函数在上单调递增，所以， 即，所以函数在上单调递减，且， 当即时，，即， 所以函数在上单调递增，无极值点； 当即时，， 存在使得，即， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时在上有1个极大值点. 综上，当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点. （3）由，且，知， 由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，所以. 若，则，不符合题意； 当时，在上单调递增， 满足的情况； 由（2）知，， ，设， 则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上为上凸函数， 则，均有， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$