专题02 函数与导数（宁夏专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 题型06 导数的综合 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏银川·二模）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 4．（2025·宁夏银川·二模）若定义在R上的函数满足，且，则 . 5．（2025·宁夏·二模）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·宁夏·二模）已知定义域均为的函数，若，则称直线为曲线和的隔离直线.若，则曲线和的隔离直线的方程为 . 7．（2025·宁夏·二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·宁夏·二模）已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（    ） A．当时， B．若函数在区间上有两个零点、，则有 C．函数在上的最小值为 D． ( 题型02 )指对幂函数 9．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·宁夏·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ． 11．（2025·宁夏·二模）已知函数，若，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 题 型 0 3 )函数的应用 12．（2025·宁夏银川·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； (3)若有两个零点，求m的取值范围. 13．（2025·宁夏·二模）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·宁夏·二模）已知函数的导函数为，能说明“若对任意的都成立且，则在上必有零点”为假命题的一个函数是 . ( 题型0 4 )导数的几何意义 15．（2025·宁夏·二模）已知函数，函数的导函数为． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 16．（2025·宁夏·二模）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 17．（2025·宁夏吴忠·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若为函数的极小值点，求a的取值范围． (3)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 18．（2025·宁夏中卫·二模）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 19．（2025·宁夏·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 20．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·宁夏·二模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22．（2025·宁夏·二模）已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)当时，求证； (3)若函数有两个极值点，（）且恒成立，求实数a的取值范围． 23．（2025·宁夏·二模）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 24．（2025·宁夏·二模）设，函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时，函数为增函数 B．点为函数图象的对称中心 C．存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D．函数至少有一个零点 25．（2025·宁夏·二模）已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的最小值. ( 题型0 6 )导数的综合 26．（2025·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 题型06 导数的综合 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，可得的周期为4，由求得，，结合对称性求得在一个周期内的值域，得解. 【详解】由，即，可得的图象关于点对称； 由，即，可得的图象关于点对称， ，所以的周期为4． 易知，所以，所以，， 所以在上的值域为． 又的图象关于点对称，所以当时，， 即在一个周期内的值域为，所以的最小值为. 故选：D． 2．（2025·宁夏银川·二模）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项. 【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以， 所以，所以的周期为，故A错误； 又当时，， 所以，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：BCD. 3．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意，根据奇函数的性质，可得函数与零的大小关系，利用整体思想，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递减，，， 则当时，，当时，， 由，则，解得， 由，则，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 4．（2025·宁夏银川·二模）若定义在R上的函数满足，且，则 . 【答案】3 【分析】令，代入运算得解. 【详解】令，可得，又，则. 故答案为：3. 5．（2025·宁夏·二模）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数结合指数不等式及对数不等式即可得出解集. 【详解】因为则不等式的解集 或， 或， 所以或 所以不等式的解集为. 故选：A. 6．（2025·宁夏·二模）已知定义域均为的函数，若，则称直线为曲线和的隔离直线.若，则曲线和的隔离直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可确定两曲线有公共点，即可得设该隔离直线的方程为，则有，，借助参变分离计算可得，再借助，，可得在上恒成立，构造相应函数后借助导数对其单调性分类讨论即可得解. 【详解】由，， 故曲线和的隔离直线过点， 设该隔离直线的方程为， 则有，显然不等式恒成立， 当时，在上恒成立，即，即， 亦有，即在上恒成立， 令，，则， 令，则， 由，故，舍去， 若，即时， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 即，不符合要求，故舍去； 若，即时， 有在上恒成立，则在上单调递增， 故，符合要求. 综上所述，，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由先确定隔离直线过点，从而设出该隔离直线的方程，结合题意得到，，计算即可得解. 7．（2025·宁夏·二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 8．（2025·宁夏·二模）已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（    ） A．当时， B．若函数在区间上有两个零点、，则有 C．函数在上的最小值为 D． 【答案】ACD 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，求出函数在上的解析式，可判断A选项；利用指数函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利用函数的周期性和在上的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数和都是偶函数，则，， 所以，，即， 因此是周期为的周期函数． 对于A，当时，，则， 当时，则，则， 综上所述，当时，，A对； 对于B选项，当时，，则， 不妨设，因为函数在上单调递减，则， 由可得， 所以，， 即，则，B错； 对于C，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由于函数是周期为的周期函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 而函数在上单调递增，所以，，则， 所以，当时，， 所以，函数在上的最小值为，C对； 对于D选项，， ， ， 又函数在上单调递减，，D对. 故选：ACD. ( 题型02 )指对幂函数 9．（2025·宁夏中卫·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数单调性得是增函数，从而，由此结合对数函数单调性可说明A错，B对，对于CD，举反例即可判断. 【详解】，令函数， 因为都是增函数，所以是增函数， 所以， 对于AB，，故A错误，B正确； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：B. 10．（2025·宁夏·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ． 【答案】 32 【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，从而可求出，得出；利用累乘法可求出，从而可求，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】由题意，设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，公比为， 所以，则． 则， 所以， 所以 ． 故答案为：32；． 11．（2025·宁夏·二模）已知函数，若，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，因为，所以，两边平方后化简即可. 【详解】函数定义域为， ， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 令，则且在上单调递增； 函数在时单调递减，在时单调递增， 故当时等号成立，此时； 又在上单调递增； 由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 两边平方得，即 若，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将函数变形为，判断出函数的图象关于直线对称，以及在上单调递减，在上单调递增是解决本题的关键. ( 题 型 0 3 )函数的应用 12．（2025·宁夏银川·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的极值点在区间内，求m的取值范围； (3)若有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断函数的单调性. （2）先求出导函数；再根据函数的定义域为，以及函数的极值点在区间内，得出在上有解，列出关于m的不等式组，求解即可. （3）先对m进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，求出最值；再将题目条件转化为恒成立；最后构造函数，利用导函数判断在上单调递增，借助可得出求解即可. 【详解】（1）当时，，的定义域为. 则， 令，则，即，解得， 令，则，即，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由可得：的定义域为，. 要使函数的极值点在内，需满足在上有解. 因为的定义域为， 所以在上有解， 则，解得， 即m的取值范围为. （3）由（2）知，. 则. 当时，有，则，此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则. 又因为当时，；当时，， 所以要使有两个零点，须满足恒成立. 令， 则恒成立；， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以，解得. 综上所述，m取值的范围为. 13．（2025·宁夏·二模）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过方程解出，再由条件确定的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围. 【详解】若方程， 则，即或， 当时，， 则的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以， 解得， 即的取值范围是， 故选：A. 14．（2025·宁夏·二模）已知函数的导函数为，能说明“若对任意的都成立且，则在上必有零点”为假命题的一个函数是 . 【答案】 【解析】由题得在上递减，且，在与轴无交点，选中这样的一个函数即可. 【详解】“若对任意的都成立且”,则在上递减， 且，再由“在上必有零点”为假命题， 可得的图象在与轴无交点，这样的函数可以是， 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题. ( 题型0 4 )导数的几何意义 15．（2025·宁夏·二模）已知函数，函数的导函数为． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】由，可得或，然后由点斜式可得答案； （2）由题可得，令，可得时，有极小值，据此可得答案. 【详解】（1）当时，，令， 化简得，解得或． 当切点为时，所求切线方程为， 即； 当切点为时，所求切线方程为， 即； （2），， ， 因为，所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．因此，当时，有极小值. 由题意，，则． 16．（2025·宁夏·二模）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线 ，则，直线 斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为 为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则 取最小值为9. 故答案为：9. 17．（2025·宁夏吴忠·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若为函数的极小值点，求a的取值范围． (3)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）按值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解； （3）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）， ①若，则，单调递增，无极值，不符合题意． ②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意． ③若，令，则， 当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 则，又，当时，． 若，则， 当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意． 若，因为在上单调递增，的值从增到0， 所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得， 当时，，即， 所以存在，使得当时，， 当时，，此时为函数的极小值点，符合题意． 综上，. （3）不存在，理由如下． 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得． 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 18．（2025·宁夏中卫·二模）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）分，两种情况讨论求解即可； （3）利用（2）中结论可得恒成立，令，可得，进而利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可. 【详解】（1）由，， 则， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，对定义域内，都有恒成立， 由（1）知，当时，函数在上单调递增， 而时，，此时不恒成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，解得. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立， 令，，则， 故， 则， 故. 19．（2025·宁夏·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意得，即，构造函数，则，求出单调区间和最值，再利用其单调性可求得结果. 【详解】由题意得，即， 所以， 所以， 令，则， ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以当时，，当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 因为在上递增，所以，所以. 故选：D 20．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果. 【详解】因为命题：“，都有”为真命题， 所以命题：“，都有”为真命题. 令，. 则. 因为， 所以， 所以函数为增函数. 又因为， 所以. 故选：B. 21．（2025·宁夏·二模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 22．（2025·宁夏·二模）已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)当时，求证； (3)若函数有两个极值点，（）且恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负可得出函数的单调区间； （2）将条件代入，得到函数的不等式，通过导数分析函数的单调性，结合零点的应用得到最值，即可得证； （3）将函数的极值点转化成方程的根，根据和韦达定理求出的关系式及取值范围，利用分离参数将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，求导分析单调性即可求得其最小值，从而得到结果. 【详解】（1）由题意，当时，，定义域为， 则， 令，得，解得 所以，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）当时，则，即. 令函数，则， 令函数 易知为增函数，令则， ，根据零点存在定理，则有. 又时，，即，则在上单调递减； 时，，即，则在上单调递增. . 故，即. （3）由题意，的定义域为，， 有两个极值点，（）即方程有两个不相等正数根， 则有，解得 因为恒成立，所以对恒成立， 分离参数可得对恒成立， 令，则 令则解得或（舍去）. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故即，是减函数. 所以， 故实数的取值范围是 23．（2025·宁夏·二模）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明得到是以为周期的函数，排除C、D.再研究的函数性质，借助导数即可. 【详解】，， 可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D. 由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令   ，，令， 则， 解得(负数根舍去)，则  在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.   （注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B） 故选：B 24．（2025·宁夏·二模）设，函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时，函数为增函数 B．点为函数图象的对称中心 C．存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D．函数至少有一个零点 【答案】BD 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 25．（2025·宁夏·二模）已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）易知，因为，所以， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 当时，由，得到， 当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，时，在上单调递增， 时，的减区间为，增区间为. （2）因为当时，时，， 由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立， 即恒成立，得到， 所以， 令，则，由，得到， 当时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故的最小值为. ( 题型0 6 )导数的综合 26．（2025·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 . 【答案】 【详解】根据题意作图，由题意得到关于底面边长和侧棱长以及高的等量关系，代入四棱锥体积公式，得到关于的函数，利用导函数研究其单调性，从而求得最大值.再利用此时各边长求出外接球的半径，计算球的表面积即可. 【分析】如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为， 因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心， 侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得， 又，所以正四棱锥的体积 . 设， 则， 当时，，即在单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，所以. 此时，，， 设该正四棱锥外接球的半径为，则， 解得，故其外接球表面积. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$