专题05 计数原理与概率统计（宁夏专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题05 计数原理与概率统计 题型概览 题型01 统计 题型02 独立性检验 题型03 计数原理 题型04 随机事件的概率 题型05 随机变量及其分布列 ( 题型01 )统计 1．（2025·宁夏中卫·二模）下列说法中正确的是（    ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第百分位数为79 D．已知随机变量，且，则的最小值为3 2．（2025·宁夏银川·二模）某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（    ） A．两组数据的平均数相等 B．第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C．第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8 D．第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 3．（2025·宁夏·二模）下列说法正确的是（    ） A．有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C．随机变量，若，，则 D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 4．（2025·宁夏·二模）下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若随机变量，则 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 5．（2025·宁夏·二模）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）    A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 ( 题型02 )独立性检验 6．（2025·宁夏·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 7．（2025·宁夏·二模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 题 型 0 3 )计数原理 8．（2025·宁夏吴忠·二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），已知黑方“将”位于第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列．若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有 种． 9．（2025·宁夏·二模）二项式的展开式的常数项是 . 10．（2025·宁夏银川·二模）将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） 4 A．12 B．24 C．36 D．48 11．（2025·宁夏·二模）学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是 （请用数字作答） 12．（2025·宁夏·二模）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 . ( 题型0 4 )随机事件的概率 13．（2025·宁夏·二模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 14．（2025·宁夏·二模）在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为 . 15．（2025·宁夏·二模）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． ( 题型0 5 )随机变量及其分布列 16．（2025·宁夏·二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 17．（2025·宁夏·二模）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 18．（2025·宁夏·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 计数原理与概率统计 题型概览 题型01 统计 题型02 独立性检验 题型03 计数原理 题型04 随机事件的概率 题型05 随机变量及其分布列 ( 题型01 )统计 1．（2025·宁夏中卫·二模）下列说法中正确的是（    ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第百分位数为79 D．已知随机变量，且，则的最小值为3 【答案】ACD 【分析】根据平均数及方差公式计算可得选项A正确；根据样本相关系数的概念可得选项B错误；利用极差计算的值，结合百分位数的概念可得选项C正确；根据正态分布曲线的对称性求出，结合基本不等式可得选项D正确. 【详解】A.设原样本数据为，其平均数， 新样本数据为，其平均数，平均数不变. 原样本数据方差， 新样本数据方差，方差变小，选项A正确. B.在成对样本数据中，样本相关系数， 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 比如和，，时线性相关程度更强，选项B错误. C.除外，其他数据的最大值为80，最小值为41，， 因为，所以，故， 将数据从小到大排列为：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81， 共11个数据， 因为，所以这组数据的第百分位数为第9个数，为79，选项C正确. D. 因为随机变量，且， 根据正态分布曲线关于直线对称可得，解得， 所以， 由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 2．（2025·宁夏银川·二模）某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：；第二组：，则（    ） A．两组数据的平均数相等 B．第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C．第一组数据的上四分位数（第75百分位数）是8 D．第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】根据题意可得第一组数从小到大排序为，中位数为， 平均数，方差， 因为，所以第一组的第75百分位数为， 根据题意可得第二组数从小到大排序为，中位数为， 平均数 ，方差， 综上可得，A，D正确. 故选：AD. 3．（2025·宁夏·二模）下列说法正确的是（    ） A．有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C．随机变量，若，，则 D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 【答案】BD 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用独立性检验可判断B选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；利用回归分析可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，这组数据的第百分位数是，A错； 对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值， 可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，B对； 对于C选项，随机变量，若，， 解得，，C错； 对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为， 即，可得，故，，D对. 故选：BD. 4．（2025·宁夏·二模）下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若随机变量，则 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 【答案】BD 【分析】A将数据从小到大排列，再找寻第百分之七十五位数即可；B利用公式及二项分布的方差公式；C利用正态分布的性质，及的意义；D利用均值和方差的公式即可. 【详解】A.将数从小到大排列，共8个数，则，则上四分位数为，故A错误； B. ，故B正确； C. ，由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； D. 设原数据为，因平均数为5，方差为3， 则，， 则新数据的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BD. 5．（2025·宁夏·二模）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）    A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲 7.0 8.3 8.9 8.9 9.2 9.3 乙 8.1 8.5 8.6 8.6 8.7 9.1 故可得如下表格： 甲 乙 中位数 A正确 极差 B正确 第75百分位数 ，故第75百分位数是第5个数 C错误 9.2 8.7 方差 由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差 D正确 故选：ABD ( 题型02 )独立性检验 6．（2025·宁夏·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)列联表见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)分布列见解析，； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据已知完善列联表，进而求卡方值，应用独立性检验的基本思想得到结论； （2）（3）根据已知分析随机变量的可能值并求出对应概率，进而写出分布列，再求期望、方差. 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得，， ，， ，， 故所求分布列为 0 1 2 3 故． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为，且服从超几何分布： ，， ， 故所求分布列为 0 1 2 3 可得. 7．（2025·宁夏·二模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解. ( 题 型 0 3 )计数原理 8．（2025·宁夏吴忠·二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），已知黑方“将”位于第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列．若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有 种． 【答案】128 【分析】根据题意，恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向，可能的移动模式有两种：纵向→横向→纵向→横向（记为模式A）或横向→纵向→横向→纵向（记为模式B），讨论求解. 【详解】记红方“车”的初始位置为，则目标位置为， 由题意知必须恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向， 所以可能的移动模式有两种：纵向→横向→纵向→横向（记为模式A）或横向→纵向→横向→纵向（记为模式B）． 模式A的详细步骤如下． 步骤1：纵向移动a格到，， 步骤2：横向移动x格到，且，即且，所以x的可能取值有8种． 步骤3：纵向移动b格到，且． 步骤4：横向移动格到． 因此，a和b必须满足，，，则，对应的． 对于每个x，a均有8种可能，因此模式A的移动路径有（种）． 模式B的详细步骤如下． 步骤1：横向移动m格到，且，有8种可能． 步骤2：纵向移动n格到，，且． 步骤3：横向移动格到． 步骤4：纵向移动y格到． 因此，n和y必须满足，，，则，对应的． 对于每个m，n均有8种可能，因此模式B的移动路径有（种）． 综上，不同的移动路径有（种）． 故答案为：128. 9．（2025·宁夏·二模）二项式的展开式的常数项是 . 【答案】 【分析】的展开式的通项为，令，求出，再代入通项公式计算即可. 【详解】的展开式的通项为 令，解得， 所以展开式的常数项. 故答案为：. 10．（2025·宁夏银川·二模）将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） 4 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图， 排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 11．（2025·宁夏·二模）学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是 （请用数字作答） 【答案】30 【分析】根据分类讨论，结合组合的知识求得正确答案. 【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种. 故答案为：30. 12．（2025·宁夏·二模）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 . 【答案】 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12； 总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况； 当甲抽取的数字为；；；时， 乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为时， 若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 而基本事件的总数为 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. ( 题型0 4 )随机事件的概率 13．（2025·宁夏·二模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解； （2）由题意知，，根据数列的构造法求通项公式； （3）由题意知，作差法比大小. 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 14．（2025·宁夏·二模）在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为 . 【答案】 / 【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率. 【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到， 则，， 则； 设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 即，，且， 则， 即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 即， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式，进而分析求解. 15．（2025·宁夏·二模）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误. 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B错误； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：AC ( 题型0 5 )随机变量及其分布列 16．（2025·宁夏·二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 【答案】(1)平均值为，上四分位数为； (2)分布列见解析，数学期望为； (3). 【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案； （2）写出的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可； （3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可. 【详解】（1）依题意，平均值 ， ， 上四分位数落在区间，且等于. （2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内的4次，在之内的抽取了2次， 所以可取的值有：0，1，2， ，，， 分布列为： 0 1 2 . （3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，， 则相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件B为＂动作优化成功＂，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 ， 故， 由解得，又的取值范围是. 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又的取值范围是. 17．（2025·宁夏·二模）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 【答案】D 【分析】由所给条件得出和的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间内的概率，从而求出结果. 【详解】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D 18．（2025·宁夏·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 【答案】(1)（ⅰ）表格见解析；过程见解析（ⅱ）； (2)，答案见解析 【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值； （2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论. 【详解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或； （ⅰ）当时，，， 当时，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以； （2）由， 则， 令， 即， 故，即当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$