专题03 三角函数与解三角形、数列（宁夏专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题03 三角函数与解三角形、数列 题型概览 题型01 三角函数的图象与性质 题型02 三角恒等变换 题型03 解三角形 题型04 数列的概念及表示 题型05 等差数列 题型06 等比数列 ( 题型01 )三角函数的图象与性质 1．（2025·宁夏中卫·二模）函数在上的值域为 ． 2．（2025·宁夏·二模）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆的半径为，则 ( 题型0 2 )三角恒等变换 3．（2025·宁夏·二模）如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·宁夏·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏·二模）已知点是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·宁夏·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·宁夏·二模）（    ） A． B． C． D． 8．（2025·宁夏·二模）在中，角的对边分别为. (1)求； (2)已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 9．（2025·宁夏·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． ( 题型0 3 )解三角形 10．（2025·宁夏·二模）在中，，，，的角平分线交于，则（   ） A．是钝角三角形 B． C． D． 11．（2025·宁夏·二模）在中，． (1)求B； (2)求函数在上的最大值． 12．（2025·宁夏·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 ( 题型0 4 )数列的概念及表示 13．（2025·宁夏·二模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 14．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 15．（2025·宁夏·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ． 16．（2025·宁夏·二模）设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. ( 题型0 5 )等差数列 17．（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．10 C．15 D．30 18．（2025·宁夏·二模）在①成等比数列，②，③数列的前10项和为55这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 已知等差数列的前n项和为，公差，且__________ (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ( 题型0 6 )等比数列 19．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 20．（2025·宁夏·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 21．（2025·宁夏·二模）已知是递增的等比数列，且，则（   ） A．的公比为－2 B． C．的前n项和为 D．是等比数列 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形、数列 题型概览 题型01 三角函数的图象与性质 题型02 三角恒等变换 题型03 解三角形 题型04 数列的概念及表示 题型05 等差数列 题型06 等比数列 ( 题型01 )三角函数的图象与性质 1．（2025·宁夏中卫·二模）函数在上的值域为 ． 【答案】 【分析】先利用三角函数的二倍角公式、诱导公式等对函数进行化简，再结合的取值范围求出函数的值域. 【详解】 由，得，则， 所以，所以， 所以的值域为. 故答案为：. 2．（2025·宁夏·二模）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆的半径为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，先求出点的横坐标，求出最小正周期，A正确；B选项，求出，得到特殊点的函数值得到，得到函数解析式，整体法得到在上不单调递减，B错误；C选项，求出向左平移个单位的解析式，代入检验得到C正确；D选项，由和勾股定理得到，代入求出，得到函数解析式. 【详解】A选项，由对称性可知点的横坐标为， 设的最小正周期为，则，解得，A正确； B选项，因为，所以， 点在图象上，即点在图象上，将其代入函数解析式得， 又，故，解得， 故， 当时，， 又，在上不单调， 故函数在上不单调递减，B错误； C选项，函数的图象向左平移个单位后得到， 其中，故关于直线对称，C正确； D选项，若圆的半径为，即， 又，故，解得， 所以将代入中得，，解得， 则，D正确. 故选：ACD ( 题型0 2 )三角恒等变换 3．（2025·宁夏·二模）如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在中利用余弦定理解方程可求得，即判断A正确，根据圆内接四边形的性质以及余弦定理可求得，分别求出即可得B正确，由余弦定理的推论计算可得C错误，利用三角恒等变换以及二倍角公式计算可得D正确. 【详解】对于A，在中，由可得; 由余弦定理可得，即； 整理可得，解得或（舍），即A正确； 对于B，由圆内接四边形的性质可知， 所以， 在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍）； 易知，所以，即B正确； 对于C，在中，易知， 所以，即C错误； 对于D，易知，所以； 由C可知； ； 所以，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆内接四边形的性质以及余弦定理计算出线段长，再结合二倍角以及三角恒等变换计算即可. 4．（2025·宁夏·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 5．（2025·宁夏·二模）已知点是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的终边经过某点的三角函数值及二倍角公式即可求解. 【详解】依题意可得， 所以. 故选：A. 6．（2025·宁夏·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的余弦公式展开，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 则，即， 所以. 故选：B. 7．（2025·宁夏·二模）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用诱导公式及降幂公式计算可得；解法二：首先利用两角差的正切公式求出，即可得解. 【详解】解法一： ． 解法二： ， 则. 故选：B． 8．（2025·宁夏·二模）在中，角的对边分别为. (1)求； (2)已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得； （2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解. 【详解】（1），， ， ， ，，， 又，. （2）因为BD为的平分线，，所以， 又，， 所以， 即，① 由余弦定理，得，即，② 由①②可得（舍去负值），， 所以a，c是关于的方程的两个实根，解得. 又因为BD为的平分线，所以， 又，， 所以，， 所以的周长为. 9．（2025·宁夏·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. ( 题型0 3 )解三角形 10．（2025·宁夏·二模）在中，，，，的角平分线交于，则（   ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角形内角和为可求出角，即可判断选项A，根据正弦定理可判断B和D，根据三角形的角度可到选项C. 【详解】对于A，因为，， 所以， 三个角度都小于，所以是锐角三角形，选项A错误； 对于B，根据正弦定理， 因为，，， 得，选项B正确； 对于C，因为的角平分线交于，，所以， 由选项A可得，则， 因为，所以，选项C正确； 对于D，在中，根据正弦定理可得， 因为，，，， 所以，故选项D错误. 故选：BC. 11．（2025·宁夏·二模）在中，． (1)求B； (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理计算正弦值，进而得到角度；（2）将其转化为正弦型函数，后求值域即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得 或． 又为钝角 . （2）由（1）可知． ∴当，即时 ． 12．（2025·宁夏·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用余弦定理得到，由正弦定理得到. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B ( 题型0 4 )数列的概念及表示 13．（2025·宁夏·二模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C 【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解. 【详解】等比数列的前项和为， 因为，则， 所以， 因为，所以， 所以或舍， 所以. 故选：C. 14．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】由数列前项和求出数列通项，从而得到新的数列通项，然后利用裂项相消求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， ∴. ∴， ∴. 故答案为：. 15．（2025·宁夏·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ． 【答案】 32 【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，从而可求出，得出；利用累乘法可求出，从而可求，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】由题意，设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，公比为， 所以，则． 则， 所以， 所以 ． 故答案为：32；． 16．（2025·宁夏·二模）设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，或，，. 【分析】（1）当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列的通项公式.； （2）将代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列的通项公式； （3）由的通项公式分析，得…，假设存在三项，，成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，化简得，将或代入已知条件，即可得到结论. 【详解】（1）由，  ① 得， ② 由①-②得，即， 对①取得，，所以，所以为常数， 所以为等比数列，首项为1，公比为， 即，； （2）由，可得对于任意有 ， ③ 则， ④ 则， ⑤ 由③-⑤得， 对③取得，也适合上式， 因此，， （3）由（1）（2）可知， 则， 所以当时，，即， 当时，，即在且上单调递减， 故…， 假设存在三项，，成等差数列，其中，，， 由于…，可不妨设，则（*）， 即， 因为，，且，则且， 由数列的单调性可知，，即， 因为，所以， 即，化简得， 又且，所以或， 当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意， 当时，由题意或，即，又，代入（*）式得， 因为数列在且上单调递减，且，，所以， 综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题. ( 题型0 5 )等差数列 17．（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】利用等差数列的等差中项结合前项和公式求解即可. 【详解】因为所以 又因为 故选：C. 18．（2025·宁夏·二模）在①成等比数列，②，③数列的前10项和为55这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 已知等差数列的前n项和为，公差，且__________ (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①可得，再根据等差数列通项公式求出，即可求出通项公式； 若选②根据等差数列通项公式及求和公式求出，即可求出通项公式； 若选③则，再根据数列的前10项和为，求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）解：若选①：由题意有，则，解得，又， 所以. 若选②：由得，解得，又， 所以. 若选③：， 由题意得，解得，又， 那么， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）得， 所以 . ( 题型0 6 )等比数列 19．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据与关系即可求得答案； （2）由（1）求出，将放缩，和再求和得证； （3）由，从第3项开始放缩求和，得证. 【详解】（1）由，可得． 当时，，解得， 当时，，整理得（）， ∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列， ∴. （2）∵， ∴． 又， ∴．结论得证. （3）由题意知， ，得证. 20．（2025·宁夏·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （2）由（1）可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得； 当时，， 所以，即， 所以，又． 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，．所以， 则，① ，② —②有． 所以 21．（2025·宁夏·二模）已知是递增的等比数列，且，则（   ） A．的公比为－2 B． C．的前n项和为 D．是等比数列 【答案】B 【分析】首先利用等比数列性质求出与的值，再根据数列递增确定和，进而求出公比，然后根据等比数列相关公式求出前项和，最后判断是否为等比数列.逐个判断即可. 【详解】在等比数列中，由等比数列性质可知. 又已知，则、可看作方程的两个根. 解这个方程，可得或，即或. 因为是递增的等比数列，所以，. 设公比为，根据等比数列通项公式，可得，即，化简得， 解得或，又因为数列递增，所以，故A选项错误，B选项正确. 根据等比数列前项和公式可得：，故C选项错误. 设，则. 不是常数，所以不是常数，不是等比数列，故D选项错误. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$