1.2矩形的性质与判定第3课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第3课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.进一步理解矩形的性质及判定，并能灵活运用矩形的性质和判定进行相关的计算和证明;（重点） 2.能应用矩形的性质和判定解决综合问题.（难点） 知识回顾 矩形的性质： 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线互相平分且相等. 既是中心对称图形，也是轴对称图形(2条对称轴). 知识回顾 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 情境引入 问题：某学校要修建一个矩形花坛，工人师傅已经测量出花坛的两条相邻边的长度分别为3 米和 4 米，对角线的长度为 5 米，你能帮助工人师傅判断这个花坛是否为矩形吗？ 你能用所学的矩形知识来解决这个问题吗？ 新知探究 探究：矩形性质与判定的综合应用 分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长. 例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 新知探究 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， AO=CO=, BO=DO=(矩形的对角线互相平分). ∴AO=BO=BD. ∵ED=3BE， ∴BE=OE， 又∵AE⊥BD， ∴AB=AO， ∴AB=AO=BO， 即 △ABO是等边三角形， ∴∠ABO=60°， ∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°, ∴AE= AD==3. 新知探究 矩形性质的应用： 知识归纳 应用矩形的性质解决问题时，常与勾股定理、等腰三角形性质等结合，求解边长、对角线长、角度等。例如，利用矩形对角线将矩形分成四个等腰三角形，通过等腰三角形边角关系计算线段长度；借助矩形的直角，在关联三角形中推导角的度数。 新知探究 1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝5，则BD＝ ，AD＝ ⁠. 10　 8　 新知探究 例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． 求证：四边形ADCE为矩形. 分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形. 新知探究 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM. ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN =（∠BAC+∠CAM） =×180°=90°. 在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA=90°， ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 新知探究 知识归纳 需证明一个图形是矩形时，若已知为平行四边形，可通过 “一个角是直角” 或 “对角线相等” 判定；若为一般四边形，可通过 “三个角是直角” 判定。​ 矩形判定的应用： 新知探究 2.下列说法中，不正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 A 新知探究 想一想 在例2中，连接DE，交AC于点F（如图）． 求证：四边形ADCE为矩形； （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论； （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 解：（1）四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由例2知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形. 分析：(1)利用例2中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形. 新知探究 解：DF∥AB，DF=AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF. ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=AB. 分析：(2)由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=AB. 如图，所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 例1 典例分析 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∵∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE, ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC. 典例分析 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（　C　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 例2 典例分析 C 解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC. 由折叠的性质可知，∠DCA＝∠D'CA， ∴∠CAF＝∠D'CA， ∴FA＝FC. 在Rt△BFC中，BF2＋BC2＝CF2，即（8－AF）2＋42＝AF2， 解得AF＝5，则△AFC的面积为 AF·BC＝ ×5×4＝10. 2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　) A．8 cm　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2，则S1,S2的大小关系是(　 　) A．S1>S2　B．S1＝S2 C．S1<S2 D．3S1＝2S2 巩固练习 基础巩固题 B B 3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝ °. 巩固练习 基础巩固题 75 4.如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝        . 5.如图,点D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA＝MC. (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形．　 巩固练习 基础巩固题 证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD＝AN.　 巩固练习 基础巩固题 （2）证明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC， 由(1)知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD＝MN＝MA＝MC， ∴AC＝DN， ∴四边形ADCN是矩形.　 6.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F. （1）求证：四边形AEBO是矩形； 巩固练习 基础巩固题 （1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AOBE是矩形. 巩固练习 基础巩固题 （2）若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积. （2）∵四边形AOBE是矩形， ∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°， ∴AO＝ ＝ ＝6. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16， ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD＝ ×12×16＝96. 课堂小结 矩形的性质与判定3-矩形性质与判定的综合应用 矩形性质的应用 应用矩形的性质解决问题时，常与勾股定理、等腰三角形性质等结合，求解边长、对角线长、角度等。例如，利用矩形对角线将矩形分成四个等腰三角形，通过等腰三角形边角关系计算线段长度；借助矩形的直角，在关联三角形中推导角的度数。 矩形判定的应用 需证明一个图形是矩形时，若已知为平行四边形，可通过 “一个角是直角” 或 “对角线相等” 判定；若为一般四边形，可通过 “三个角是直角” 判定。 作业布置 1.必做题：习题1.6第1-3题。 2.探究性作业：习题1.6第4-5题。 感谢聆听! $$