15.3.1等腰三角形(第1课时 等腰三角形的性质)（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

15.3.1(第1课时)等腰三角形的性质（原卷版） 目 录 类型一、等腰三角形的定义 1 类型二、网格问题 1 类型三、等边对等角 3 类型四、三线合一 5 类型五、等腰三角形的证明 5 类型一、等腰三角形的定义 1．已知是等腰三角形，它的两条边的长分别为和，则它的第三边的长是（   ） A． B． C．或 D． 2．为等腰三角形，其中顶角为，则该三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 3．若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则它的周长为（　　） A．18 B．24 C．18或24 D．12或30 5．在等腰三角形中，若，则 （用“”“”“”中的一个符号填空）． 6．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 7．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 类型二、网格问题 8．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 10．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： 在图中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形． 12．图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 类型三、等边对等角 13．如图，在中，，点与点关于成轴对称，连接，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为 ． 16．如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 17．如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图，点在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等。根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，______，和是的角平分线． 求证：______ 证明： 20．如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 类型四、三线合一 21．若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 22．如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，于D，于C，且，求证：． 类型五、等腰三角形的证明 24．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 25．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 26．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 1．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 2．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 4．如图，的平分线过点，与交于点，若，则的度数为 °． 5．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，．若为底边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 7．如图，在四边形中，连接，，过点作交于点，延长、交于点，已知所在的直线是线段的垂直平分线． (1)是否平分？请说明理由； (2)过点作于点，若，，的面积为，求的长． 8．如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 1．已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 2．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 3．综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： (1)求证：是等腰直角三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3.1(第1课时)等腰三角形的性质（解析版） 目 录 类型一、等腰三角形的定义 1 类型二、网格问题 4 类型三、等边对等角 8 类型四、三线合一 13 类型五、等腰三角形的证明 15 类型一、等腰三角形的定义 1．已知是等腰三角形，它的两条边的长分别为和，则它的第三边的长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形，根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，确定第三边的可能值． 【详解】解：分两种情况讨论： 若腰长为，则第三边长，此时三边为、、， ∵，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； 若腰长为，则第三边为，此时三边为、、， ∵，满足所有条件，可构成三角形． 综上，第三边的长为， 故选：D． 2．为等腰三角形，其中顶角为，则该三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质，底角相等且三角形内角和为，利用顶角计算底角即可． 【详解】解：已知等腰的顶角为，设底角为x， 则， 解得， 因此底角为， 故选B． 3．若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性及等腰三角形的性质，由，计算出的值，分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，结合三角形三边关系确定周长． 【详解】解：， 又， 且， 解得，， 当腰长为4（即两腰均为4），底边为2时，三边分别为4，4，2， 验证三角形三边关系： ，，均成立，可构成三角形， 周长为； 当腰长为2（即两腰均为2），底边为4时，三边分别为2，2，4， 验证三角形三边关系： ，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形， 综上，的周长为． 故选：B． 4．一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则它的周长为（　　） A．18 B．24 C．18或24 D．12或30 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分4是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、10， ∵， ∴不能组成三角形， 4是底边时，三角形的三边分别为4、10、10， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长为24． 故选：B． 5．在等腰三角形中，若，则 （用“”“”“”中的一个符号填空）． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，内角和定理以及大角对大边，得出是解题的关键．根据等腰三角形的性质及内角和定理求出，那么，再根据在同一个三角形中，大角所对的边较大即可得出结论． 【详解】解：如图， 在等腰三角形中，， 则为顶角，， ， ∴， ． 故答案为：． 6．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组． 先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长． 【详解】解：方程组，解得：， ∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长， ∴当腰长为2时， 三边长为2，2，4，，不能构成三角形； 当腰长为4时， 三边长为4，4，2，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 故答案为：． 7．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的性质，由平移得到可得是解决本题的关键． 由图形平移，即沿着的方向平移得到线段，可得到两个信息，，且，再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可． 【详解】解：因为线段沿着的方向平移得到线段， 又， 所以，且， 又因为， 所以， 又因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 则的周长为． 故答案为：13 ． 类型二、网格问题 8．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 10．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 11．如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： 在图中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定．因为等腰三角形，则过点A作，结合网格特征，得，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示：即为所求， ． 12．图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的分类，等腰三角形的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （2）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （3）根据是等腰三角形且为钝角三角形，且结合网格特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图①所示 （2）解：如图②所示 （3）解：如图③所示 类型三、等边对等角 13．如图，在中，，点与点关于成轴对称，连接，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、轴对称的性质、等边对等角，由轴对称的性质可得，由等边对等角可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点与点关于成轴对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质和作图，角平分线的性质和作图、等边对等角等知识，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的性质是关键．根据作图可知，垂直平分，平分，再根据垂直平分线的性质、角平分线的性质、等边对等角逐项进行判断即可． 【详解】解：依据尺规作图的痕迹可知，垂直平分，平分， ∴， 故①正确， ∵，，平分， ∴；故②正确； ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 综上可知，①②③正确， 故选：D 15．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键； 利用平行线的性质，推出，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，则可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角． （1）根据题意、，只需证明其对应两边的夹角相等即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而可知，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ， ∴， ． 18．如图，点在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识． （1）利用证明三角形全等即可． （2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ，，，， ， ． （2）解：， ， 又， 又， ， ． 19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等。根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，______，和是的角平分线． 求证：______ 证明： 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出，由角平分线的定义得到，判定，推出． 【详解】解：已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：， ， 和是的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 20．如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 类型四、三线合一 21．若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质． 根据三线合一得到平分，根据角平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰底边上的中线， ∴平分， ∴点H到直线的距离=点H到直线的距离， 故选：A． 22．如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分， ∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分， ， ∵， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 23．如图，在中，于D，于C，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质得到，然后利用证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 类型五、等腰三角形的证明 24．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 25．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 26．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 1．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， 根据题意得，， ①当时，， ②当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若时，点P在延长线上，不符合题意． 综上所述，t的值是5或8． 故选：B． 2．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案． 【详解】解：∵，， ， ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分， ∴， 故答案为：． 4．如图，的平分线过点，与交于点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的定义得，运用等边对等角，得，结合全等三角形的性质，得，再进行角的整理，即可得的度数． 【详解】∵，的平分线过点，与交于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 5．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，．若为底边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，依据要三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，由此可解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． 是等腰三角形，D是的中点，， ，， ， 解得． 是线段的垂直平分线， ， ， 当点M位于点处时，取得最小值，最小值为的长度． 的周长为， 其最小值为． 故答案为：． 6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． (1)画出线段关于直线l的轴对称线段； (2)在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； (3)在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求： （2）解：如图所示，点为所求： 由对称的性质得， 则， 此时，最小； （3）解：如图所示， 点C共有5个． 故答案为：5． 7．如图，在四边形中，连接，，过点作交于点，延长、交于点，已知所在的直线是线段的垂直平分线． (1)是否平分？请说明理由； (2)过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）由，的面积为，可得到，再根据角平分线的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：平分，理由如下： 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 即平分； （2）解：，， ， ， 的面积为， ， 又， ， 平分，，， ． 8．如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图画出图形即可； （2）通过等腰三角形的性质结合角平分线的定义得，将、代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴的周长为． 1．已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出度数和，再分三种情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】解：，是边上的中线， 平分，（等腰三角形三线合一）． ， ，． 情况一：当时 ，， ． ， ． 情况二：当时 ，， ，则． ，此时，不符合，舍去． 情况三：当时 ，， ． ， ． 综上，的度数是或． 故答案为：或 ． 2．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 3．综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： (1)求证：是等腰直角三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先运用证明可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$