立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题复习讲义-2026届高三数学一轮复习

立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题复习讲义 立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题复习讲义 考点一 线线角问题 【知识点解析】 1.异面直线所成之角的定义 异面直线是指空间中既不平行也不相交的直线.为了衡量它们之间的相对倾斜程度，引入异面直线所成角的概念. 范围： 2.求解方法 求解方法 向量表示 几何法 （1）证线线平行：选择合适的点 O，将其中一条或两条异面直线平移，使其相交，证明平移前后的直线线线平行. （2）指明角度：证明线线平行之后，两条相交线的夹角为所求之角. （3）构造三角形：利用平移后的相交直线，构造三角形，求出该三角形的边长. （4）解三角形：通过解三角形计算所成角的大小. ①若该三角形为直角三角形，可利用锐角三角函数在直角三角形中的定义解三角形. ②若该三角形非直角三角形，可利用余弦定理解三角形 空间向量法 若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 【例题分析】 考向一 几何法求异面直线所成之角 1．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接，取的中点，连接. 因点，，分别为，，的中点，则，即得， 则，易证，即得， 则，故得，即得，从而， 即为面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为2，则，， 在中，由余弦定理，， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：C. 2．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故圆锥底面积周长为，设圆锥的母线长为， 圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，设扇形的半径为，则， 则，解得，即， 与所成角为时，所以为等边三角形，， 又为底面圆的直径，所以⊥，又， 由勾股定理得，故为等腰直角三角形， 其中，由勾股定理逆定理得⊥， 取的中点，连接，则，， 取的中点，连接，则， 故（或其补角）即为与所成角， 连接，则⊥平面，取的中点，连接，， 则，故⊥平面，又平面，所以⊥， 其中，，， ，，， 在中，由余弦定理得 ， 故， ， 所以，则与所成角大小为. 故选：D 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5．（24-25高一下·北京·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于 ． 【答案】 【详解】连接 设正方体的棱长为, ∵与是正方形，M，N分别为的中点， 所以M，N分别为的中点， ∴ ∴是等边三角形，∴ 在由正方体中,∥，， ∴四边形是平行四边形，∴∥， 所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）. 异面直线MN与所成的角为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·广东惠州·期末）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 异面直线AC与A₁B所成角的大小为 . 【答案】 【详解】如图所示， 因为是正方体， 所以. 所以直线与所成角为直线与所成角. 因为为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以. 所以直线与所成角的大小为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为 ． 【答案】2 【详解】在正三棱柱中，取中点G，连接FG，EG，BG，如图所示． 由点E为正方形的中心，得，，而，， 于是，，由F为棱的中点，得，，则四边形CFGE是平行四边形，有， 即或其补角就是异面直线BF与CE所成的角， 正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，则，，， 等腰底边FG上的高，， 所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2． 故答案为：2. 8．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. （2）因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）连接，由（1）知，平面， 又平面，， 又为的中点，． 为异面直线与所成角， 在中，， 在中，，，． 又， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 考向二 空间向量法求异面直线所成之角 1．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设正四面体的棱长为， 则， 故，又， 直线与直线夹角的余弦值为， 故选：D． 3．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故选：A. 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，过作交与， 设，， ，， 设，， 又和为异面直线，所以， 直线的一个方向向量为， ，设异面直线和所成角为， 则， 又，所以， 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】由题意有，， 所以 ， ， 所以，又 ， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 8．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 【答案】/ 【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线与所成角为． 故答案为：． 9．（2025·江苏盐城·模拟预测）在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 10．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 考点二 线面角问题 【知识点解析】 1.直线与平面所成之角的定义 一条直线与平面相交，但不和垂直，这条直线叫做平面的斜线. 斜线与的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 2.求解方法 求解方法 向量表示 几何法 （1）证线面垂直：过直线上一点印平面的垂线，确定垂足，证线面垂直，得到直线在平面内的射影。 （2）定夹角：直线与射影之间的锐角或直角即为线面角。 （3）构造三角形：构造含线面角三角形，求出该三角形的边长. （4）解三角形：在含线面角的直角三角形中，利用三角函数（正弦、余弦或正切）求解角度。 ※也可利用等体积法求出斜线上一点到平面的距离，直接利用点到平面的距离与斜线段长度的比求出线面角的正弦值. 空间向量法 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 【例题分析】 考向一 几何法求直线与平面所成之角 1．（24-25高一下·北京·期末）如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正四棱锥中，平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，而，要的面积取得最小值， 当且仅当，此时， 由平面平面，得在平面内射影为， 即是OH与平面ABCD所成的角，， 所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为. 故选：C 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 3．（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，可设底面边长为1，侧棱长为2 连接顶点与底面中心，如图所示: 由底面正三角形的中心到点A的距离为， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为：， 则侧棱与底面所成角的正弦值为：， 故选：C. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图，在正方体中，与平面所成的角等于 . 【答案】 【详解】由正方体性质可知，平面， 从而与平面所成的角为， 因为为等腰直角三角形，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·天津河西·期末）如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为 ；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】连接， 因为E、F分别为BC，的中点，则∥， 可知直线与EF所成角为（或其补角）， 又因为，可知为等边三角形， 可得，所以直线与EF所成角的大小为； 设正方体的边长为2，点C到平面DEF的距离为， 因为， 则的面积， 又因为，即，解得， 所以直线CD与平面DEF所成角的正弦值为. 故答案为：；. 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，则直线BC与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】过点作于，连接. 因为正三棱柱，所以. 因为，所以平面. 又平面，所以. 又，所以平面. 所以为直线与平面所成的角. 设，则，根据勾股定理. 所以，解得. 在直角三角形中，，所以. 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在长方体中，，点为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）    设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. （3）连接， 因为平面，平面， 所以，为直线与平面所成的角. 由题意得，， 所以，即直线与平面所成的角的正切值为. 10．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 考向二 空间向量法求直线与平面所成之角 1．（24-25高二下·天津·期末）三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2）∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3），平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 3．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形， 取AD中点记为E，连接CE， 因为 所以即四边形ABCE为平行四边形， 所以 由于所以又， 所以即， 因为为直四棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面, 所以平面，即平面；    （2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：    因为由(1)知， 所以， 所以 设是平面的一个法向量， 则令，则， 所以， , 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱柱中，因为分别是的中点， 根据三棱柱的性质，且，所以四边形为平行四边形, 所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）由题意，底面是边长为的正三角形，侧棱，则． 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 因为，所以，， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面； （2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（2025·河北石家庄·三模）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形．O是边AB的中点，PO⊥平面ABC，． (1)在直线PB上是否存在一点M，使得直线平面MOC？ (2)若平面平面PAC，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)存在 (2)． 【详解】（1）存在，M点是PB的中点．理由如下： 当M点是PB的中点时，OM是三角形PBA的中位线，所以， 又面MOC，平面MOC， 所以平面MOC； （2）过A作于D，若D与C不重合，因为平面平面PAC， 所以平面POC，所以， 因为平面ABC； 所以，所以平面PAC， 所以，矛盾， 故D与C重合，平面POC，， 以C为原点，过C作OP的平行线为z轴，以CA，CO所在的直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， ，，， 设平面PAC的法向量为， ，即，令，可得， 可得，，， 所以， 设直线PB与平面PAC所成的角为，则． 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值是． 考点三 二面角问题 【知识点解析】 1. 定义法（直接法） 步骤： （1）在交线取一点，分别在两个半平面内作，，则即为二面角的平面角。 （2）解三角形 求角度. 适用场景：交线上存在易取的特殊点（如中点、垂足等），且能方便作出垂线. 2. 垂面法 步骤： （1）作一个与交线垂直的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角. （2）解三角形求角度. 适用场景：存在或可作与交线垂直的平面，或已知某直线垂直于另一个平面. 3. 三垂线定理法 步骤： （1）过其中一个半平面内的点 ，作另一个半平面的垂线，垂足为 ； 再过 作交线的垂线 ，垂足为，连接 ，则即为二面角的平面角（由三垂线定理知）. （2）解  求角度. 适用场景：存在明显的线面垂直关系，便于作交线. 4. 补形法 步骤： （1）当原几何体中二面角不易直接作出时，通过补形（如将三棱锥补成棱柱、将四面体补成平行六面体等），构造易求的二面角. 适用场景：几何体结构不完整，补形后可利用对称性或规则图形性质. 5. 射影面积法 原理：若平面图形 在另一平面上的射影面积为，二面角为，则。 步骤： （1）求原图形面积  和射影图形面积； （2）计算 . 适用场景：难以直接作出平面角，但易求面积和射影面积（尤其适合无棱二面角）. 6.空间向量法 若求平面与平面所成之角 （1）表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 考向一 几何法求二面角 1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【详解】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B    2．（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，    连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，， 由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角， 而平面，AC在面ABCD内，则， 是直角三角形，又，，则，， 在中，，同理， 在中，， 所以二面角的余弦值为. 故选：C 3．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为 . 【答案】 【详解】在正方形中，连接交于O点，连接， 则，即，又平面，平面， 故，而平面， 故平面，平面，则， 即得为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则， 故， 即二面角的正切值为， 故答案为： 4．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为 ．    【答案】2 【详解】如图，在平面PAD内，过点P作，垂足为E， 因为平面平面ABC， 又平面平面，平面PAD， 所以平面ABC， 又因为平面ABC， 所以， 因为，即， 又，PD，平面PAD， 所以平面PAD， 又因为平面PAD， 所以， 又因为， 所以为二面角的平面角， 因为三棱锥的体积，解得， 由勾股定理可得， 所以二面角的正切值为． 故答案为：．    5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. (1)求证：； (2)是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面圆，又平面圆，. 是圆的直径，. ，又平面，平面. 平面. 又平面，. （2）如图： 过点作，垂足为，连接， ，，. ，，， 在中，由余弦定理得， . 垂直圆所在的平面，又圆所在的平面， ，，. ，，， ，，且， 二面角的平面角为. 由三角形面积公式可得，. 在中由余弦定理可得 ， ∴二面角的余弦值为. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在中，，， ， 二面角的正弦值是. 考向二 空间向量法求二面角 1．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，，. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的大小为. 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知底面，， 故以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 则， 故，，即， 而平面， 故平面； （2）由（1）可得， 设平面的法向量为，则, 即，令，可取， 平面的法向量可取为， 设平面与平面夹角为，则. 3．（24-25高三下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取的中点F，连接，， 由中位线定理得，，又，， 得到，且，即四边形为平行四边形， 则，又因为平面，平面，所以平面. （2）因为，，所以， 又因为，，且，平面， 所以平面； 由，，可知，所以． 故，，两两垂直， 以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得，，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，故， 设面与面夹角为θ， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，，且，，，. (1)求的长； (2)求多面体的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面，平面平面. 平面平面，平面平面，. 同理可证，，，四边形为正方形. 如图①，过点作，交于点，连接. ，四边形为平行四边形， ，，. ，，，，，， 四边形为平行四边形，，. ，，，， 四边形为平行四边形，. （2），，，，. ，，，，. ，. ，，平面，平面. 平面，，，，两两垂直. ，平面. 平面，. 又，，，平面，平面. 同理可证平面. 则， ， 所以. （3）方法一：如图②，连接，交于点，连接. 由（1）知，，平面. ，平面.平面，. ，，平面，平面. 平面，，是二面角的平面角. 在中，，，，， 平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：由（1）可知，平面，，平面. 又，以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图③所示的空间直角坐标系， 则，，， ，. 设平面的法向量为， 则取，则，. 显然为平面的一个法向量， ， 平面与平面的夹角的余弦值为. 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)求证：平面平面． (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，． ，且，平面，， 平面． 平面， 平面平面． （2）设平面与平面的夹角为，的中点为，的中点为． 由，，知平面， 又，，故以为原点， ，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，． 易知平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为，因此，取， 故． 7．（2025·四川泸州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，设，连接. 因为底面是菱形，所以是的中点. 又是的中点，所以为的中位线，所以. 又平面平面，所以平面. （2）如图，以为原点，分别以所在的方向为轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以. 设为平面的法向量，则即 令，则. 设为平面的法向量，则即 令，则. 所以. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 8．（2025·湖南长沙·三模）如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. (1)求证：平面GED； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取DE的中点M，连接OM，GM， 在△BDE中，，. 又因为G为CF的中点，所以，， 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以， 又面，面， 所以平面. （2）因为平面ABED，所以，， 又因为，所以四边形ABED为菱形，所以， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CE , 于是，，， ，， 设平面BCE的一个法向量为， 则即 不妨令，则，，取. 又为平面ACE的一个法向量， 设二面角A－CE－B平面角的大小为θ，显然θ为锐角， 于是， 故二面角A－CE－B的余弦值为. 考点四 空间距离问题 【知识点解析】 1.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离（向量法） 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到平面的距离（几何法） 等体积法是利用四面体（三棱锥）的体积不变性来求点到平面距离的方法，核心思想是“同一个四面体用不同底面和高计算体积时结果相等”. 对于四面体，若要求点  到平面的距离 ，可： （1）以平面 ABC 为底面，P 到平面 ABC 的距离 h 为高，计算体积； （2）再选择另一个易求高的面（如、 或 ）作为底面，计算同一四面体的体积 ； （3）通过体积相等 ，解方程求出. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 【例题分析】 考向一 几何法求空间距离 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， 又直三棱柱各棱长均为2，所以， ， 所以，， 设点到平面的距离为， 由，得，所以， 解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖北恩施·期末）正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以 ， 从而， 故选：C． 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点B到平面的距离为，则， 故， 因此. 故选:B. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出示意图如图所示，点在底面的投影为，且， 所以平面，又平面，所以平面， 过作于，连接，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，又， 所以，所以，所以， 又， 在中，可得， 在中，， 设到平面的距离为， 由，可得， 所以，解得. 故选：B. 5．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【详解】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 6．（24-25高一下·天津·期末）在三棱锥中，平面，是边长为1的等边三角形，且，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【详解】 如图，由题意，， 且平面，平面，所以, 则. 取中点，连接，则，且， 所以，. 设点到平面的距离为， 因为，即，解得. 故答案为：. 7．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 因为点在棱上，平面， 平面，且平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）设直线与平面所成角为，则， 其中为点到平面的距离， 因为，，，，， 所以， ， 所以为等边三角形，为直角三角形， 所以，， 又因为, 即，即， 所以， 所以直线与平面BDM所成角的正弦值为 （3） 连接，，, 因为为等边三角形， 所以，， 又因为，， 所以为等腰三角形， 所以，， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以， 又因为，，， 所以，即， 又因为，面， 所以面， 求点到平面BDM的距离为. 8．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 考向二 空间向量法求空间距离 1．（24-25高三上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 （3）由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 而底面为矩形，是的中点， 所以. 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 所以平面的一个法向量为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）因为，平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为： . 3．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，点E为线段的中点，点F为线段上的动点（不含端点）. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角为，求点P到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，，所以. 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）知，平面，平面，所以， 又因为底面为正方形，所以，由，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，则，，故， 设平面的法向量，，令，则， 则平面的法向量， 由题意得，，即， 整理得，，解得或（舍），则 所以平面的法向量可取， 所以点到平面的距离. 5．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）（ii） 【详解】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为， 则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 6．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）依题意，以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则、、、、，所以． 设，故，则． 所以． 因为，所以，解得，所以． （2）由（1）知，． 设平面的一个法向量为， 则，不妨设，则． 易得平面的一个法向量为， 因为，故，故平面与平面的夹角大小为． （3）因为，， 所以在上的投影向量的长度为． 又， 所以点到直线的距离为． 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在平面内作， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，，设， ， ，，共面，存在实数，，使得， 即， 所以，解得，所以； （2）设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 设平面和平面所成的角为， ， 整理得，，， ，， 故点到平面的距离为． 8．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 课后提升练习 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为正方体，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 设，在中，， 所以， 故选：D． 3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 4．（24-25高一下·天津和平·期末）在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，交于， 因为长方体中，平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面， 则即为直线与平面所成角， 由题意可知，由解得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 5．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末·多选）已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】 由题知，，，， A选项，显然是空间的一组基底， 故可设平面的一个法向量，于是， 即，即, 取，则，于是是平面的一个法向量， A选项正确； B选项， ，， 于是， 即不成立，B选项错误； C选项，，，则， 由于，，则是等边三角形，则， 于是，则向量的夹角是， 则直线与直线所成角为，C选项正确； D选项，根据点到平面的距离公式，点到平面的距离为， 而， ， 于是点到平面的距离为，D选项正确. 故选：ACD 7．（24-25高一下·四川成都·期末·多选）如图，在正方体中，为线段上（异于两点）的一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当为线段中点时，异面直线与所成角为 B．三棱锥的体积是定值 C．二面角的余弦值可能为 D．异面直线与所成角不可能为 【答案】ABD 【详解】对于A，连接, 因，可得四边形为平行四边形，则, 故即异面直线与所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则, 在中，由余弦定理，， 因，则，即异面直线与所成角为，故A正确； 对于B， 因，可得，则， 又平面,平面,则平面， 故点到平面的距离即点到平面的距离是定值， 且的面积也是定值，故三棱锥的体积是定值，即B正确； 对于C，以为原点建立空间直角坐标系，不妨取正方体边长为2， 则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 又 ，当时等号同时成立， 所以二面角的余弦值不可能为，故C错误； 对于D，，当直线与所成角为时， ， 此时点则点处，不符合题意，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二下·江苏南京·期中·多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【详解】A：连接，由正方体的结构特征得， 平面，平面，则， 而都在平面内，则平面， 而平面，则直线直线，正确； B：由题设，易知四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值，又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，正确； C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角． 易知为等边三角形，当为的中点时； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为． 故异面直线与所成角的取值范围是，错误； D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以，，又平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 平面，则，同理，都在平面内， 所以平面，则是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确． 故选：ABD 9．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 10．（24-25高二下·福建漳州·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 【答案】 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一：取的中点为，连接，， 则，， 而，，故，， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，所以平面． 法二：因为平面，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 从而平面的法向量为，， 因为， 所以， 而平面，所以平面． （2）由（1）得，，易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面所成角的余弦值为． （3）由，平面的法向量为， 则， 即点到平面的距离为. 12．（24-25高二下·重庆·期末）如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. (1)证明：； (2)若，，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， ∵，均为正三角形，为的中点，∴，， 平面，，∴平面， 平面，∴， ，，平面，∴平面， 平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面， ，，平面，平面， ∴平面，平面， 故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，∴， ，且平面，平面，平面， 由平面，则，又，， 平面，∴平面，∴， 设平面的法向量为，则 令得是平面的一个法向量， 显然平面的一个法向量为，∴， 故所求角为. 13．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）取PD的中点N， 连接AN， MN， 如图所示： 为棱PC的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面，   平面. （2） 平面平面， 平面平面， 平面， 平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，如图， 则 为棱PC的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为， 所以二面角的正弦值为. （ii） 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 14．（24-25高一下·重庆·期末）已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点 【详解】（1）因为梯形中，， 所以，所以，所以， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为分别为棱､的中点，所以，所以， 又，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，故建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）由（2）可知平面，故分别以为轴的正方向， 轴在平面内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，因为，所以，又，，，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为，所以， 因为，所以，即， 所以或，因为，所以或， 因为，所以，，所以， 所以存在点，使得点到平面的距离为. 15．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，M是的中点，N是上的一点． (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题可知：建立如图所示空间直角坐标系 又， 所以， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以，令，则； ，令，则， 又，所以，所以平面平面. （2）由（1）可知：，平面的一个法向量为 点到平面的距离为. （3）由（1）可知：，设， 所以， 又异面直线和所成角的余弦值为， 所以， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以二面角的余弦值为， 则正弦值为. 16．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）由题意以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以， 设平面、平面的法向量分别为， 则，， 令，解得， 故可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题复习讲义 立体几何：线线角问题、线面角问题、二面角问题、空间距离问题复习讲义 考点一 线线角问题 【知识点解析】 1.异面直线所成之角的定义 异面直线是指空间中既不平行也不相交的直线.为了衡量它们之间的相对倾斜程度，引入异面直线所成角的概念. 范围： 2.求解方法 求解方法 向量表示 几何法 （1）证线线平行：选择合适的点 O，将其中一条或两条异面直线平移，使其相交，证明平移前后的直线线线平行. （2）指明角度：证明线线平行之后，两条相交线的夹角为所求之角. （3）构造三角形：利用平移后的相交直线，构造三角形，求出该三角形的边长. （4）解三角形：通过解三角形计算所成角的大小. ①若该三角形为直角三角形，可利用锐角三角函数在直角三角形中的定义解三角形. ②若该三角形非直角三角形，可利用余弦定理解三角形 空间向量法 若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 【例题分析】 考向一 几何法求异面直线所成之角 1．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于 ． 6．（24-25高一下·广东惠州·期末）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 异面直线AC与A₁B所成角的大小为 . 7．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为 ． 8．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为 . 9．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 考向二 空间向量法求异面直线所成之角 1．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥中，，则异面直线和所成角余弦值的取值范围是 ． 6．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 8．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 9．（2025·江苏盐城·模拟预测）在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 10．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 考点二 线面角问题 【知识点解析】 1.直线与平面所成之角的定义 一条直线与平面相交，但不和垂直，这条直线叫做平面的斜线. 斜线与的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 2.求解方法 求解方法 向量表示 几何法 （1）证线面垂直：过直线上一点印平面的垂线，确定垂足，证线面垂直，得到直线在平面内的射影。 （2）定夹角：直线与射影之间的锐角或直角即为线面角。 （3）构造三角形：构造含线面角三角形，求出该三角形的边长. （4）解三角形：在含线面角的直角三角形中，利用三角函数（正弦、余弦或正切）求解角度。 ※也可利用等体积法求出斜线上一点到平面的距离，直接利用点到平面的距离与斜线段长度的比求出线面角的正弦值. 空间向量法 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 【例题分析】 考向一 几何法求直线与平面所成之角 1．（24-25高一下·北京·期末）如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图，在正方体中，与平面所成的角等于 . 6．（24-25高一下·天津河西·期末）如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为 ；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 . 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 8．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，则直线BC与平面所成角的正弦值为 . 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在长方体中，，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 10．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 考向二 空间向量法求直线与平面所成之角 1．（24-25高二下·天津·期末）三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 3．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，底面，，分别是的中点，点在线段上，且． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2025·河北石家庄·三模）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形．O是边AB的中点，PO⊥平面ABC，． (1)在直线PB上是否存在一点M，使得直线平面MOC？ (2)若平面平面PAC，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值． 考点三 二面角问题 【知识点解析】 1. 定义法（直接法） 步骤： （1）在交线取一点，分别在两个半平面内作，，则即为二面角的平面角。 （2）解三角形 求角度. 适用场景：交线上存在易取的特殊点（如中点、垂足等），且能方便作出垂线. 2. 垂面法 步骤： （1）作一个与交线垂直的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角. （2）解三角形求角度. 适用场景：存在或可作与交线垂直的平面，或已知某直线垂直于另一个平面. 3. 三垂线定理法 步骤： （1）过其中一个半平面内的点 ，作另一个半平面的垂线，垂足为 ； 再过 作交线的垂线 ，垂足为，连接 ，则即为二面角的平面角（由三垂线定理知）. （2）解  求角度. 适用场景：存在明显的线面垂直关系，便于作交线. 4. 补形法 步骤： （1）当原几何体中二面角不易直接作出时，通过补形（如将三棱锥补成棱柱、将四面体补成平行六面体等），构造易求的二面角. 适用场景：几何体结构不完整，补形后可利用对称性或规则图形性质. 5. 射影面积法 原理：若平面图形 在另一平面上的射影面积为，二面角为，则。 步骤： （1）求原图形面积  和射影图形面积； （2）计算 . 适用场景：难以直接作出平面角，但易求面积和射影面积（尤其适合无棱二面角）. 6.空间向量法 若求平面与平面所成之角 （1）表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 考向一 几何法求二面角 1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为 . 4．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，平面平面ABC，，，，三棱锥的体积为，则锐二面角的正切值为 ．    5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. (1)求证：； (2)是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 考向二 空间向量法求二面角 1．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高三下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，，且，，，. (1)求的长； (2)求多面体的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)求证：平面平面． (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 7．（2025·四川泸州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 8．（2025·湖南长沙·三模）如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. (1)求证：平面GED； (2)若，求二面角的余弦值. 考点四 空间距离问题 【知识点解析】 1.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离（向量法） 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到平面的距离（几何法） 等体积法是利用四面体（三棱锥）的体积不变性来求点到平面距离的方法，核心思想是“同一个四面体用不同底面和高计算体积时结果相等”. 对于四面体，若要求点  到平面的距离 ，可： （1）以平面 ABC 为底面，P 到平面 ABC 的距离 h 为高，计算体积； （2）再选择另一个易求高的面（如、 或 ）作为底面，计算同一四面体的体积 ； （3）通过体积相等 ，解方程求出. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 【例题分析】 考向一 几何法求空间距离 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（    ）． A． B．2 C． D． 2．（24-25高一下·湖北恩施·期末）正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（       ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为 ． 6．（24-25高一下·天津·期末）在三棱锥中，平面，是边长为1的等边三角形，且，则点到平面的距离为 ． 7．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点到平面BDM的距离. 8．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 考向二 空间向量法求空间距离 1．（24-25高三上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 3．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，点E为线段的中点，点F为线段上的动点（不含端点）. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角为，求点P到平面的距离. 5．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 6．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 8．（2025·天津滨海新·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 课后提升练习 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高一下·天津和平·期末）在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末·多选）已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 7．（24-25高一下·四川成都·期末·多选）如图，在正方体中，为线段上（异于两点）的一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当为线段中点时，异面直线与所成角为 B．三棱锥的体积是定值 C．二面角的余弦值可能为 D．异面直线与所成角不可能为 8．（24-25高二下·江苏南京·期中·多选）如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 9．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 10．（24-25高二下·福建漳州·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 11．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点E为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点B到平面的距离． 12．（24-25高二下·重庆·期末）如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. (1)证明：； (2)若，，求平面与平面夹角的大小. 13．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面， M为棱PC的中点. (1)证明：平面； (2)若 （i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 14．（24-25高一下·重庆·期末）已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，M是的中点，N是上的一点． (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 16．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$