【第十八章 分式 02讲 分式的乘法与除法】【三大知识点+四大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十八章 分式 02讲 分式的乘法与除法 题型归纳 【题型1. 分式乘法】……………………………………………………………………… 2 【题型2. 分式除法】……………………………………………………………………… 3 【题型3. 分式乘方】……………………………………………………………………… 4 【题型4. 含乘方的分式乘除混合运算】………………………………………………… 5 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 6 知识清单 知识点1 分式的乘法 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 知识点2 分式的除法 1.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 知识点3 分式的乘方 1.乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 【提示】分式的运算应注意： ① 运算结果应化为最简粉丝； ② 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分； ③ 乘除混合运算可以统一为乘法运算； ④ 分式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除. 题型专练 题型1. 分式乘法 【例1】（24-25九年级下·四川南充·阶段练习）代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆璧山·期中）计算 ． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）化简： ． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： ． 计算： 题型2. 分式除法 【例1】（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【变式1】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）化简的结果为 ． 【变式3】（2025·湖北孝感·二模）化简： ． 计算： 题型3. 分式乘方 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算： ． 【变式1】（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1） ；（2） ；（3） ． 计算： 题型4. 含乘方的分式乘除混合运算 计算： ． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川南充·三模）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·河南信阳·模拟预测）计算： ． 12．（2025·湖北随州·一模）计算： ． 13．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （） ；           （） ； （） ；        （4） ； （） ；             （6） ． 16．（2025·四川自贡·二模）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 17．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）定义两种运算：，，则 ． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是 ． 20．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果 ． 三、解答题 21.计算 22．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 23．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 24．（23-24八年级下·江西吉安·期末）先化简：，并在1、、0、2四个数中选择一个适合的数作为x的值代入求值． 25．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式 ① ② ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 26．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 27．（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 28．（23-24七年级下·福建漳州·期中）阅读下列解答过程： 已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 29．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 30．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 分式 02讲 分式的乘法与除法 题型归纳 【题型1. 分式乘法】……………………………………………………………………… 2 【题型2. 分式除法】……………………………………………………………………… 4 【题型3. 分式乘方】……………………………………………………………………… 6 【题型4. 含乘方的分式乘除混合运算】………………………………………………… 9 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 12 知识清单 知识点1 分式的乘法 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 知识点2 分式的除法 1.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 知识点3 分式的乘方 1.乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 【提示】分式的运算应注意： ① 运算结果应化为最简粉丝； ② 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分； ③ 乘除混合运算可以统一为乘法运算； ④ 分式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除. 题型专练 题型1. 分式乘法 【例1】（24-25九年级下·四川南充·阶段练习）代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键． 先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·重庆璧山·期中）计算 ． 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）化简： ． 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： ． 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 分式除法 【例1】（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算， 先将除法变成乘法，再约分可得答案． 【详解】解：原式． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河南周口·期中）化简的结果为 ． 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把第一个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分即可即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖北孝感·二模）化简： ． 【分析】根据分式的乘除混合运算解答即可． 本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：1． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 分式乘方 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算： ． 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了分式的乘方的运算方法，分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，据此求出化简的结果即可． 【详解】． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【分析】本题主要考查分式的乘方及乘法运算，原式先计算乘方，再进行约分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则． （1）根据分式的乘方法则直接计算即可； （2）根据分式的乘方法则直接计算即可； （3）根据分式的乘方法则直接计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 含乘方的分式乘除混合运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ＝ 解：原式 解：原式式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 巩固练习 一、单选题 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·河北邯郸·三模）已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．将分式除法转化为乘法，约分后分析分母是否被完全约去，从而判断结果是否为整式． 【详解】解：原式化简为： 结果为整式时，分母必须能被分子整除， A：，则，为整式，可能； B：，则，为整式，可能； C：，则无法约分，结果非整式，不可能； D：，则，为整式，可能； 综上，“○”表示的式子不可能是C． 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了合并同类项、完全平方公式，分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项、完全平方公式，分式的乘除法，积的乘方逐一进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算正确，符合题意，选项正确； C、，原计算错误，不符合题意，选项错误； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选B． 4．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式，约分，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先平方，后约分即可． 【详解】解： 故选：A． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查整式的运算、因式分解、分式的性质等知识点，综合运用所学知识成为解题的关键． 根据题意得出，根据非负数的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 6．（2025·四川南充·三模）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【详解】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的混合运算，先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 8．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解：， ∵运算的结果为整式， ∴中式子一定有公因式的整式， ∴只有D项符合， 故选：D． 9．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. 与，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意． 故选：B． 10．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题 11．（2025·河南信阳·模拟预测）计算： ． 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解；， 故答案为：． 12．（2025·湖北随州·一模）计算： ． 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先将运用平方差公式进行分解，然后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把、代入计算． 【详解】解： ， 当、时， 原式． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （） ；           （） ； （） ；        （4） ； （） ；             （6） ． 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘法运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘除和乘方运算，掌握分式的乘除和乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 16．（2025·四川自贡·二模）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 17．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若为整数，则能使分式的值为整数的为 ． 【分析】本题主要考查了分式的除法，分式的值，根据分式的除法进行计算，进而根据分式的值以及为整数，即可求解． 【详解】解： ∵分式的值为整数即为整数，为整数， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）定义两种运算：，，则 ． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是 ． 【分析】根据使分式有意义的条件：分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，，， ∴x的取值范围是且且． 故答案为：且且． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键． 20．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果 ． 【分析】根据题干中的程序图分别计算出，，，找到规律，可以得到． 【详解】解：， ， ， 观察上式可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了找规律-数字的变化类，分式的运算，根据程序图计算找到规律是解题的关键． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 24．（23-24八年级下·江西吉安·期末）先化简：，并在1、、0、2四个数中选择一个适合的数作为x的值代入求值． 【分析】本题考查的是分式的除法运算及化简求值，先化简计算，再选取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，． 25．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式 ① ② ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第③步开始出现错误，错误的原因是约分丢负号． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第③步开始出现了错误， 故答案为：③； （2）解：原式 ． 26．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 28．（23-24七年级下·福建漳州·期中）阅读下列解答过程： 已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：的倒数为， ， ． 29．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的除法运算法则即可求出答案． （2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定． 【详解】（1）设被墨水污染的部分是， 则， 解得：； （2）不同意，理由如下： 若，则 由原题可知，当时，原式，原分式无意义， 所以当时，原分式的值不能等于1． 30．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$