第2章 第3节 匀变速直线运动位移与时间的关系（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中物理必修第一册（教科版2019）

第3节　匀变速直线运动位移与时间的关系 物理观念 科学探究 科学态度与责任 匀变速直线运动的位移及速度和位移的关系。 感悟数学方法在物理学中的应用。 掌握追及和相遇问题的处理方法，增强将物理知识应用于实际生活的意识。 [对应学生用书P40] 一、匀速直线运动的位移 1．做匀速直线运动的物体的位移为Δx＝vt。 2．做匀速直线运动的物体，它的v－t图像是一条平行于横轴的直线，位移Δx就对应着那段图像与两个坐标轴间所围成的矩形的“面积”。 二、匀变速直线运动的位移公式 1．极限思想推导 (1)把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形“面积”。所有小矩形合起来是一个“阶梯形”的图形，用阶梯形图形的“面积”替代梯形的“面积”，两者存在一定的误差。 (2)将时间间隔划分得更小些，如图乙所示，所得的阶梯图形与原来的梯形相比较，误差就会更小。 (3)当Δt→0时，如图丙所示，“台阶”形的折线就变成了一条直线，它与两个坐标轴所围成的图形的“面积”，就可以看作等于那个梯形的“面积”。 　　　　 2．结论：在匀变速直线运动的图像中，对应时间t的速度图像与两个坐标轴所围成的梯形的“面积”，在数值上等于在时间t内的位移值。 3．位移公式：x＝v0t＋at2。 判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)匀速直线运动的位移与时间成正比。 (　　√　　) (2)匀变速直线运动的位移与时间的平方成正比。 (　　×　　) (3)初速度越大，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。 (　　×　　) (4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。 (　　√　　) (5)只有匀变速直线运动的v－t图像与t轴所围的面积才等于物体的位移。 (　　×　　) (6)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。 (　　×　　) (7)匀加速直线运动的位移是均匀增大的。 (　　×　　) (8)x－t图像和v－t图像的坐标关系图线都可以为曲线。 (　　√　　) (9)v－t图像中的直线的斜率表示加速度，x－t图像中的直线的斜率表示速度。 (　　√　　) 解析：(5)对于任何形式的直线运动，其v－t图像与时间轴围成的面积都表示物体的位移，该说法错误。 (6)位移公式x＝v0t＋at2既适用于匀加速直线运动也适用于匀减速直线运动，该说法错误。 (7)匀加速直线运动的位移为x＝v0t＋at2，所以匀加速直线运动的位移不是均匀增大的，故错误。 (8)x－t图像和v－t图像的坐标关系图线都可以为曲线，故正确。 (9)v－t图像中的直线的斜率表示加速度，x－t图像中的直线的斜率表示速度，故正确。 [对应学生用书P41] 探究点一__匀变速直线运动的位移与时间的关系式 甲同学把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。乙同学把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以表示物体在整个过程的位移。 　　 [问题设计] (1)比较以上两种分法，哪种更能精确地表示物体运动的位移？ (2)结合甲、乙两同学的做法，丙同学认为，当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图像中图线下面的面积(如图丙)。试根据梯形面积推导匀变速直线运动的位移公式。 提示：(1)乙同学的做法更能精确地表示物体运动的位移。 (2)由题图可知：梯形OABC的面积S＝(OC＋AB)×，代入各物理量得：x＝(v0＋vt)t，又vt＝v0＋at，得x＝v0t＋at2。 1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。 2．公式的矢量性：x＝v0t＋at42为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。 (1)匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值。 (2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反。 3．两种特殊形式 (1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比。 (2)当a＝0时，x＝v0t，此即匀速直线运动的位移公式。 [例1] (2024·全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340 m/s，求： (1)救护车匀速运动时的速度大小； (2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 答案：(1)20 m/s　(2)680 m 解析：(1)根据匀变速运动速度公式可得，救护车匀速运动时的速度大小 v＝at1＝2×10 m/s＝20 m/s。 (2)救护车加速运动过程中的位移 x1＝at＝100 m 设在t3时刻停止鸣笛，根据题意可得 ＋t3＝t2 停止鸣笛时救护车距出发处的距离 x＝x1＋(t3－t1)v 代入数据联立解得x＝680 m。 [练1] 某物体做匀变速直线运动的位移跟时间的函数关系式是x＝0.5t＋t2，则该物体 (　　) A．初速度为1 m/s B．加速度为1 m/s2 C．前2 s内位移为5 m D．第2 s内位移为5 m C　解析：根据位移与时间关系式x＝v0t＋at2与x＝0.5t＋t2比较系数可得v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，A、B错误；前2 s内位移为x1＝(0.5×2＋22) m＝5 m，C正确；第2 s内位移为x2＝(0.5×2＋22－0.5×1－12) m＝3.5 m，D错误。 [练2] (2025·广东汕头高一期中)一架国产大飞机C919在上海浦东机场进行高速滑行测试。飞机在平直跑道上由静止开始匀加速滑行，经t＝20 s达到最大速度vm＝80 m/s，求： (1)飞机加速滑行时的加速度大小a； (2)飞机在跑道上加速滑行的距离x。 答案：(1)4 m/s2　(2)800 m 解析：(1)由题意可知vm＝at＝80 m/s 解得a＝4 m/s2。 (2)加速过程t＝20 s，由位移与时间关系式可得加速滑行的距离为x＝at2＝×4×202 m＝800 m。 探究点二__位移—时间图像_ 斑马奔跑的速度快，每小时可达到60～80公里。假设斑马沿直线轨道奔跑，图中描述了它相对出发点的位移随时间变化的情况。 [问题设计] 试结合上述情景，讨论下列问题： (1)情景中，斑马最远距离出发点多少米？ (2)情景中，斑马各阶段的运动状态是怎样的？ 提示：(1)根据图像可得，斑马最远距离出发点90 m。 (2)斑马在前10 s内以9 m/s的速度做匀速直线运动，在10～12 s内停在距出发点90 m的位置。 1．x－t图像的物理意义 x－t图像反映了物体的位移随时间的变化关系，图像上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。 2．x－t图像的应用 位移 大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值 方向 末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向 速度 大小 斜率的绝对值 方向 斜率的正负，斜率为正，表示物体向正方向运动；斜率为负，表示物体向负方向运动 运动开始位置 图线起点纵坐标 运动开始时刻 图线起点横坐标 两图线交点的含义 表示两物体同时在同一位置(相遇) [例2] (2025·江西南昌高一期中)如图所示为一个质点沿直线运动的位移—时间图像。根据图像，求： (1)0～2 s内质点的位移； (2)0～5 s内质点的平均速度； (3)画出与位移—时间图像对应的速度—时间图像。 答案：(1)20 m，方向沿x轴正方向　(2)2 m/s，方向沿x轴负方向　(3)见解析图 解析：(1)0～2 s内，质点位移为x1＝(30－10) m＝20 m，方向沿x轴正方向。 (2)由位移—时间图像可知，在开始5 s内，质点先由x1＝10 m处到x2＝30 m处，再返回到x3＝0处。则在开始5 s内的位移 Δx＝x3－x1＝0－10 m＝－10 m 开始5 s内的平均速度为 ＝＝ m/s＝－2 m/s 负号表示方向沿x轴负方向，大小为2 m/s。 (3)位移—时间图像斜率表示速度，则0～2 s内v1＝ m/s＝10 m/s 2～3 s内v2＝ m/s＝0 m/s 3～5 s内v3＝ m/s＝－15 m/s 对应的速度—时间图像如图所示。 位移—时间图像的内涵 (1)点：图线上每一点代表物体在某一时刻的位移；图线的交点表示此时刻物体相遇。 (2)线：倾斜直线表示物体做匀速直线运动；平行于t轴的直线表示物体静止；曲线表示物体做变速直线运动。 (3)截距：图像与纵坐标轴的交点表示计时开始时物体的位置到原点的距离和方向，图像与横坐标轴的交点表示计时开始的时刻或物体经过原点的时刻。 (4)斜率：图线斜率的绝对值表示速度的大小，即v＝|k|＝。 [练3] 如图是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图像。则 (　　) A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快 B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同 C．当t＝t1时，两质点的速度相等 D．A质点的加速度比B质点的加速度大 A　解析：位移—时间图像的斜率表示速度。由题图看出，A图线的斜率大于B图线的斜率，则A的速度大于B的速度，A正确；位移等于纵坐标的变化量，在时间0～t1内，A的位移大于B的位移，B错误；t＝t1时，两质点到达同一位置相遇，A的速度仍大于B的速度，C错误；两质点均做匀速直线运动，加速度都等于零，D错误。 [练4] (多选)物体甲的x－t图像和物体乙的v－t图像分别如图所示，则这两个物体的运动情况是 (　　) A．甲在0～6 s内速度是均匀增加的，是匀加速直线运动 B．甲在0～6 s内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m C．乙在0～6 s内做往返运动，它通过的总位移为零 D．乙在0～6 s内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m BC　解析：x－t图像的斜率表示速度，由题图甲可知，甲做匀速直线运动，A错误；x－t图像的斜率的正负表示速度方向，由题图甲可知，甲物体的速度方向不变，甲在t＝0时刻由负方向上距原点2 m处向正方向运动，6 s时到达正向的2 m处，所以总位移为4 m，B正确；乙在t＝0时沿负方向做匀减速直线运动，3 s后沿正方向做匀加速直线运动，图像与时间轴围成的面积为物体通过的位移，0～6 s 内物体乙的总位移为零，C正确，D错误。 探究点三__匀变速直线运动的两个重要推论 做匀变速直线运动的物体，初速度为v0，经过一段时间t，速度变为vt。 [问题设计] (1)此过程中物体的平均速度为多少？运动到时的瞬时速度v为多大？ (2)在匀变速直线运动中，物体运动的加速度为a，在任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是多少？ 提示：(1)推导：＝＝＝v0＋at＝v 将vt＝v0＋at代入可得 ＝＝v 此公式只适用于匀变速直线运动。 所以，匀变速直线运动位移又可表示为 x＝ t＝t。 (2)推导：在时间T内的位移x1＝v0T＋aT2① 在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2② 则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③ 由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。 拓展：ΔxMN＝xM－xN＝(M－N)aT2。 1．推论1 做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末速度和的一半，即 ＝v＝。 (1)适用条件：匀变速直线运动。 (2)应用：计算瞬时速度。 2．推论2 匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则 Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。 (1)推导：x1＝v0T＋aT2， x2＝v0·2T＋a·T2， x3＝v0·3T＋a·T2，… 所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，… 故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，… 所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。 (2)应用 ①判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 ②求加速度 利用Δx＝aT2，可求得a＝。 [例3] 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度。 答案：1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2 解析：解法一：平均速度法 画出运动过程如图所示 连续两段相等时间T内的平均速度分别为 1＝＝＝6 m/s，2＝＝＝16 m/s 且1＝，2＝， 由于B是A、C的中间时刻，则 vB＝＝＝＝11 m/s 解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s 加速度为a＝＝＝2.5 m/s2。 解法二：逐差法 由Δx＝aT2可得a＝＝＝2.5 m/s2 又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T 联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 [练5] 如图甲所示，某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程，物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图乙所示。已知斜坡是由长为d＝0.6 m的地砖拼接而成，且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法不正确的是 (　　) A.物块在由A运动至E的时间为1.6 s B．位置A与位置D间的距离为1.30 m C．物块在位置D时的速度大小为2.25 m/s D．物块下滑的加速度大小为1.875 m/s2 B　解析：由题图乙中各个位置对应时刻可知，相邻位置的时间间隔T＝0.40 s，故AE的时间间隔为1.6 s，A正确；根据题意，由逐差法有xCE－xAC＝a(2T)2，代入数据解得a＝1.875 m/s2，D正确；由中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，物块在位置D时速度为vD＝＝2.25 m/s，C正确；根据题意，由公式v＝v0＋at有vD＝vA＋a·(3T)，解得vA＝0，则位置A、D间距离为xAD＝a·(3T)2＝1.35 m，B错误。 [练6] (2025·广东揭阳高一期中)一辆汽车在平直的公路上做匀加速直线运动，测得第3 s内的位移为6 m，第4 s内的位移为8 m，求： (1)汽车在第2 s末至第4 s末这两秒内的平均速度的大小； (2)汽车做匀加速直线运动的加速度的大小和初速度的大小； (3)汽车在前4 s内的位移的大小。 答案：(1)7 m/s　(2)2 m/s2　1 m/s　(3)20 m 解析：(1)汽车在第2 s末至第4 s末这两秒内的位移为x24＝6 m＋8 m＝14 m 则汽车在第2 s末至第4 s末这两秒内的平均速度为＝＝ m/s＝7 m/s。 (2)根据匀变速直线运动推论Δx＝aT2 可得汽车做匀加速直线运动的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2 根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，可知3 s时的速度为v3＝＝＝7 m/s 根据v3＝v0＋at3 可得初速度为v0＝v3－at3＝7 m/s－2×3 m/s＝1 m/s。 (3)汽车在前4 s内的位移为x4＝v0t4＋at＝1×4 m＋×2×42 m＝20 m。 [对应学生用书P45] 1．物体在做匀减速直线运动时(运动方向不变)，下面结论正确的是 (　　) A．加速度越来越小 B．加速度总与物体的运动方向相同 C．位移随时间均匀减小 D．速度随时间均匀减小 D　解析：物体做匀减速直线运动，表明它的速度均匀减小，加速度大小不变，加速度方向与物体的运动方向相反，A、B错误，D正确；由于物体运动方向不变，位移逐渐增大，C错误。 2．一辆小车在平直的公路上运动的位移—时间图像如图所示，则在下列四幅小车的速度—时间图像中，可能正确的是 (　　) B　解析：位移—时间图像切线的斜率表示速度，由题图可知，0～t1时间内，小车的速度减小，t1～t2时间内，小车的速度反向增大，B正确。 3．(2024·山东卷)如图所示，固定的光滑斜面上有一块木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为 (　　) A．(－1)∶(－1) B．(－)∶(－1) C．(＋1)∶(＋1) D．(＋)∶(＋1) A　解析：木板在斜面上运动时，木板的加速度不变，设加速度为a，木板从静止释放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有L＝at，木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有2L＝at，当木板长度为2L时，有3L＝at，又Δt1＝t1－t0，Δt2＝t2－t0，联立解得Δt2∶Δt1＝(－1)∶(－1)，A正确。 4．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是 (　　) A．6 m B．8 m C．4 m D．1.6 m A　解析：根据速度与时间公式v1＝at，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2。第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋at2＝4×1 m＋×4×12 m＝6 m，A正确。 5．如图所示，在某次高山滑雪速降比赛中，运动员由静止开始沿滑道向下做加速直线运动，前3 s内可视为匀加速直线运动。已知运动员在第1 s内位移为2 m。求： (1)运动员加速度的大小； (2)第3 s末运动员的速度大小； (3)前3 s内运动员的平均速度大小。 答案：(1)4 m/s2　(2)12 m/s　(3)6 m/s 解析：(1)根据x1＝at可得运动员加速度的大小为a＝＝ m/s2＝4 m/s2。 (2)第3 s末运动员的速度大小为 v3＝at3＝4×3 m/s＝12 m/s。 (3)前3 s内运动员的平均速度大小为 ＝＝6 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $$