数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练 数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 3．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习·多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前项和 【答案】BCD 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且， 所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列， 故，A错； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对； 对于C选项，由可得， 所以， ，C对； 对于D选项，， 记， 则， 这两个等式作差得 ， 所以，， 故 ，D对. 故选：BCD. 4．（24-25高二下·浙江·期中·多选）已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，已知，， 令，则． 所以，即，解得． 所以． ，故A选项正确． 已知，， 设等比数列的公比为，则，所以， 则， 所以（常数）， 所以数列是等差数列，故B选项正确． 已知． 设数列的前项和为，则 ，故C选项错误． 已知．设数列的前项和为， 则 所以 所以，故D选项正确． 故选：ABD． 5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的通项公式为，其前项和为，则 ． 【答案】 【详解】， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 6．（24-25高二下·山西·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 . 【答案】 【详解】当时，所以； 当时，由， 得，所以. 令， 则， 两式作差得， 所以. 故答案为： 7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 8．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 9．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记为正项数列的前项和，且. (1)求的值； (2)判断是否为等差数列，并求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)是常数列，也是等差数列，. (3) 【详解】（1）令可得， 又，故. （2），① ，② 由②-①，得， 即 故，故是常数列，也是等差数列 故，故. （3）由（1）可得 故，③ ，④ 由④-③得. 10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）依题意，，解得，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 综上所述，． （2）依题意，， 故， 故， 两式相减可得， ， 则． 11．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，当时，， 相减得， 已知数列各项均为正数，即，可化简得，即数列的公差满足，解得， 当时，，解得，则数列通项公式为， 可得，则， 由数列为等比数列可得，由，求得， 则数列通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， 则， 作差的， 化简得， 解得. 12．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）（1）令，得.又，所以. . 令，得.又，所以. 故. （2）若选择①：由已知，得. 故，所以，. 故是首项和公比均为2的等比数列. 若选择②：由已知，.故当时，. 两式相减，得. 化简并整理，得（，且）. 又，，所以. 故是以1为首项，2为公比等比数列. （3）若选择①：由（2）知，，故. 若选择②：由（2）知，，故. 所以. 所以. 则. 两式错位相减，得. 所以， 13．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）由，则， 又， 得， ， ． （2）由， 得， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故． （3）由（2）得， 所以． 设，① 则，② 由①－②得 则， 当为奇数时， ；                                                 当为偶数时， ， 故 14．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，由可知， 两式相减得，即． 又因为，且， 所以数列从第二项起是等比数列，公比为， 所以， 综上所述，； （2）由（1）可知． ，① ，② ①②，得 ． 所以． 考点二 裂项相消法 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 2．（24-25高二下·云南丽江·期末）已知数列满足，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以为等差数列，公差，首项， 所以， 所以， 所以 ． 故选：D. 3．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则解得，所以， 所以. . 故选：B. 4．（24-25高二下·云南·期末）设数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，， 当时，， 所以， 两式相减得， 因此（）， 当时，， 不满足， 所以， 又因为当时，， 当时，， 所以数列的前9项和为． 故选：A. 5．（24-25高二下·四川雅安·期末·多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 【答案】ABD 【详解】，即， 所以数列首项，公差的等差数列， ，故A正确； ，，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD. 6．（24-25高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．为递增数列 C． D．的前4项和为 【答案】BC 【详解】对于A，由，则，所以，即，又，所以，故A错误； 对于B，设等差数列的公差为，由A知，则， ，， 所以，故数列为递增数列，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为， 所以的前4项和为，故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高二下·四川资阳·期末）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则 ，数列的前50项和为 . 【答案】 15 / 【详解】依题意，，当时，， 于是， 而满足上式，因此，； 由，得数列的前项和， 则，所以. 故答案为：15； 8．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】 【详解】由题意得，则， 所以数列为常数列， 因此，即， 则， 所以 . 故答案为：. 9．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列既是等差数列又是等比数列，且，则数列的前项的和 ． 【答案】 【详解】因为数列既是等差数列又是等比数列， 所以数列是非零的常数列，设（为常数）， 已知，将代入可得：，即，解得. 所以，化简可得：. 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为 ． 【答案】 【详解】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和， 故答案为：. 11．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 12．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. （2）， 13．（24-25高三下·云南·阶段练习）设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)10 【详解】（1）当时，，整理得， 又，所以. 当时，即， 解得，又， 所以. （2）， ， 上述两式相减，得 ， ， ， ， 数列为等差数列，首项为2，公差为4. （3））由（2）得： ， ， ， ，由求根公式得， ， ， . 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列的首项为.数列为等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求； (3)求证. 【答案】(1)；； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）等差数列的首项为， 设公差为，所以，所以， 所以， 设在等比数列中，公比为， 因为，所以， 即， 解得， 所以； （2）因为 ， 所以① ② ①②，得 ． 所以 （3）因为 ， 所以 . 15．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）， ， ，，又，              数列是以为首项，为公差的等差数列， ； （2）， ， ，，， 或（舍去）， ，满足条件的最小正整数为 16．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得， 解得， 所以． （2）由（1）可知， 所以． ． 考点三 分组与并项求和 1．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【详解】（1）由， 因为是等比数列， 则公比为，所以， 因为是等差数列， 则公差为，所以. （2）由（1）得， 则. （3）由（2）有. 2．（24-25高二下·北京房山·期末）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）因为是各项均为正数的等比数列，设公比为， 又，所以，， 因为，，所以，所以， 解得或（舍），所以， 所以，因为是等差数列，设公差为，因为，则， 所以. 所以，. （2）有（1）可得， 则 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，若______． 下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中． ①； ②成等差数列； ③成等比数列． 记数列满足求数列的前20项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)520 【详解】（1）设等比数列的公比为， ， 又，， ，是等差数列，且公差为3 ，数列的通项公式为 （2）选①：，， 选②：成等差数列，， 选③：成等比数列，， ， 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，，， 所以， 即， 又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. （3）由（2）得， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 6．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)1，2，3，4. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 7．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2）， 设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得：， 所以； （3）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，，则， 当时，， 则 ， 综上：. 8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； (3)若数列满足：，求数列的前14项和． 【答案】(1)； (2)8 (3) 【详解】（1）设公差为，所以， 所以，， （2）令， 所以， 所以，解得，所以满足的n的最小值为8； （3）由题意有，由， 所以当时，，所以， 当，时，，所以， 当时，，所以，当时，，所以， 同理得，， 设数列的前项和为， 所以 ， 所以数列的前14项和为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练 数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习·多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前项和 4．（24-25高二下·浙江·期中·多选）已知在等差数列的前项和为，其中，，在等比数列中，，，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的通项公式为，其前项和为，则 ． 6．（24-25高二下·山西·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 . 7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 8．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 9．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记为正项数列的前项和，且. (1)求的值； (2)判断是否为等差数列，并求的通项公式； (3)求数列的前项和. 10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 11．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 12．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 13．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 14．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考点二 裂项相消法 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·云南丽江·期末）已知数列满足，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南·期末）设数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川雅安·期末·多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 6．（24-25高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．为递增数列 C． D．的前4项和为 7．（24-25高二下·四川资阳·期末）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则 ，数列的前50项和为 . 8．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列中，，且，则 . 9．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列既是等差数列又是等比数列，且，则数列的前项的和 ． 10．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为 ． 11．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 12．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 13．（24-25高三下·云南·阶段练习）设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列的首项为.数列为等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求； (3)求证. 15．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 16．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 考点三 分组与并项求和 1．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 2．（24-25高二下·北京房山·期末）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，若______． 下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中． ①； ②成等差数列； ③成等比数列． 记数列满足求数列的前20项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 6．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 7．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和． 8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； (3)若数列满足：，求数列的前14项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$