解三角形：最值与范围问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形：最值与范围问题专项训练 解三角形：最值与范围问题专项训练 考点一 利用三角函数的有界性求最值与范围问题 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（   ） A． B．1 C．3 D．5 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西渭南·期中·多选）中，内角的对边分别为，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．周长的取值范围为 6．（24-25高一下·安徽·阶段练习·多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 的外接圆半径为 C．若 且有一解，则b的取值范围为 D．若 ，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 7．（2025·湖北·模拟预测）锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，则边c的取值范围是 . 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，则的取值范围是 . 9．（24-25高三下·山东德州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 10．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 11．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 12．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 13．（24-25高一下·海南·期末）在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） (1)求A； (2)求的取值范围. 14．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知，，，函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围． 考点二 利用基本不等式求最值与范围问题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 3．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）在中，内角A、B、C所对应的边依次为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中·多选）设中角所对的边为，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则满足条件的三角形有且只有一个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 5．（24-25高一下·新疆哈密·期末·多选）在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 6．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 7．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 . 8．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 10．（2025·山东德州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，求的边的最大值． 11．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 12．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 考点三 利用二次函数求最值与范围问题 1．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，，若的平分线交于点D，求线段的长； (2)若是锐角三角形，且，为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上两点，，，． (1)若，，，用，，的三角函数值表示的值； (2)若，，求的值； (3)若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 3．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 4．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，求的最大值． 5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如图，经过测量，中间是一条道路，其面积忽略不计． (1)求的值； (2)的面积分别记为，求的最大值． 6．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知为钝角，. (1)若，求； (2)求的取值范围. 7．（24-25高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，D，E在BC上，，，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 8．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）设的内角的对边分别为，为钝角，且． (1)探究与的关系并证明你的结论； (2)求的取值范围． 考点四 利用函数单调性求最值与范围问题 1．（2025·山西·三模）设的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)证明：； (2)已知，求取得最小值时的值． 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足． (1)若，求； (2)若，的周长为4， ①求证：； ②求面积的最大值． 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角、、所对应的边分别为、、，已知． (1)求角； (2)若，所在平面内有一点满足，且平分，设． （i）求面积表达式； （ii）确定面积的取值范围． 4．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 5．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 6．（24-25高三上·辽宁·期中）在锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)证明：. （参考数据：） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：最值与范围问题专项训练 解三角形：最值与范围问题专项训练 考点一 利用三角函数的有界性求最值与范围问题 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【详解】依题意，得，故，则， 因为为锐角，所以. 依题意，， 而故，故， 则， 故选：B. 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由锐角中，则， 故，同理， 由三角形面积，则， 由正弦定理，则，故， 所以，而， 所以，则. 故选：C 5．（24-25高一下·陕西渭南·期中·多选）中，内角的对边分别为，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．周长的取值范围为 【答案】BC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，则， 因为，所以，故A错误； 对于B，由正弦定理得，则，即， 因为，所以，则有两解，故B正确； 对于C，由正弦定理得，则，即， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 即b取值范围是，故C正确， 对于D，由余弦定理得，， 则，又，当且仅当时等号成立， 则， 解得，又，则， 所以，故D错误. 故选：BC. 6．（24-25高一下·安徽·阶段练习·多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 的外接圆半径为 C．若 且有一解，则b的取值范围为 D．若 ，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，由正弦定理边角互化可得，故A正确； 对于B，， 则由正弦定理，外接圆半径r满足：，故B正确； 对于C，当B为直角时，该三角形为等腰直角三角形，显然满足题意的三角形只有一个， 但此时，不在中，故C错误； 对于D，由正弦定理边角互化可得， 注意到， 由和差化积公式可得 ， 因为，所以，所以， 所以，则. 因三角形为锐角三角形，则. 又由正弦定理可得，又， 则，故D正确. 故选：ABD 7．（2025·湖北·模拟预测）锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，则边c的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，则 由得，， 又 ， 所以，化简得， 锐角中，可得，即， 因此边的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由为锐角三角形可得：，所以 所以. 故答案为：. 9．（24-25高三下·山东德州·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，则， 即, 而，故， 又， 所以 （2）由（1）可得， 即， 设的内心为，即， 故. 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以的周长为 因为， 所以， 所以， 所以， 故的周长取值范围为. 10．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 11．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，有， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故的取值范围为． 12．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得． 因为，所以， 所以，得． 因为，所以． 在中，当时， 由余弦定理， 得，即，所以， 所以． 选条件②：因为，整理得． 由余弦定理，得． 因为，所以． 在中，当时， 由余弦定理， 得，即，所以， 所以． （2）解法一：由题设及（1）可知． 由余弦定理，得， 化简得．又， 所以， 解得， 当且仅当时等号成立， 由三角形的三边关系可知， 所以，即的取值范围为． 解法二：由题设及（1）可知． 由正弦定理，得， 所以， 得 ， 因为，则， 所以， 故， 所以，即的取值范围为． 13．（24-25高一下·海南·期末）在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） (1)求A； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选①，由得，， 由正弦定理，， 则，整理得，， 因，则有，又，故； 若选②，， 因， 代入得，， 展开整理得，，即， 因，则有，由正弦定理，， 又因，故得，因为，所以； 若选③，因为，所以， 即， 由余弦定理，得，，， 在三角形中，则或（舍），故. （2）因为，则， 因为， 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 14．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知，，，函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，，， 则 ， 故． 因为的最小正周期为，所以，所以，故． 由，，解得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）知． 又，则，所以，得． 又为锐角三角形，所以，即，解得． 由正弦定理可得 ， 又，所以，所以， 所以，故， 所以周长的取值范围为． 考点二 利用基本不等式求最值与范围问题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得，而， 因此，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值6. 故选：B 3．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）在中，内角A、B、C所对应的边依次为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∵解得， 再由，结合余弦定理可得， ∵， 又∵， 得，∴. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中·多选）设中角所对的边为，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则满足条件的三角形有且只有一个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由余弦定理可得，又，，， 所以，解得，A正确； 对于B，由正弦定理可得， 因为，，，所以， 所以，满足条件的角不存在，所以满足条件的三角形不存在，B错误； 对于C，因为，， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以面积的最大值为，C正确； 对于D，因为，， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最大值为，D正确； 故选：ACD. 5．（24-25高一下·新疆哈密·期末·多选）在中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．外接圆的面积为 C．的面积的最大值为 D．的最大值是8 【答案】ACD 【详解】对A：由，利用正弦定理，可得： . 因为，所以，所以，故A正确； 对B：设外接圆半径为，则， 所以外接圆面积为：，故B错误； 对C：由余弦定理：，所以，当时取等号. 所以.故C正确； 对D：因为，所以且， 所以.故D正确. 故选：ACD 6．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则 ，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 8 【详解】由可得，， 即， 即， 由于，则， 化简可得，由于，故， 由于，所以， 故， 故, 即， 化简得， 故，当且仅当时取等号， 故答案为：，8 7．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 . 【答案】 9 【详解】已知向量， 则，则， 所以， 则，所以， 又，故且， 所以，又，则； 由余弦定理有：，则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 故答案为：； 8．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得：，即， ，又，. （2）为边中点，， ， ， （当且仅当时取等号），最大值为. 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 即， 因为为斜三角形，所以，故， 由正弦定理可得． （2）由（1）知，，所以， 所以， 即， 因为，则，故，所以， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时，取最小值． 10．（2025·山东德州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，求的边的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【详解】（1）由，得， 即，又，则， 于是，又，所以. （2）由（1）知，由余弦定理，得， 而，则， 因此，解得， 当且仅当时取等号，则， 所以的边的最大值为4. 11．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】(1); (2); (3). 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. （2）由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. （3）因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 12．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）由已知， 由正弦定理，可得， 又因为，代入上式， 化简得：， 因为中，，所以，从而， 故，因为，所以． （2）因为， 所以， 由（1）知，， 所以 ， 由已知，所以，即， 又，联立两式解得，， 由余弦定理，可得，即． （3）若AD为角平分线，则， 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，， 所以 即， 又因为，所以，， 从而， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 考点三 利用二次函数求最值与范围问题 1．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. (1)已知，，，若的平分线交于点D，求线段的长； (2)若是锐角三角形，且，为的垂心，且，求的取值范围； (3)若，令，试求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以； 又因为，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则， 即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （2）延长交于，延长交于， 设，所以， 在Rt中，， 在中，，所以， 在Rt中，， 同理可得在Rt中，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上两点，，，． (1)若，，，用，，的三角函数值表示的值； (2)若，，求的值； (3)若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；②27. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，， 在中由正弦定理得：， ，． 法二：． （2）在中，由余弦定理得， 在中，， 所以为正三角形，过作的垂线，垂足为， ，，则． （3）由，，，， 所以， ， 两式相乘得，所以 设，则，由，解得， 在中，， 则， ， 由，得， 当时，面积的最大值为27． 3．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）设分别是的中点， 由于是的重心，则为的交点， 则，，， 所以. （2），，， 则， ， 由于三点共线，所以， 整理得. （3） ， 因为，所以， 所以.    4．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题， 由正弦定理： 或（舍） . （2）为锐角三角形，， 由（1），原式， 令， 则原式， 当时，所求式子的最大值为． 5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如图，经过测量，中间是一条道路，其面积忽略不计．    (1)求的值； (2)的面积分别记为，求的最大值． 【答案】(1) (2)98 【详解】（1）在中，， 根据余弦定理，． 同理，在中，． 所以，化简得． （2）由（1）有． 由题意， 同理可得，的面积， ． 令，则， 所以，当时，取得最大值，最大值为98． 6．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知为钝角，. (1)若，求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，根据正弦定理得：， 由于，可知，即， 因为为钝角，则为锐角，即， 则，则. 由，得. （2） . 因为为锐角，所以，即，则， 设，则， . 因为，则，从而. 由此可知，的取值范围是. 7．（24-25高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，D，E在BC上，，，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，，， 所以， ， 故，即， 则在中，根据正弦定理可得，； （2）设，则，由解得， 在中，， 则， ， 由，得， 则， 故面积的取值范围为． 8．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）设的内角的对边分别为，为钝角，且． (1)探究与的关系并证明你的结论； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 所以，即， 又因为，所以， 于是，所以. （2）解：由（1）知，，所以，所以， 所以， 令，则且， 所以， 当时，取得最大值，最大值为， 当或时，函数值为， 所以的取值范围是． 考点四 利用函数单调性求最值与范围问题 1．（2025·山西·三模）设的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)证明：； (2)已知，求取得最小值时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为、为三角形的内角，所以、不可能同时为直角， 若、中有一个直角，不妨令为直角，则，，显然， 则等式不成立， 所以、均不是直角， 所以； （2）依题意不是直角， 所以， 故， 因为且，所以， 令， 设，， 有， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，取得最小值时，， 即取得最小值时，为． 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足． (1)若，求； (2)若，的周长为4， ①求证：； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【详解】（1）方法一：因为，所以为等边三角形， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以．               方法二：在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以，又，所以，故． （2）①证明：因为，所以． 在中，，在中，，                    所以，即， 从而，故．                      ②因为，所以， 解得，当且仅当时，取等号， 又，则，即，即， 整理得，解得，故．                  在中，由余弦定理，得 ，       ，         令，则，所以单调递增， 所以的最大值为．故最大值为． 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角、、所对应的边分别为、、，已知． (1)求角； (2)若，所在平面内有一点满足，且平分，设． （i）求面积表达式； （ii）确定面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由， 即，即， 所以，即，所以， 又，所以. （2）（i）由题（1）知，又，， 在中，，故， 则， 由正弦定理有，，则， 故面积，所以； （ii）因为， 又，所以，知函数在区间上单调递增， 又，，故面积的取值范围为． 4．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． （2）在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 又，设，设，其中， ， 由可得，由可得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，， 又因为，，故的取值范围为， 即的取值范围为. 5．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积S，求S关于的关系式，并求S的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由可得； 由正弦定理可知， 所以， 所以，即. 由余弦定理， 因此. （2）因为，所以等号两边同时平方可得； 即. 又，由（1）知， 所以，可得，所以， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得，即， 且，即. 因为四边形的内角和为，且， 所以 所以. ， 记， 令， 则. 因为在中，所以，所以， 所以当时，单调递增. 当，即时，； 当，即时，， 则， 所以. 6．（24-25高三上·辽宁·期中）在锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)证明：. （参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，，成等比数列，故， 化简得，则， 则 即. 又为锐角，故，即. （2）因为锐角中，故，解得. ， 因为，故， 则，即. （3）由，可得. 则 设，，， 则，令，解得，， 故在上单调递增，在上单调递减. 又， . 故，即得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$