4.2 平方根与立方根 第4课时 估算 导学案 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册

本文围绕估算这一核心知识点展开，承接平方根与立方根知识背景，为解决实际问题奠基。通过实际问题探究估算方法、比较大小等环节，培养学生数学眼光、思维及语言表达素养，引导学生从现实情境中发现数学问题并解决。 该设计创新点在于紧密联系生活实际，采用问题驱动教法。从学生层面看，提升解决实际问题能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

2 平方根与立方根 第4课时 估算 [学习目标] 1.会估算一个无理数的大致范围； 2.会利用估算的方法比较两个无理数的大小； 3.会利用估算解决一些简单的实际问题。 [新知探究] [任务一 探究估算的方法] 活动1：阅读课本并解答下列问题 问题1：某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400 000 m2. (1)公园的宽大约是多少?它有1 000 m吗? (2)如果要求误差小于10 m,它的宽大约是多少? (3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 m2,你能估计它的半径吗?(误差小于1 m) 思考1：大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢? 思考2：公园的宽大约是几百米? 思考3：再继续估算,估计十位上的数字是几? 总结：估算的一般步骤 (1)估计是几位数. (2)确定最高位上的数字(如百位). (3)确定下一位上的数字(如十位). (4)依次类推,直到确定出个位上的数,或者按要求精确到小数点后的某一位. 问题2：思考·交流 (1)下列计算结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴交流 ≈0.066;≈96;≈60.4. (2)你能估算的大小吗?(误差小于1) （3）校园里有一块面积是88正方形草坪，试估计草坪的边长（结果精确到0.1m） 例1生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为 6 m 的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗? [即时测评] 1．估计的值在（　　） A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间 2．若一个正方形的面积是8，则估计它的边长大小在（　　） A．2与2.5之间 B．2.5与3之间 C．3与3.5之间 D．3.5与4之间 3．m、n是连续的两个整数，若，则m+n的值为 　 　． 4．规定用[m]表示一个实数m的整数部分，例如[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[]的值为 　 　． [任务二 探究通过估算比较大小] 活动2：宽与长之比是的长方形称为“黄金矩形”，通过估算，你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了.因为 >2，所以 >1，因此 > . 你认为小明的想法正确吗? 例2通过估算，你能比较与的大小吗？说说你的理由． [即时测评] 1．下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 2．比较大小： 　 　． 3．比较大小：　 　． 4．比较下列各组数的大小： （1）与6； （2）与﹣3； [当堂达标] 1. 的值在( ) A.1与 2 之间 B.2 与 3 之间 C.3 与 4 之间 D.5 与 6 之间 2.下列式子成立的是( ) A． ＞2.5 B. ＜ C.  ＜ 3.85 D.  －1＜ 3．如果设的整数部分为a，则a的值为　 　． 4．比较大小 　 　． 5.已知，且a是整数，则a的值是 　　． 6.一个人每天平均要饮用大约0.001 5 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40m3.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高?（结果精确到1m) 答案： [任务一 探究估算的方法] 活动1：阅读课本并解答下列问题 问题1：(1)公园的宽没有1000米； (2)它的宽大约是440m或450m； (3)它的半径约为 16m. 思考1：因为100的平方是10 000,1 000的平方是1 000 000,而200 000大于 10 000 小于1 000 000,所以公园的宽比100大而比1 000小,是三位数. 思考2：因为400的平方为160 000,500的平方为250 000,所以公园的宽应比400大比500小,所以公园的宽应为400多. 思考3：因为440的平方为193 600,450的平方为202 500,所以公园的宽应比440大比450小,故十位上的数字为4.因为题目要求误差小于10米,不是精确到十位,所以我们估算出十位上数就行了,即公园的宽应为440或450米. 问题2： (1)①对；②错；③错。提示：可以利用同时乘方，比较、判断。 (2)解：因为=857.375， =1000， 所以9.5 < < 10， 所以≈ 10. （3）解：当 x = 10 时， = 100＞ 88. 当 x = 9 时，=81 ＜ 88. 当 x = 9.5 时，= 90.25 ＞ 88. 当 x = 9.4 时， = 88.36 ＞ 88. 当 x = 9.3 时，= 86.49 ＜88. 所以 x = ≈ 9.4. 答：估计草坪的边长为9.4m. 例1解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到 墙的距离恰为梯子长度的. 根据勾股定理，有+=，即=32，x=. 因为=31.36＜32，所以＞5.6. 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够抵达5.6m高的墙头. [即时测评] 1． C 2． B 3． 7 4． ﹣4 [任务二 探究通过估算比较大小] 活动2：正确 例2解：，理由如下： 因为， 所以， 所以． [即时测评] 1．C 2．＜ 3．＞ 4．解：（1）因为， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为 所以， 因为 所以， 所以． [当堂达标] 1.C 2.D 3.2 4＜ 5.3 6.解：设容器的高大约为h m. V=Sh＝πh=, 所以=51， 所以h=， 因为 3＜＜4 ，所以这个容器的高大约为4m. 学科网（北京）股份有限公司 $$