第十章 静电场中的能量（高效培优·复习讲义）物理人教版2019必修第三册

第十章 静电场中的能量 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 电势能和电势 1 题型2 电势差 4 题型3 电势差与电场强度的关系 9 题型4 电容器的电容 12 题型5 带电粒子在电场中的运动 17 【能力培优练】 22 【链接高考】 28 【重难题型讲解】 题型1 电势能和电势 一、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。这个结论对于非匀强电场也是成立的。 二、电势能 1、电势能定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 4、零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 5、电势能增减的判断方法 （1）做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。 （3）电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。 三、电势 1、电势的定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。 2、电势的表达式：，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 ★特别提醒 （1）电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置。 （2）电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 （3）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 （4）沿电场线线方向电势逐减降低。 3、电势与电势能的比较 电势φ 电势能Ep 定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 电荷在电场中具有的能叫做电势能 单位 伏特V 焦耳J 物理意义 反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量 影响因素 电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关 电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的 大小 规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。 对于正点电荷，其电势能的正负跟电势的正负相同；对于负点电荷，其电势能的正负跟电势的正负相反。 联系 φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。 【探究归纳】电势能是电荷在电场中具有的势能，与电荷量、电场及位置相关，静电力做功等于电势能的减少量；电势是描述电场能的性质的标量，等于电势能与电荷量的比值（φ=Ep/q），由场源电荷决定，沿电场线方向电势逐渐降低，二者是电场能量属性的核心量度。 【典例1-1】真空中有一半径为的带电金属球壳，通过其球心的一直线上各点的电势分布如图所示，表示该直线上某点到球心的距离。下列说法中正确的是（　　） A．该球壳外部电场线方向为从无限远处指向球心 B．正试探电荷在处的电势能小于在处的电势能 C．正试探电荷仅受电场力从处运动到处加速度增大 D．负试探电荷仅受电场力从处运动到处电场力做负功 【典例1-2】（多选）如图所示，有一对等量异种点电荷分别位于空间中的a点和f点，以a点和f点为顶点作一正立方体。现在各顶点间移动一试探电荷，关于试探电荷所受电场力和具有的电势能，以下判断正确的是（　　） A．在b点和d点受力大小相等，方向相同 B．在c点和h点受力大小相等，方向相同 C．在b点和d点电势能相等 D．在c点和h点电势能相等 跟踪训练1如图所示，竖直面内一绝缘细圆环，关于水平直径PQ上下对称各镶嵌7个电荷量相等的正、负点电荷，上边为正，下边为负，在竖直直径上各有一个正负电荷，其余6个正、负电荷关于竖直直径对称。a、b、c、d分别为水平和竖直直径上的四个点，四点连线构成一正方形，圆心O位于正方形的中心。则以下说法正确的是（　　） A．a、b两点的场强大小不相等 B．a、b两点的电势相等 C．c、d两点的场强大小不相等 D．c、d两点的电势相等 跟踪训练2（多选）如图所示，足够大的金属板水平放置，金属板上表面接地，一个电量为Q的负点电荷固定在金属板正上方L高处，该点电荷与金属板间形成的电场与等量异种点电荷连线的中垂线一侧的电场分布相同。a点是点电荷与金属板垂直连线的中点，b点、c点在金属板上表面上，静电常数为k，下列说法正确的是（　　） A．金属板上表面带正电，下表面带负电 B．沿直线a点到b点和b点到c点，电场强度逐渐减小 C．带正电的试探电荷沿直线a点到b点，电势能逐渐减小 D．a点的电场强度大小为 题型2 电势差 一、电势差 1、电势差的定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。 2、电势差的表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有和，故。 ★特别提醒 （1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 （2）讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 （3）电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 （4）电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 3、电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电量比值。 电场中两点间电势的之差。 公式 φ＝ U＝（） 影响因素 由电场和在电场中位置决定。 由电场内两点位置决定。 相对性/绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关。 具有绝对性，与零势能点选取无关。 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA。 单位 相同，均为V。 标量性 都是标量，但均具有正负。 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 二、静电力做功与电势差的关系 1、静电力做功与电势差的关系：WAB=qUAB或UAB＝。电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。 （1）公式UAB＝是电势差的定义式，不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是利用WAB与q的比值来计算UAB。 （2）由UAB＝可以得出UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做功WAB。若单位正电荷做正功，则UAB为正值；若单位正电荷做负功，则UAB为负值。 （3）公式UAB＝适用于任何电场，WAB仅是电场力的功，不包括其他力所做的功。 （4）公式UAB＝中各量均有正负，计算中W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 （5）公式WAB =qUAB与公式W = qELcosθ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W = qELcosθ来计算，只能用WAB =qUAB来计算。 2、电场力做功的方法 定义法 W＝FL＝qELcosθ 适用于匀强电场 电势差法 WAB =qUAB 既适用于匀强电场也适用于非匀强电场；既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况。 动能定理 W静电力+W其他力＝ΔEk 功能关系 WAB＝EpA−EpB＝−ΔEp 三、等势面 1、等势面定义：在电场中，电势相同的各点构成的面叫作等势面。 2、等势面与电场线的关系：场线跟等势面垂直；电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。 ★特别提醒 （1）在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功。 （2）在空间中两等势面不相交。 （3）电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 （4）在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。 （5）等势面是为描述电场的性质而假想的面。 （6）等势面的分布与电势零点的选取无关。 【探究归纳】电势差（电压）是电场中两点间电势的差值（Uab=φa-φb），是标量，与零电势点选取无关。它等于静电力移送单位正电荷做功（U=W/q），反映电场力做功的本领，是衡量电场能性质的重要物理量，也是电路中形成电流的必要条件。 【典例2-1】均匀带电细棒周围的电场线的分布如图所示，图中O为细棒的中点，A、B、C为电场线上的三个点，其中A、B两点关于O点对称，下列说法正确的是（    ） A．细棒所带的电荷为正电荷 B．A、B两点的电场强度相等 C．C点比B点的电势低 D．把一负电荷由A点移至C点，电场力做正功 【典例2-2】（多选）某电场等势面的分布情况如图所示，下列说法正确的是（   ） A．A、B两点的电场强度大小相同 B．将试探电荷放在A点，试探电荷所受静电力的方向沿该处曲线的切线方向 C．把电子从等势面e移动到等势面c，静电力做功为-10eV D．同一电荷沿折线BQA移动与沿折线BPA移动，静电力做功一样多 【典例2-3】如图所示，匀强电场内有一矩形ABCD区域，边长，，A、B、D三点的电势分别为、6V、。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和方向； (2)电荷量为的试探电荷在C点的电势能。 跟踪训练1 真空中x轴上A、B两点分别固定两个电荷量相等的点电荷，x轴上电场强度的变化情况如图所示，C、D两点关于O点对称，取x轴正方向为电场强度的正方向，则下列说法中正确的是（　　） A．A点固定的是正点电荷、B点固定的是负点电荷 B．C、D两点的电场强度相同 C．C、D两点的电势差UCD = 0 D．同一个正电荷在C点的电势能大于其在D点的电势能 跟踪训练2（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上固定着两个带电量不相等的正点电荷，带电荷量＋q，质量为m的小球置于A点时，仅在电场力作用下恰好保持静止状态。现小球从M点以初速度，沿着两点电荷连线运动，恰好能运动至B点，其中M、N两点关于A点对称。已知距离电量为Q的孤立点电荷r处的电势为（无穷远电势为零）。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动至N点时，速度仍是 B．M、B两点间的电势差为 C．小球运动到A点时动能最大 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，小球不能到达B点 跟踪训练3在电场中把 的正电荷从A 点移动到B点，静电力做功为 。再把这个电荷从B 点移到C点，静电力做功 。求： (1)A、B间电势差 UAB，B、C间电势差 UBC和A、C间的电势差UAC； (2)把 的电荷从A 点移到C点，静电力做功 WAC。 题型3 电势差与电场强度的关系 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系 1、关系式：UAB＝Ed或E＝；公式只适用于匀强电场。 （1）公式UAB＝Ed的物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。U为匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场中这两点在电场强度方向上的距离（或者是匀强电场中过这两点的等势面间的距离）。 （2）公式E＝的物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的。 （3）计算出来的U（或者E）是电势差（电场强度）的绝对值（大小）， 电势差的正负号和电场强度的方向可通过以下知识来判断：沿着电场线方向（电场强度方向 ）电势越来越低；电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 2、电场强度三种求解方法的比较 公式 E＝ E＝k E＝ 含义 电场强度的定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中电场强度的计算式 适用范围 适用于任何电场 真空中的点电荷 匀强电场 决定因素 由电场本身决定，与检验电荷q无关。 由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定。 由电场本身决定，d为两点沿场强方向的距离 推导过程 F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质。 由电场强度和库仑定律联立推导。 由F＝qE和W＝qU联立推导。 二、公式E＝U/d的意义 1、意义：在匀强电场中，电场强度等于两点电势差与两点沿电场方向距离的比值。 2、E的另一表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，单位：N/C或V/m。 3、UAB＝Ed的两个推论 （1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n。 （2）在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。 三、等分法计算匀强电场中的电势或电场强度 1、在匀强电场中，沿着任意方向上，相等距离的电势差都相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 2、在已知电场中几点的电势时，如果要求另外某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找出与待求点电势相同的等势点。 3、在匀强电场中，相互平行、相等长度的线段两端电势差相等，用这一点可求解电势或电势差。 4、等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中。 【归纳总结】匀强电场中，电势差与电场强度关系为 U=Ed（d 是沿电场方向两点距离），即 E=U/d，表明电场强度大小等于沿场强方向单位距离的电势差，反映电场力性质（E）与能性质（U）的联系，E 越大，相同距离电势差越大，方向上电势沿场强方向降低最快。 【典例3-1】匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点位置如图所示，电势分别为0V、8V、6V，则（　　） A．坐标原点O处的电势为0V B．电子从a点运动到b点的过程中，电场力做功为8eV C．电子从a点运动到b点的过程中，电势能增大 D．该匀强电场的电场强度大小为 【典例3-2】（多选）直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC边长约2cm，匀强电场平行于平面ABC，将电荷量为-6×10-6C的点电荷从A点移至B点，克服静电力做功2.4×10-5J，再将此点电荷从B点移至C点，静电力做功2.4×10-5J，则下列说法正确的是（　　） A．A、C间的电势差为0V B．若，则 C．电场强度的方向与AC边平行 D．电场强度的大小为400V/m 【典例3-3】如图所示，水平向右的匀强电场中有a、b、c三点，ab与场强方向平行，bc与场强方向成60°，ab=3cm，bc=12cm。现将一个电量为4×10−4C的正电荷从a移动到b，电场力做功1.2×10−3J。求： (1)该电场的场强大小； (2)ac间的电势差Uac； (3)若b点的电势为3V，则该正电荷在b、c点电势能Epb、Epc。 跟踪训练1在粒子散射实验中，粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（　　） A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．处的电场强度相同 跟踪训练2（多选）如图所示，在直角坐标系中有、、、四点，点坐标为（，）。现加上一方向平行于平面的匀强电场，点电势为8V。将一电荷量为的点电荷从点移动到点，电场力做的功为。将其从点移动到点，电场力做的功为。下列说法正确的是（　　） A．轴上点的电势为3V B．匀强电场的方向沿轴正方向 C．该点电荷在点的电势能为 D．电场强度的大小为 跟踪训练3 如图，为一组未知方向的匀强电场的电场线，把电荷量为1×10-6C的负电荷从A点沿水平线移至B点，静电力做了2×10-6J的功，A、B间的距离为2cm，求： (1)电势差UBA； (2)电场强度E； (3)若B点电势为1V，求A点的电势及电子位于B时的电势能。 题型4 电容器的电容 一、电容器 1、电容器的定义：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、电容器的构造：两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。 3、电容器的作用：存储电荷（存储电能）。 4、电容器充放电过程 过程内容　　 充电过程 放电过程 定义 使电容器带电的过程 中和掉电容器所带电荷的过程 方法 将电容器的两极板与电源两极相连 用导线将电容器的两极板接通 场强变化 极板间的场强增强 极板间的场强减小 能量转化 其他能转化为电能 电能转化为其他能 5、带电荷量：通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。 二、电容 1、电容的定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。 2、电容的物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加1V所增加的带电量。 3、电容的单位：国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。 三、平行板电容器 1、平行板电容器的定义：在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、平行板电容器的结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。 3、平行板电容器的带电特点：两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为，场强方向为垂直板面。 4、电容的决定式：C＝，k为静电力常量，εr是一个常数，与电介质的性质有关，真空时εr＝1，其他电介质时εr＞1。称为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容C跟相对介电常数εr成正比，跟极板正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比。 5、公式C＝与C＝的比较 　　公式 内容　　 C＝ C＝ 公式特点 定义式 决定式 意义 对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映容纳电荷的本领 平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素 联系 电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定 6、平行板电容器的两类典型问题 7、平行板电容器与静电计结合问题的解决方法 （1）静电计指针和外壳分别与两块平行金属板相连接，两块金属板带上等量的异种电荷，电容器电荷量Q不变。 （2）由决定式C＝，根据所给问题中εr、S或d的变化，确定平行板电容器的电容C的变化情况。 ★特别提醒 注意电容器间插入电介质时意味着εr变大，电容C变大；插入金属板时意味着d减小，电容C也变大。 【归纳总结】电容器是储存电荷的装置，电容（C）是描述其储存电荷本领的物理量，定义为所带电荷量与两极板间电势差的比值（C=Q/U），与 Q、U 无关，仅由自身结构（极板面积、间距、电介质）决定，单位为法拉，是电路中储能和滤波的重要元件。 【典例4-1】一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1，电源E给电容器C充电；开关S接2，电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是（　　） A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流减小 B．放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电流增大 C．充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R的电流由M点流向N点 D．放电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R的电流由N点流向M点 【典例4-2】（多选）如图所示，M、N是平行板电容器的两个极板，为定值电阻，、为可调电阻，用绝缘细线将质量为m、带正电的小球悬于电容器内部．闭合电键S，小球静止时，悬线偏离竖直方向的夹角为。调节、，关于的大小判断正确的是（    ） A．保持不变，缓慢增大时，将变大 B．保持不变，缓慢增大时，将变小 C．保持不变，缓慢增大时，将不变 D．保持不变，缓慢增大时，将变小 【典例4-3】某同学用题图1所示电路来探究一电容器的充放电性能。A为理想电流传感器， V为理想电压传感器， R为定值电阻，E为直流电源（内阻r不可忽略）。主要实验步骤如下： ①将电流传感器和电压传感器分别与计算机连接； ②将单刀双掷开关S接1，利用计算机得到电流I和电压U随时间t变化的图像； ③将单刀双掷开关S接2，再次利用计算机得到电流I和电压U随时间t变化的图像； ④导出所得的4张图像，如题图2所示。 请回答下列问题： (1)开关S接2时的图像是题图2中的 （选填“A”或“B”）。 (2)开关S接1时的图像如题图2中C所示，已知图中曲线与坐标轴围成的面积，则该电容器的电容 （保留两位有效数字）。 (3)若题图2D中M、N区域的面积之比为1:1，则定值电阻 。 跟踪训练1平行板电容器的两极板A、B接于电池两端，B极板接地，一带正电的小球悬挂于电容器两极板间，闭合开关S，给电容器充电后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ，如图所示，则（　　） A．保持开关S闭合，A板向 B板靠近，θ减小 B．保持开关S闭合，两极板错开使正对面积减小时，θ变大 C．开关S断开，A板向B板靠近，两极板间电压减小 D．开关S断开，A板向 B板靠近，电容器电容减小 跟踪训练2 （多选）某同学设计了一个电容式风力传感器，如图所示。将电容器与静电计组成回路，P点为极板间的一点。可动电极在风力作用下向右移动，风力越大，移动距离越大（可动电极不会到达P点）。若极板上电荷量保持不变，则下列说法正确的是（　　） A．风力越大，电容器电容越大 B．风力越大，极板间电场强度越小 C．风力越大，P点的电势越小 D．风力越大，静电计指针张角越大 跟踪训练3在“用传感器观察电容器的充放电过程”实验中，按图甲所示连接电路。单刀双掷开关先跟1相接，一段时间后，把开关S改接2，实验中使用了电流传感器来采集电流随时间的变化情况。 (1)开关S改接2后，电容器进行的是 （填“充电”或“放电”）过程，此过程中流经电阻上的电流方向 （填“自上而下”或“自下而上”）。 (2)开关S改接2后，实验得到的图像如图乙所示，如果不改变电路其他参数，只减小电阻的阻值，则此过程的曲线与坐标轴所围成的面积将 （填“减小”“不变”或“增大”）。 题型5 带电粒子在电场中的运动 一、带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 二、带电粒子在电场中的偏转 1、两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 2、基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 ★特别提醒 分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 三、带电粒子在电场做圆周运动 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 四、示波管 1、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成。 2、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 【归纳总结】带电粒子在电场中受静电力（F=qE），加速度 a=F/m，运动可分解为：初速度与电场平行时，做匀变速直线运动；垂直时，做类平抛运动（水平匀速、竖直匀加速），需用运动学公式结合电场力做功与能量变化（动能定理）分析，是电场力与运动规律结合的典型应用。 【典例5-1】如图，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab竖直，高度为2R，bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的带正电小球，电荷量为q，轨道处在水平向左的匀强电场中，，自a点处从静止开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ）    A．小球对轨道的最大压力为5mg B．小球运动过程中，机械能的减小量最多为2mgR C．小球机械能最小时小球与b点的连线经过c点 D．小球经过c点正下方时重力的功率为 【典例5-2】（多选）如图所示，质量、带电量的小球用长度的不可伸长的绝缘轻质细线悬吊在O点，过O点的竖直线右侧有竖直向下足够大的匀强电场，场强大小。现将小球拉至A处，此时，细线与竖直方向成角。现由静止释放小球，在小球运动过程中细线能承受的最大拉力为200N，（已知，取重力加速度）下列说法正确的是（　　） A．小球第一次运动到最低点时的速度大小 B．小球第一次在电场中的运动是匀速圆周运动 C．小球第一次离开电场时的速度为 D．小球能在电场中四次通过最高点后细线才被拉断 【典例5-3】如图所示，带电荷量的带电小球A固定在绝缘的水平面上，另一个带电荷量、质量m = 0.36kg的小球B恰好静止在A正上方的D点。现将小球B先固定，让一个与A完全相同的不带电的小球C与小球A接触一下，移走小球C，再由D点静止释放小球B，已知静电力常量，g=10m/s2。在小球B下落过程中，求：（小球A、B均可视为点电荷） (1)D点距地面的高度h； (2)小球B从释放到速度达到最大的过程中经过的距离。 跟踪训练1如图，带电荷量之比为的带电粒子A、B以相等的速度从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D点，若，忽略粒子重力的影响，则（ ） A．A和B在电场中运动的时间之比为 B．A和B运动的加速度大小之比为 C．A和B的质量之比为 D．A和B的位移大小之比为 跟踪训练2（多选）如图所示，在一个边长为l的正方形abcd区域内存在沿该平面的匀强电场E，方向未知。某时刻，一质量为m、电荷量为q的带电小球从a点沿ab方向以速度v进入该区域，经过一段时间，小球从bc的中点e处射出，经过e点时的速度大小也为v。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先增大后减小 B．小球的速度先减小后增大 C．电场强度的最小值为 D．电场强度的最小值为 跟踪训练3如图所示，、是竖直放置的平行金属板，板带负电、板带正电，之间电势差为之间有一个光滑绝缘的玻璃管水平放置，左端刚好接触板，右端刚好接触板正中央的小孔。紧邻板右侧水平放置平行的金属板板带正电、板带负电，连线的延长线为之间的中线，之间电压为，间距为，板长为。在位置静止释放一质量为、电量为的小球，重力加速度为。 (1)求该小球运动到点的速度大小； (2)若且小球在偏转电场中没有触碰到板，小球离开偏转电场时速度与水平线的夹角，求； (3)之间电压为应该满足什么条件，才能使得小球在偏转电场中不会触碰到、板。 【能力培优练】 1．如图，平行板电容器的两极板间一蜡烛火焰带有正离子、电子以及其他的带电粒子，两极板间电压保持不变，当电极板距离减小时，关于板间电场强度和正离子受力方向，下列说法正确的是（　　） A．电场强度增大，正离子受力方向向左 B．电场强度增大，正离子受力方向向右 C．电场强度减小，正离子受力方向向左 D．电场强度减小，正离子受力方向向右 2．如图所示，在坐标（，）和（，）上放置着等量异种点电荷，电荷量（），为使点（，）电场强度为零，在点（，）再放入点电荷，电荷量为（未知）。则（    ） A．点的点电荷带负电， B．连线各点电势相同 C．沿直线到电势逐渐降低 D．电子沿直线到，电势能减小 3．如图甲所示，绝缘粗糙水平面上固定两个等量的正电荷，二者连线中点O处有一质量为m、电荷量大小为q的带电小物块（可视为质点），沿中垂线方向水平射出，途经A、B、C三点，小物块在A点速度最小，C点速度最大。小物块速度随时间变化的图像如图乙所示，整个图像在 B点的切线斜率绝对值最大。已知小物块与水平面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小物块在B点时的加速度最小 B．小物块可能带负电 C．A、C两点的电场强度大小均为 D．时间内，小物块的电势能一直增加 4．如图（a）所示，平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的变化电压，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在时刻释放该粒子，粒子先向A板运动，再向B板运动…，最终打在A板上。则可能属于的时间段是（　　） A． B． C． D． 5．在做“观察电容器的充、放电现象”实验时，先将开关S拨到位置 1，一段时间后再拨到位置2.在此过程中，根据电压传感器与电流 传感器测量数据得到的 u-t和i-t图线可能为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，不带电，长为的导体棒水平放置，现将一个电荷量为的正点电荷放在棒的中心轴线上距离棒的左端处，、分别为导体棒左右两端的一点，静电力常量为。当棒达到静电平衡后，下列说法正确的是（　　） A．棒的两端都感应出负电荷 B．感应电荷在棒的中心处产生的电场强度方向水平向右 C．感应电荷在棒的中心处产生的电场强度大小为 D．导体棒内部没有净电荷 7．云室中有、两个点电荷，其周围的电场线分布如图所示。通过云室观察到一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹为曲线为两点电荷连线中垂线上的点、为两点电荷连线上的点。下列说法正确的是（    ） A．两个点电荷是等量异种电荷 B．两点的电场强度和电势关系为 C．带电粒子在点的加速度比在点大 D．带电粒子在点的电势能比在点大 8．（多选）一带电小球在固定的斜面上由点运动到点的过程中，受到了重力、弹簧弹力、斜面的支持力、电场力和摩擦力的作用。若小球的重力势能增加了，电场力做功，小球与斜面因摩擦产生的热量为，弹簧系统的弹性势能减少了，则（　　） A．重力做功为 B．电势能减少了 C．小球的动能增加了 D．小球和弹簧系统的机械能增加了 9．（多选）一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是 A．L∶d=2∶3 B． C．微粒穿出电容器区域时，速度与竖直方向的夹角的正切值为3 D．仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运动轨迹不变 10．（多选）目前智能手机和平板普遍采用了电容触摸屏，其原理可简化为如图所示的电路。平行板电容器的上极板 A为可动电极，下极板B为固定电极。当用手指触压屏幕上某个部位时，可动电极的极板会发生形变，使 A、B两板间距离减小，形变过程中，电流表G中有从b到a的电流，则（　　） A．手指触压屏幕时，电容器的电容减小 B．手指触压异幕时，电容器的电容增大 C．电容器上极板A带负电 D．电容器上极板A带正电 11．（多选）如图所示，边长为的正方形ABCD处在匀强电场中，且正方形平面与电场线平行。已知，，，O是对角线AC、BD的交点，下列说法正确的是（　　） A．D点的电势 B．O点的电势 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 12．（多选）冷冻电镜技术可解析晶态冰中蛋白质三维结构。电子透镜是冷冻电镜中的关键部分, 其中一种电子透镜的电场分布如图所示, 虚线为等势面, 相邻等势面间电势差相等, 现有一电子以一定初速度进入该区域,实线为运动轨迹, 是轨迹上的两点。下列说法正确的是（    ） A．电子透镜的电场可能是两个等量异种点电荷产生的 B． 点的电势高于 点的电势 C．若该电子从 向 运动,则电子在 点的动能小于在 点的动能 D．电子在 点的电势能大于在 点的电势能 13．如图甲所示,质量为 、带电量为 的初速度为零的带电粒子，经 、 间的电场加速后，沿水平放置的平行极板 的中心线 进入偏转电场。已知极板 、 间电压为 ，极板 的板长为 ，板间距离为 。如图乙所示， 板间加上周期性变化的电压 。粒子的重力忽略不计，两板间电场看作匀强电场。 (1)求粒子射入偏转电场时的速度大小 ； (2)若粒子在 时刻进入 、 间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 及速度偏转角 的正切值； (3)若粒子在 时刻进入 、 间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 14．如图所示，一质量为、带电荷量大小为的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，悬点为，细线长度，小球可视为质点，假设电场范围足够大，静止时悬线向左与竖直方向夹角为。已知小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度取。 (1)求电场强度的大小； (2)若在某时刻将细线突然剪断，且匀强电场的方向变为水平向左，求从剪断细线到小球经过点正下方所用时间和其电势能的变化量。 15．如图，在直角三角形ABC所在平面内存在方向与平面平行的匀强电场，已知，。若将电量的正电荷从A移到B过程中，克服电场力做功为；将另一电量的负电荷从A移到C过程中，电场力做功为，求： (1)A、B两点的电势差； (2)B、C之间的电势差为；若规定B点电势为零，求A点电势和C点电势； (3)该匀强电场的场强大小及方向。 【链接高考】 1．（2025·甘肃·高考真题）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是（   ） A．M点的电势比P点的低 B．M点的电场强度比N点的小 C．负电荷从M点运动到P点，速度增大 D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功 2．（2025·四川·高考真题）如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 3．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 4．（2025·湖南·高考真题）（多选）一匀强电场的方向平行于平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为和的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为。下列说法正确的是（　　） A．中点的电势为零 B．电场的方向与x轴正方向成角 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 5．（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍（）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B点与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求： (1)颗粒碰撞前的电荷量q。 (2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。 (3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 静电场中的能量 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 电势能和电势 1 题型2 电势差 6 题型3 电势差与电场强度的关系 13 题型4 电容器的电容 20 题型5 带电粒子在电场中的运动 28 【能力培优练】 37 【链接高考】 49 【重难题型讲解】 题型1 电势能和电势 一、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。这个结论对于非匀强电场也是成立的。 二、电势能 1、电势能定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 4、零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 5、电势能增减的判断方法 （1）做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。 （3）电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。 三、电势 1、电势的定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。 2、电势的表达式：，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 ★特别提醒 （1）电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置。 （2）电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 （3）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 （4）沿电场线线方向电势逐减降低。 3、电势与电势能的比较 电势φ 电势能Ep 定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 电荷在电场中具有的能叫做电势能 单位 伏特V 焦耳J 物理意义 反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量 影响因素 电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关 电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的 大小 规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。 对于正点电荷，其电势能的正负跟电势的正负相同；对于负点电荷，其电势能的正负跟电势的正负相反。 联系 φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。 【探究归纳】电势能是电荷在电场中具有的势能，与电荷量、电场及位置相关，静电力做功等于电势能的减少量；电势是描述电场能的性质的标量，等于电势能与电荷量的比值（φ=Ep/q），由场源电荷决定，沿电场线方向电势逐渐降低，二者是电场能量属性的核心量度。 【典例1-1】真空中有一半径为的带电金属球壳，通过其球心的一直线上各点的电势分布如图所示，表示该直线上某点到球心的距离。下列说法中正确的是（　　） A．该球壳外部电场线方向为从无限远处指向球心 B．正试探电荷在处的电势能小于在处的电势能 C．正试探电荷仅受电场力从处运动到处加速度增大 D．负试探电荷仅受电场力从处运动到处电场力做负功 【答案】D 【详解】A．由图可知，球壳外的电势逐渐降低，根据沿着电场线方向电势降低可知该球壳带正电荷，电场线方向为从球面指向无限远处，故A错误； B．正电荷在电势高的位置电势能较大，正试探电荷在处的电势能大于在处的电势能，故B错误； C．图像斜率代表电场强度，可知该球壳内部电场强度等于零，处的电场强度大于处的电场强度，正试探电荷仅受电场力从处运动到处加速度减小，故C错误； D．负电荷在电势高的位置电势能较小，所以负试探电荷在处的电势能小于在与处的电势能，电势能增加，电场力做负功，故D正确。 故选D。 【典例1-2】（多选）如图所示，有一对等量异种点电荷分别位于空间中的a点和f点，以a点和f点为顶点作一正立方体。现在各顶点间移动一试探电荷，关于试探电荷所受电场力和具有的电势能，以下判断正确的是（　　） A．在b点和d点受力大小相等，方向相同 B．在c点和h点受力大小相等，方向相同 C．在b点和d点电势能相等 D．在c点和h点电势能相等 【答案】BC 【详解】A．根据等量异种电荷电场线的分布情况和对称性可知，b点和d点场强大小相等、方向不同，则试探电荷在b点和d点受力大小相等，方向不同，故A错误； B．c点和h点场强大小相等、方向相同，则试探电荷在c点和h点受力大小相等，方向相同，故B正确； C．根据对称性可知，b点和d点电势相等，则试探电荷在b点和d点电势能相等，故C正确； D．由图看出，c点离场源正电荷较远，而h点离场源正电荷较近，所以c点和h点电势不等，则试探电荷在c点和h点电势能不相等，故D错误。 故选BC。 跟踪训练1如图所示，竖直面内一绝缘细圆环，关于水平直径PQ上下对称各镶嵌7个电荷量相等的正、负点电荷，上边为正，下边为负，在竖直直径上各有一个正负电荷，其余6个正、负电荷关于竖直直径对称。a、b、c、d分别为水平和竖直直径上的四个点，四点连线构成一正方形，圆心O位于正方形的中心。则以下说法正确的是（　　） A．a、b两点的场强大小不相等 B．a、b两点的电势相等 C．c、d两点的场强大小不相等 D．c、d两点的电势相等 【答案】B 【详解】A．因为关于O点上下对称的两等量异种电荷在ab两点产生的场强都相等，根据场强叠加，结合对称性可知，a、b两点的场强相等，方向均垂直于PQ向下，选项A错误； B．由于ab连线上电场方向都向下，ab连线为等势线，所以B正确； C．因关于O点左右对称的两等量异种电荷在cd两点产生的场强都相等，由叠加原理可知，c、d两点的场强相同，选项C错误； D．因c点距离正电荷较近，d点距离负电荷较近，可知c点电势高于d点的电势，选项D错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）如图所示，足够大的金属板水平放置，金属板上表面接地，一个电量为Q的负点电荷固定在金属板正上方L高处，该点电荷与金属板间形成的电场与等量异种点电荷连线的中垂线一侧的电场分布相同。a点是点电荷与金属板垂直连线的中点，b点、c点在金属板上表面上，静电常数为k，下列说法正确的是（　　） A．金属板上表面带正电，下表面带负电 B．沿直线a点到b点和b点到c点，电场强度逐渐减小 C．带正电的试探电荷沿直线a点到b点，电势能逐渐减小 D．a点的电场强度大小为 【答案】BD 【详解】A．由静电感应可知，金属板上表面带正电，与上表面相连的远端带负电荷下表面带负电，由于上表面接地，则下表面不带电，故A错误； B．等量异种点电荷间电场与该点电荷与金属板间形成的电场如图 电场线疏密表示电场强弱，所以沿直线a点到b点和b点到c点，电场强度逐渐减小，故B正确； C．带正电的试探电荷沿直线a点到b点，电势逐渐升高，由，可知电势能逐渐增大，故C错误； D． a点的电场强度大小等效为等量异种点电荷在a点电场强度的矢量和，大小为 故D正确。 故选BD。 题型2 电势差 一、电势差 1、电势差的定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。 2、电势差的表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有和，故。 ★特别提醒 （1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 （2）讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 （3）电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 （4）电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 3、电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电量比值。 电场中两点间电势的之差。 公式 φ＝ U＝（） 影响因素 由电场和在电场中位置决定。 由电场内两点位置决定。 相对性/绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关。 具有绝对性，与零势能点选取无关。 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA。 单位 相同，均为V。 标量性 都是标量，但均具有正负。 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 二、静电力做功与电势差的关系 1、静电力做功与电势差的关系：WAB=qUAB或UAB＝。电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。 （1）公式UAB＝是电势差的定义式，不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是利用WAB与q的比值来计算UAB。 （2）由UAB＝可以得出UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做功WAB。若单位正电荷做正功，则UAB为正值；若单位正电荷做负功，则UAB为负值。 （3）公式UAB＝适用于任何电场，WAB仅是电场力的功，不包括其他力所做的功。 （4）公式UAB＝中各量均有正负，计算中W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 （5）公式WAB =qUAB与公式W = qELcosθ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W = qELcosθ来计算，只能用WAB =qUAB来计算。 2、电场力做功的方法 定义法 W＝FL＝qELcosθ 适用于匀强电场 电势差法 WAB =qUAB 既适用于匀强电场也适用于非匀强电场；既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况。 动能定理 W静电力+W其他力＝ΔEk 功能关系 WAB＝EpA−EpB＝−ΔEp 三、等势面 1、等势面定义：在电场中，电势相同的各点构成的面叫作等势面。 2、等势面与电场线的关系：场线跟等势面垂直；电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。 ★特别提醒 （1）在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功。 （2）在空间中两等势面不相交。 （3）电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 （4）在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。 （5）等势面是为描述电场的性质而假想的面。 （6）等势面的分布与电势零点的选取无关。 【探究归纳】电势差（电压）是电场中两点间电势的差值（Uab=φa-φb），是标量，与零电势点选取无关。它等于静电力移送单位正电荷做功（U=W/q），反映电场力做功的本领，是衡量电场能性质的重要物理量，也是电路中形成电流的必要条件。 【典例2-1】均匀带电细棒周围的电场线的分布如图所示，图中O为细棒的中点，A、B、C为电场线上的三个点，其中A、B两点关于O点对称，下列说法正确的是（    ） A．细棒所带的电荷为正电荷 B．A、B两点的电场强度相等 C．C点比B点的电势低 D．把一负电荷由A点移至C点，电场力做正功 【答案】D 【详解】A．由电场线是汇聚的，该细棒所带的电荷为负电荷，A错误； B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同，A点的电场向右上方，B点的电场向左下方，B错误； C．沿着电场线的方向电势降低，所以C点的电势比B点的高，C错误； D．根据 ，根据题意得 ， ，解得 一个负电荷由A点移至C点，电场力做正功，D正确。 故选D。 【典例2-2】（多选）某电场等势面的分布情况如图所示，下列说法正确的是（   ） A．A、B两点的电场强度大小相同 B．将试探电荷放在A点，试探电荷所受静电力的方向沿该处曲线的切线方向 C．把电子从等势面e移动到等势面c，静电力做功为-10eV D．同一电荷沿折线BQA移动与沿折线BPA移动，静电力做功一样多 【答案】CD 【详解】A．因A点的等差等势面较B点密集，可知A点的电场强度大于B点的电场强度，选项A错误； B．电场线与等势面垂直，可知将试探电荷放在A点，试探电荷所受静电力的方向沿该处曲线切线方向相垂直的方向，选项B错误； C．把电子从等势面e移动到等势面c，静电力做功为 选项C正确； D．电场力做功与路径无关，只与初末位置有关，则同一电荷沿折线BQA移动与沿折线BPA移动，静电力做功一样多，选项D正确。 故选CD。 【典例2-3】如图所示，匀强电场内有一矩形ABCD区域，边长，，A、B、D三点的电势分别为、6V、。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和方向； (2)电荷量为的试探电荷在C点的电势能。 【答案】(1)，方向垂直BD斜向左下方 (2) 【详解】（1）B、D的电势相等，则BD连线是等势面，电场线垂直于等势面指向电势低的位置，如图： 根据几何关系有 A点到BD连线的距离 电场强度 电势差 联立解得 方向垂直BD斜向左下方； （2）电势关系 电势能 解得 跟踪训练1 真空中x轴上A、B两点分别固定两个电荷量相等的点电荷，x轴上电场强度的变化情况如图所示，C、D两点关于O点对称，取x轴正方向为电场强度的正方向，则下列说法中正确的是（　　） A．A点固定的是正点电荷、B点固定的是负点电荷 B．C、D两点的电场强度相同 C．C、D两点的电势差UCD = 0 D．同一个正电荷在C点的电势能大于其在D点的电势能 【答案】C 【详解】A．A、B两点间电场强度有0点，可以判断A、B两点固定的均是同种电荷，故A错误； B．由于A、B两点固定同种电荷，C点和D点关于AB连线的中点O对称，则C点和D点场强大小相等，方向相反，故B错误： CD．根据对称性可知C点和D点电势相等，UCD = 0，Ep = qφ，同一个正电荷在两点的电势能相等，故C正确，D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上固定着两个带电量不相等的正点电荷，带电荷量＋q，质量为m的小球置于A点时，仅在电场力作用下恰好保持静止状态。现小球从M点以初速度，沿着两点电荷连线运动，恰好能运动至B点，其中M、N两点关于A点对称。已知距离电量为Q的孤立点电荷r处的电势为（无穷远电势为零）。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动至N点时，速度仍是 B．M、B两点间的电势差为 C．小球运动到A点时动能最大 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，小球不能到达B点 【答案】CD 【详解】A．由题意可知，A点电场强度为0，两个点电荷电荷量不等，所以关于A点对称的M、N两点电势不相等，动能不相等，故A错误； B．由M到B点列动能定理 解得 故B错误； C．由于A点电场强度为0，所以A点的电势最低，带正电的小球在A点的电势能最小，动能最大，故C正确； D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，由可知，M、B点电势均变为原来的2倍，电势差也变为原来的2倍，小球不能到达B点，故D正确。 故选CD。 跟踪训练3在电场中把 的正电荷从A 点移动到B点，静电力做功为 。再把这个电荷从B 点移到C点，静电力做功 。求： (1)A、B间电势差 UAB，B、C间电势差 UBC和A、C间的电势差UAC； (2)把 的电荷从A 点移到C点，静电力做功 WAC。 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）根据题意，由电场力做功和电势差的关系有 可得 同理 可得 正电荷从A点到C点的过程中，电场力做功为 同理 可得 （2）把的电荷从A 点移到C点，静电力做功为 解得 题型3 电势差与电场强度的关系 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系 1、关系式：UAB＝Ed或E＝；公式只适用于匀强电场。 （1）公式UAB＝Ed的物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。U为匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场中这两点在电场强度方向上的距离（或者是匀强电场中过这两点的等势面间的距离）。 （2）公式E＝的物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的。 （3）计算出来的U（或者E）是电势差（电场强度）的绝对值（大小）， 电势差的正负号和电场强度的方向可通过以下知识来判断：沿着电场线方向（电场强度方向 ）电势越来越低；电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 2、电场强度三种求解方法的比较 公式 E＝ E＝k E＝ 含义 电场强度的定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中电场强度的计算式 适用范围 适用于任何电场 真空中的点电荷 匀强电场 决定因素 由电场本身决定，与检验电荷q无关。 由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定。 由电场本身决定，d为两点沿场强方向的距离 推导过程 F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质。 由电场强度和库仑定律联立推导。 由F＝qE和W＝qU联立推导。 二、公式E＝U/d的意义 1、意义：在匀强电场中，电场强度等于两点电势差与两点沿电场方向距离的比值。 2、E的另一表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，单位：N/C或V/m。 3、UAB＝Ed的两个推论 （1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n。 （2）在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。 三、等分法计算匀强电场中的电势或电场强度 1、在匀强电场中，沿着任意方向上，相等距离的电势差都相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 2、在已知电场中几点的电势时，如果要求另外某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找出与待求点电势相同的等势点。 3、在匀强电场中，相互平行、相等长度的线段两端电势差相等，用这一点可求解电势或电势差。 4、等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中。 【归纳总结】匀强电场中，电势差与电场强度关系为 U=Ed（d 是沿电场方向两点距离），即 E=U/d，表明电场强度大小等于沿场强方向单位距离的电势差，反映电场力性质（E）与能性质（U）的联系，E 越大，相同距离电势差越大，方向上电势沿场强方向降低最快。 【典例3-1】匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点位置如图所示，电势分别为0V、8V、6V，则（　　） A．坐标原点O处的电势为0V B．电子从a点运动到b点的过程中，电场力做功为8eV C．电子从a点运动到b点的过程中，电势能增大 D．该匀强电场的电场强度大小为 【答案】B 【详解】A．四边形为矩形，根据匀强电场中电势差和电场强度的关系可得 即 解得坐标原点处的电势为，故A错误； B．电子从点运动到点的过程中，电场力做功为，选项B正确； C．可知电子从点运动到点的过程中，电场力做正功，电势能减小，选项C错误； D．根据场强概念可知，方向沿x轴负向；，方向沿y轴负向，可知场强，选项D错误。 故选B。 【典例3-2】（多选）直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC边长约2cm，匀强电场平行于平面ABC，将电荷量为-6×10-6C的点电荷从A点移至B点，克服静电力做功2.4×10-5J，再将此点电荷从B点移至C点，静电力做功2.4×10-5J，则下列说法正确的是（　　） A．A、C间的电势差为0V B．若，则 C．电场强度的方向与AC边平行 D．电场强度的大小为400V/m 【答案】AD 【详解】A．根据 解得 故A正确； B．根据 解得 故B错误； C．若，根据 解得 可知，AC连线为一条等势线，根据电场线垂直于等势线，则电场强度的方向与AC边垂直，故C错误； D．结合上述有 则电场强度 故D正确。 故选AD。 【典例3-3】如图所示，水平向右的匀强电场中有a、b、c三点，ab与场强方向平行，bc与场强方向成60°，ab=3cm，bc=12cm。现将一个电量为4×10−4C的正电荷从a移动到b，电场力做功1.2×10−3J。求： (1)该电场的场强大小； (2)ac间的电势差Uac； (3)若b点的电势为3V，则该正电荷在b、c点电势能Epb、Epc。 【答案】(1)100V/m (2)9V (3)1.2×10−3J，−1.2×10−3J 【详解】（1）由题意知 求得 （2）ac间的电势差 （3）由题意知 又 其中 解得 跟踪训练1在粒子散射实验中，粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（　　） A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．处的电场强度相同 【答案】B 【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误； B．在同一个等势面上， 电荷的电势能 所以α粒子在处的电势能相等，B正确； C．匀强电场中两等势面间的电势差 由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此 电场力做的功 可知由c到d过程电场力做功较多，C错误； D．根据点电荷的场强特点可知，处的电场强度大小相同，方向不同，D错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）如图所示，在直角坐标系中有、、、四点，点坐标为（，）。现加上一方向平行于平面的匀强电场，点电势为8V。将一电荷量为的点电荷从点移动到点，电场力做的功为。将其从点移动到点，电场力做的功为。下列说法正确的是（　　） A．轴上点的电势为3V B．匀强电场的方向沿轴正方向 C．该点电荷在点的电势能为 D．电场强度的大小为 【答案】BD 【详解】A．由电场力做功与电势差关系可得 由于d点电势为8V，则轴上点的电势为 故A错误； B．由电场力做功与电势差关系可得 可知点的电势为 根据图中几何关系可得 即 可得点的电势为 则轴为等势线，根据电场方向与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知匀强电场的方向沿轴正方向，故B正确； C．根据图中几何关系可得 可知点的电势为 则该点电荷在点的电势能为 故C错误； D．电场强度的大小为 故D正确。 故选BD。 跟踪训练3 如图，为一组未知方向的匀强电场的电场线，把电荷量为1×10-6C的负电荷从A点沿水平线移至B点，静电力做了2×10-6J的功，A、B间的距离为2cm，求： (1)电势差UBA； (2)电场强度E； (3)若B点电势为1V，求A点的电势及电子位于B时的电势能。 【答案】(1)2V (2)200V/m，方向沿电场线向下 (3)-1eV 【详解】（1）根据电场力做功与电势关系可知，负电荷从A点沿水平线移至B点时有 得 则 （2）几何关系可知，AB沿电场线距离为d=1cm，根据 解得 以上分析可知，A点电势低于B点电势，故电场线沿电场线向下； （3）因为 解得 根据 解得 题型4 电容器的电容 一、电容器 1、电容器的定义：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、电容器的构造：两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。 3、电容器的作用：存储电荷（存储电能）。 4、电容器充放电过程 过程内容　　 充电过程 放电过程 定义 使电容器带电的过程 中和掉电容器所带电荷的过程 方法 将电容器的两极板与电源两极相连 用导线将电容器的两极板接通 场强变化 极板间的场强增强 极板间的场强减小 能量转化 其他能转化为电能 电能转化为其他能 5、带电荷量：通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。 二、电容 1、电容的定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。 2、电容的物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加1V所增加的带电量。 3、电容的单位：国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。 三、平行板电容器 1、平行板电容器的定义：在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、平行板电容器的结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。 3、平行板电容器的带电特点：两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为，场强方向为垂直板面。 4、电容的决定式：C＝，k为静电力常量，εr是一个常数，与电介质的性质有关，真空时εr＝1，其他电介质时εr＞1。称为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容C跟相对介电常数εr成正比，跟极板正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比。 5、公式C＝与C＝的比较 　　公式 内容　　 C＝ C＝ 公式特点 定义式 决定式 意义 对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映容纳电荷的本领 平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素 联系 电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定 6、平行板电容器的两类典型问题 7、平行板电容器与静电计结合问题的解决方法 （1）静电计指针和外壳分别与两块平行金属板相连接，两块金属板带上等量的异种电荷，电容器电荷量Q不变。 （2）由决定式C＝，根据所给问题中εr、S或d的变化，确定平行板电容器的电容C的变化情况。 ★特别提醒 注意电容器间插入电介质时意味着εr变大，电容C变大；插入金属板时意味着d减小，电容C也变大。 【归纳总结】电容器是储存电荷的装置，电容（C）是描述其储存电荷本领的物理量，定义为所带电荷量与两极板间电势差的比值（C=Q/U），与 Q、U 无关，仅由自身结构（极板面积、间距、电介质）决定，单位为法拉，是电路中储能和滤波的重要元件。 【典例4-1】一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1，电源E给电容器C充电；开关S接2，电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是（　　） A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流减小 B．放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电流增大 C．充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R的电流由M点流向N点 D．放电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R的电流由N点流向M点 【答案】A 【详解】AC．因电容器的上极板与电源正极相连，故充电过程中上极板带正电荷。充电过程中回路中电流方向为顺时针方向，流过电阻R的电流由N点流向M点。电容器所带电量Q逐渐增加，根据电容定义式 可知电容器两极板间电势差增加。因电阻R的电压等于电源电动势与电容器电压之差，故电阻R的电压减小，根据欧姆定律，可知流过电阻R的电流减小，即充电电流减小，故A正确，C错误； BD．因充电结束后电容器的上极板带正电荷，故放电过程中上极板仍带正电荷，且回路中电流方向为逆时针方向，流过电阻R的电流由M点流向N点。电容器所带电量Q逐渐减小，根据电容定义式 可知电容器两极板间电势差减小。因电阻R的电压等于电容器电压，故电阻R的电压减小，根据欧姆定律，可知流过电阻R的电流减小，即放电电流减小，故BD错误。 故选A。 【典例4-2】（多选）如图所示，M、N是平行板电容器的两个极板，为定值电阻，、为可调电阻，用绝缘细线将质量为m、带正电的小球悬于电容器内部．闭合电键S，小球静止时，悬线偏离竖直方向的夹角为。调节、，关于的大小判断正确的是（    ） A．保持不变，缓慢增大时，将变大 B．保持不变，缓慢增大时，将变小 C．保持不变，缓慢增大时，将不变 D．保持不变，缓慢增大时，将变小 【答案】BC 【详解】AB．保持不变，缓慢增大时，电路中的电流将减小，两端的电压减小，电容器两端的电压减小，两极板间的电场强度减小，对小球受力分析如图所示 根据小球受力平衡可知 所以变小，即将变小，故A错误，B正确； CD．保持不变，缓慢增大时，两端的电压不变，电容器两端的电压不变，两极板间的电场强度不变，所以不变，将不变，故C正确，D错误。 故选BC。 【典例4-3】某同学用题图1所示电路来探究一电容器的充放电性能。A为理想电流传感器， V为理想电压传感器， R为定值电阻，E为直流电源（内阻r不可忽略）。主要实验步骤如下： ①将电流传感器和电压传感器分别与计算机连接； ②将单刀双掷开关S接1，利用计算机得到电流I和电压U随时间t变化的图像； ③将单刀双掷开关S接2，再次利用计算机得到电流I和电压U随时间t变化的图像； ④导出所得的4张图像，如题图2所示。 请回答下列问题： (1)开关S接2时的图像是题图2中的 （选填“A”或“B”）。 (2)开关S接1时的图像如题图2中C所示，已知图中曲线与坐标轴围成的面积，则该电容器的电容 （保留两位有效数字）。 (3)若题图2D中M、N区域的面积之比为1:1，则定值电阻 。 【答案】(1)B (2)1.0×10-3 (3)2×103 【详解】（1）开关S接2时，电容器处于放电过程，电容器两端电压逐渐减小，即电压表示数逐渐减小，可知，开关S接2时的图像是题图2中的B。 （2）开关S接1时，电容器处于充电过程，电容器两端电压逐渐增大，可知，开关S接1时的图像是题图2中的A，稳定时，电容器两端电压 根据电流的定义式有 解得 可知，图像中图像与时间轴所围几何图形的面积表示极板所带电荷量大小，根据题意可知，稳定时，电容器极板所带电荷量 根据电容的定义式有 解得 （3）电容器充电过程与放电过程极板所带电荷量的最大值均为 结合上述，根据图2中D可知，放电电流时，电容器的电荷量 令此时电压为，根据电容的定义式有 解得电容器两端电压 根据欧姆定律可知，定值电阻 跟踪训练1平行板电容器的两极板A、B接于电池两端，B极板接地，一带正电的小球悬挂于电容器两极板间，闭合开关S，给电容器充电后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ，如图所示，则（　　） A．保持开关S闭合，A板向 B板靠近，θ减小 B．保持开关S闭合，两极板错开使正对面积减小时，θ变大 C．开关S断开，A板向B板靠近，两极板间电压减小 D．开关S断开，A板向 B板靠近，电容器电容减小 【答案】C 【详解】A．保持开关S闭合，则两板间电压U一定，A板向 B板靠近，两板间距d减小，则 可知，两板间场强变大，小球受电场力变大，则θ变大，选项A错误； B．保持开关S闭合，两极板错开使正对面积减小时，两板间距d不变，则 可知，两板间场强不变，小球受电场力不变，θ不变，选项B错误； CD．开关S断开，则两极板带电量Q不变，A板向B板靠近，根据 可知，电容器电容C变大，根据 可知，两极板间电压减小，选项C正确，D错误。 故选C。 跟踪训练2 （多选）某同学设计了一个电容式风力传感器，如图所示。将电容器与静电计组成回路，P点为极板间的一点。可动电极在风力作用下向右移动，风力越大，移动距离越大（可动电极不会到达P点）。若极板上电荷量保持不变，则下列说法正确的是（　　） A．风力越大，电容器电容越大 B．风力越大，极板间电场强度越小 C．风力越大，P点的电势越小 D．风力越大，静电计指针张角越大 【答案】AC 【详解】AD．可动电极在风力作用下向右移动，风力越大，移动距离越大，则板间距离越小，根据 可知电容越大，极板上电荷量保持不变，根据 可知板间电压越小，则静电计指针张角越小，故A正确，D错误； BC．根据 可知极板间电场强度保持不变，由于风力越大，P点与接地负极板的距离越小，根据 可知P点与接地负极板的电势差越小，则P点的电势越小，故B错误，C正确。 故选AC。 跟踪训练3在“用传感器观察电容器的充放电过程”实验中，按图甲所示连接电路。单刀双掷开关先跟1相接，一段时间后，把开关S改接2，实验中使用了电流传感器来采集电流随时间的变化情况。 (1)开关S改接2后，电容器进行的是 （填“充电”或“放电”）过程，此过程中流经电阻上的电流方向 （填“自上而下”或“自下而上”）。 (2)开关S改接2后，实验得到的图像如图乙所示，如果不改变电路其他参数，只减小电阻的阻值，则此过程的曲线与坐标轴所围成的面积将 （填“减小”“不变”或“增大”）。 【答案】(1) 放电 自下而上 (2)不变 【详解】（1）[1]当开关接2时，电容器相当于电源，进行的是放电过程。 [2]开关接1时，电源给电容器充电，电容器上极板接正极，充电完成，上极板带正电，下极板带负电；可知开关接2时，电容器相当于电源，上极板相当于电源的正极，故流经电阻R上的电流自下而上。 （2）曲线与坐标轴所围成的面积为电容器充电完成后所带电荷量，充电结束时，电路中无电流，电阻不分压，电容器两端电压等于电源电压，只减小电阻，并不能改变电容器的充好电时的电荷量，故此过程的曲线与坐标轴所围成的面积将不变。 题型5 带电粒子在电场中的运动 一、带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 二、带电粒子在电场中的偏转 1、两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 2、基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 ★特别提醒 分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 三、带电粒子在电场做圆周运动 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 四、示波管 1、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成。 2、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 【归纳总结】带电粒子在电场中受静电力（F=qE），加速度 a=F/m，运动可分解为：初速度与电场平行时，做匀变速直线运动；垂直时，做类平抛运动（水平匀速、竖直匀加速），需用运动学公式结合电场力做功与能量变化（动能定理）分析，是电场力与运动规律结合的典型应用。 【典例5-1】如图，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab竖直，高度为2R，bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的带正电小球，电荷量为q，轨道处在水平向左的匀强电场中，，自a点处从静止开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ）    A．小球对轨道的最大压力为5mg B．小球运动过程中，机械能的减小量最多为2mgR C．小球机械能最小时小球与b点的连线经过c点 D．小球经过c点正下方时重力的功率为 【答案】C 【详解】A．由于小球受到电场力和重力大小相等，由力的合成可知，重力与电场力的合力斜向左下方，与竖直面成45°角，即小球做圆周运动时的等效最低点为bc的中点，故小球到bc中点时，速度最大，对轨道的压力最大，由动能定理可得 对bc中点受力分析可得 联立求解可得 由牛顿第三运动定律可知，小球对轨道的最大压力为，故A错误； B．小球从a点到c点，由动能定理可得 解得 从c点向右飞出轨道，将小球的运动分解为水平方向与竖直方向，在水平方向上，先向右减速为0，则由； 解得x=2R， 水平方向上，小球从b点到减速为0时，电场力做功为W=Eq（R+x）=3mgR 由能量守恒定律可知，小球的机械能减少量等于水平方向上电场力做的负功，即机械能最多减少了3mgR，故B错误； C．从c点向右飞出轨道，在竖直方向上，当水平速度减为0时，设小球下落的高度为h，速度为v3，由匀变速的规律可得，v3=gt1 解得h=2R， 此时电场力做的负功最多，小球的机械能最小，因为小球此时的水平位移与竖直位移相等，所以小球此时的位置与b点的连线经过c点，故C正确； D．当小球落到c点正下方时，设竖直方向的速度为v4，时间为t2，由匀变速的规律可得v4=v3+gt2 水平方向上，受力情况不变，加速和减速的时间相等，即t1=t2，联立求解可得 此时重力的功率P=mgv4 解得，故D错误。 故选C。 【典例5-2】（多选）如图所示，质量、带电量的小球用长度的不可伸长的绝缘轻质细线悬吊在O点，过O点的竖直线右侧有竖直向下足够大的匀强电场，场强大小。现将小球拉至A处，此时，细线与竖直方向成角。现由静止释放小球，在小球运动过程中细线能承受的最大拉力为200N，（已知，取重力加速度）下列说法正确的是（　　） A．小球第一次运动到最低点时的速度大小 B．小球第一次在电场中的运动是匀速圆周运动 C．小球第一次离开电场时的速度为 D．小球能在电场中四次通过最高点后细线才被拉断 【答案】AC 【详解】A．小球从图示位置到达最低点的过程，由机械能守恒定律得 代入数据得，故A正确 BC．由于，故小球先做类平抛运动。 则有，， 联立并代入数据得， 即小球恰好处于水平位置时细线张紧，此时，小球的竖直分速度 细线张紧瞬间，小球水平速度立即变为零，以竖直分速度作为初始速度做圆周运动，则由细线张紧位置到第一次离开电场时，由动能定理得 代入数据得，故B错误，C正确； D．小球第一次离开电场到达最低点过程中，由动能定理得 解得 由于 故此后绳张紧有拉力，小球继续做圆周运动，设小球第n次经过最高点时速度为vn，由动能定理得（n=1，2，3…） 解得 最高点时，由牛顿第二定律得 联立解得（n=1，2，3…） 当F=200N时，n=2.875，所以第二次经过最高点之后才会被拉断，D错误。 故选AC。 【典例5-3】如图所示，带电荷量的带电小球A固定在绝缘的水平面上，另一个带电荷量、质量m = 0.36kg的小球B恰好静止在A正上方的D点。现将小球B先固定，让一个与A完全相同的不带电的小球C与小球A接触一下，移走小球C，再由D点静止释放小球B，已知静电力常量，g=10m/s2。在小球B下落过程中，求：（小球A、B均可视为点电荷） (1)D点距地面的高度h； (2)小球B从释放到速度达到最大的过程中经过的距离。 【答案】(1)1m (2)0.293m 【详解】（1）对小球B受力分析，由平衡条件得 由库仑定律得 解得 （2）让一个与A完全相同的不带电的小球C与小球A接触一下，移走小球C，则小球A所带的电荷量为 当小球B所受合力为0时速度最大，设此时A、B距离为h1，由平衡条件有 解得 则小球B从释放到速度达到最大的过程中经过的距离为 跟踪训练1如图，带电荷量之比为的带电粒子A、B以相等的速度从同一点出发，沿着与电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D点，若，忽略粒子重力的影响，则（　　） A．A和B在电场中运动的时间之比为 B．A和B运动的加速度大小之比为 C．A和B的质量之比为 D．A和B的位移大小之比为 【答案】C 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则有 因初速度相等，所以A和B在电场中运动的时间之比，故A错误； B．粒子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有 因y相同，则它们的加速度大小之比为 ，故B错误； C．根据牛顿第二定律有 解得粒子质量 则它们的质量之比为，故C正确； D．A、B的位移大小之比为，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，在一个边长为l的正方形abcd区域内存在沿该平面的匀强电场E，方向未知。某时刻，一质量为m、电荷量为q的带电小球从a点沿ab方向以速度v进入该区域，经过一段时间，小球从bc的中点e处射出，经过e点时的速度大小也为v。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先增大后减小 B．小球的速度先减小后增大 C．电场强度的最小值为 D．电场强度的最小值为 【答案】BC 【详解】AB．带电小球从a点沿ab方向以速度v进入该区域，经过一段时间，小球从bc的中点e处射出，经过e点时的速度大小也为v，可建立等效重力场，显然ae为等效水平面，等效重力垂直于ae斜向右下方，故小球的速度先减小后增大，故A错误，B正确； CD．如图 当电场力与合力垂直时，电场强度最小，根据几何关系可知 根据几何关系可知 故C正确，D错误。 故选BC。 跟踪训练3如图所示，、是竖直放置的平行金属板，板带负电、板带正电，之间电势差为之间有一个光滑绝缘的玻璃管水平放置，左端刚好接触板，右端刚好接触板正中央的小孔。紧邻板右侧水平放置平行的金属板板带正电、板带负电，连线的延长线为之间的中线，之间电压为，间距为，板长为。在位置静止释放一质量为、电量为的小球，重力加速度为。 (1)求该小球运动到点的速度大小； (2)若且小球在偏转电场中没有触碰到板，小球离开偏转电场时速度与水平线的夹角，求； (3)之间电压为应该满足什么条件，才能使得小球在偏转电场中不会触碰到、板。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理得 解得 （2）在偏转电场中运动时，水平方向有 竖直方向有 由牛顿第二定律得 又， 联立解得 （3）偏转位移 若该小球刚好从上极板右边缘飞出，则有 由牛顿第二定律得 若小球刚好从下极板，右边缘飞出，则 联立解得， 综上所述，应该满足的条件是 【能力培优练】 1．如图，平行板电容器的两极板间一蜡烛火焰带有正离子、电子以及其他的带电粒子，两极板间电压保持不变，当电极板距离减小时，关于板间电场强度和正离子受力方向，下列说法正确的是（　　） A．电场强度增大，正离子受力方向向左 B．电场强度增大，正离子受力方向向右 C．电场强度减小，正离子受力方向向左 D．电场强度减小，正离子受力方向向右 【答案】A 【详解】根据电强强度与电势差的关系，可知U不变，d减小时，E增加；由图可知电场线的方向水平向左，正离子受到的电场力方向向左。 故选A。 2．如图所示，在坐标（，）和（，）上放置着等量异种点电荷，电荷量（），为使点（，）电场强度为零，在点（，）再放入点电荷，电荷量为（未知）。则（    ） A．点的点电荷带负电， B．连线各点电势相同 C．沿直线到电势逐渐降低 D．电子沿直线到，电势能减小 【答案】C 【详解】A．根据图中几何关系可知，点处于等量异种点电荷连线的中垂线上，等量异种点电荷在点的合场强方向由指向，大小为 为使点电场强度为零，则点的点电荷带负电，根据 解得，故A错误； B．由于点的点电荷带负电，可知非常靠近点处的电势一定小于点处的电势，所以连线各点电势不可能相同，故B错误； C．等量异种点电荷产生的电场中，连线的中垂线为一等势线，即直线为等量异种点电荷电场中的等势线；沿直线到，离点处的负点电荷距离越来越小，所以沿直线到电势逐渐降低，故C正确； D．电子沿直线到，由于电势逐渐降低，根据，由于电子带负电，所电势能增大，故D错误。 故选C。 3．如图甲所示，绝缘粗糙水平面上固定两个等量的正电荷，二者连线中点O处有一质量为m、电荷量大小为q的带电小物块（可视为质点），沿中垂线方向水平射出，途经A、B、C三点，小物块在A点速度最小，C点速度最大。小物块速度随时间变化的图像如图乙所示，整个图像在 B点的切线斜率绝对值最大。已知小物块与水平面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小物块在B点时的加速度最小 B．小物块可能带负电 C．A、C两点的电场强度大小均为 D．时间内，小物块的电势能一直增加 【答案】C 【详解】A．由题意可知，整个图像在 B点的切线斜率绝对值最大，而斜率即表示加速度，故小物块在 B点时的加速度最大，故A错误； B．由图乙可知小物块先做加速度减小的减速后又做加速运动，若物块带负电会一直减速至0再反向加速，故物块只能带正电，B错误； C．由图乙可知，A、C两点的加速度为0，小物块所受合力为0，故得 而，联立并代入数据得 A、C两点的电场强度大小均为，故C正确； D．0~t₁时间内，小物块由O运动到A，电场力一直增大并做正功，电势能一直减小，故D错误。 故选C。 4．如图（a）所示，平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的变化电压，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在时刻释放该粒子，粒子先向A板运动，再向B板运动…，最终打在A板上。则可能属于的时间段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子带正电，由于粒子先向A板运动，表明粒子在时刻释放时，所受电场力方向向左，电场方向向左，则有 表明一定在之间某一时刻，由于粒子最终打在A板上，则粒子在一个周期之内的总位移方向向左，根据运动的对称性可知，粒子释放开始向左做匀加速直线运动维持的时间一定大于，则有 故选C。 5．在做“观察电容器的充、放电现象”实验时，先将开关S拨到位置 1，一段时间后再拨到位置2.在此过程中，根据电压传感器与电流 传感器测量数据得到的 u-t和i-t图线可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】开关S拨到位置1，是电容器充电过程，此时电流传感器中的电流从最大值开始减小，电压传感器中的电压从0开始增大，且随着电压增大，电流减小的越来越慢。开关S拨到位置2，是放电过程，此时电流传感器中的电流从最大值开始减小，电压传感器中的电压从最大值开始减小，且随着电压减小，电流减小的越来越慢。充电电流与放电电流方向相反，充电时与放电时都是电容器右边极板是正极板，综合可知A选项符合题意。 故选A。 6．如图所示，不带电，长为的导体棒水平放置，现将一个电荷量为的正点电荷放在棒的中心轴线上距离棒的左端处，、分别为导体棒左右两端的一点，静电力常量为。当棒达到静电平衡后，下列说法正确的是（　　） A．棒的两端都感应出负电荷 B．感应电荷在棒的中心处产生的电场强度方向水平向右 C．感应电荷在棒的中心处产生的电场强度大小为 D．导体棒内部没有净电荷 【答案】D 【详解】A．由同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引可知，棒左端感应出负电荷，右端感应出正电荷，故A错误； BC．当导体棒达到静电平衡后，导体棒内各处电场强度为零，点电荷q在棒中心O处产生的电场方向向右，根据平衡关系可知，棒上感应电荷在棒中心O处产生的电场方向向左，大小相同，为，故BC错误； D．在静电平衡状态下，导体棒内部没有电荷的定向移动，即导体棒内部没有净电荷，故D正确。 故选D。 7．云室中有、两个点电荷，其周围的电场线分布如图所示。通过云室观察到一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹为曲线为两点电荷连线中垂线上的点、为两点电荷连线上的点。下列说法正确的是（    ） A．两个点电荷是等量异种电荷 B．两点的电场强度和电势关系为 C．带电粒子在点的加速度比在点大 D．带电粒子在点的电势能比在点大 【答案】D 【详解】A．由电场线分布情况可知，带不等量异种电荷，故错误； BC．电场线的疏密表示电场的强弱，由图可知，点的电场强度一定小于点的电场强度，粒子在点的加速度一定小于在点的加速度，由于、所带电性未知，无法判断电场线方向，也无法判断的关系，故BC错误； D．粒子受力指向轨迹凹侧，若带电粒子从运动到的过程中，电场力与速度之间的夹角小于，电场力做正功，电势能减小，；若带电粒子从运动到的过程中，电场力与速度之间的夹角大于，电场力做负功，电势能增大，，故D正确。 故选D。 8．（多选）一带电小球在固定的斜面上由点运动到点的过程中，受到了重力、弹簧弹力、斜面的支持力、电场力和摩擦力的作用。若小球的重力势能增加了，电场力做功，小球与斜面因摩擦产生的热量为，弹簧系统的弹性势能减少了，则（　　） A．重力做功为 B．电势能减少了 C．小球的动能增加了 D．小球和弹簧系统的机械能增加了 【答案】BCD 【详解】A．重力做功等于重力势能的变化量，重力势能增加了5J，则重力做功-5J，故A错误； B．电场力做功等于电势能的变化量，电场力做功3J，则电势能减少了3J，故B正确； C．根据动能定理得 即动能增加了1.5J，故C正确； D．除重力和弹力外的各个力做的总功等于机械能的变化量，除重力和弹力外，电场力做功3J，摩擦力做功-0.5J，则机械能增加量 即机械能增加了2.5J，故D正确。 故选BCD。 9．（多选）一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（　　） A．L∶d=2∶3 B． C．微粒穿出电容器区域时，速度与竖直方向的夹角的正切值为3 D．仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运动轨迹不变 【答案】BCD 【详解】AB．带电微粒从静止开始经电压加速后，设其射入水平放置的平行板电容器的速度，根据动能定理有 带电微粒在平行板电容器内由射入点到最高点的过程中，竖直方向做匀减速直线运动，有，， 水平方向做匀速直线运动，有 联立解得， A错误，B正确； C．带电微粒在平行板电容器内由最高点到射出点的过程中，竖直方向做匀加速直线运动，设射出时竖直方向速度为，有 水平方向做匀速直线运动，有 微粒穿出电容器区域的速度与水平方向夹角的正切值 联立解得 则速度与竖直方向的夹角的正切值为 C正确； D．从射入点到最高点,,,, 联立可得， 即水平、竖直方向的位移与m、q无关，故仅改变微粒的质量或电荷数量，微粒进入平行板电容器的速度和在平行板电容器中的加速度都会改变，微粒从射入点到射出点水平方向和竖直方向的位移均不变，微粒在电容器中的运动轨迹不变，D正确。 故选BCD。 10．（多选）目前智能手机和平板普遍采用了电容触摸屏，其原理可简化为如图所示的电路。平行板电容器的上极板 A为可动电极，下极板B为固定电极。当用手指触压屏幕上某个部位时，可动电极的极板会发生形变，使 A、B两板间距离减小，形变过程中，电流表G中有从b到a的电流，则（　　） A．手指触压屏幕时，电容器的电容减小 B．手指触压异幕时，电容器的电容增大 C．电容器上极板A带负电 D．电容器上极板A带正电 【答案】BD 【详解】AB．手指触压屏幕时，两板间距减小，根据 可知电容器的电容增大，故A错误，B正确； CD．两板间电压不变，而电容C增大，根据 可知，电容器所带电荷量增大，电容器充电，电流表G中有从b到a的电流，则说明电容器上板带正电，故C错误，D正确。 故选BD。 11．（多选）如图所示，边长为的正方形ABCD处在匀强电场中，且正方形平面与电场线平行。已知，，，O是对角线AC、BD的交点，下列说法正确的是（　　） A．D点的电势 B．O点的电势 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【答案】BD 【详解】AB．由于A点电势为2V，C点电势为6V，O是AC中点，由匀强电场特点知，O点电势为4V，故对角线BD为等势线，，A错误，B正确； CD．正好沿着电场线方向，故电场强度大小为 代入得，C错误， D正确。 故选BD。 12．（多选）冷冻电镜技术可解析晶态冰中蛋白质三维结构。电子透镜是冷冻电镜中的关键部分, 其中一种电子透镜的电场分布如图所示, 虚线为等势面, 相邻等势面间电势差相等, 现有一电子以一定初速度进入该区域,实线为运动轨迹, 是轨迹上的两点。下列说法正确的是（    ） A．电子透镜的电场可能是两个等量异种点电荷产生的 B． 点的电势高于 点的电势 C．若该电子从 向 运动,则电子在 点的动能小于在 点的动能 D．电子在 点的电势能大于在 点的电势能 【答案】CD 【详解】A．根据等势面电场线关系，画出电场线，如图所示 由电场线的分布看，电子透镜的等差等势面不可能是两个等量异种点电荷产生的，故A错误； B．根据物体做曲线运动时，合外力指向轨迹的凹侧，故电子受电场力大致指向右侧，故电场线方向大致指向左侧，沿着电场线的方向电势逐渐降低， 所以a 点的电势低于 b点的电势，故B错误； CD．根据公式可知，电子在点的电势能大于在点的电势能，若该电子从 向 运动，电势能减小，电场力做正功，电子的动能增加，则则电子在 点的动能小于在 点的动能，故CD正确。 故选CD。 13．如图甲所示,质量为 、带电量为 的初速度为零的带电粒子，经 、 间的电场加速后，沿水平放置的平行极板 的中心线 进入偏转电场。已知极板 、 间电压为 ，极板 的板长为 ，板间距离为 。如图乙所示， 板间加上周期性变化的电压 。粒子的重力忽略不计，两板间电场看作匀强电场。 (1)求粒子射入偏转电场时的速度大小 ； (2)若粒子在 时刻进入 、 间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 及速度偏转角 的正切值； (3)若粒子在 时刻进入 、 间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）带电粒子经电场加速由动能定理 粒子射入偏转电场时的速度大小 （2）粒子在 时刻进入偏转电场，水平方向做匀速直线运动， 竖直方向做匀加速直线运动 粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 粒子离开偏转电场时竖直速度 速度偏转角 的正切值 （3）粒子在 时刻进入偏转电场，粒子离开偏转电场所用时间 时间内，竖直方向做匀加速直线运动，位移 时间内，竖直方向做匀减速直线运动，位移 粒子离开偏转电场时沿垂直于板面方向的偏转距离 14．如图所示，一质量为、带电荷量大小为的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，悬点为，细线长度，小球可视为质点，假设电场范围足够大，静止时悬线向左与竖直方向夹角为。已知小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度取。 (1)求电场强度的大小； (2)若在某时刻将细线突然剪断，且匀强电场的方向变为水平向左，求从剪断细线到小球经过点正下方所用时间和其电势能的变化量。 【答案】(1) (2)，电势能减小 【详解】（1）由平衡条件得小球所受电场力 代入数据解得 （2）细线剪断后，小球所受合力 根据牛顿第二定律，小球的加速度 由几何关系可知小球运动的位移 根据 解得 小球运动过程中电场力做功 由电场力做功与电势能变化之间的关系 故其电势能减小0.045J 15．如图，在直角三角形ABC所在平面内存在方向与平面平行的匀强电场，已知，。若将电量的正电荷从A移到B过程中，克服电场力做功为；将另一电量的负电荷从A移到C过程中，电场力做功为，求： (1)A、B两点的电势差； (2)B、C之间的电势差为；若规定B点电势为零，求A点电势和C点电势； (3)该匀强电场的场强大小及方向。 【答案】(1) (2)，， (3)，方向与水平方向成30°，斜向左上方 【详解】（1）A、B两点的电势差 （2）A、C两点的电势差 由于， 得 若B点是零电势，则， （3）由几何关系可得，利用合成思想，如图所示。 此匀强电场在竖直方向上的分量竖直向上，大小 同理该匀强电场在水平方向的分量水平向左，大小 由勾股定理可得 方向与水平方向成30°，斜向左上方。 【链接高考】 1．（2025·甘肃·高考真题）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是（   ） A．M点的电势比P点的低 B．M点的电场强度比N点的小 C．负电荷从M点运动到P点，速度增大 D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功 【答案】D 【详解】A．MN两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，可知M点电势高于P点，选项A错误； B．M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误； CD．负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确； 故选D。 2．（2025·四川·高考真题）如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 【答案】B 【详解】A．小球所受库仑力 由于re > rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误； B．点电荷在距其r处的电势为 由于c点到d点r不变，d点到e点r逐渐增大，则根据Ep = φq 可知小球从c点到d点电势能不变，从d点到e点电势能逐渐减小，故B正确； C．由于rf > rd，根据选项B可知，小球的电势能Epd > Epf，根据能量守恒可知，小球过f点的动能大于过d点的动能，故C错误； D．由于ra > rb，根据选项B可知，小球的电势能Epb > Epa，根据能量守恒可知，小球过a点的动能大于过b点的动能，则小球过b点的速度小于过a点的速度，故D错误。 故选B。 3．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 4．（2025·湖南·高考真题）（多选）一匀强电场的方向平行于平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为和的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为。下列说法正确的是（　　） A．中点的电势为零 B．电场的方向与x轴正方向成角 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为，， 故中点的电势为 故A正确； B．如图，设N点为AB的三等分点，同理易知N点电势为0，连接MN为一条等势线，过A点做MN的垂线，可知电场线沿该垂线方向，指向右下方，由可知，故电场的方向与x轴正方向成角，故B错误； CD．电场强度的大小为 故C错误，D正确。 故选AD。 5．（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍（）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B点与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求： (1)颗粒碰撞前的电荷量q。 (2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。 (3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。 【答案】(1) (2) (3)若时，，若时， 【详解】（1）根据题意可知，颗粒在竖直方向上做自由落体，则有 水平方向上做匀加速直线运动，则有， 解得 （2）根据题意可知，颗粒与绝缘板第一次碰撞时，竖直分速度为 水平分速度为 则第一次碰撞后竖直分速度为 设第一次碰撞后颗粒速度方向与水平方向夹角为，则有 由于第一次碰撞后瞬间颗粒所受合力与速度方向垂直，则有 联立解得 （3）根据题意可知，由于，则第一次碰撞后颗粒不能返回上绝缘板，若颗粒第二次碰撞是和下绝缘板碰撞，设从第一碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为，则有 水平方向上做匀加速直线运动，加速度为 水平方向运动的距离为 则电场对颗粒做的功为 若，则颗粒第二次碰撞是和右侧金属板碰撞，则颗粒从第一次碰撞到第二次碰撞过程中水平方向位移为，颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场对颗粒做的功为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$