专题1.3等比数列（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题1.3 等比数列 教学目标 1、理解等比数列概念，能够利用概念判断、证明等比数列；能够解等比中项问题； 2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及变形，理解等比数列的通项公式、前n项和公式与指数函数的关系，能熟练进行等比数列的基本量计算； 3、掌握等比数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等比数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等比数列的有关概念；(2)等比数列通项公式及变形；(3)等比数列的前n项和公式；(4)等比数列的常用性质． 2、难点：(1)对公比的讨论；(2)等比中项是否能正、负都取；(3)片段和；(4)奇数项和与偶数项和；(5)等差、等比数列综合问题． 知识点01 等比数列的有关概念 1、数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意： 【即学即练】在等比数列中，若，那么等于( ) A． B．5 C． D．25 【答案】C【解】根据等比中项，可得，所以.故选：C. 知识点02 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1.() 变形：(,) 【即学即练1】(通项公式)在等比数列中，，，则等于( ) A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-32 【答案】C【解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以.故选：C 【即学即练2】(通项公式变形)在等比数列中，，则( ) A．32或-32 B．32 C．64或-64 D．64 【答案】D【解】由得，所以.故选：D. 知识点03 等比数列的前n项和公式 Sn＝ 【即学即练】若递增的等比数列的前项和为，，则等于( ) A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A【解】设等比数列公比为q，由得0， 所以，或，因为数列递增且，所以，所以．故选：A． 知识点04 等比数列的性质 1.角标和：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列； 3.子数列等比：等比数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk； 4.片段和：1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比，公比为qn， (时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定成等比数列)． 5. 6.常用结论 (1)在等比数列{an}中，a1与q是最基本的两个量，一般可设出a1和q，列方程(组)求解即可． (2)等比数列涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，(知三求二)． (3)求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论． (4)若，则成等比数列； (5)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n＋1，则． 【即学即练1】(角标和)（2024广东江门一模）已知是等比数列，，且，是方程两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【解】因为是等比数列，所以，，又，所以， 又，是方程两根，所以.故选：C 【即学即练2】(片段和)记等比数列的前项和为，若，则( ) A．24 B．28 C．48 D．84 【答案】D【解】由等比数列的性质，可得成等比数列， 所以，即，解得.故选：D. 【即学即练3】(子数列等比)记等比数列，若，则( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D【解】由等比数列的性质，可得成等比数列， 其公比满足：，所以，所以.故选：A. 【即学即练4】(奇数项和与偶数项和)等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（    ） A．3 B．4 C．7 D．9 【答案】A【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据等比数列中偶数项和与奇数项和关系列式求解，即得结果. 【解】因为等比数列共有项，由等比数列性质：可得 又，所以，即，即， 即，所以：，解得：，故选：A 知识点05 判断、证明等比数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法：为常数且数列是等比数列． (2)等比中项法：数列是等比数列． (3)通项公式法：数列是等比数列． (4)前项和公式法：数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等比数列： (1)只需判断存在连续三项不成等比数列即可． (2)只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【即学即练】已知数列的前项和为，若，则有(    ) A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】B【分析】AB选项，根据，求出为公比为的等比数列，A错误，B正确；CD选项，再求出，根据等差数列和等比数列的定义得到CD错误. 【解】AB选项，当得，解得， ①，当时，，② 式子①-②得，故， 所以为，是公比为的等比数列，A错误，B正确； CD选项，由于，故，故不是等差数列， 由于，故不是等比数列，CD错误.故选：B 题型01 等比数列的基本量计算 【典例1】(2025·云南昆明·二模)已知正项等比数列，满足，，则(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】B【分析】根据给定条件，求出公比，进而求出首项. 【解】设正项等比数列的公比为q，则，而，解得，所以.故选：B 【变式1-1】(2025届四川省自贡一中二模T3)已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为( ) A. B. C. D. 【答案】C【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即， 所以，整理得，解得或(舍去)；故选：C. 【变式1-2】(2025届烟台市、东营市高三一模T2)已知等比数列的前n项和为，，则( ) A. B. C. 5 D. 15 【答案】D【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解. 【解】由等比数列性质可知，，又，解得或， 当时，，所以，故， 当时，，所以，故，综上，，故选：D 【变式1-3】(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T3)已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( ) A. 24 B. 12 C. 20 D. 15 【答案】D【解】设等比数列 的公比为，显然，否则，此等式不成立， 则，由，整理得，即， 因此，所以；故选：D 题型02 等比数列的角标和性质 【典例2】在等比数列中，，是方程的两根，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】由韦达定理得，， 又为等比数列，所以，所以，故选：C. 【变式2-1】已知等比数列中，，，则( ) A．9 B． C．81 D． 【答案】A【解】在等比数列中，根据等比数列性质，即. 已知，，那么. 由，可得. 因在等比数列中，偶数项的符号相同，，，所以，故.故选：A. 【变式2-2】各项均为正数的等比数列中，和是方程的两个根，则( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B【解】由和是方程的两个根，得， 又数列为各项均为正数的等比数列，则， 所以.故选：A 【变式2-3】(2024四川成都模拟预测)已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果； 【解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，.故选：C. 题型03 等比数列的片段和性质 【典例3】已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】52【解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则， 即，两式相除得， 所以，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以.故答案为：52 【变式3-1】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则( ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A【解】由题意及等比数列前n项和的性质，得，，成等比数列， 则，即，解得或(舍).故选：A 【变式3-2】记等比数列的前项和为，若，则( ) A．7 B．49 C． D．43 【答案】C【解】设，则， 因为，所以，解得，所以.故选：C 【变式3-3】(2023浙江一模)已知是等比数列的前项和，且，，则( ) A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C【分析】由是等比数列的前项和得成等比数列，结合，列方程求解即可． 【解】因为是等比数列，是等比数列的前项和，所以成等比数列， 且，所以， 又因为，，所以，即， 解得或，因为，所以，故选：C． 题型04 奇数项和与偶数项和 【典例4】已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则(   ) A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D【解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项， 设所有奇数项之和为，因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，，故满足，解得， 又，所以.故选：D 【变式4-1】若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300【解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是.故答案为：300. 【变式4-2】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为(   ) A．8 B． C．4 D．2 【答案】D【解】由题意可知：，所以．故选：D. 【变式4-3】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】2；9【解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得， 所以这个等比数列的项数为9.故答案为：2；9 题型05 判断、证明等比数列 【典例5】(1)已知为数列的前n项和，．证明：数列为等比数列； (2)已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足. 求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【分析】(1)取计算，得到，得到证明. (2)利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可. 【解】(1)，，． 由，得， ， 所以，故， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列． (2)因为， 又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 【变式5-1】(多选) (2023辽宁三模)已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是( ) A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列 【答案】ABC【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答. 【解】对于A，，时，，解得， 因此，，是等差数列，A正确； 对于B，，，则，而，是等比数列，B正确； 对于C，设等差数列的公差为，首项是， ， ， 因此，则 ，成等差数列，C正确； 对于D，若的公比，则 不成等比数列，D错误.故选：ABC 【变式5-2】数列满足，且其前项和为.若，则正整数( ) A．99 B．103 C．137 D．169 【答案】D【解】由得， 为等比数列，， ， ， ①为奇数时，; ②为偶数时，， 只能为奇数，为偶数时，无解，综上所述，.故选:D. 【变式5-3】(多选)若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是(   ) A． B． C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ACD【解】当时，， 当时，由有，所以， 所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确； ，故A正确； 由，故B错误； 因为，所以是等比数列，故D正确.故选：ACD. 题型06 等比数列的最值问题 【典例6】(2025重庆)(多选)等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，且满足条件，，(，则下列选项正确的是(    ) A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB【解】，或， 因为，，同号，且，， 即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，且易知，故，A正确， 对于B，易知，故，，B正确， 对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，，故D错误，故选:AB 【变式6-1】已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为( ) A．6 B． C． D．9 【答案】B【分析】根据等比数列的性质得到，之间的关系，利用基本不等式求最小值. 【解】设数列的公比为，若，则由题意知，，成等比数列， 则，又，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 即，时等号成立，则的最小值为. 当时，由，可得，所以， 故的最小值为.故选：B. 【变式6-2】(2025广东)设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】C【解】因为等比数列满足， 又，所以，A错误； ，即,B错误； 当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确； 由题意得，，则,D错误.故选：C 【变式6-3】(2025辽宁)(多选)等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则 A． B． C．是的最大值 D．使的的最大值是4040 【答案】AD【解】根据条件可得，则， ,又 选项A. ，所以 若，则， ；所以 与条件 矛盾；所以，所以选项A正确. 选项B. 由, ，可得等比数列单调递减. 又，可得 ，；所以，所以选项B不正确. 选项C . 由，，可得等比数列单调递减.可得，， 即数列 的前项大于1，当时，；所以是的最大值，所以选项C不正确. 选项D. ，由上可知 ，可得，由此类推可得当时， ， 由，可得， 由此类推可得可得当 时， 所以使的n的最大值是4040，所以选项D正确故选：AD 题型07 等差、等比数列综合 【典例7】已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【分析】(1)根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； (2)①先计算的通项公式，再用错位相减法求解； ②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【解】(1)依题意得，解得， ，即． (2)①，， ， ， 所以 ． ． ②由(1)易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立，令，则， 又， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 【变式7-1】(2024河南郑州二模)数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则( ) A．－36或36 B．－36 C．36 D．18 【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可. 【解】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则， 则，则，故选：C. 【变式7-2】(2024四川成都三模)已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】设的公比为q,求出通项和求和公式，利用等差数列得的q方程即可求解. 【解】设的公比为q,由题知，则，， 故，，则,, 即，解得,(舍去),此时,满足题意，则.故选：D. 【变式7-3】(2024青海西宁二模)已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则 ． 【答案】【分析】设出公比，根据题目条件得到方程，求出公比，得到通项公式，求出的公差，得到，得到答案. 【解】设数列的公比为，则，即， 化简得，解得(负值舍去)， 所以．于是， 所以等差数列的公差为， 所以， .故答案为： 题型08 等比数列的实际应用 【典例8】(多选) (2024吉林模拟预测)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为，中间四天走的路程之积为，则下列说法正确的是( ) A．此人第一天走了全程的一半 B．此人第五天和第六天共走了18里路 C． D． 【答案】BCD【分析】由题意可知，此人每天走的路程构成等比数列，由已知条件求出首项和公比，再利用等比数列定义求出每天的路程，即可对选项做出判断. 【解】设此人第天走了里路，则数列是首项为，公比为的等比数列； 已知六天走的路程总和为，解得； 对于A，此人第一天走了全程的，大于全程的一半，即A错误； 对于B，已知，可得，即B正确； 对于C，中间两天路程之和，则，即C正确； 对于D，中间四天走的路程之积为，可知D正确； 故选：BCD 【变式8-1】在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．(结果取整) 【答案】10【解】由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列， 且公比为，第7个月开始收入成等差数列，公差为2， 则， 又，，，， 而，， 所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月.故答案为：10. 【变式8-2】(2024北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为(  ) A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 【答案】C【分析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式及通项公式求解即可. 【解】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列， 设这个数列为，前项和为，则，解得， 所以，即该人第三天走的路程为48里.故选：C. 【变式8-3】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 …… 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为( ) A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁 【答案】C【解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为岁， 则1966年7月出生的男职工退休年龄为岁， 设7月出生的男职工退休年龄为，则是首项为，公差为的等差数列， 1975年7月出生的男职工退休年龄为. 故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月.故选：C. 一、单选题 1．(2024山东淄博二模)已知等比数列则(　　) A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A【解】根据等比中项，求得，则.又，则.故选：A. 2．(2025河北沧州一模)已知为等比数列的前项和，若，则(   ) A．72 B． C．144 D． 【答案】D【解】依题意，，， ，由为等比数列，得， 即，解得或，由，得， 则，所以.故选：D 3．(2025辽宁大连三模)已知正项等比数列的前项和为，若，则( ) A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C【解】因为，则，所以， 因为，所以，所以或舍，所以.故选：C. 4.(2025陕西安康模拟预测)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，该马七天所走的里程为，解得. 故该马第五天行走的里程数为.故选：D. 5.(2025江西赣州二模)设等比数列的前n项和为，若，，则( ) A． B．7 C．63 D．7或63 【答案】B【解】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列， 所以，则， 所以，则或，设等比数列的公比为， 若时，则，而，显然等式不成立； 若时，则，满足题设；所以.故选：B 6．(2024江苏南通二模)若成等比数列，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【解】由题意可得，即， 即，， 解得.故选：B. 7．(2025安徽)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则( ) A． B． C． D． 【答案】C【解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，， 故；设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，.故选：C. 8．(山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷)已知等比数列满足，且，则的最大值为( ) A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当时，，当时，1，当时，，从而求出最大值. 【解】设等比数列的公比为，由，得，即， 又，得，得，所以，所以． 易知当时，，当时，1，当时，． 令，则，， 故．， 从而．故选：D． 二、多选题 9．(2024江西南昌三模)已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】AD【分析】设公比为，由已知条件列方程组求出，再使用等比数列的通项公式及数列求和公式求解即可. 【解】由题意，设等比数列公比为，则，解得或， 由因为数列为单调递减的等比数列， 所以，所以，.故选：AD. 10．(2025届四川省成都市石室成飞中学高三上8月月考T11)已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则( ) A. B. C. D. 若，则当最小时， 【答案】ABD【解】因为，所以， 两式相减得，因为为等比数列，所以公比， 由，得，则，由，令， 则，解得，故A，B项正确，C项错误； 选项D，，则，且，则恒成立， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，且为递增数列， 令，得，由，，可得， 即，故当最小时，，故D项正确．故选：ABD． 11．(2025届河南省部分学校高三7月联考T10)设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 【答案】ACD【解】A选项，，，故或， 当时，由可知， 所以，但，互相矛盾，舍去， 当时，又，所以，故满足要求，A正确； B选项，，B错误； C选项，因为，，故当时，取最大值，C正确； D选项，由于，故当时， ， ， ， 使成立的最大自然数是4046，D正确；故选：ACD 三、填空题 12．(2024·湖北荆州·三模)若实数成等差数列，成等比数列，则= . 【答案】【分析】根据等差数列的公差计算求出，再根据等比中项求出即可. 【解】实数成等差数列，则等差数列的公差为， 成等比数列，则， 由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则.故答案为：. 13．(2024广东茂名模拟预测)在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 . 【答案】165【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前项和公式求出结果即可. 【解】设等差数列的公差为，由题意得，即， 因公差大于零，解得，(舍)，所以，故答案为：165. 14．(2025四川雅安二模)公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 . 【答案】10或4049【分析】设等比数列的公比为，由，可得，利用通项公式化简条件等式，可得即可求解. 【解】设等比数列的公比为，且，由，则，故，又，，，即，，又， ，， 化简整理得，即，解得或，均满足. 四、解答题 15.(2024四川遂宁三模)等比数列中，，． (1)求的通项公式：(2)记为的前n项和，若，求m． 【分析】(1)由条件求出公比，即可求解通项公式； (2)根据(1)的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【解】(1)等比数列中，，． ，解得， 当时，，当时，， 的通项公式为，或． (2)记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，，解得． 16.已知数列满足：，(n≥2)． (1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式． 【解】(1)由题得，， ，， 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. (2)由(1)得，，即， 所以前n项和. 17．(2025新疆喀什三模)记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列；(2)求数列的通项公式； 【解】(1)因为 ，所以当时， ; 当时， ，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，所以数列是首项为，公比为 的等比数列； (2)由(1)得，所以. 18．(2025四川攀枝花三模)已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和；(3)令，求数列的最大项． 【分析】(1)依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； (2)由(1)可得，利用分组求和法计算可得； (3)由(2)可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【解】(1)因为，所以， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列； (2)由(1)可得，所以， 所以 . (3)由(2)可得，则， 所以当时，当时， 即，所以数列的最大项为； 19．(2025河北秦皇岛一模)设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列；(2)求的通项公式以及； (3)设，若，，求m的取值范围． 【分析】(1)根据给定条件，利用等比数列定义求得，再利用前n项和与第n项的关系推理得证；(2)利用(1)的信息即可求出，；(3)求出并求出其最大项，建立不等式求解． 【解】(1)证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，① 则，② ②①得：，即， 可得，又，是等比数列． (2)由(1)知，则． (3)由，且，得，当时，，当时，， ，若，则， 若，则，可得， 因此数列的最大项为， 由，，得， 即，整理得，则，即， 的取值范围是． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 19 页 专题 1.3 等比数列 教学目标 1、理解等比数列概念，能够利用概念判断、证明等比数列；能够解等比中项问题； 2、掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式及变形，理解等比数列的通项公式、前 n项 和公式与指数函数的关系，能熟练进行等比数列的基本量计算； 3、掌握等比数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等比数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等比数列的有关概念；(2)等比数列通项公式及变形；(3)等比数列的前 n项 和公式；(4)等比数列的常用性质． 2、难点：(1)对公比的讨论；(2)等比中项是否能正、负都取；(3)片段和；(4)奇数项和与 偶数项和；(5)等差、等比数列综合问题． 知识点 01 等比数列的有关概念 1、数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等 比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为an＋1 an ＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项，此时，G2＝ab. 第 2 页 共 19 页 注意：� ≠ � 【即学即练】在等比数列 na 中，若�5 = 10, �7 = 52，那么 6a 等于( ) A． 5 B．5 C． 5 D．25 【答案】C【解】根据等比中项，可得�62 = �5�7 = 10 × 5 2 = 25，所以�6 =± 5.故选：C. 知识点 02 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1.(n ∈ N∗) 变形：�� = ����−�(m ∈ N∗,n ∈ N∗) 【即学即练 1】(通项公式)在等比数列{ }na 中， 1 8a  ， 4 64a  ，则 3a 等于( ) A．16 B．16 或-16 C．32 D．32 或-32 【答案】C【解】由 a4=a1q 3 ，得 q3=8，即 q=2，所以a3 = �4 � = 32.故选：C 【即学即练 2】(通项公式变形)在等比数列{ }na 中，�3 = 2, �5 = 4，则�13 =( ) A．32 或-32 B．32 C．64 或-64 D．64 【答案】D【解】由�3 = 2, �5 = 4 得�2 = �5 �3 = 2，所以�13 = �5�13−5 = �5(�2)4 = 4 × 24 = 64.故选：D. 知识点 03 等比数列的前 n项和公式 Sn＝ ��1, � = 1, �1(1−��) 1−� = �1−��� 1−� , � ≠ 1, 【即学即练】若递增的等比数列 na 的前n项和为 nS ，�1 = 1,2�2 − 5�3 + 2�4 = 0，则 6S 等于( ) A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A【解】设等比数列公比为 q，由�1 = 1,2�2 − 5�3 + 2�4 = 0 得 2 − 5q + 2q2 =0， 所以 q = 2，或 q = 1 2 ，因为数列递增且�1 = 1，所以 q = 2，所以�6 = 1−26 1−2 = 63．故选：A． 知识点 04 等比数列的性质 1.角标和：若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a2k； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， 1 �� ，{a2n}，{an·bn}， �� �� 仍然是等比数列； 3.子数列等比：等比数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk； 4.片段和：q ≠−1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比，公比为 qn， (q =− 1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定成等比数列)． 5.��+� = �� + ���� 6.常用结论 (1)在等比数列{an}中，a1与 q是最基本的两个量，一般可设出 a1和 q，列方程(组)求解即可． (2)等比数列涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，(知三求二)． (3)求和时要分 q＝1和 q≠1两种情况讨论，判断单调性时对 a1与 q分类讨论． (4)若�� = �1�2⋯��，则��, �2� �� , �3� �2� , ⋯成等比数列； 第 3 页 共 19 页 (5)若数列{an}的项数为 2n，则 S 偶 S 奇 = q；若项数为 2n＋1，则 S 奇 −�1 S 偶 = q． 【即学即练 1】(角标和)（2024 广东江门一模）已知 na 是等比数列， 3 5 48a a a ，且 2a ， 6a 是方程 2 34 0x x m   两根，则m （ ） A．8 B． 8 C．64 D． 64 【答案】C【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【解】因为 na 是等比数列，所以 23 5 4a a a ， 22 6 4a a a ，又 3 5 48a a a ，所以 4 8a  ， 又 2a ， 6a 是方程 2 34 0x x m   两根，所以 22 6 4 64m a a a   .故选：C 【即学即练 2】(片段和)记等比数列 na 的前 n项和为S，若 2 44, 20S S  ，则 6S  ( ) A．24 B．28 C．48 D．84 【答案】D【解】由等比数列的性质，可得�2, �4 − �2, �6 − �4成等比数列， 所以(�4 − �2)2 = �2 × (�6 − �4)，即(20 − 4)2 = 4 × (�6 − �4)，解得�6 = 84.故选：D. 【即学即练 3】(子数列等比)记等比数列 na ，若�4 = 1, �13 = 81，则�10 =( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D【解】由等比数列的性质，可得�1 = �4, �2 = �7, �3 = �10, �4 = �13成等比数列， 其公比满足：(�')3 = �4�1 = 27，所以� ' = 3，所以�10 = �1 × (�')2 = 1 × 32 = 9.故选：A. 【即学即练 4】(奇数项和与偶数项和)等比数列 na 共有 2 1n + 项，其中 1 2a  ，偶数项和为 84，奇数项和 为 170，则 n （ ） A．3 B．4 C．7 D．9 【答案】A【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据等比数列中偶数项和与奇数项和关系列式求解，即得结果. 【解】因为等比数列 �� 共有 2n + 1 项，由等比数列性质： S 奇 −�1 S 偶 = q可得 q = 170−2 84 = 2 又�2�+1 = �奇 + S偶 = 170 + 84 = 254，所以 �1(1−�2�+1) 1−� = 254，即2(1−2 2�+1) 1−2 = 254，即22�+2 − 2 = 254， 即22�+2 = 256 = 28，所以：2n + 2 = 8，解得：n = 3，故选：A 知识点 05 判断、证明等比数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法： ��+1 �� = �(�为常数且 q ≠ 0) ⇔数列 �� 是等比数列． (2)等比中项法：��+12 = ����+2(� ∈ �∗, �� ≠ 0) ⇔数列 �� 是等比数列． (3)通项公式法：�� = ���(�� ≠ 0, � ∈ �∗) ⇔数列 �� 是等比数列． (4)前 n项和公式法：�� = �(�� − 1)(� ≠ 0, � ≠ 0, � ≠ 1) ⇔数列 �� 是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等比数列： (1)只需判断存在连续三项不成等比数列即可． 第 4 页 共 19 页 (2)只满足��+1 = ���(� ≠ 0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要�1 ≠ 0. 【即学即练】已知数列 �� 的前�项和为��，若�� + 2 = 2�� � ∈ N∗ ，则有( ) A． �� 为等差数列 B． �� 为等比数列 C． �� 为等差数列 D． �� 为等比数列 【答案】B【分析】AB选项，根据�� = �1, � = 1 �� − ��−1, � ≥ 2 ，求出 �� 为公比为−1的等比数列，A错误，B 正确；CD选项，再求出�1 = 2, �2 = 0, �3 = 2，根据等差数列和等比数列的定义得到 CD错误. 【解】AB选项，当� = 1 得�1 + 2 = 2�1，解得�1 = 2， �� + 2 = 2�� � ∈ N∗ ①，当� ≥ 2时，��−1 + 2 = 2��+1，② 式子①-②得�� − ��−1 = 2��，故�� =− ��−1， 所以 �� 为 2, − 2,2, − 2⋯，是公比为−1的等比数列，A错误，B正确； CD选项，由于�1 = 2, �2 = 0, �3 = 2，故�2 − �1 ≠ �3 − �2，故 �� 不是等差数列， 由于�2 = 0，故 �� 不是等比数列，CD错误.故选：B 题型 01 等比数列的基本量计算 【典例 1】(2025·云南昆明·二模)已知正项等比数列 na ，满足 2 1a  ， 4 4a  ，则 1a  ( ) A．1 4 B．1 2 C．1 D．2 【答案】B【分析】根据给定条件，求出公比，进而求出首项. 【解】设正项等比数列 �� 的公比为 q，则 2 4 2 4aq a   ，而 0q  ，解得 2q = ，所以 21 12 aa q   .故选：B 【变式 1-1】(2025 届四川省自贡一中二模 T3)已知 na 是正项等比数列，若 26a ， 4a ， 3a 成等差数列，则  na 的公比为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D. 3 【答案】C【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【解】设等比数列 na 的公比为 q，由数列 na 为正项数列，则 0q  ， 由 26a ， 4a ， 3a 为等差数列，则 34 22 6 aa a  ，即 3 2 1 1 12 6a q a q a q  ， 所以 22 6q q  ，整理得   2 3 2 0q q   ，解得 2q = 或− 32(舍去)；故选：C. 【变式 1-2】(2025 届烟台市、东营市高三一模 T2)已知等比数列 �� 的前 n项和为��，�2 + �3 = 6, �1�4 = 8， 则�4 =( ) A. −15 B. −5 C. 5 D. 15 【答案】D【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解. 【解】由等比数列 na 性质可知， 2 3 1 4 8a a a a   ，又 2 3 6 a a ，解得 2 3 2 4 a a    或 2 3 4 2 a a    ， 当 2 3 2 4 a a    时， 3 2 2aq a   ，所以 1 1a  ，故 4 4 1 2 15 1 2 S    ， 第 5 页 共 19 页 当 2 3 4 2 a a    时， 3 2 1 2 aq a   ，所以 1 8a  ，故 4 4 18 1 2 1511 2 S             ，综上， 4 15S  ，故选：D 【变式 1-3】(2025 届广东省部分学校高三上开学摸底联考 T3)已知首项为 1的等比数列  na 的前 n项和 为 ��，若 7 416 15S S  ，则 4a  ( ) A. 24 B. 12 C. 20 D. 15 【答案】D【解】设等比数列 �� 的公比为 q，显然 1q  ，否则7 16 4 15   ，此等式不成立， 则 7 31 116 15 1 1 q q q q        ，由 0q  ，整理得 6 316 15 0q q   ，即 3 3( 1)( 15) 0q q   ， 因此 3 15q  ，所以 34 1 15a q   ；故选：D 题型 02 等比数列的角标和性质 【典例 2】在等比数列 �� 中，�7，�13是方程�2 − 9� + 2 = 0 的两根，则 �10 =( ) A． 2 B．− 2 C．± 2 D．3 ± 5 【答案】A【解】由韦达定理得�7 + �13 = 9，�7 ⋅ �13 = 2， 又 �� 为等比数列，所以 �10 2 = �7 ⋅ �13 = 2，所以 �10 =± 2，故选：C. 【变式 2-1】已知等比数列 �� 中，�4 = 1，�8 = 81，则�6 =( ) A．9 B．±9 C．81 D．±81 【答案】A【解】在等比数列{��}中，根据等比数列性质�4 × �8 = �6 × �6，即�62 = �4 × �8. 已知�4 = 1，�8 = 81，那么�62 = 1 × 81 = 81. 由�62 = 81，可得�6 =± 9. 因在等比数列中，偶数项的符号相同，�4 = 1>0，�8 = 81>0，所以�6>0，故�6 = 9.故选：A. 【变式 2-2】各项均为正数的等比数列 �� 中，�5和�6是方程�2 − 10� + 10 = 0的两个根，则 lg�1 + lg�2 + … + lg�10 =( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B【解】由�5和�6是方程�2 − 10� + 10 = 0 的两个根，得�5�6 = 10， 又数列 �� 为各项均为正数的等比数列，则�1�10 = �2�9 = �3�8 = �4�7 = �5�6 = 10， 所以 lg�1 + lg�2 +⋯+ lg�10 = lg�1�2⋯�10 = ��105 = 5.故选：A 【变式 2-3】(2024 四川成都模拟预测)已知数列{ }na 是等比数列，若 2a ， 48a 是 22 7 6 0x x   的两个根，则 1 2 25 48 49a a a a a    的值为( ) A． 35 4 B．9 3 C． 9 3 D． 243 【答案】C【分析】根据一元二次方程韦达定理得出 2 48 2 48 7 6, 3 2 2 a a a a     ，得出 25a ，再利用等比数列的性 质，计算出结果； 【解】若 2a ， 48a 是 22 7 6 0x x   的两个根，则 2 48 2 48 7 6, 3 2 2 a a a a     ， 因为数列{ }na 是等比数列， 22 48 25 253, 3a a a a      ， 51 2 25 48 49 25 9 3a a a a a a       .故选：C. 第 6 页 共 19 页 题型 03 等比数列的片段和性质 【典例 3】已知正项等比数列 �� 的前�项和为��，且�� = 4, �4� = 160，则�3� = . 【答案】52【解】因为 �� 为正项等比数列，所以��, �2� − ��, �3� − �2�, �4� − �3�, ⋯也成等比数列， 则 �2� − �� 2 = �� �3� − �2� , �3� − �2� 2 = �2� − �� �4� − �3� ， 即 �2� − 4 2 = 4 �3� − �2� �3� − �2� 2 = �2� − 4 (160 − �3�) ，两式相除得 �2�−4 160−�3� = 4 �3�−�2� ， 所以�3��2� − �2�2 + 4�2� = 640，所以�2� �2� − 4 2 + 16�2� = 2560， 所以�2�3 − 8�2�2 + 32�2� − 2560 = 0，所以 �2� − 16 �2� 2 + 8�2� + 160 = 0， 所以 �2� − 16 �2�2 + 8�2� + 160 = 0，解得 �2� = 16 �3� = 52 ，所以�3� = 52.故答案为：52 【变式 3-1】已知正项等比数列 �� 的前 n项和为��，若�5 = 4，�15 = 28，则�10 =( ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A【解】由题意及等比数列前 n项和的性质，得�5，�10 − �5，�15 − �10成等比数列， 则 �10−�5 �5 = �15−�10 �10−�5 ，即 �10−4 4 = 28−�10 �10−4 ，解得�10 = 12或�10 =− 8(舍).故选：A 【变式 3-2】记等比数列 �� 的前�项和为��，若 �4 �8 = 1 7，则 �12 �8 =( ) A．7 B．49 C．43 7 D．43 【答案】C【解】设�4 = � � ≠ 0 ，则�8 = 7�， 因为 �8 − �4 2 = �4 �12 − �8 ，所以(6�)2 = � �12 − 7� ，解得�12 = 43�，所以 �12 �8 = 43 7 .故选：C 【变式 3-3】(2023浙江一模)已知��是等比数列 �� 的前�项和，且�2 = 3，�6 = 5�4 − 12，则�4 =( ) A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C【分析】由��是等比数列 �� 的前�项和得�2, �4 − �2, �6 − �4成等比数列，结合�6 = 5�4 − 12， 列方程求解即可． 【解】因为 �� 是等比数列，��是等比数列 �� 的前�项和，所以�2, �4 − �2, �6 − �4成等比数列， 且�4 − �2 ≠ 0, �6 − �4 ≠ 0，所以(�4 − �2)2 = �2 ⋅ (�6 − �4)， 又因为�6 = 5�4 − 12，�2 = 3，所以(�4 − 3)2 = 3(5�4 − 12 − �4)，即(�4 − 3)(�4 − 15) = 0， 解得�4 = 3 或�4 = 15，因为�4 − �2 ≠ 0，所以�4 = 15，故选：C． 题型 04 奇数项和与偶数项和 【典例 4】已知一个项数为偶数的等比数列 �� 所有项之和为所有奇数项之和的 3 倍，前 2 项之积为 8，则 �1 =( ) A．2 B．-2 C．-1 D．2 或-2 【答案】D【解】设首项为�1，公比为�，数列共有 2�项，则 �2�−1 满足首项为�1，公比为�2，项数为�项， 设所有奇数项之和为��，因为所有项之和是奇数项之和的 3 倍，所以� ≠ 1， 所以�� = �1 + �3 +⋯�2�−1 = �1 1− �2 � 1−�2 ，�2� = �1 1−�2� 1−� ，故满足 �2� �� = �1 1−�2� 1−� �1 1− � 2 � 1−�2 = 3，解得� = 2， 第 7 页 共 19 页 又�1 ⋅ �2 = �12 ⋅ � = 8，所以�1 =± 2.故选：D 【变式 4-1】若等比数列 �� 共有 2�项，其公比为 2，其奇数项和比偶数项和少 100，则数列 �� 的所有项 之和为 ． 【答案】300【解】设等比数列{��}的奇数项之和为�1，偶数项之和为�2， 则�1 = �1 + �3 + �5 +⋯ + �2�−1， �2 = �2 + �4 + �6 +⋯+ �2� = � �1 + �3 + �5 +⋯+ �2�−1 = 2�1， 由题意可得：�1 + 100 = �2，即�1 + 100 = 2�1，解得�1 = 100, �2 = 200， 故数列{��}的所有项之和是 100 + 200 = 300.故答案为：300. 【变式 4-2】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为 1012，偶数项之和为 2024，则这个数列的 公比为( ) A．8 B．−2 C．4 D．2 【答案】D【解】由题意可知：�偶 = 2024, �奇 = 1012，所以� = � 偶 � 奇 = 2．故选：D. 【变式 4-3】若等比数列 �� 共有奇数项，其首项为 1，其偶数项和为 170，奇数项和为 341，则这个数列的 公比为 ，项数为 ． 【答案】2；9【解】在等比数列 �� 中，由�奇 = �1 + ��偶，得 341 = 1 + 170�，解得� = 2， 设这个数列共有 2� + 1 项，则�2�+1 = 1−22�+1 1−2 = 341 + 170 = 511，解得� = 4， 所以这个等比数列的项数为 9.故答案为：2；9 题型 05 判断、证明等比数列 【典例 5】(1)已知��为数列 �� 的前 n项和，�� = 2�� − 4� + 2．证明：数列 �� + 4 为等比数列； (2)已知数列 �� 的首项�1 = 1，且满足��+1 = 2�� + � − 1，等比数列 �� 的首项�1 = 1 2 ，且满足�2� = ��2. 求证：数列 �� + � 是等比数列，并求数列 �� 的通项公式； 【分析】(1)取� = 1计算�1 = 2，�� = �� − ��−1 = 2�� − 2��−1 − 4得到 ��+4 ��−1+4 = 2，得到证明. (2)利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可. 【解】(1)�1 = �1 = 2�1 − 4 × 1 + 2，�1 = 2，�1 + 4 = 6． 由�� = 2�� − 4� + 2，得��−1 = 2��−1 − 4 � − 1 + 2, � ≥ 2， �� = �� − ��−1 = 2�� − 4� + 2 − 2��−1 − 4 −1 + 2 = 2�� − 2��−1 − 4, � ≥ 2， 所以�� = 2��−1 + 4, � ≥ 2，故 ��+4 ��−1+4 = 2��−1+4+4 ��−1+4 = 2, � ≥ 2， 所以数列 �� + 4 是以 6为首项，2为公比的等比数列． (2)因为��+1 + � + 1 = 2�� + � − 1 + � + 1 = 2�� + 2� = 2 �� + � ， 又因为�1 + 1 = 2 ≠ 0，所以 �� + � 是以 2为首项，2为公比的等比数列， 所以�� + � = 2�，所以�� = 2� − � 【变式 5-1】(多选) (2023辽宁三模)已知数列 �� 的前 n项和是��，则下列说法正确的是( ) A．若�� = ��，则 �� 是等差数列 第 8 页 共 19 页 B．若�1 = 2，��+1 = 2�� + 3，则 �� + 3 是等比数列 C．若 �� 是等差数列，则��，�2� − ��，�3� − �2�成等差数列 D．若 �� 是等比数列，则��，�2� − ��，�3� − �2�成等比数列 【答案】ABC【分析】求出通项公式判断 AB；利用数列前 n项和的意义、结合等差数列推理判断 C；举例 说明判断 D作答. 【解】对于 A，�� = ��，� ≥ 2时，�� = �� − ��−1 = �� − ��−1，解得��−1 = 0， 因此� ∈ N∗，�� = 0， �� 是等差数列，A正确； 对于 B，�1 = 2，��+1 = 2�� + 3，则��+1 + 3 = 2(�� + 3)，而�1 + 3 = 5， �� + 3 是等比数列，B正确； 对于 C，设等差数列 �� 的公差为�，首项是�1, �� = �1 + �2 +⋯+ ��， �2� − �� = ��+1 + ��+2 +⋯+ �2� = (�1 + ��)+(�2 + ��) + ⋯ + (�� + ��) = �� + �2�， �3� − �2� = �2�+1 + �2�+2 +⋯+ �3� = (��+1 + ��) + (��+2 + ��) + ⋯+ (�2� + ��) = (�2� − ��) + �2�， 因此 2(�2� − ��) = �� + (�3� − �2�)，则 ��，�2� − ��, �3� − �2�成等差数列，C正确； 对于 D，若 �� 的公比� =− 1，则 �2 = 0, �4 − �2 = 0, �6 − �4 = 0 不成等比数列，D错误.故选：ABC 【变式 5-2】数列 �� 满足�1 ∈ Z, ��+1 + �� = 2� + 3，且其前�项和为��.若�17 = ��，则正整数� =( ) A．99 B．103 C．137 D．169 【答案】D【解】由��+1 + �� = 2� + 3 得��+1 − � + 1 − 1 =− �� − � − 1 ， ∴ �� − � − 1 为等比数列，∴ �� − � − 1 = −1 �−1 �1 − 2 ， ∴ �� = −1 �−1 �1 − 2 + � + 1, �� = −1 �−1 �1 − 2 +� + 1， ∴ �17 = �1 + �2 + �3 +⋯+ �16 + �17 = �1 + 2 × 2 + 4 + ⋯ + 16 + 3 × 8 = �1 + 168， ①�为奇数时，�1 − 2 + � + 1 = �1 + 168 ⇒ � = 169; ②�为偶数时，− �1 − 2 +� + 1 = �1 + 168 ⇒ � = 2�1 + 165， ∵ �1 ∈ Z,� = 2�1 + 165只能为奇数，∴ �为偶数时，无解，综上所述，� = 169.故选:D. 【变式 5-3】(多选)若��为数列 �� 的前�项和，且�� = 2�� + 1 � ∈ �* ，则下列说法中正确的是( ) A．�3 =− 4 B．�5 =− 64 C． �� 是等比数列 D． �� − 1 是等比数列 【答案】ACD【解】当� = 1 时，�1 = 2�1 + 1 = �1 ⇒ �1 =− 1， 当� ≥ 2时，由�� = 2�� + 1有��−1 = 2��−1 + 1，所以�� = �� − ��−1 = 2�� − 2��−1 ⇒ �� = 2��−1， 所以数列 �� 时以−1为首项，2 公比的等比数列，故 C 正确； �3 = �1�2 =− 1 × 22 =− 4，故 A 正确； 由�� = �1 1−�� 1−� = −1 1−2 � 1−2 = 1 − 2� ⇒ �5 = 1 − 25 =− 31，故 B 错误； 因为�� − 1 =− 2�，所以 �� − 1 是等比数列，故 D 正确.故选：ACD. 题型 06 等比数列的最值问题 【典例 6】(2025 重庆)(多选)等比数列 na 的公比为 q，前 n项和为��，前 n项积为��，且满足条件�1 > 1， �2022�2023 > 1，(�2022 − 1)(�2023 − 1) < 0，则下列选项正确的是( ) A．0 1q  B． 2022 2023 1S S  C． 2023T 是数列 nT 中的最大项 D． 4043 1T  第 9 页 共 19 页 【答案】AB【解】    2022 20231 1 0a a   ， 2022 20231 0 1 0a a    ， 或 2022 20231 0 1 0a a   ， ， 因为�1 > 1， 2022 2023 1a a  ， 2022 2023,a a 同号，且 2022 1a  ， 2023 1a  ， 即数列前 2022项大于1，从第 2023项开始小于 1， 对于 A， 2023 2022 1aq a   ，且易知 0q  ，故0 1q  ，A 正确， 对于 B，易知 2023 1a  ，故 2023 2022 1S S  ， 2022 2023 1S S  ，B 正确， 对于 C，由题意知 na 是递减数列，且 2022 1a  ， 2023 1a  ，故 2022T 是数列 nT 中的最大项，故 C 错误， 对于 D，  40434043 4043 20214043 1 4043 1 2022 1T a a a q a      ，故 D错误，故选:AB 【变式 6-1】已知正项等比数列 �� 的前 n项和为��，若�4 = 3，则�2 + �6的最小值为( ) A．6 B．6 2 − 3 C．6 2 D．9 【答案】B【分析】根据等比数列的性质得到�2，�6之间的关系，利用基本不等式求最小值. 【解】设数列 �� 的公比为�，若� ≠ 1，则由题意知�2，�4 − �2，�6 − �4成等比数列， 则 �4 − �2 2 = �2 �6 − �4 ，又�4 = 3，所以�6 = 9 �2 + �2 − 3， 所以�2 + �6 = 9 �2 + 2�2 − 3 ≥ 6 2 − 3，当且仅当 9 �2 = 2�2，即�2 = 3 2 2 时取等号， 即� = 2 − 1，�1 = 3 1− 2−1 2+1 2 时等号成立，则�2 + �6的最小值为 6 2 − 3. 当� = 1 时，由�4 = 3，可得 4�1 = 3，所以�2 + �6 = 2�1 + 6�1 = 6， 故�2 + �6的最小值为 6 2 − 3.故选：B. 【变式 6-2】(2025 广东)设等比数列 na 的公比为 q，其前 n项和为 nS ，前 n项之积为 nT ，且满足 1 1a  ，    2020 2021 2020 20210, 1 1 0a a a a     ，则下列结论中正确的是( ) A． 1q  B． 1 4041 1 0a a   C． 2020T 是数列 nT 中的最大值 D． 2020 2021S S 【答案】C【解】因为等比数列 na 满足 1 2020 2021 2020 20201, 0a a a a a q     ， 0q  又   2020 20211 1 0a a   ，所以 2020 20211, 1 0,0 1a a q     ，A 错误； 2 1 4041 20211 1 0a a a     ，即 1 4041 1 0a a   ,B 错误； 当 2020n  时， 1na  ，当 2021n  时， 1na  ，即 2020T 是数列 nT 中的最大值，C 正确； 由题意得， 0,0 1na q   ，则 2020 2021S S ,D 错误.故选：C 【变式 6-3】(2025 辽宁)(多选)等比数列 na 的公比为 q，前 n项积 1 2 n na a a T ，若 1 1a  ， 2020 2021 1a a  ，   2020 20211 1 0a a   ，则 A．0 1q  B． 2020 2022 1a a  C． 2021T 是 nT 的最大值 D．使 1nT  的 n的最大值是 4040 【答案】AD【解】根据条件可得 11 n na a q  ，则 20192020 1a a q ， 2020 2021 1a a q ,又 1 1a  选项 A. 2020 202 2 4039 11 1a a qa   ，所以 0q  若 1q  ，则 20192020 1 1a a q  ， 2020 2021 1 1a a q  ；所以   2020 20211 1 0a a   第 10 页 共 19 页 与条件   2020 20211 1 0a a   矛盾；所以 0 1q  ，所以选项 A 正确. 选项 B. 由 1 1a  , 0 1q  ，可得等比数列 na 单调递减. 又   2020 20211 1 0a a   ，可得 2020 1a  ， 2021 1a  ；所以 2020 2022 2021 2 1a a a  ，所以选项 B 不正确. 选项 C . 由 1 1a  ，0 1q  ，可得等比数列 na 单调递减.可得 2020 1a  ， 2021 1a  ， 即数列  na 的前 2020项大于 1，当 2020n  时，0 1na  ；所以 2020T 是 nT 的最大值，所以选项 C 不正确. 选项 D.    2020 20204040 1 2 4040 1 4040 2020 2021 1T a a a a a a a    4040 4039 4040 1T T a   ，由上可知 40400 1a  ，可得 4039 1T  ，由此类推可得当 4040n  时， 1nT  4041 4041 1 2 4041 2021 1T a a a a   ， 由 40420 1a  ，可得 4042 4041 4042 1T aT   ， 由此类推可得可得当 4041n  时， 1nT  所以使�� > 1的 n 的最大值是 4040，所以选项 D正确故选：AD 题型 07 等差、等比数列综合 【典例 7】已知等差数列 �� 的前�项和为��，公差� ≠ 0，且�3 + �5 = 50，�1，�4，�13成等比数列． (1)求数列 �� 的通项公式；(2)设 �� �� 是首项为 1，公比为 3的等比数列， ①求数列 �� 的前�项和��；②若不等式��� − �� + 2�2 ≤ 0对一切� ∈ N∗恒成立，求实数�的最大值． 【分析】(1)根据等差数列通项公式与前 n项和公式，结合等比中项进行求解； (2)①先计算 �� 的通项公式，再用错位相减法求解��； ②代入��, ��，得到� ≤ 2−� 3� 对一切� ∈ N∗恒成立，构造函数� � = 2−� 3� ，再求� � 的最小值，即可求得结果. 【解】(1)依题意得 3�1 + 3×2 2 � + 5�1 + 4×5 2 � = 50 �1 + 3� 2 = �1 �1 + 12� ，解得 �1 = 3 � = 2 ， ∴ �� = �1 + (� − 1)� = 3 + 2(� − 1) = 2� + 1，即�� = 2� + 1． (2)①�� �� = 3�−1，�� = �� ⋅ 3�−1 = (2� + 1) ⋅ 3�−1， �� = 3 + 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 32 +⋯ + (2� + 1) ⋅ 3�−1， 3�� = 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 32 + 7 ⋅ 33 +⋯+ (2� − 1) ⋅ 3�−1 + (2� + 1) ⋅ 3�， 所以−2�� = 3 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 +⋯+ 2 ⋅ 3�−1 − (2� + 1)3� = 3 + 2 ⋅ 3 1−3�−1 1−3 − (2� + 1)3� =− 2� ⋅ 3�． ∴ �� = � ⋅ 3�． ②由(1)易求得�� = �(� + 2)，所以不等式��� − �� + 2�2 ≤ 0对一切� ∈ N∗恒成立， 即转化为� ≤ 2−� 3� 对一切� ∈ N∗恒成立，令� � = 2−� 3� � ∈ N∗ ，则� � min ≥ �， 又� � + 1 − � � = 1−� 3�+1 − 2−� 3� = 2�−5 3�+1 ， 当 1 ≤ � ≤ 2时，� � + 1 − � � < 0；� ≥ 3时，� � + 1 − � � > 0， 所以�(1) > �(2) > �(3)，且�(3) < �(4) < ⋯，则� ≤ � � min = � 3 =− 1 27 ． 所以实数�的最大值为− 1 27 ． 第 11 页 共 19 页 【变式 7-1】(2024河南郑州二模)数列 �� 为等比数列，且�1 = 1，�9 = 16，设等差数列 �� 的前 n项和为 ��，若�5 = �5，则�9 =( ) A．－36或 36 B．－36 C．36 D．18 【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式求得�4 = 4，继而求得�5 = �5的值，利用等差数列前�项和公 式进行计算即可. 【解】数列 �� 为等比数列，设公比为 q，且�1 = 1，�9 = 16，则 �9 �1 = �8 = 16，则�4 = 4， 则�5 = �5 = �1�4 = 4，则�9 = �1+�9 ×9 2 = 9�5 = 36，故选：C. 【变式 7-2】(2024四川成都三模)已知公比不为 1的等比数列 �� 的前�项和为��，若数列 �� + �� 是首项 为 1的等差数列，则�3 =( ) A．1 2 B．2 3 C．1 4 D．1 8 【答案】D【分析】设 �� 的公比为 q,求出通项和求和公式，利用等差数列得的 q方程即可求解. 【解】设 �� 的公比为 q,由题知�1 + �1 = 1 ∴ �1 = 1 2 ，则�� = ��−1 2 ，�� = 1 2 1−� � 1−� ， 故�2 + �2 = 1+2� 2 ，�3 + �3 = 2�2+�+1 2 ，则�3 + �3 = 2�2+�+1 2 ,�3 + �3 + �1 + �1 = 2 �2 + �2 , 即 1 + 2� 2+�+1 2 = 1 + 2�，解得� = 1 2 ,(� = 1 舍去),此时�� + �� = 1,满足题意，则�3 = 1 8 .故选：D. 【变式 7-3】(2024青海西宁二模)已知各项都是正数的等比数列 �� 的前 3项和为 21，且�3 = 12，数列 �� 中，�1 = 1, �3 = 0，若 �� + �� 是等差数列，则�1 + �2 + �3 + �4 + �5 = ． 【答案】−33【分析】设出公比�(� > 0)，根据题目条件得到方程，求出公比，得到通项公式，求出 �� + �� 的公差，得到�� + �� = 4�, �� = 4� − 3 × 2�−1，得到答案. 【解】设数列 �� 的公比为�(� > 0)，则 �3 �2 + �3 � + �3 = 21，即 12 1 �2 + 1 � + 1 = 21， 化简得 3�2 − 4� − 4 = 0，解得� = 2(负值舍去)， 所以�� = �3 ⋅ ��−3 = 12 × 2�−3 = 3 × 2�−1．于是�1 = 3, �1 + �1 = 4, �3 + �3 = 12， 所以等差数列 �� + �� 的公差为 �3+�3 − �1+�1 3−1 = 4， 所以�� + �� = 4 + 4 � − 1 = 4�, �� = 4� − �� = 4� − 3 × 2�−1， �1 + �2 + �3 + �4 + �5 = 4 × 1 + 2 + 3 + 4 + 5 − 3 × 1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 60 − 3 × 25 − 1 =− 33. 故答案为：−33 题型 08 等比数列的实际应用 【典例 8】(多选) (2024吉林模拟预测)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不 为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走 378里路，第一天健步行走，从第 二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为�， 中间四天走的路程之积为�，则下列说法正确的是( ) A．此人第一天走了全程的一半 B．此人第五天和第六天共走了 18里路 C．5� < 378 D．� = 11522 第 12 页 共 19 页 【答案】BCD【分析】由题意可知，此人每天走的路程构成等比数列，由已知条件求出首项和公比，再利 用等比数列定义求出每天的路程，即可对选项做出判断. 【解】设此人第�天走了��里路，则数列 �� 是首项为�1，公比为� = 1 2 的等比数列； 已知六天走的路程总和为�6 = �1 1−�6 1−� = �1 1− 1 2 6 1−12 = 378，解得�1 = 192； 对于 A，此人第一天走了全程的192 378 = 96 189 ，大于全程的一半，即 A错误； 对于 B，已知�5 = 192 × 1 2 4 = 12, �6 = 192 × 1 2 5 = 6，可得�5 + �6 = 18，即 B正确； 对于 C，中间两天路程之和� = �3 + �4 = 192 × 1 2 2 + 192 × 1 2 3 = 72，则 5� = 360 < 378，即 C正确； 对于 D，中间四天走的路程之积为� = �2�3�4�5 = 96 × 48 × 24 × 12 = 48 × 24 2 = 11522，可知 D正确； 故选：BCD 【变式 8-1】在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔 400 万元的无息贷款用做设备更新．据预测， 该企业设备更新后，第 1 个月收入为 20 万元，在接下来的 5 个月中，每月收入都比上个月增长 20%，从第 7 个月开始，每个月的收入都比前一个月增加 2 万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还 400 万无息贷款只需 个月．(结果取整) 【答案】10【解】由题意设每个月的收入为数列 �� ，其前 n项和记作��，前 6 个月的收入成等比数列， 且公比为 6 5 ，第 7 个月开始收入成等差数列，公差为 2， 则�6 = 20× 1− 65 6 1−65 = 100 × 6 5 6 − 100 ≈ 198.6， 又�7 = �6 + 2 = 20 × 6 5 5 + 2 ≈ 51.77，�8 = 53.77，�9 = 55.77，�10 = 57.77， 而�9 ≈ 198.6 + 51.77 + 53.77 + 55.77 = 359.91，�10 = �9 + �10 = 417.68 > 400， 所以该企业用所得收入偿还 400 万元贷款只需 10 个月.故答案为：10. 【变式 8-2】(2024北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关， 初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一 个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目 的地．”则该人第三天走的路程为( ) A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 【答案】C【分析】由题意可得，此人 6天中每天走的路程是公比为1 2 的等比数列，再根据等比数列的前� 项和公式及通项公式求解即可. 【解】由题意可得，此人 6天中每天走的路程是公比为1 2 的等比数列， 设这个数列为 �� ，前�项和为��，则�6 = �1 1− 1 26 1−12 = 63 32 �1 = 378，解得�1 = 192， 所以�3 = 192 × 1 22 = 48，即该人第三天走的路程为 48里.故选：C. 【变式 8-3】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延 第 13 页 共 19 页 迟法定退休年龄每 4 个月延迟 1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果 男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1 月—4 月 1965年 5 月—8 月 1965 年 9 月—12 月 1966 年 1 月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1 个月 60 岁+2 个月 60 岁+3 个月 60 岁+4 个月 …… 那么 1975 年 7 月出生的男职工法定退休年龄为( ) A．62 岁 3 个月 B．62 岁 5 个月 C．62 岁 8 个月 D．63 岁 【答案】C【解】设 1965 年 7 月出生的男职工退休年龄为�1 = 60 1 6 岁， 则 1966 年 7 月出生的男职工退休年龄为�2 = 60 1 6 + 1 4 岁， 设 7 月出生的男职工退休年龄为 �� ，则 �� 是首项为 60 1 6 ，公差为 1 4 的等差数列， 1975 年 7 月出生的男职工退休年龄为�11 = 60 1 6 + 11 − 1 × 1 4 = 62 2 3 . 故 1975 年 7 月出生的男职工退休年龄为 62 岁 8 个月.故选：C. 一、单选题 1．(2024 山东淄博二模)已知等比数列  2 104 16,na a a, ＝ , ＝ 则 6a  ( ) A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A【解】根据等比中项 26 2 10a a a ，求得 2 6 64a  ，则 6 8a   .又 4 6 2 0a a q  ，则 6 8a  .故选：A. 2．(2025 河北沧州一模)已知 nS 为等比数列{ }na 的前 n项和，若 2 23 2 nnS     ，则 3a  ( ) A．72 B． 72 C．144 D． 144 【答案】D【解】依题意， 1 1 3a S    ， 2 2 1 (3 4 ) (3 ) 3a S S           ， 3 3 2 (3a S S   16 ) (3 4 ) 12      ，由{ }na 为等比数列，得 22 1 3a a a ， 即 2( 3 ) (3 )( 12 )      ，解得 12  或 0  ，由 2 3 0a    ，得 0  ， 则 12  ，所以 3 144a   .故选：D 3．(2025 辽宁大连三模)已知正项等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 4 3 2 22 6, 1S S S a    ，则 5a  ( ) A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C【解】因为 4 3 2 22 6, 1S S S a    ，则 4 3 3 2 6S S S S    ，所以 4 3 6a a  ， 因为 2 1a  ，所以 2 6, 0q q q   ，所以 3q  或 2q   舍，所以 35 1 3 27a    .故选：C. 4.(2025 陕西安康模拟预测)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾， 七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走 了700里路，则该马第五天走的里程数约为( ) A． 2.76 B．5.51 C．11.02 D． 22.05 【答案】D【解】设该马第  n n N 天行走的里程数为 na ， 第 14 页 共 19 页 由题意可知，数列 na 是公比为 1 2 q  的等比数列， 所以，该马七天所走的里程为 1 7 1 11 1272 7001 641 2 a a         ，解得 7 1 2 350 127 a  . 故该马第五天行走的里程数为 7 5 1 4 4 1 2 350 1 2800 22.05 2 127 2 127 a a       .故选：D. 5.(2025 江西赣州二模)设等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 20 21S  ， 30 49S  ，则 10S  ( ) A． 7 B．7 C．63 D．7 或 63 【答案】B【解】由等比数列片段和的性质知， 10S 、 120 0S S 、 30 20S S 成等比数列， 所以 2 20 10 10 30 20( ) ( )S S S S S   ，则 2 10 10(21 ) (49 21)S S   ， 所以 2 10 10 10 1070 441 ( 7)( 63) 0S S S S      ，则 10 7S  或 10 63S  ，设等比数列 na 的公比为 q， 若 10 63S  时，则 10 1020 10 10 42 63S S S q q      ，而 10 0q  ，显然等式不成立； 若 10 7S  时，则 10 10 10 20 10 10 14 7 2 0S S S q q q        ，满足题设；所以 10 7S  .故选：B 6．(2024 江苏南通二模)若 π πcos ,cos ,cos 6 3               成等比数列，则 sin2  ( ) A． 3 4 B．− 3 6 C．1 3 D．− 1 4 【答案】B【解】由题意可得 2 π πcos cos cos 6 3                ，即 1 π 1 31 cos 2 cos cos sin 2 3 2 2                     ， 即 1 π 1 1 cos 2 31 cos 2 sin 2 2 3 2 2 4               ， 1 1 3 1 1 3cos2 sin 2 cos2 sin 2 2 4 4 4 4 4         ， 解得 6 sin 2 3   .故选：B. 7．(2025 安徽)已知一个项数为偶数的等比数列 na ，所有项之和为所有偶数项之和的 4倍，前3项之积为64， 则 1a  ( ) A．1 B． 4 C．12 D．36 【答案】C【解】由题意可得所有项之和 S S奇 偶是所有偶数项之和 S偶的 4倍，所以， 4S S S 奇 偶 偶 ， 故 1 3 S S 奇偶 ；设等比数列 na 的公比为 q，设该等比数列共有  2k k N  项， 则  2 4 2 1 3 2 1 1 3k k S a a a q a a a qS S           奇 奇偶 ，所以， 1 3 q  ， 因为 3 2 1 2 3 64a a a a  ，可得 2 4a  ，因此， 2 1 12 aa q   .故选：C. 8．(山东省济南市山东省实验中学 2024 届高三高考定心卷)已知等比数列 na 满足 1 5 24a a a  ，且 7 12a  ， 则 2 1 2 2 2log log log na a a   的最大值为( ) A．12 B．13 C．14 D．15 第 15 页 共 19 页 【答案】D【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当1 5n  时， 1na  ， 当 6n  时， na  1，当 7n  时，0 1na  ，从而求出最大值. 【解】设等比数列 na 的公比为 q，由 1 5a a  24a ，得 41 1 14a a q a q  ，即 31 4a q  ， 又 6 7 1 1 2 a a q  ，得 3q  1 8 ，得 1 2 q  ，所以 1 3 4 32a q   ，所以 11 32 n na a q    1 61 2 2 n n        ． 易知当1 5n  时， 1na  ，当 6n  时， na  1，当 7n  时，0 1na  ． 令 1 2 3n nT a a a a     ，则 1T  2 5 6T T T   ， 6 7T T ， 故   5 4 3 2 156 5 1 2 3 4 5max 2 2 2 2 2 2nT T T a a a a a            ．， 从而 2 1 2 2 2log log log na a a        152 1 2 2 1 2 3 4 5 2log log log 2 15na a a a a a a a          ．故选：D． 二、多选题 9．(2024 江西南昌三模)已知 na 是单调递减的等比数列，若 2 2a  ，前 3 项和 3 7S  ，则下列说法中正确的 是( ) A． 1 4a  B． 3q  C． 12nna  D． 38 2 nnS   【答案】AD【分析】设公比为q，由已知条件列方程组求出�1, �，再使用等比数列的通项公式及数列求和公 式求解即可. 【解】由题意，设等比数列公比为q，则 2 1 3 21 3 1 2 (1 ) (1 ) 7 1 a a q a qS a q q q           ，解得 1 2 1 q a    或 1 1 2 4 q a      ， 由因为数列{ }na 为单调递减的等比数列， 所以 1 1 2 4 q a      ，所以 1 1 1 14 ( ) 2 n n na a q     ， 31 14(1 )(1 ) 2 8 211 1 2 n n n n a qS q         .故选：AD. 10．(2025 届四川省成都市石室成飞中学高三上 8 月月考 T11)已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，公比为 q，且满足 4 27a  ， 1 2n na S c   ，则( ) A. 3q  B. 1c  C. 1 3a  D. 若�� = �� 2023，则当�1�2⋯��最小时， 7n  【答案】ABD【解】因为 1 2n na S c   ，所以  12 2n na S c n   ， 两式相减得  1 3 2, Nn na a n n     ，因为 na 为等比数列，所以公比 3q  ， 由 4 27a  ，得 1 1a  ，则 13nna  ，由 1 2n na S c   ，令 1n  ， 则 2 1 12 2 2 3a S c a c c       ，解得 1c  ，故 A，B项正确，C项错误； 选项 D，�� = �� 2023 = 3 �−1 2023 ，则 ��+1 �� = 3 > 1，且�1 = 1 2023 ，则 1 0n nb b   恒成立， 则数列 nb 是以 12023为首项，3为公比的等比数列，且为递增数列， 令�� = 3�−1 2023 < 1，得3 6069n  ，由 73 2187 6069  ， 83 6561 6069  ，可得 7n  ， 第 16 页 共 19 页 即 1 2 7 81b b b b      ，故当�1�2⋯��最小时， 7n  ，故 D项正确．故选：ABD． 11．(2025 届河南省部分学校高三 7 月联考 T10)设等比数列 na 前 n项积为 nT ，公比为 q．若 1 1a  ， 2023 2024 1a a  ， �2023−1 �2024−1 < 0，则下列结论正确的是( ) A. 0 1q  B. 2023 2025 1 0a a   C. 当 2023n  时， nT 取最大值 D. 使 1nT  成立的最大自然数 n是 4046 【答案】ACD【解】A选项， 1 1a  ， �2023−1 �2024−1 < 0，故 2023 20241, 1a a  或 2023 20241, 1a a  ， 当 2023 20241, 1a a  时，由 2023 2024 1a a  可知 2024 20231,0 1a a   ， 所以 q = �2024 �2023 ∈ (1, + ∞)，但�2022 = �2023 �1 ∈ (0,1)，互相矛盾，舍去， 当 2023 20241, 1a a  时，又 2023 2024 1a a  ，所以 2023 20241,0 1a a   ，故 q = �2024 �2023 ∈ (0,1)满足要求，A正确； B选项， 22023 2025 20241 1 0a a a    ，B错误； C选项，因为 2023 20241,0 1a a   ，0 1q  ，故当 2023n  时， nT 取最大值，C正确； D选项，由于 1 2 2023 1a a a    ，故当1 4045n  时， 1 < T1 < T2 < ⋯ < T2023 > T2024 > ⋯ > T4045 = �1�2⋯�4044�4045 = (�2023)4045 > 1，    2023 20234046 1 2 4045 4046 1 4046 2023 2024 1T a a a a a a a a    ，    2023 40474047 1 2 4046 4047 1 4047 2024 2024 1T a a a a a a a a    ， 使 1nT  成立的最大自然数 n是 4046，D正确；故选：ACD 三、填空题 12．(2024·湖北荆州·三模)若实数0, , ,6x y 成等差数列， 1 1, , , , 2 8 a b c  成等比数列，则 y x b  = . 【答案】 8 【分析】根据等差数列的公差计算求出 y x ，再根据等比中项求出b即可. 【解】实数0, , ,6x y 成等差数列，则等差数列的公差为 6 0 23y x     ， 1 1, , , , 2 8 a b c  成等比数列，则 2 1 1 1 2 8 16 b                ， 由于等比数列奇数项同号，所以 0b  ，所以 1 4 b   ，则 8 y x b    .故答案为： 8 . 13．(2024 广东茂名模拟预测)在公差为正数的等差数列 na 中，若 1 3a  ， 3a ， 6a ， 832 a 成等比数列，则数 列 na 的前 10 项和为 . 【答案】165【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出结果即可. 【解】设等差数列的公差为d ，由题意得 2 6 3 8 3 2 a a a  ，即      21 1 1 35 2 7 2 a d a d a d     ， 因公差大于零，解得 3d  ， 3 8 d   (舍)，所以 10 10 910 3 3 165 2 S      ，故答案为：165. 第 17 页 共 19 页 14．(2025 四川雅安二模)公比不为 1 的等比数列 na 中，若 2025 1a  ，且有  *1 2 5 1 2 5 , 5ma a a a a a m m    N 成立，则m  . 【答案】10 或 4049【分析】设等比数列 na 的公比为 q，由 2025 1a  ，可得 20241a q ，利用通项公式化简 条件等式  1 2 5 1 2 5 5ma a a a a a m   ，可得 2 4059 40490 0m m   即可求解. 【解】设等比数列 na 的公比为 q，且 1q  ，由 2025 1a  ，则 20241 1a q  ，故 20241a q ，又  1 2 5 1 2 5 5ma a a a a a m   ， 2 4 5 11 1 1 1 1 1 1 ma a q a q a q a a q a q          L L ， 5 1 2 3 4 5 1 2 61 1m ma q a q         L ，即   6 1 6 5 10 5 2 1 1 m m ma q a q     ，   5 6 1010 2 11 m m ma q      ，又 2024 1a q  ，           5 6 5 6 10 2024 10 102024 10 2 21 m m m m mmq q q              ，     5 62024 10 10 0 2 m m m        ， 化简整理得 2 4059 40490 0m m   ，即   4049 10 0m m   ，解得 10m  或 4049m  ，均满足 5m  . 四、解答题 15.(2024 四川遂宁三模)等比数列 na 中， 1 1a  ， 5 34a a ． (1)求 na 的通项公式：(2)记 nS 为 na 的前 n项和，若 31mS  ，求 m． 【分析】(1)由条件求出公比，即可求解通项公式； (2)根据(1)的结果，代入等比数列的前 n项和公式，即可求解. 【解】(1)等比数列 na 中， 1 1a  ， 5 34a a ．  4 21 4 1q q     ，解得 2q   ， 当 2q = 时， 12nna  ，当 2q   时，   12 nna   ，  na 的通项公式为， 12nna  或   12 nna   ． (2)记 nS 为 na 的前 n项和． 当 1 1a  ， 2q   时， 1 (1 ) 1 ( 2) 1 ( 2) 1 1 ( 2) 3 n n n n a qS q            ， 由 31mS  ，得 1 ( 2) 31 3 m mS     ， Nm ，无解； 当 1 1a  ， 2q = 时， 1 (1 ) 1 2 2 1 1 1 2 n n n n a qS q         ， 由 63mS  ，得 2 1 31mmS    ， Nm ，解得 5m  ． 16.已知数列 �� 满足：�1 = 7 2 ，�� = 3��−1 − 1(n≥2)． (1)求证：数列 �� − 1 2 是等比数列；(2)求数列 �� 的通项公式及其前 n项和��的表达式． 【解】(1)由题得，��+1 = 3�� − 1, � ≥ 1 ， ∴ ��+1− 1 2 ��− 1 2 = 3��−1− 1 2 ��− 1 2 = 3 ��− 1 2 ��− 1 2 = 3，�1 − 1 2 = 7 2 − 1 2 = 3， 第 18 页 共 19 页 所以数列 �� − 1 2 是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列. (2)由(1)得，�� − 1 2 = 3�，即�� = 3� + 1 2 ， 所以前 n项和�� = 3 1−3� 1−3 + � 2 = 3 �+1−3+� 2 . 17．(2025 新疆喀什三模)记数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 52 2n na S n   (1)证明:数列 2na  是等比数列；(2)求数列 na 的通项公式； 【解】(1)因为 52 2n n a S n   ，所以当 1n  时， 1 9 4 a = ; 当 2n  时，  1 1 52 1 2n n a S n     ，所以 1 2n nna aa    ，即 1 11 2n n a a   ， 又 1 12 0 4 a    ，所以 1 1 1 11 22 12 2 2 2 n n n n aa a a          ，所以数列 2na  是首项为 14 ，公比为 1 2 的等比数列； (2)由(1)得 1 11 1 12 4 2 2 n n na                 ，所以 11 2 2 n na        . 18．(2025四川攀枝花三模)已知数列 na 的首项 1 1a  ， 1 3 2nn na a    ． (1)求证： 2nna  是等比数列；(2)求数列 na 的前 n项和 nS ；(3)令 2 ( 1)n nn nb a    ，求数列 nb 的最大项． 【分析】(1)依题意可得  11 2 2n nn na a     ，结合等比数列的定义即可证明； (2)由(1)可得  2 1 nnna    ，利用分组求和法计算可得； (3)由(2)可得 2 2n n nb  ，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【解】(1)因为 1 3 2 n n na a    ，所以  11 2 2n nn na a     ， 又 1 1a  ，所以 1 2 1a    ，所以 2nna  是以 1 为首项， 1 为公比的等比数列； (2)由(1)可得  2 1 nnna    ，所以  2 1 nn na    ， 所以      1 21 22 1 2 1 2 1 nnnS                   1 21 22 2 2 1 1 1 nn                      11 1 12 1 2 1 12 2 1 2 1 1 2 n nn n                . (3)由(2)可得 2 2 ( ) 21n nn n n nb a     ，则       1 2 2 22 1 1 1 2 2 1 1 1 112 2 2 2 2 2 2 2 n n n nn nn n n n nn n nb b                 ， 所以当1 2n≤ ≤ 时 1 0n nb b   ，当 3n  时 1 0n nb b+ - < ， 即 1 2 3 4 5b b b b b    ，所以数列 nb 的最大项为 3 98b  ； 19．(2025河北秦皇岛一模)设 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 1 4, 2 n n n a Sa a        是公比为 2的等比数列． (1)证明： na 是等比数列；(2)求 na 的通项公式以及 nS ； (3)设  5n nb n a  ，若 *Nn  ， 24 2m m nb  ，求 m的取值范围． 第 19 页 共 19 页 【分析】(1)根据给定条件，利用等比数列定义求得  2 1nn nS a  ，再利用前 n项和与第 n项的关系推理得 证；(2)利用(1)的信息即可求出 na ， nS ；(3)求出 nb 并求出其最大项，建立不等式求解． 【解】(1)证明：由已知可得，数列 2 n n n a S a       是首项为 1，公比为 2的等比数列， 则 12 2 nn n n a S a   ，即  2 1nn nS a  ，① 则  11 12 1nn nS a   ，② ②①得：    11 12 1 2 1n nn n na a a     ，即    1 12 2 2 1n nn na a    ， 可得 1 1 2n n a a  ，又 1 4 0a   ，  na 是等比数列． (2)由(1)知 1 31 14 ( ) ( )2 2 n n na     ，则   312 1 8 2 n n n nS a     ． (3)由  5n nb n a  ，且 31( )2 n na  ，得 3 5 2n n nb    ，当 5n  时， 0nb  ，当 6n  时， 0nb  ， 2 1 3 4 1 4 1 12 15 2 5 2 5 2 n n n n n b n nb n n                 ，若 6n  ，则 7 6 1 8 b b  ， 若 7n  ，则 1 1 1 31 1 2 5 4 n n b b n         ，可得 1n nb b  ， 因此数列 nb 的最大项为 7 6 1 8 b b  ， 由 *Nn  ， 24 2m m nb   ，得 2 14 2 8 m m  ， 即 28 (2 ) 2 2 1 0m m     ，整理得   4 2 1 2 2 1 0m m     ，则 12 4 m  ，即 2m   ， m 的取值范围是  , 2  ． 专题1.3 等比数列 教学目标 1、理解等比数列概念，能够利用概念判断、证明等比数列；能够解等比中项问题； 2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及变形，理解等比数列的通项公式、前n项和公式与指数函数的关系，能熟练进行等比数列的基本量计算； 3、掌握等比数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等比数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等比数列的有关概念；(2)等比数列通项公式及变形；(3)等比数列的前n项和公式；(4)等比数列的常用性质． 2、难点：(1)对公比的讨论；(2)等比中项是否能正、负都取；(3)片段和；(4)奇数项和与偶数项和；(5)等差、等比数列综合问题． 知识点01 等比数列的有关概念 1、数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意： 【即学即练】在等比数列中，若，那么等于( ) A． B．5 C． D．25 知识点02 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1.() 变形：(,) 【即学即练1】(通项公式)在等比数列中，，，则等于( ) A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-32 【即学即练2】(通项公式变形)在等比数列中，，则( ) A．32或-32 B．32 C．64或-64 D．64 知识点03 等比数列的前n项和公式 Sn＝ 【即学即练】若递增的等比数列的前项和为，，则等于( ) A．63 B．64 C．65 D．66 知识点04 等比数列的性质 1.角标和：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列； 3.子数列等比：等比数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk； 4.片段和：1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比，公比为qn， (时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定成等比数列)． 5. 6.常用结论 (1)在等比数列{an}中，a1与q是最基本的两个量，一般可设出a1和q，列方程(组)求解即可． (2)等比数列涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，(知三求二)． (3)求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论． (4)若，则成等比数列； (5)若数列{an}的项数为2n，则；若项数为2n＋1，则． 【即学即练1】(角标和)（2024广东江门一模）已知是等比数列，，且，是方程两根，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】(片段和)记等比数列的前项和为，若，则( ) A．24 B．28 C．48 D．84 【即学即练3】(子数列等比)记等比数列，若，则( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【即学即练4】(奇数项和与偶数项和)等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（    ） A．3 B．4 C．7 D．9 知识点05 判断、证明等比数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法：为常数且数列是等比数列． (2)等比中项法：数列是等比数列． (3)通项公式法：数列是等比数列． (4)前项和公式法：数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等比数列： (1)只需判断存在连续三项不成等比数列即可． (2)只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【即学即练】已知数列的前项和为，若，则有(    ) A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 题型01 等比数列的基本量计算 【典例1】(2025·云南昆明·二模)已知正项等比数列，满足，，则(   ) A． B． C．1 D．2 【变式1-1】(2025届四川省自贡一中二模T3)已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为( ) A. B. C. D. 【变式1-2】(2025届烟台市、东营市高三一模T2)已知等比数列的前n项和为，，则( ) A. B. C. 5 D. 15 【变式1-3】(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T3)已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( ) A. 24 B. 12 C. 20 D. 15 题型02 等比数列的角标和性质 【典例2】在等比数列中，，是方程的两根，则( ) A． B． C． D． 【变式2-1】已知等比数列中，，，则( ) A．9 B． C．81 D． 【变式2-2】各项均为正数的等比数列中，和是方程的两个根，则( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】(2024四川成都模拟预测)已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为(   ) A． B． C． D． 题型03 等比数列的片段和性质 【典例3】已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【变式3-1】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则( ) A．12 B．14 C．16 D．18 【变式3-2】记等比数列的前项和为，若，则( ) A．7 B．49 C． D．43 【变式3-3】(2023浙江一模)已知是等比数列的前项和，且，，则( ) A．11 B．13 C．15 D．17 题型04 奇数项和与偶数项和 【典例4】已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则(   ) A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式4-1】若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【变式4-2】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为(   ) A．8 B． C．4 D．2 【变式4-3】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 题型05 判断、证明等比数列 【典例5】(1)已知为数列的前n项和，．证明：数列为等比数列； (2)已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足. 求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【变式5-1】(多选) (2023辽宁三模)已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是( ) A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列 【变式5-2】数列满足，且其前项和为.若，则正整数( ) A．99 B．103 C．137 D．169 【变式5-3】(多选)若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是(   ) A． B． C．是等比数列 D．是等比数列 题型06 等比数列的最值问题 【典例6】(2025重庆)(多选)等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，且满足条件，，(，则下列选项正确的是(    ) A． B． C．是数列中的最大项 D． 【变式6-1】已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为( ) A．6 B． C． D．9 【变式6-2】(2025广东)设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是(    ) A． B． C．是数列中的最大值 D． 【变式6-3】(2025辽宁)(多选)等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则 A． B． C．是的最大值 D．使的的最大值是4040 题型07 等差、等比数列综合 【典例7】已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【变式7-1】(2024河南郑州二模)数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则( ) A．－36或36 B．－36 C．36 D．18 【变式7-2】(2024四川成都三模)已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则( ) A． B． C． D． 【变式7-3】(2024青海西宁二模)已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则 ． 题型08 等比数列的实际应用 【典例8】(多选) (2024吉林模拟预测)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为，中间四天走的路程之积为，则下列说法正确的是( ) A．此人第一天走了全程的一半 B．此人第五天和第六天共走了18里路 C． D． 【变式8-1】在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．(结果取整) 【变式8-2】(2024北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为(  ) A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 【变式8-3】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 …… 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为( ) A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁 一、单选题 1．(2024山东淄博二模)已知等比数列则(　　) A．8 B．±8 C．10 D．±10 2．(2025河北沧州一模)已知为等比数列的前项和，若，则(   ) A．72 B． C．144 D． 3．(2025辽宁大连三模)已知正项等比数列的前项和为，若，则( ) A．16 B．32 C．27 D．81 4.(2025陕西安康模拟预测)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为( ) A． B． C． D． 5.(2025江西赣州二模)设等比数列的前n项和为，若，，则( ) A． B．7 C．63 D．7或63 6．(2024江苏南通二模)若成等比数列，则( ) A． B． C． D． 7．(2025安徽)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则( ) A． B． C． D． 8．(山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷)已知等比数列满足，且，则的最大值为( ) A．12 B．13 C．14 D．15 二、多选题 9．(2024江西南昌三模)已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是(   ) A． B． C． D． 10．(2025届四川省成都市石室成飞中学高三上8月月考T11)已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则( ) A. B. C. D. 若，则当最小时， 11．(2025届河南省部分学校高三7月联考T10)设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 三、填空题 12．(2024·湖北荆州·三模)若实数成等差数列，成等比数列，则= . 13．(2024广东茂名模拟预测)在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 . 14．(2025四川雅安二模)公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 . 四、解答题 15.(2024四川遂宁三模)等比数列中，，． (1)求的通项公式：(2)记为的前n项和，若，求m． 16.已知数列满足：，(n≥2)． (1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式． 17．(2025新疆喀什三模)记数列的前n项和为，已知 (1)证明:数列是等比数列；(2)求数列的通项公式； 18．(2025四川攀枝花三模)已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和；(3)令，求数列的最大项． 19．(2025河北秦皇岛一模)设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列；(2)求的通项公式以及； (3)设，若，，求m的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 11 页 专题 1.3 等比数列 教学目标 1、理解等比数列概念，能够利用概念判断、证明等比数列；能够解等比中项问题； 2、掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式及变形，理解等比数列的通项公式、前 n项 和公式与指数函数的关系，能熟练进行等比数列的基本量计算； 3、掌握等比数列的常用性质及应用； 4、能在实际应用问题中发掘出等比数列关系，从而解决实际应用题； 教学重难点 1、重点：(1)等比数列的有关概念；(2)等比数列通项公式及变形；(3)等比数列的前 n项 和公式；(4)等比数列的常用性质． 2、难点：(1)对公比的讨论；(2)等比中项是否能正、负都取；(3)片段和；(4)奇数项和与 偶数项和；(5)等差、等比数列综合问题． 知识点 01 等比数列的有关概念 1、数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等 比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为an＋1 an ＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项，此时，G2＝ab. 第 2 页 共 11 页 注意：� ≠ � 【即学即练】在等比数列 na 中，若�5 = 10, �7 = 52，那么 6a 等于( ) A． 5 B．5 C． 5 D．25 知识点 02 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1.(n ∈ N∗) 变形：�� = ����−�(m ∈ N∗,n ∈ N∗) 【即学即练 1】(通项公式)在等比数列{ }na 中， 1 8a  ， 4 64a  ，则 3a 等于( ) A．16 B．16 或-16 C．32 D．32 或-32 【即学即练 2】(通项公式变形)在等比数列{ }na 中，�3 = 2, �5 = 4，则�13 =( ) A．32 或-32 B．32 C．64 或-64 D．64 知识点 03 等比数列的前 n项和公式 Sn＝ ��1, � = 1, �1(1−��) 1−� = �1−��� 1−� , � ≠ 1, 【即学即练】若递增的等比数列 na 的前n项和为 nS ，�1 = 1,2�2 − 5�3 + 2�4 = 0，则 6S 等于( ) A．63 B．64 C．65 D．66 知识点 04 等比数列的性质 1.角标和：若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a2k； 2.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， 1 �� ，{a2n}，{an·bn}， �� �� 仍然是等比数列； 3.子数列等比：等比数列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk； 4.片段和：q ≠−1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比，公比为 qn， (q =− 1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定成等比数列)． 5.��+� = �� + ���� 6.常用结论 (1)在等比数列{an}中，a1与 q是最基本的两个量，一般可设出 a1和 q，列方程(组)求解即可． (2)等比数列涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，(知三求二)． (3)求和时要分 q＝1和 q≠1两种情况讨论，判断单调性时对 a1与 q分类讨论． (4)若�� = �1�2⋯��，则��, �2� �� , �3� �2� , ⋯成等比数列； (5)若数列{an}的项数为 2n，则 S 偶 S 奇 = q；若项数为 2n＋1，则 S 奇 −�1 S 偶 = q． 第 3 页 共 11 页 【即学即练 1】(角标和)（2024 广东江门一模）已知 na 是等比数列， 3 5 48a a a ，且 2a ， 6a 是方程 2 34 0x x m   两根，则m （ ） A．8 B． 8 C．64 D． 64 【即学即练 2】(片段和)记等比数列 na 的前 n项和为S，若 2 44, 20S S  ，则 6S  ( ) A．24 B．28 C．48 D．84 【即学即练 3】(子数列等比)记等比数列 na ，若�4 = 1, �13 = 81，则�10 =( ) A．3 B．9 C．27 D．81 【即学即练 4】(奇数项和与偶数项和)等比数列 na 共有 2 1n + 项，其中 1 2a  ，偶数项和为 84，奇数项和 为 170，则 n （ ） A．3 B．4 C．7 D．9 知识点 05 判断、证明等比数列 1.判断、证明等比数列常用的方法： (1)定义法： ��+1 �� = �(�为常数且 q ≠ 0) ⇔数列 �� 是等比数列． (2)等比中项法：��+12 = ����+2(� ∈ �∗, �� ≠ 0) ⇔数列 �� 是等比数列． (3)通项公式法：�� = ���(�� ≠ 0, � ∈ �∗) ⇔数列 �� 是等比数列． (4)前 n项和公式法：�� = �(�� − 1)(� ≠ 0, � ≠ 0, � ≠ 1) ⇔数列 �� 是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 2.判断数列不是等比数列： (1)只需判断存在连续三项不成等比数列即可． (2)只满足��+1 = ���(� ≠ 0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要�1 ≠ 0. 【即学即练】已知数列 �� 的前�项和为��，若�� + 2 = 2�� � ∈ N∗ ，则有( ) A． �� 为等差数列 B． �� 为等比数列 C． �� 为等差数列 D． �� 为等比数列 题型 01 等比数列的基本量计算 【典例 1】(2025·云南昆明·二模)已知正项等比数列 na ，满足 2 1a  ， 4 4a  ，则 1a  ( ) 第 4 页 共 11 页 A．1 4 B．1 2 C．1 D．2 【变式 1-1】(2025 届四川省自贡一中二模 T3)已知 na 是正项等比数列，若 26a ， 4a ， 3a 成等差数列，则  na 的公比为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D. 3 【变式 1-2】(2025 届烟台市、东营市高三一模 T2)已知等比数列 �� 的前 n项和为��，�2 + �3 = 6, �1�4 = 8， 则�4 =( ) A. −15 B. −5 C. 5 D. 15 【变式 1-3】(2025 届广东省部分学校高三上开学摸底联考 T3)已知首项为 1的等比数列  na 的前 n项和 为 ��，若 7 416 15S S  ，则 4a  ( ) A. 24 B. 12 C. 20 D. 15 题型 02 等比数列的角标和性质 【典例 2】在等比数列 �� 中，�7，�13是方程�2 − 9� + 2 = 0 的两根，则 �10 =( ) A． 2 B．− 2 C．± 2 D．3 ± 5 【变式 2-1】已知等比数列 �� 中，�4 = 1，�8 = 81，则�6 =( ) A．9 B．±9 C．81 D．±81 【变式 2-2】各项均为正数的等比数列 �� 中，�5和�6是方程�2 − 10� + 10 = 0的两个根，则 lg�1 + lg�2 + … + lg�10 =( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式 2-3】(2024 四川成都模拟预测)已知数列{ }na 是等比数列，若 2a ， 48a 是 22 7 6 0x x   的两个根，则 1 2 25 48 49a a a a a    的值为( ) A． 35 4 B．9 3 C． 9 3 D． 243 题型 03 等比数列的片段和性质 【典例 3】已知正项等比数列 �� 的前�项和为��，且�� = 4, �4� = 160，则�3� = . 第 5 页 共 11 页 【变式 3-1】已知正项等比数列 �� 的前 n项和为��，若�5 = 4，�15 = 28，则�10 =( ) A．12 B．14 C．16 D．18 【变式 3-2】记等比数列 �� 的前�项和为��，若 �4 �8 = 1 7，则 �12 �8 =( ) A．7 B．49 C．43 7 D．43 【变式 3-3】(2023浙江一模)已知��是等比数列 �� 的前�项和，且�2 = 3，�6 = 5�4 − 12，则�4 =( ) A．11 B．13 C．15 D．17 题型 04 奇数项和与偶数项和 【典例 4】已知一个项数为偶数的等比数列 �� 所有项之和为所有奇数项之和的 3 倍，前 2 项之积为 8，则 �1 =( ) A．2 B．-2 C．-1 D．2 或-2 【变式 4-1】若等比数列 �� 共有 2�项，其公比为 2，其奇数项和比偶数项和少 100，则数列 �� 的所有项 之和为 ． 【变式 4-2】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为 1012，偶数项之和为 2024，则这个数列的 公比为( ) A．8 B．−2 C．4 D．2 【变式 4-3】若等比数列 �� 共有奇数项，其首项为 1，其偶数项和为 170，奇数项和为 341，则这个数列的 公比为 ，项数为 ． 题型 05 判断、证明等比数列 【典例 5】(1)已知��为数列 �� 的前 n项和，�� = 2�� − 4� + 2．证明：数列 �� + 4 为等比数列； (2)已知数列 �� 的首项�1 = 1，且满足��+1 = 2�� + � − 1，等比数列 �� 的首项�1 = 1 2 ，且满足�2� = ��2. 求证：数列 �� + � 是等比数列，并求数列 �� 的通项公式； 【变式 5-1】(多选) (2023辽宁三模)已知数列 �� 的前 n项和是��，则下列说法正确的是( ) A．若�� = ��，则 �� 是等差数列 B．若�1 = 2，��+1 = 2�� + 3，则 �� + 3 是等比数列 C．若 �� 是等差数列，则��，�2� − ��，�3� − �2�成等差数列 D．若 �� 是等比数列，则��，�2� − ��，�3� − �2�成等比数列 第 6 页 共 11 页 【变式 5-2】数列 �� 满足�1 ∈ Z, ��+1 + �� = 2� + 3，且其前�项和为��.若�17 = ��，则正整数� =( ) A．99 B．103 C．137 D．169 【变式 5-3】(多选)若��为数列 �� 的前�项和，且�� = 2�� + 1 � ∈ �* ，则下列说法中正确的是( ) A．�3 =− 4 B．�5 =− 64 C． �� 是等比数列 D． �� − 1 是等比数列 题型 06 等比数列的最值问题 【典例 6】(2025 重庆)(多选)等比数列 na 的公比为 q，前 n项和为��，前 n项积为��，且满足条件�1 > 1， �2022�2023 > 1，(�2022 − 1)(�2023 − 1) < 0，则下列选项正确的是( ) A．0 1q  B． 2022 2023 1S S  C． 2023T 是数列 nT 中的最大项 D． 4043 1T  【变式 6-1】已知正项等比数列 �� 的前 n项和为��，若�4 = 3，则�2 + �6的最小值为( ) A．6 B．6 2 − 3 C．6 2 D．9 【变式 6-2】(2025 广东)设等比数列 na 的公比为 q，其前 n项和为 nS ，前 n项之积为 nT ，且满足 1 1a  ，    2020 2021 2020 20210, 1 1 0a a a a     ，则下列结论中正确的是( ) A． 1q  B． 1 4041 1 0a a   C． 2020T 是数列 nT 中的最大值 D． 2020 2021S S 【变式 6-3】(2025 辽宁)(多选)等比数列 na 的公比为 q，前 n项积 1 2 n na a a T ，若 1 1a  ， 2020 2021 1a a  ，   2020 20211 1 0a a   ，则 A．0 1q  B． 2020 2022 1a a  C． 2021T 是 nT 的最大值 D．使 1nT  的 n的最大值是 4040 题型 07 等差、等比数列综合 【典例 7】已知等差数列 �� 的前�项和为��，公差� ≠ 0，且�3 + �5 = 50，�1，�4，�13成等比数列． (1)求数列 �� 的通项公式；(2)设 �� �� 是首项为 1，公比为 3的等比数列， ①求数列 �� 的前�项和��；②若不等式��� − �� + 2�2 ≤ 0对一切� ∈ N∗恒成立，求实数�的最大值． 【变式 7-1】(2024河南郑州二模)数列 �� 为等比数列，且�1 = 1，�9 = 16，设等差数列 �� 的前 n项和为 ��，若�5 = �5，则�9 =( ) A．－36或 36 B．－36 C．36 D．18 【变式 7-2】(2024四川成都三模)已知公比不为 1的等比数列 �� 的前�项和为��，若数列 �� + �� 是首项 第 7 页 共 11 页 为 1的等差数列，则�3 =( ) A．1 2 B．2 3 C．1 4 D．1 8 【变式 7-3】(2024青海西宁二模)已知各项都是正数的等比数列 �� 的前 3项和为 21，且�3 = 12，数列 �� 中，�1 = 1, �3 = 0，若 �� + �� 是等差数列，则�1 + �2 + �3 + �4 + �5 = ． 题型 08 等比数列的实际应用 【典例 8】(多选) (2024吉林模拟预测)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不 为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走 378里路，第一天健步行走，从第 二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为�， 中间四天走的路程之积为�，则下列说法正确的是( ) A．此人第一天走了全程的一半 B．此人第五天和第六天共走了 18里路 C．5� < 378 D．� = 11522 【变式 8-1】在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔 400 万元的无息贷款用做设备更新．据预测， 该企业设备更新后，第 1 个月收入为 20 万元，在接下来的 5 个月中，每月收入都比上个月增长 20%，从第 7 个月开始，每个月的收入都比前一个月增加 2 万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还 400 万无息贷款只需 个月．(结果取整) 【变式 8-2】(2024北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关， 初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一 个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目 的地．”则该人第三天走的路程为( ) A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 【变式 8-3】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延 迟法定退休年龄每 4 个月延迟 1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果 男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1 月—4 月 1965年 5 月—8 月 1965 年 9 月—12 月 1966 年 1 月—4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁+1 个月 60 岁+2 个月 60 岁+3 个月 60 岁+4 个月 …… 那么 1975 年 7 月出生的男职工法定退休年龄为( ) A．62 岁 3 个月 B．62 岁 5 个月 C．62 岁 8 个月 D．63 岁 第 8 页 共 11 页 一、单选题 1．(2024 山东淄博二模)已知等比数列  2 104 16,na a a, ＝ , ＝ 则 6a  ( ) A．8 B．±8 C．10 D．±10 2．(2025 河北沧州一模)已知 nS 为等比数列{ }na 的前 n项和，若 2 23 2 nnS     ，则 3a  ( ) A．72 B． 72 C．144 D． 144 3．(2025 辽宁大连三模)已知正项等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 4 3 2 22 6, 1S S S a    ，则 5a  ( ) A．16 B．32 C．27 D．81 4.(2025 陕西安康模拟预测)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾， 七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走 了700里路，则该马第五天走的里程数约为( ) A． 2.76 B．5.51 C．11.02 D． 22.05 5.(2025 江西赣州二模)设等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 20 21S  ， 30 49S  ，则 10S  ( ) A． 7 B．7 C．63 D．7 或 63 6．(2024 江苏南通二模)若 π πcos ,cos ,cos 6 3               成等比数列，则 sin2  ( ) A． 3 4 B．− 3 6 C．1 3 D．− 1 4 7．(2025 安徽)已知一个项数为偶数的等比数列 na ，所有项之和为所有偶数项之和的 4倍，前3项之积为64， 则 1a  ( ) A．1 B． 4 C．12 D．36 8．(山东省济南市山东省实验中学 2024 届高三高考定心卷)已知等比数列 na 满足 1 5 24a a a  ，且 7 12a  ， 则 2 1 2 2 2log log log na a a   的最大值为( ) A．12 B．13 C．14 D．15 二、多选题 9．(2024 江西南昌三模)已知 na 是单调递减的等比数列，若 2 2a  ，前 3 项和 3 7S  ，则下列说法中正确的 是( ) 第 9 页 共 11 页 A． 1 4a  B． 3q  C． 12nna  D． 38 2 nnS   10．(2025 届四川省成都市石室成飞中学高三上 8 月月考 T11)已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，公比为 q，且满足 4 27a  ， 1 2n na S c   ，则( ) A. 3q  B. 1c  C. 1 3a  D. 若�� = �� 2023，则当�1�2⋯��最小时， 7n  11．(2025 届河南省部分学校高三 7 月联考 T10)设等比数列 na 前 n项积为 nT ，公比为 q．若 1 1a  ， 2023 2024 1a a  ， �2023−1 �2024−1 < 0，则下列结论正确的是( ) A. 0 1q  B. 2023 2025 1 0a a   C. 当 2023n  时， nT 取最大值 D. 使 1nT  成立的最大自然数 n是 4046 三、填空题 12．(2024·湖北荆州·三模)若实数0, , ,6x y 成等差数列， 1 1, , , , 2 8 a b c  成等比数列，则 y x b  = . 13．(2024 广东茂名模拟预测)在公差为正数的等差数列 na 中，若 1 3a  ， 3a ， 6a ， 832 a 成等比数列，则数 列 na 的前 10 项和为 . 14．(2025 四川雅安二模)公比不为 1 的等比数列 na 中，若 2025 1a  ，且有  *1 2 5 1 2 5 , 5ma a a a a a m m    N 成立，则m  . 四、解答题 15.(2024 四川遂宁三模)等比数列 na 中， 1 1a  ， 5 34a a ． (1)求 na 的通项公式：(2)记 nS 为 na 的前 n项和，若 31mS  ，求 m． 第 10 页 共 11 页 16.已知数列 �� 满足：�1 = 7 2 ，�� = 3��−1 − 1(n≥2)． (1)求证：数列 �� − 1 2 是等比数列；(2)求数列 �� 的通项公式及其前 n项和��的表达式． 17．(2025 新疆喀什三模)记数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 52 2n na S n   (1)证明:数列 2na  是等比数列；(2)求数列 na 的通项公式； 第 11 页 共 11 页 18．(2025四川攀枝花三模)已知数列 na 的首项 1 1a  ， 1 3 2nn na a    ． (1)求证： 2nna  是等比数列；(2)求数列 na 的前 n项和 nS ；(3)令 2 ( 1)n nn nb a    ，求数列 nb 的最大项． 19．(2025河北秦皇岛一模)设 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 1 4, 2 n n n a Sa a        是公比为 2的等比数列． (1)证明： na 是等比数列；(2)求 na 的通项公式以及 nS ； (3)设  5n nb n a  ，若 *Nn  ， 24 2m m nb  ，求 m的取值范围．