专题08 二次函数及其实际应用综合（90题）（贵州专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 二次函数及其实际应用综合（90题） 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 2．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 在第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号． 3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案． 【详解】设 ，，， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 令， 根据根与系数的关系知， ∴， 故 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键． 4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案． 【详解】如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1， ∴ 当移动的距离为时，在内，， 当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M， 根据题意得AD=x，AB=3, ∴DB=AB-AD=3-x， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上， ∵当时，，当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键． 5．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为x＝＞0， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②∵对称轴为x＝＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故②错误； ③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0， ∴9a＋3b+c＜0， 故③错误； ④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac； 故④正确； ⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是：④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键． 6．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴， ∴a>0，，c<0， ∴b>0，-c>0， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键． 7．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题． 【详解】解：】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0， ∴abc＞0，故A不符合题意； ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）； ∴即故B不符合题意； 当x=2时，，即，故C符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键． 8．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可． 【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM． 由题意可知，AM=OB， ∵ ∴OA=1，OB=AM=2， ∵抛物线是轴对称图形， ∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积， ∵，， ∴四边形ABOM为平行四边形， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积． 9．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解． 【详解】解：比较抛物线与抛物线， 发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式， ∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，， ∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1， 当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解． 10．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】C 【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数． 【详解】解：∵直线过一、二、三象限， ∴． 由题意得：， 即， ∵△， ∴此方程有两个不相等的实数解． ∴直线与抛物线的交点个数为2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键． 二、填空题 11．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得． 【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点， 则，， 解得， 将代入得：，解得， 则二次函数的解析式为， 当时，， 即该函数的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键． 12．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 【答案】10 【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可． 【详解】将y=0代入； 整理得： （x-10）（x+2）=0 解得：x=10或x=-2（舍去） ∴铅球推出的水平距离OA的长是10m． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 13．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为（-1，-2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）． 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键． 14．（2021·贵州黔西·中考真题）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是 m． 【答案】/7.2 【分析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案． 【详解】解：∵h=-5t2+12t， ∴a=-5，b=12，c=0， ∴足球距地面的最大高度是：=7.2m， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，利用 求出顶点纵坐标． 15．（2021·贵州遵义·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 （填写序号）． ①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0； ③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a； ④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个． 【答案】①③④ 【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题. 【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为 ． ① ，则，故①正确，符合题意； ② ，又a＞0， ∴ ，故②错误，不符合题意； ③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根， 则 ， ∵a＞0， ∴ ，解得： ，故③正确，符合题意； ④如图， ∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数， 一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意． 故答案为：①③④ 【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键. 16．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ．（填写正确的序号） 【答案】②④⑤ 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0， 所以abc＜0，故①错误； 对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确； 当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误； 当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确； 当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提． 17．（2021·贵州贵阳·中考真题）二次函数的图像开口方向是 （填“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：∵二次函数，a=1＞0， ∴二次函数的图象开口方向向上， 故答案是：向上． 【点睛】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 三、解答题 18．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 19．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 20．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示：    （3）解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 21．（2022·贵州安顺·中考真题）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)①； 【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解； （2）①根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解； ②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， ∴和谐点都在上， ， 解得， 上的和谐点为； （2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ， 联立①②，得， ②， ， 其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， 时，函数的最小值为－1，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， 实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 22．（2022·贵州六盘水·中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等． (1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，； (3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，图见解析，点不在停车带上 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得； （2）根据网格特点，找出三个点使得它们到水城河与到凉都宫点的距离相等即可； （3）先求出点到水城河的距离，再求出点的坐标，利用两点之间的距离公式可得的长，然后根据点到水城河与到凉都宫点的距离相等即可得函数关系式，最后画出函数图象即为停车带，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，线段的长即为所求． （2）解：如图，点，，即为所求． （3）解：如图，建立平面直角坐标系． 则，水城河所在的直线为，南环路所在的直线为， 停车位到水城河的距离为， ， 每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等， ， 整理得：， 当时，，解得， 又要在水城河与南环路之间设计一条停车带， ， 与之间的关系式为， 画出停车带如下： 因为， 所以点不在停车带上． 【点睛】本题考查了作垂线、二次函数的应用、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确求出函数关系式是解题关键． 23．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴， ∴， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． （3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 24．（2022·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b． (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由； (3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式． 【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)； (2)当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c<d；理由见解析 (3)二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+． 【分析】（1）利用配方法即可求解； （2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可； （3）分两种情况，利用数形结合求解即可． 【详解】（1）解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a， ∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)； （2）解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2， 又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6， ∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)， 当a<0时，画出草图如图： ∴e=f> c>d； 当a>0时，画出草图如图： ∴e=f< c<d； （3）解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点， 当a<0时， 根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1， 即，解得：， ∴二次函数的表达式为y=x2x+． 当a>0时， 根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1， 即，解得：， ∴二次函数的表达式为y=x2x-． 综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果． 25．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： (1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：根据题意得， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式， 自变量x的取值范围是 （2）解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 26．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； (2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)，顶点为 (2)①或；②或． 【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解； ②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为， 根据题意可得，的解析式 顶点为 （2）解：①设，则， ∴ 当时， 解得， 当时，方程无解 或 ②的解析式 顶点为，对称轴为 ， 当时，即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，且即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 即 即 解得（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 27．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或或或 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标即可求解； （2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，即可求解； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由可知， ，解得：， ∴． （2）分别令中，得，，； 设BC的表达式为：， 将，代入得， 解得：； ∴BC的表达式为：； 抛物线平移后的表达式为：， 根据题意得，，即， ∵该抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为． （3）存在，理由如下： 将代入中得， ①当DE为平行四边形的一条边时， ∵四边形DEMN是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ②当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：（2，0）， ∴M、N的中点坐标为：（2，0）， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时点N的坐标为（3，0）； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或（3，0）． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 28．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形 (3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴或， 解得：或， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得：或， ∴此时点F的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 29．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，直线l：y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2＋bx＋c相交于点A（0，m），B（n，7）． (1)填空：m＝ ，n＝ ，抛物线的解析式为 ． (2)将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围． (3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，3，y＝2x2﹣4x＋1 (2)0＜a (3)存在，P（1，0）或P（，0） 【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函数解析式； （2）由题意可得y=2x+1-a，联立，得到2x2-6x+a=0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围； （3）设Q（t，s），则，半径，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2，即可求t的值． 【详解】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x＋1， 可得m＝1，n＝3， ∴A（0，1），B（3，7）， 再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2＋bx＋c得， ，可得， ∴y＝2x2﹣4x＋1， 故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x＋1； （2）由题意可得y＝2x＋1﹣a， 联立， ∴2x2﹣6x＋a＝0， ∵直线l与抛物线C仍有公共点 ∴Δ＝36﹣8a≥0， ∴a， ∴0<a； （3）存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下： 设Q（t，s）， ∴M（，），P（，0）， ∴半径r， ∵AQ2＝t2＋（s﹣1）2＝（s＋1）2， ∴t2＝4s， ∵s＝2t2﹣4t＋1， ∴t2＝4（2t2﹣4t＋1）， ∴t＝2或t， ∴P（1，0）或P（，0）， ∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）或P（，0）． , 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键． 30．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可； （2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案； （3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）把代入中， 抛物线的解析式为： （2）联立一次函数与抛物线的解析式得： 整理得： ∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3， ∴x12+x22=（4-3k）2+6=10， 解得： ∴ （3）∵函数的对称轴为直线x=2， 当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3， 解得m=±，∴m=-， 当m≥2时，当x=2时，y有最大值， ∴=3， ∴m=， 综上所述，m的值为-或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键. 31．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．    （1）根据图象信息，求y与x的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 【答案】（1）；（2）最大利润为3840元 【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式； （2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润． 【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0）， 则， 解得：， ∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216， 当32＜x≤40时，y＝120， ∴； （2）设利润为W，则： 当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072， ∵开口向下，对称轴为直线x＝40， ∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大， ∴x＝32时，W最大＝2880， 当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960， ∵W随x的增大而增大， ∴x＝40时，W最大＝3840， ∵3840＞2880， ∴最大利润为3840元． 【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值． 32．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． （1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________； （2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值； （3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2） 【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标； （2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可； （3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧， ∴A（1，0） 又x= ∴ 把A（1，0）代入得， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点D坐标为（2，-1） 故答案为：（1，0），（2，-1），； （2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ①当，即时， 解得，（舍去）或 ②当时， 解得，或（舍去） 所以，m的值为或 （3）假设存在，设P（2，t） 当时，如图， 过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t ， ∴ ，即 整理得， 解得，， 经检验：，是原方程的根且符合题意， ∴点P的坐标为（2，1），（2，2） 综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2） 【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键． 33．（2021·贵州黔东南·中考真题）图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标； （3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点或、点或点；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0） 【分析】（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可， （2）以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：或，根据平行四边形对边相等且平行求解即可， （3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B，C，D坐标点得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据相似的性质分情况求解即可． 【详解】：（1）将点B（3，0），C（0，－3）分别代入中， 得：， 解得， ∴抛物线得函数关系为 （2）点或、点或点． 如图： ∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形， ∴或， ∵点B（3，0），C（0，－3）， 当时，则， 设对称轴与x轴交于点M， ∴，， ∴； 同理时，； 故答案为：；． （3）当时，， 解得：， ∴A（－1，0） 又， ∴抛物线得顶点D得坐标为（1，－4） ∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4） ∴， ∴ ∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝ 设点M得坐标（），则点G得坐标为， 根据题意知： ∠AMG＝∠BCD＝ ∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件： ①当时，此时有：或 解得：或＝0，，都不符合，所以时无解． ②当时，此时有：或 解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0） ③当m＞3时，此时有：或 解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去） 所以点M（6，0）或M（，0） 答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）． 【点睛】此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，有一定难度． 34．（2021·贵州贵阳·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8 【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解； （2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论； （3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围． 【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)， 设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x， 把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：， ∴二次函数的解析式为：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）； （2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68， 答：他的头顶不会触碰到桥拱； （3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=x2-2x， 当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-x2+2x， ∴新函数表达式为：， ∵将新函数图象向右平移个单位长度， ∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如图所示， 根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键． 35．（2021·贵州铜仁·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用（万元）与月销售量（辆）（）满足某种函数关系的五组对应数据如下表： 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 (1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出与的关系式________； (2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元 【分析】(1)观察表格中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，再代入数据求解即可； (2)根据已知条件“每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x”，求出y的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可． 【详解】解：(1)由表中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为， 代入点(4,0)和点(5,0.5)， 得到，解得， 故与的关系式为； (2)由题意可知：降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x， 即：，其中， ∴是的二次函数，且开口向下，其对称轴为， ∴当时，有最大值为万元， 答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是解决本题的关键． 四、单选题 36．（2025·贵州铜仁·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∴；故A选项错误； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误； 由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误； 故选D． 37．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 38．（2025·贵州铜仁·三模）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，；⑤．其中正确的项有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上知：，抛物线与轴的负半轴相交可知：，对称轴在轴的左侧可知：，即可判断①；根据对称轴为直线，得出，从而得出，即可判断②；由抛物线的性质可知，当时，有最小值，得出，即可判断③；根据抛物线的对称轴为， 且与轴的一个交点的横坐标为1， 得出另一个交点的横坐标为，即可判断④；根据当时，，得出，即可判断⑤． 【详解】解：①由抛物线开口向上知：，抛物线与轴的负半轴相交可知：，对称轴在轴的左侧可知：， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ③由抛物线的性质可知，当时，有最小值， ∴， 即，故③正确； ④∵抛物线的对称轴为， 且与轴的一个交点的横坐标为1， ∴另一个交点的横坐标为， ∴方程的两根分别是1，，故④错误； ⑤由图像可得，当时，，即：，故⑤正确； 故正确选项有①③⑤共3个， 故选：B． 39．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（   ） A．方程的两根为， B．8 C． D．若，是抛物线上的两点，且，则 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与x轴交点，数形结合是解题的关键． 根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可判断A；首先由对称轴得到，然后将代入解析式得到，然后推出，根据，即可得到，进而判断B；然后由抛物线y轴交于正半轴得到，即可判断C；根据题意得到当时，y随x的增大而增大，即可判断D． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ∴方程的两根为，，故A正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴ 将代入得， ∴将代入得， ∵抛物线开口向下 ∴ ∴，故B错误； ∵抛物线y轴交于正半轴 ∴ ∴，故C正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵若，是抛物线上的两点，且， ∴，故D正确． 故选：B． 40．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】∵在直角三角形中，，，， ∴， 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 综上所述，， 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 41．（2025·贵州安顺·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断： 安安：． 顺顺：若m是实数，则． 对于这两个判断，下列说法正确的是（   ） A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数和式子的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 由对称轴得，而抛物线经过，则，代入即可判断安安说法；由开口向上得时，函数取得最小值为，那么，化简即可判断顺顺说法． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴，故安安正确； ∵开口向上， ∴时，函数取得最小值为， ∴， ∴， ∴，故顺顺错误， 故选：A． 42．（2025·贵州遵义·二模）下面的四个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径． ④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义即函数图象与性质，涉及扇形面积的计算公式，解直角三角形，根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图形求解即可． 【详解】解：①含角的直角三角形中， ∵斜边长， ∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为， ∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意； ②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为， 则，该函数图象开口向下，符合题意； ③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为， ∴扇形的弧长为：， ∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意； ④∵正方体的棱长为，表面积为， ∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意； 故选：C 43．（2025·贵州贵阳·一模）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和系数之间的关系，二次函数的对称性，根据图象判断①，对称性判断②，特殊点结合对称轴判断③，特殊点结合因式分解，判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 设抛物线与x轴另一交点的横坐标为m，由对称的性质可知， 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故②正确； 将点代入抛物线解析式得， 又∵， ∴， ∴，∴，故③错误； ∵当时，， ∴． ∵当时，， ∴， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有②④，共2个． 故选B． 44．（2025·贵州贵阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，则点所在象限为 （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据函数的图象确定系数的取值，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质． 利用抛物线的交点和对称轴即可确定系数的取值，然后确定点的坐标所在象限即可． 【详解】由二次函数的图象开口向下得，由对称轴在y轴的右侧，则， ∵， ∴， ∵二次函数的图象与轴交点在正半轴， ∴， ∴， ∴点在第二象限， 故选：B． 45．（2025·贵州毕节·一模）已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 1 5 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B． C．关于的方程的根为和5 D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】根据当与时，函数值相等，可求出对称轴，以此判断A； 根据对称轴设出二次函数的解析式为顶点式，代入两对值，求出待定系数，化为一般式，求出，可判断B； 根据二次函数的解析式，求出当时，自变量的值，可判断C； 利用二次函数的增减，求出当时自变量的范围，可判断D． 【详解】解：∵当与时，函数值， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故A错误； 设二次函数的解析式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴，故B错误； ∵二次函数的解析式为， ∴当时，，解得：，，故C正确； ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大，顶点为， ∵当时，，解得：，， ∴当时，或，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，已知抛物线上对称的两点求对称轴，解题关键是根据表中数据发现对称性求出对称轴． 46．（2025·贵州·一模）已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围． 根据题意可求，，是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围，再由三角形面积求出函数解析式，由解析式即可判断． 【详解】解： ， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， 又∵是边上的一点（不与端点重合）， ∴ ∴， ∵ ， 根据解析式和的取值范围可知B正确， 故选：B． 47．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 根据抛物线的对称轴判断①；利用抛物线的对称性得到点B的坐标判断②，根据图象得到当时，函数值为正数，判断③，根据二次函数的最值判断④解答即可． 【详解】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1， ∴，即，故①错误； ∵对称轴为直线，点坐标为， ∴对称点点的坐标为，故②正确； ∵当时，函数值为正数， ∴，故③错误； ∵时，函数有最小值， ∴当，且时，， ∴，故④错误； 故选：D． 48．（2025·贵州遵义·二模）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当和时，y得值都等于3 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线 ∴顶点坐标为 ∴设表达式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为， ∵ ∴函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 令，则， ∴ ∴方程无解， ∴函数图象与轴没有交点，故B错误，不符合题意； ∵顶点坐标为，开口向上 ∴函数的最小值为1，故C正确，符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，的值随值的增大而增大，故D错误，不符合题意． 故选：C． 49．（2025·贵州六盘水·二模）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，二次函数图象的识别，求出，解直角三角形得到，则，解直角三角形得到，根据得到，再求出的 取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D恰好与点B重合时，则此时， ∴， ∴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意， 故选：A． 50．（2025·贵州贵阳·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想是数形结合的思想． 先利用抛物线的对称轴求出n，得到抛物线解析式为，再计算出自变量为2和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时m的范围即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，； 当直线与抛物线在时有公共点时，， 如图：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，m的取值范围为． 故选C． 51．（2025·贵州贵阳·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点， 二次函数的性质，先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式，配方得到抛物线的顶点坐标，再结合函数图象，利用抛物线解析式与直线在的范围内有公共点可确定的范围，把解关于的一元二次方程转化为求二次函数与直线的交点坐标问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，；当时，， 关于的一元二次方程在的范围内有解， 抛物线与直线在的范围内有公共点， ． 故选：C． 52．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 53．（2025·贵州六盘水·一模）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（   ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题． 【详解】解：由抛物线的开口向上可得：， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以， 根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴，即 ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线．且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，，即，故③错误； ∵时，函数值最小， ∴， ∴，所以④正确； 故选：C． 54．（2025·贵州安顺·一模）二次函数的部分图像如图所示，有以下说法： ①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由开口方向可判断①；由图象知当时，，可判断②；根据对称轴可判断③；根据二次函数的性质可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，， 即，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而减小，故④正确； 综上，正确的说法有①③④， 故选：. 五、填空题 55．（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到，利用相似比得到与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最小值，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， 当时，， 当时，，此时为最小， ． 故答案为：． 56．（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解. 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误； ∴， ∴，结论①正确； 故答案为：①②④. 六、解答题 57．（2025·贵州铜仁·三模）随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题： (1)若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元； (2)若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围； (3)请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？ 【答案】(1)12， (2) (3)当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确的列出代数式和函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件，列出函数关系式，根据每件商品利润不少于15元，求出自变量的取值范围即可； （3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设每件商品降价元，则每分钟的销量为件，降价后每件商品的利润为元， ∴当时，每分钟的销量为件． 故答案为：12，； （2）由题意，得 ∵每件商品利润不少于15元， ∴ ∴ ∴与的函数关系式为 （3）设每件商品降价元时，该直播间商家每分钟销售利润为元， 由题意，得， ∵， ∴当时，能取到最大值，最大值为400元， 即当每件商品降价10元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润，最大利润为400元． 58．（2025·贵州铜仁·三模）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的每个头盔应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可； （3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，列出，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元； （3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元． 由题意得， ， ∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125． 答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 59．（2025·贵州黔东南·二模）在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：汽车超速行驶，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的其他应用，不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：依题意，设，再运用待定系数法进行求解，即可作答． 任务二：依题意，将代入，解得，再整理即可作答． 任务三： 结合得汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴，列出不等式组，整理得，解得，即可作答． 【详解】解：任务一：小红画出的大致图象是二次函数的图象， 设． 将代入， 得， ∴， 解得， 即y关于x的函数表达式为． 任务二：依题意，将代入， 得， 解得或（舍去） 则 ∴在事故发生时，汽车超速行驶． 任务三： ∴汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴， 由题意得， 整理得， ∴， 解得． 60．（2025·贵州六盘水·二模）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据开口大小，比较大小即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出的坐标，进而求出，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小， ∴， ∵， ∴； （2）由题意，得：，把代入，得：， ∴； （3）当时，解得：， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 当时，解得：或； ∴加固点的坐标为，． 61．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】(1)图见解析； (2)刹车距离为 (3)汽车原速度为 【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键． （1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意确定，然后代入求解即可； （3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可． 【详解】（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 62．（2025·贵州贵阳·二模）已知二次函数． (1)二次函数图象的对称轴为直线________； (2)若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； (3)如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）对于二次函数（），其对称轴公式为，本题中二次函数，确定的值后代入公式即可求出对称轴． （2）因为，所以点、关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴的性质列出关于的方程，求解得出的值，进而确定二次函数表达式． （3）先确定二次函数过定点，再分和两种情况讨论．当时，结合抛物线顶点坐标与正方形边的位置关系，通过计算顶点在正方形不同边上以及抛物线过正方形顶点时的值，确定抛物线与正方形有个交点时的取值范围；当时，分析抛物线与正方形的交点情况． 【详解】（1）解：对于二次函数，其中， 根据对称轴公式，可得． 故答案为：； （2）解：∵， ∴点，关于直线对称， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （3）解：∵， ∴该抛物线过定点． 若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则， 解得，此时抛物线与正方形有个交点； 当时，抛物线开始与正方形有个交点； 当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为， 则， 解得，此时抛物线开始与正方形有个交点； 当抛物线过点时，将代入，得， 解得，此时抛物线与正方形有个交点． 当时，抛物线与正方形又开始有个交点． 若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点． 综上，当抛物线与正方形有个交点时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质（对称轴公式、顶点坐标、过定点问题）、对称点的性质以及二次函数与几何图形（正方形）的交点问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 63．（2025·贵州黔东南·二模）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 【答案】(1) (2)12分 (3)该同学能得到15分的满分 【分析】本题考查了二次函数的实际应用. （1）把点A代入抛物线求解即可； （2）令，求出落地距离即可； （3）根据题意知，抛物线的顶点为，求出，令，求出落地距离即可. 【详解】（1）把点A代入抛物线，得 ∴ ∴抛物线的表达式为: （2）令 解得:（不符合题意，舍去），. ∵落地距离在6.4～6.6得12分. ∴该同学得分为12分. （3）根据题意知，抛物线的顶点为. ∴设抛物线的表达式为： 将点A代入上式，得 解得：. ∴抛物线的表达式为：. 令. 解得：（不符合题意，舍去）， ∵. ∴该同学能得到15分的满分. 64．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 65．（2025·贵州铜仁·三模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为． (1)求的值； (2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把代入，再由计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用配方求最值即可； （3）由题可知当时，设函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【详解】（1）解：对于，当时， ∴， ∴当时，， ， 解得：； （2）解：， ， ， ∵，且 ∴当时，最大，最大值为， 答：飞行高度的最大值为． （3）解：当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令，即， 解得， ， ∴的最小值为． 66．（2025·贵州毕节·三模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示） (2)当时，求顶点纵坐标的最大值与最小值； (3)当时，y的值随x值的增大而减小，且当时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，；当时，； (3)． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据． （1）利用二次函数顶点坐标公式求解即可； （2）利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意先求出的范围，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：设， 则． ， 当时，；当时，． （3）解：由题可知， ， 当时，总有， 要使则有． 时，的值随值的增大而减小，时，的值随值的增大而增大， 且， 当时，，当时，， ，即． 令，解得． 又的系数是， 当时， 的取值范围是． ． 67．（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1) (2)存在， (3)能正常通过，理由见解析 【分析】主要考查了二次函数的应用，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）先求得，可设二次函数的表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先求出水面宽度：，再由船高2.5米，水面, 桥拱。可得船顶高度：，桥拱在(船半宽)处的高度：，再比较求解即可． 【详解】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． ， 可设二次函数的表达式为， 将代入得，，解得：， 二次函数的表达式为 （2）解：存在，理由如下： 如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小． 由题意得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴， 将代入，得， ； （3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。 将代入得： ， ， 水面宽度：， 船高2.5米，水面, 桥拱。 船顶高度：， 桥拱在(船半宽)处的高度：， ，且， 游船能正常通过， 68．（2025·贵州铜仁·二模）赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． (3)若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 【答案】(1) (2)游船能顺利通过赵州桥，理由见解析 (3)或 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，函数最值问题及待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得，然后代入函数解析式确定横坐标之差进行比较即可； （3）根据题意得，，然后分四种情况分析，当即时，当即时，当即时，当时，分别作出图象求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将点A代入得：， 解得， ∴； （2）∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴游船能顺利通过赵州桥； （3）解：∵抛物线经过两点，， ∴，， ∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况： 如图，当即时， 即， 解得：； 当即时，如图所示， 即， 解得：或（均不符合题意，舍去） 当即时，如图所示， 如图所示， ∴ 即， 解得：或（均不符合题意，舍去） ④当时，如图所示， ∴ ∴， 解得： 综上所述，或． 69．（2025·贵州贵阳·二模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 … 10 市场需求量q（百千克） 12 10 … 4 已知当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出． (1)求q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润y（百元）的最大值． 【答案】(1) (2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可； （2）设厂家每天获得的利润为y元，则，根据每天的产量不大于市场需求量时，求出x的取值解答即可； 【详解】（1）解：设q与x的函数关系式为， 由题意，得，解得， 与x的函数关系式为． （2）解：当每天的产量不大于市场需求量时，，即， 解不等式得， 成本为2元/千克， ． ， 对称轴为直线， 当时，y有最大值，， 答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元． 70．（2025·贵州贵阳·三模）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画关系最准确的是___________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)30千米/小时，1800辆/时 (3) 【分析】本题主要考查了确定函数的解析式，利用二次函数的顶点式求最值，根据自变量的取值求函数值的取值范围等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质． （1）利用代入法进行验证函数的解析式即可得出答案； （2）将函数解析式化成顶点式，分析二次函数解析式，利用顶点解析式即可求出最值； （3）分别当时，时，求出二次函数值，并利用增减性分析二次函数值的取值范围，最后利用反比例函数的性质求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，代入得 ， 故①不符合题意； 当时，代入得 ， 故②不符合题意； 任取表格中值代入， 所求值与表格中值相等， 故③符合题意； 故答案为：③； （2）解：由（1）得函数的解析式为， ， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴当时，，为最大值， 所以，当该路段的车流速度为30千米/小时时，流量达到最大，最大流量是1800辆/时； （3）解：当时，， 当时，， 通过（2）抛物线的顶点解析式可知，当时，随的增大而增大， ， 由得， 当，时，， 当，时，， 根据反比例函数的性质得， 所以，当车流密度在范围时，该路段将出现轻度拥堵． 71．（2025·贵州·二模）下表是某二次函数图象上部分点的自变量和对应的函数值： … 0 1 2 … … 5 0 0 5 … (1)观察表格，_____． (2)求这个二次函数的表达式，并写出一个符合条件的值，使得当时，的值随值的增大而减小． (3)若这个二次函数的图象与轴负半轴的交点为点A，与轴的交点为点，连接，是该函数图象上且位于线段下方的一动点，设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)，可以为（答案不唯一） (3)当时，的面积最大，最大面积是 【分析】本题综合考查了二次函数的对称性、待定系数法求表达式、函数单调性以及与三角形面积的综合应用．解题关键在于熟练运用二次函数的性质，通过待定系数法求表达式，利用对称性确定数值，结合图形关系表示并求解三角形面积最值． （1）根据对称轴确定与对称的点，从而得出的值； （2）设出二次函数的顶点式，代入已知点坐标，求解出表达式中的系数，根据二次函数的开口方向和对称轴确定值； （3）求出、两点的坐标，进而得到直线的表达式，设点的横坐标为，得到的坐标，过点作轴的垂线，交线段于点，用表示出的长度，根据三角形面积公式表示出的面积，再求其最大值． 【详解】（1）二次函数中与时值都为0， 根据二次函数对称轴公式可得对称轴为， 与关于对称， 时， 时，即， 故答案为：； （2）设这个二次函数的表达式为． 当时，，当时， ，解得， 这个二次函数的表达式为，它的图象是一条抛物线，顶点坐标为． 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 故可以为（答案不唯一）． （3）由表格知，，， 直线的函数表达式为． ，点的横坐标为， ． 过点作轴的垂线，交线段于点， ， ， ． ， 当时，的面积最大，最大面积是． 72．（2025·贵州遵义·二模）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； (3)现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 【答案】(1) (2)米 (3)两船不能在桥下顺利交汇 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据题意得，，，设抛物线的解析式为，将代入，然后求解即可； （2）当时，代入解析式得或，即可得解； （3）当时，代入解析式得，可得结论； 确定二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得：，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，得：， 解得：或， ∴（米）， ∴可通行船只的最大宽度为米； （3）当时，， ∵， ∴两船不能在桥下顺利交汇． 73．（2025·贵州贵阳·一模）某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 (1)求与的函数关系式； (2)设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值； (3)若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得14000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)，利润的最大值为31500元 (3)在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得14000元的利润，护眼贴的销售单价为60元/盒 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数解决利润问题，求二次函数的函数值，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意确定自变量的取值范围，列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）利用二次函数的函数值，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将表格中数据分别代入中， 得， 解得， ∴， ∵每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的， ∴，即， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴利润的最大值为31500元； （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 由(2)可知，， ∴， 将代入中， 解得或， ∵， ∴， 答：在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得14 000元的利润，此时护眼贴的销售单价为60元/盒． 74．（2025·贵州贵阳·一模）某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段和一段抛物线构成，垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知，抛物线顶点E的坐标为． (1)求拱门抛物线的函数关系式； (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用，，三根钢架隔出正方形区域供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长； (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)至少需要安装彩灯的个数为5个 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，设点P的坐标为，则，再由正方形的性质可得 ∵四边形是正方形，点N的横坐标为，然后根据点P，N关于对称轴对称，即可求解； （3）把代入解析式可得，到地面的垂直距离为的大棚的水平宽度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为， ∵抛物线顶点E的坐标为， ∴可设拱门抛物线的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴拱门抛物线的函数关系式为； （2）解：∵抛物线顶点E的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点P的坐标为，则， ∵四边形是正方形， ∴轴，， ∴点N的横坐标为， ∴点P，N关于对称轴对称， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 即正方形的边长为； （3）解：当时，， 解得：， ∴到地面的垂直距离为的大棚的水平宽度为， ∵每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过1米， ∴至少需要安装彩灯的个数为5个． 75．（2025·贵州贵阳·一模）如图，是一段坡比为的斜坡，在斜坡上按水平距离间隔20米修建两面墙，两面墙的高度都为3米（米），某农业种植公司在A、B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋．以点O为坐标原点，过点O的水平线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．经过测量，该抛物线的表达式为． (1)求点B的坐标及该抛物线的表达式； (2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能高于5米（直线x轴分别交抛物线和线段于点D、E．斜坡与抛物线之间的竖直距离为的长），请问此温室大棚是否符合这一要求？请说明理由； (3)该农业种植公司想在另一坡比为的斜坡上再搭建一个温室大棚，两面墙的高度仍为3米，温室大棚（抛物线）的形状与本题中的抛物线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合（2）的要求（即斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5米），求出两面墙之间的水平距离． 【答案】(1)； (2)不符合；理由见解析 (3)米 【分析】（1）延长交x轴于点G，根据斜坡的坡比，得到米，进而得出，，再利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）利用待定系数法求出直线的表达式为，进而得到斜坡与抛物线之间的竖直距离，再根据二次函数的最值求解即可； （3）将此斜坡放置在平面直角坐标系中，同理可得，抛物线的表达式为，直线的表达式为，从而得到斜坡与抛物线之间的竖直距离为，从而求出的值，令，则，将点代入抛物线解析式，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点G， ∵斜坡的坡比为，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴米， ∴，， 将，代入， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：此塑料大棚不符合这一要求，理由如下： 设斜坡的表达式为， 由（1）可得， 将代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， ∴斜坡与抛物线之间的竖直距离， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴此塑料大棚不符合这一要求； （3）解：如图，将此斜坡放置在平面直角坐标系中， 同理可得，抛物线的表达式为，直线的表达式为， ∴斜坡与抛物线之间的竖直距离为， ∴的最大值为， 解得（负值已舍去）， ∴， 令，则， 将点代入，得， 解得或（舍去）， ∴两面墙之间的水平距离为米． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解直角三角形的应用，求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，求一次函数解析式，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 76．（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米 (3)存在，理由见解析，点坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，难度较大，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式． （1），将代入即可求解，而顶点为，根据对称轴公式即可求解； （2）将代入，求出方程的根，再判断是否在范围内即可； （3）先求出平移后的函数解析式，再求出，由题意得：，设，，则以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：①为对角线；②为对角线；③为对角线，根据平行四边形的对角线的性质，结合中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：； （2）解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 则， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，平移后的函数解析式为：， 即：， 当时，， 解得：或， ∴， 而抛物线对称轴仍为直线， 由题意得：， 设，， ∵以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上：点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或． 77．（2025·贵州毕节·一模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，是抛物线上两点，且，求的取值范围； (3)一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为7 【分析】（1）先根据点坐标和长度确定点坐标，再将、两点坐标代入抛物线函数表达式，解方程组即可； （2）由（1）中求得的抛物线的函数表达式可知该抛物线开口向上，然后求得，令，解之得到两个值，结合，即可得到的取值范围； （3）先求出抛物线的对称轴和点坐标，再根据抛物线上两点关于对称轴对称得出，进而得到随的增大而增大，结合直线与抛物线的交点为，，，可推出，即可的得到答案． 【详解】（1）解：该抛物线与轴交于，两点，，且点在点的左侧， ， 将点，分别代入中， 得， 解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）可知抛物线的函数表达式为， ， 抛物线开口向上； 将点代入，得， 令，解得，， 点，是抛物线上的点，且， ， 的取值范围是． （3）解：抛物线的函数表达式为， 其对称轴为直线， 点，均在抛物线上，且都在与轴平行的直线上， 点，关于对称轴直线对称，， 又， ， ， ， 的值是关于的一次函数， ， 随的增大而增大， 抛物线与轴交于点，令，则， ， 一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，且，如图所示， ， 当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标，待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像与性质，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 78．（2025·贵州毕节·一模）2024年第33届巴黎奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制了一种网球发球器，已知该发球器的网球出口离地竖直高度米．如图，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，矩形为初学者的接球区域，其中米，米，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式，并求出网球的最大射程； (2)求最小力量时网球发射出的最大射程； (3)要使初学者能接住发球器发出的网球（即发出的网球能落在接球区域中），请求出初学者距发球器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)，最大射程为6米 (2)最大射程为2米 (3)米米 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（为顶点坐标）设出函数表达式，再将已知点代入表达式，通过解方程求出的值，从而确定抛物线函数表达式，令，求解方程得到网球落地时的值，舍去不合理的值，得到最大射程； （2）先根据第（1）问得到的抛物线表达式确定其对称轴，找到点关于对称轴的对称点坐标，根据最小力量发射抛物线与最大力量发射抛物线的平移关系，得出点平移后得到点的坐标，进而求出的长度，即最小力量时网球发射的最大射程； （3）根据矩形的边长信息，将代入最大力量发球的抛物线函数表达式，求出对应的值，结合抛物线单调性确定最大力量发球时的最大值，再根据平移关系和矩形边长，求出最小力量发球时的最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得点是最大力量发球得到的抛物线的顶点，则设其函数表达式为． 抛物线经过点， 将点代入函数表达式中，得， 解得， 最大力量发球得到的抛物线的函数表达式为． 当时，， 解得，（舍去）， 米， 答：最大力量发球时网球的最大射程为6米； （2）解：最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点的坐标为， 最小力量发射的抛物线是由最大力量发射的抛物线向左平移4米得到的， 将点向左平移4米得到点的坐标为，， 答：最小力量时网球发射出的最大射程为2米； （3）解：在矩形中，米，米， 米， 将代入最大力量发球得到的函数表达式中，得， 解得，（舍去）． 当时，随的增大而减小， 最大力量发球时，要使初学者能接住网球，即米． 由（2）知，最小力量发球得到的抛物线是由最大力量发球得到的抛物线向左平移4米得到的，且米， ， 即最小力量发球时，米， 答：初学者距发球器的水平距离的取值范围为米米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，二次函数的顶点式（，为顶点坐标），利用待定系数法求二次函数表达式，二次函数图象的对称性和平移性质，以及二次函数与方程的关系.解题的关键在于准确根据已知条件确定抛物线的表达式，利用抛物线的性质和几何图形的特点进行求解，尤其要注意平移过程中坐标的变化以及函数值与实际问题的对应关系. 79．（2025·贵州黔东南·一模）乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，点在球台中轴线上，发球机的出球在点正上方处，以球台的中轴线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若把球看成点，球从点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球台边界距点的水平距离为． (1)求与的函数关系式； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)保持发球角度、速度不变的情况下，将发球机调低后（抛物线形状不变），球从点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与点的水平距离． 【答案】(1) (2)球能越过球网，不会出界，见解析 (3)球的落点与点的水平距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）将点代入求出的值即可求解； （2）分别求出，时的函数值，再比较判断即可； （3）将代入，得出，再令，则，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将点代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴球能过网， 当时，， ∴球不会出界， ∴球能越过球网，也不会出界； （3）解：依题意，点， 设， 将代入，得：， 解得：， ∴， 令，则， 解得，（舍去）， ∴球的落点与O点的水平距离为米． 80．（2025·贵州黔东南·一模）如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示． (1)求该塑料大棚最高点到地面的距离； (2)小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答． ①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离； ②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围． 【答案】(1)米 (2)①4m；②或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和图象平移规律是关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式，利用抛物线对称性质求出塑料大棚最高点到地面的距离即可； （2）①先求出平移前抛物线与轴的左边交点坐标，再利用矩形的中心对称性质求出平移距离即可； ②当抛物线过点时，与矩形只有两个交点，此时，当抛物线顶点在上时，此时，当抛物线顶点在上时，此时，继而得到抛物线与矩形四边只有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：， 设抛物线的表达式为， 将点和点代入得，，解得， 抛物线的表达式为． 根据抛物线的对称性质可知，抛物线顶点坐标的横坐标为3， 顶点的纵坐标，故该塑料大棚最高点到地面的距离为米； （2）解：①设抛物线平移前与x轴的左交点为F． 令，则，解得，， ． 连接，，交于点H， 则点H是矩形对角线中点， 则． 设抛物线平移的距离为，则，， 当直线经过点H时，可以将矩形的面积平分， ，解得， 故抛物线平移的距离为； ②当抛物线过点A时，与矩形只有两个交点，此时． 当抛物线的顶点在和之间时，抛物线与矩形有两个交点， 则当抛物线顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时． 当抛物线的顶点在上时，抛物线从初始位置向下平移的距离为，此时， 故当抛物线顶点在边与之间时，． 综上所述，n的取值范围为或． 81．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图． 素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值． 【答案】(1)见解析， (2)该隧道限高3米 (3)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题及二次函数的性质，建立直角坐标系，求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解是解题的关键． （1）首先建立坐标系，结合图象设出函数表达式，再用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后当车高一定，时，求出，得到车辆顶部与隧道的最小空隙，进而求解即可； （3）将代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如解图，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为． 又图象经过原点， ， ， 抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设该隧道限高米， ， ， 当车高一定，时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， 由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙， ． 该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得， ， 两排灯的水平距离最小值是8米． 82．（2025·贵州毕节·二模）如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长； (3)在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离． 【答案】(1) (2)当m取得最大值时，棚的跨度为8米 (3)直线向下平移距离是米 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，将点P代入求得a即可； （2）设米，则A点横坐标为，结合二次函数求得，则，那么，，利用二次函数的性质求得当时，m取得最大值14即可； （3）设直线解析式为，进一步求得点，利用待定系数法求得直线为，设直线向下平移n米与抛物线相切，联立方程组根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ∵抛物线过点， ∴，解得， 抛物线解析式为； （2）解：设米，则A点横坐标为， ∴当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m取得最大值14， 则当m取得最大值时，棚的跨度为8米； （3）解：设直线解析式为， ∵点E纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 则直线为， 设直线向下平移n米与抛物线相切， ∴， 根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根， ，解得， ∴直线向下平移距离是米 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数的性质、一次函数的平移、根与系数的关系和求一次函数的解析式，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 83．（2025·贵州黔东南·一模）小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围． (3)为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，求出，即可作答． （2）理解题意，得，解得，．结合他站在水柱下方而没有被淋湿，故，即可作答． （3）理解题意，得，然后解得：，．因为，所以设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答． 【详解】（1）解：喷头距离地面1米． ． 把代入， 得 解得． 抛物线的表达式为：． （2）解：在中， 令，得． ∴ 解得：，． ∵他站在水柱下方而没有被淋湿， ． （3）解：在中，令， 得， ∴， 解得：，． ． 喷头沿轴向上平移． 设喷头沿轴向上平移米， 则抛物线水柱的表达式为： 当，时， 得， ∴， ∴ ． 当，时，得， 则， ∴ ． ， 即． 84．（2025·贵州遵义·一模）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． (1)求抛物线L的解析式； (2)如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，则点D的横坐标为 ，挡板端点E的横坐标为 ． 【答案】(1) (2)①8；②反弹后的小球不经过点，理由见解析 (3)7，10 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点问题等知识，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，利用二次函数的顶点式求解抛物线L的解析式即可； （2）①令（1）中解析式的，解方程即可求得点A的横坐标；②求反弹后抛物线的解析式，取，求得对应的y值即可作出判断； （3）求得抛物线L与直线的交点D坐标，进而求得反弹后的抛物线的解析式，进而求得反弹后抛物线与直线的交点的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线L的解析式为． （2）解：①令，由解得：，， ∴点A的横坐标为8； ②反弹后的小球不经过点，理由如下： ∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同，且最大高度是， ∴反弹后的抛物线的解析式为， 由①得，代入解析式中，得，解得或5（舍去）， ∴设反弹后的抛物线的解析式为， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点． （3）解：联立方程组，解得 （舍去），， ∴点D坐标为，即点D的横坐标为7； 由题意，设反弹后的抛物线解析式为， 将代入，得，解得：，（不合题意，舍去）， ∴反弹后的抛物线解析式为， 联立方程组，解得（舍去），， ∴挡板端点E的横坐标为10． 故答案为：7，10． 85．（2025·贵州六盘水·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标； （2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或； （3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 解得：， ∴， 整理得， 则顶点坐标为； （2）解：将代入， 解得 ∵，当时， 解得，， ∴或； （3）解：设直线的函数表达式为 将，代入得 ， 解得： ∴直线的函数表达式为 设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得 即 ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴． 86．（2025·贵州六盘水·一模）滨滨和妮妮是2025年亚洲冬季运动的吉祥物，寓意“哈尔滨欢迎您”．某商店以每件35元的价格购进吉祥物滨滨，以每件50元的价格出售，经统计，2025年1月份的销售量为200件．从2月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价为x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为______件；（用含x的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元 【分析】本题考查了二次函数的应用以及列代数式． （1）（1）利用月销售量该款吉祥物每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量； （2）利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的二次函数，运用二次函数的性质即可得出结论 【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设总利润为w，则有： ， ∵， ∴当时，有最大值，为3125， ∴降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元 87．（2025·贵州黔东南·一模）投掷实心球是贵州省中考体育考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度米与水平距离米之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据黔东南州中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分15分．请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求m的值． 【答案】(1) (2)该生在此项考试中得到满分，理由见解析 (3)m的值为或 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到舍去，比较即可得到结论； （3）①如右图，当时，，②如右图，当时，，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意设y关于x的函数表达式为：， 将代入得，， 解得：， 关于x的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中得到满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ， 该生在此项考试中得到满分； （3）解：①如右图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 88．（2025·贵州遵义·一模）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）以小美击球点O为坐标原点，则顶点为，设抛物线的解析式为，代入计算即可得解； （2）为，则为，由题得，求解得出，再结合二次函数的解析式判断即可得解； （3）求出．从而可得，最后结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：以小美击球点O为坐标原点，则顶点为； 设抛物线的解析式为． 把原点代入中得：， 解得， 则抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设为，则为， 由题得： 解得 ，， ， ， 把代入中得， 小美这一杆能把高尔夫球从O点直接打入球洞C点 （3）解：由题知，， 设直线的解析式为 把，代入得：， 解得：， ∴． ∴ ， ∵， ∴时，有最大值10米． 89．（2025·贵州遵义·一模）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动． (1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______； (2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ (3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围． 【答案】(1)， (2)当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米． (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，由此即可得； （2）由（1）可得抛物线的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为米”建立方程，解方程即可得； （3）先求出小山坡的顶点坐标为，从而可得，再根据“与坡顶距离不低于10米”建立不等式，求出的取值范围，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， 设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米． （3）解：， 则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为， 由题意得：，解得， 则， 当时，， 小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米， ， 解得． 90．（2025·贵州安顺·一模）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1) ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示） (2)若，求x的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，S有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可； （2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，米， ∴矩形菜园的面积为平方米； （2）解：当时，则， ∴， 解得，， ∵墙长为12米， ∴，即， ∴； （3）解：由题意，米， ∴， ∵墙长为12米，篱笆长为33米， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 试卷第136页，共137页 试卷第137页，共137页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数及其实际应用综合（90题） 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（    ） A． B． C． D． 7．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 10．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（      ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 二、填空题 11．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ． 12．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 13．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 14．（2021·贵州黔西·中考真题）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是 m． 15．（2021·贵州遵义·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 （填写序号）． ①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0； ③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a； ④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个． 16．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ．（填写正确的序号） 17．（2021·贵州贵阳·中考真题）二次函数的图像开口方向是 （填“向上”或“向下”）． 三、解答题 18．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 19．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 20．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 21．（2022·贵州安顺·中考真题）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 22．（2022·贵州六盘水·中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点的距离相等． (1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位，，； (3)建立平面直角坐标系，设，，停车位，请写出与之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点是否在停车带上． 23．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2022·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b． (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由； (3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式． 25．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： (1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 26．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； (2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 27．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，直线l：y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2＋bx＋c相交于点A（0，m），B（n，7）． (1)填空：m＝ ，n＝ ，抛物线的解析式为 ． (2)将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围． (3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值； （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值． 31．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．    （1）根据图象信息，求y与x的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 32．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． （1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________； （2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值； （3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2021·贵州黔东南·中考真题）图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标； （3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2021·贵州贵阳·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围． 35．（2021·贵州铜仁·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用（万元）与月销售量（辆）（）满足某种函数关系的五组对应数据如下表： 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 (1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出与的关系式________； (2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 四、单选题 36．（2025·贵州铜仁·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 37．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·贵州铜仁·三模）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，；⑤．其中正确的项有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（   ） A．方程的两根为， B．8 C． D．若，是抛物线上的两点，且，则 40．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 41．（2025·贵州安顺·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断： 安安：． 顺顺：若m是实数，则． 对于这两个判断，下列说法正确的是（   ） A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错 42．（2025·贵州遵义·二模）下面的四个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径． ④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③④ C．②③ D．②④ 43．（2025·贵州贵阳·一模）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（2025·贵州贵阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，则点所在象限为 （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．（2025·贵州毕节·一模）已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 1 5 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的对称轴是直线 B． C．关于的方程的根为和5 D．当时，的取值范围是 46．（2025·贵州·一模）已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（　　） A． B． C． D． 47．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 48．（2025·贵州遵义·二模）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 49．（2025·贵州六盘水·二模）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 50．（2025·贵州贵阳·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．（2025·贵州贵阳·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 53．（2025·贵州六盘水·一模）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（   ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 54．（2025·贵州安顺·一模）二次函数的部分图像如图所示，有以下说法： ①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 五、填空题 55．（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为 ． 56．（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 六、解答题 57．（2025·贵州铜仁·三模）随着直播销售逐渐被大众接受，达人直播带货在短视频平台占据了主导地位，成为各大商家的重要销售渠道，某化妆品商家“双十一”在直播间开展预售活动，销售其旗下品牌化妆品，平均每分钟可售出10件，每件盈利30元；为了扩大销售、增加利润，该店再次发布了降价活动，在保障每件商品利润不少于15元的前提下，经过一段时间销售统计，发现销售单价每降低1元，平均每分钟可多售出1件．设每件商品降价元，请你解决以下问题： (1)若，则每分钟的销量为______________件，若用含 的代数式表示，降价后每件商品的利润是______________元； (2)若降价后该商品每分钟的销售量记作件，请你求出与之间的关系式及的取值范围； (3)请你算一算每件商品降价多少元时，该直播间商家每分钟能拿到最多的销售利润？最多为多少元？ 58．（2025·贵州铜仁·三模）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 59．（2025·贵州黔东南·二模）在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 60．（2025·贵州六盘水·二模）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 61．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 62．（2025·贵州贵阳·二模）已知二次函数． (1)二次函数图象的对称轴为直线________； (2)若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； (3)如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围． 63．（2025·贵州黔东南·二模）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 64．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 65．（2025·贵州铜仁·三模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为． (1)求的值； (2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 66．（2025·贵州毕节·三模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示） (2)当时，求顶点纵坐标的最大值与最小值； (3)当时，y的值随x值的增大而减小，且当时，都有，求a的取值范围． 67．（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 68．（2025·贵州铜仁·二模）赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． (3)若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 69．（2025·贵州贵阳·二模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 … 10 市场需求量q（百千克） 12 10 … 4 已知当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出． (1)求q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润y（百元）的最大值． 70．（2025·贵州贵阳·三模）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画关系最准确的是___________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 71．（2025·贵州·二模）下表是某二次函数图象上部分点的自变量和对应的函数值： … 0 1 2 … … 5 0 0 5 … (1)观察表格，_____． (2)求这个二次函数的表达式，并写出一个符合条件的值，使得当时，的值随值的增大而减小． (3)若这个二次函数的图象与轴负半轴的交点为点A，与轴的交点为点，连接，是该函数图象上且位于线段下方的一动点，设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 72．（2025·贵州遵义·二模）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； (3)现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 73．（2025·贵州贵阳·一模）某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 (1)求与的函数关系式； (2)设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值； (3)若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得14000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 74．（2025·贵州贵阳·一模）某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段和一段抛物线构成，垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知，抛物线顶点E的坐标为． (1)求拱门抛物线的函数关系式； (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用，，三根钢架隔出正方形区域供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长； (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据：） 75．（2025·贵州贵阳·一模）如图，是一段坡比为的斜坡，在斜坡上按水平距离间隔20米修建两面墙，两面墙的高度都为3米（米），某农业种植公司在A、B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋．以点O为坐标原点，过点O的水平线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．经过测量，该抛物线的表达式为． (1)求点B的坐标及该抛物线的表达式； (2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能高于5米（直线x轴分别交抛物线和线段于点D、E．斜坡与抛物线之间的竖直距离为的长），请问此温室大棚是否符合这一要求？请说明理由； (3)该农业种植公司想在另一坡比为的斜坡上再搭建一个温室大棚，两面墙的高度仍为3米，温室大棚（抛物线）的形状与本题中的抛物线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合（2）的要求（即斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5米），求出两面墙之间的水平距离． 76．（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 77．（2025·贵州毕节·一模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点，是抛物线上两点，且，求的取值范围； (3)一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，若，求的最大值． 78．（2025·贵州毕节·一模）2024年第33届巴黎奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制了一种网球发球器，已知该发球器的网球出口离地竖直高度米．如图，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，矩形为初学者的接球区域，其中米，米，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式，并求出网球的最大射程； (2)求最小力量时网球发射出的最大射程； (3)要使初学者能接住发球器发出的网球（即发出的网球能落在接球区域中），请求出初学者距发球器的水平距离的取值范围． 79．（2025·贵州黔东南·一模）乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，点在球台中轴线上，发球机的出球在点正上方处，以球台的中轴线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若把球看成点，球从点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球台边界距点的水平距离为． (1)求与的函数关系式； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)保持发球角度、速度不变的情况下，将发球机调低后（抛物线形状不变），球从点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与点的水平距离． 80．（2025·贵州黔东南·一模）如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示． (1)求该塑料大棚最高点到地面的距离； (2)小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答． ①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离； ②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围． 81．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图． 素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值． 82．（2025·贵州毕节·二模）如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长； (3)在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离． 83．（2025·贵州黔东南·一模）小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围． (3)为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围． 84．（2025·贵州遵义·一模）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． (1)求抛物线L的解析式； (2)如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由． (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是，若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，则点D的横坐标为 ，挡板端点E的横坐标为 ． 85．（2025·贵州六盘水·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 86．（2025·贵州六盘水·一模）滨滨和妮妮是2025年亚洲冬季运动的吉祥物，寓意“哈尔滨欢迎您”．某商店以每件35元的价格购进吉祥物滨滨，以每件50元的价格出售，经统计，2025年1月份的销售量为200件．从2月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价为x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为______件；（用含x的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 87．（2025·贵州黔东南·一模）投掷实心球是贵州省中考体育考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度米与水平距离米之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据黔东南州中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分15分．请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求m的值． 88．（2025·贵州遵义·一模）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 89．（2025·贵州遵义·一模）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动． (1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______； (2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ (3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围． 90．（2025·贵州安顺·一模）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1) ______米， ______平方米．（用含x的代数式表示） (2)若，求x的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？ 试卷第136页，共137页 试卷第137页，共137页 学科网（北京）股份有限公司 $$