专题04 代数式、整式及因式分解（湖南专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题04 代数式、整式及因式分解 考点01 代数式及求值 1．（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 3．（2023•娄底）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这（n+2）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这（n+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 　　米（请用关于a的代数式表示），才能使得这（n+3）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等． 考点02 同类项及合并同类项 1．（2023•株洲）计算：3a2﹣2a2＝　a2　． 考点03 整式的规律探究 1．（2023•娄底）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（n≥m，n、m为正整数）；例如：，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（　　） A．2003 B．2004 C．2022 D．2023 3．（2023•岳阳）观察下列式子： 12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；… 依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 　 　． 考点04 幂的运算 1．（2025•长沙）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025•湖南）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2023•株洲）计算：（3a）2＝（　　） A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2 4．（2023•永州）下列各式计算结果正确的是（　　） A．3x+2x＝5x2 B． C．（2x）2＝2x2 D． 5．（2023•衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（　　） A．x6 B．x6 C．x5 D．x9 6．（2023•常德）计算：（a2b）3＝　 　． 7．（2024•湖南）下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3 8．（2023•益阳）下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5 C．（3x）2＝6x2 D．x3÷x＝x2 9．（2023•怀化）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．a6÷a2＝a3 C．（ab3）2＝a2b9 D．5a﹣2a＝3 10．（2023•湘潭）下列计算正确的是（　　） A．a8÷a2＝a4 B．a+a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5 考点05 整式的化简求值 1.（2025•湖南）先化简，再求值：，其中． 2．（2024•长沙）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m． 3．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a． 4．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b． 考点06 因式分解 1．（2023•益阳）下列因式分解正确的是（　　） A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b） C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2 2．（2025•湖南）因式分解： ． 3．（2025•长沙）分解因式： ． 4．（2023•永州）2a2与4ab的公因式为 　 　． 5．（2023•湘西州）分解因式：2x2﹣2＝　 　． 6．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　． 7．（2023•张家界）因式分解：x2y+2xy+y＝　 　． 8．（2023•常德）分解因式：a3+2a2b+ab2＝　 ． 9．（2023•邵阳）因式分解：3a2+6ab+3b2＝　 　． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式、整式及因式分解 考点01 代数式及求值 1．（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 【分析】将已知条件变形可得a2+3a＝4，然后将2a2+6a﹣3变形为2（a2+3a）﹣3后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a2+3a﹣4＝0， ∴a2+3a＝4， ∴2a2+6a﹣3 ＝2（a2+3a）﹣3 ＝2×4﹣3 ＝5， 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，将2a2+6a﹣3变形为2（a2+3a）﹣3是解题的关键． 3．（2023•娄底）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这（n+2）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这（n+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 　　米（请用关于a的代数式表示），才能使得这（n+3）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等． 【分析】首先根据题意用代数式表示出n个同学时和（n+2）个同学时每个同学之间的距离，根据距离相等，计算出n，r，a之间的关系．再设向后移x米，表示出（n+3）个同学时每两个学生之间的距离，根据这个距离与n个同学时距离相等可以表示出x，最后把其中的n，r代换成a即可． 【解答】解：原来n个同学之间的距离为：， （n+2）个同学之间的距离为：， 由题意可知：，整理得，2r＝na，即， 设又有一个同学要加入队伍时，每人须向后移x米， 这（n+3）个同学之间的距离为：， 由题意得：，整理得，x， ∵， ∴x． 故答案为：． 【点评】本题考查列代数式，以及代数式之间的运算问题．根据题意准确列出代数式并进行运算是解题的关键． 考点02 同类项及合并同类项 1．（2023•株洲）计算：3a2﹣2a2＝　a2　． 【分析】利用合并同类项的法则运算即可． 【解答】解：3a2﹣2a2＝a2． 故答案为：a2． 【点评】本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键． 考点03 整式的规律探究 1．（2023•娄底）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（n≥m，n、m为正整数）；例如：，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】对于和正用公式，通分后再逆用公式． 【解答】解：∵， ∴2， 故选：C． 【点评】本题考查了新定义组合数公式的正用和逆用以及通分技巧，关键是通分成一个分数． 2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（　　） A．2003 B．2004 C．2022 D．2023 【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案． 【解答】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第（m+n﹣1）行，第n列， ∴在第2042行，第20列， ∴a＝2042，b＝20， ∴a﹣b＝2042﹣20＝2022， 故选：C． 【点评】本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察数表得到a，b的值． 3．（2023•岳阳）观察下列式子： 12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；… 依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 　n2﹣n＝n（n﹣1）　． 【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积． 【解答】解：12﹣1＝1×0； 22﹣2＝2×1； 32﹣3＝3×2； 42﹣4＝4×3； 52﹣5＝5×4； …； 依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）． 故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）． 【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键． 考点04 幂的运算 1．（2025•长沙）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 2．（2025•湖南）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 3．（2023•株洲）计算：（3a）2＝（　　） A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2 【分析】由积的乘方公式（ab）2＝a2b2可得出结论． 【解答】解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2， 故选：D． 【点评】本题考查了乘法公式，能灵活应用公式是解题的关键． 4．（2023•永州）下列各式计算结果正确的是（　　） A．3x+2x＝5x2 B． C．（2x）2＝2x2 D． 【分析】分别利用合并同类项法则，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义对每个选项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：∵3x+2x＝5x≠5x2， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵（2x）2＝4x2≠2x2， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项，算术平方根的意义，积的乘方法则和负指数幂的意义，掌握这些法则和意义是解决问题的关键． 5．（2023•衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（　　） A．x6 B．x6 C．x5 D．x9 【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可． 【解答】解：原式x3×2x6． 故选：B． 【点评】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用． 6．（2023•常德）计算：（a2b）3＝　a6b3　． 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算． 【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3． 故答案为：a6b3． 【点评】本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 7．（2024•湖南）下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3 【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a2，原计算错误，不符合题意； B、a3÷a2＝a（a≠0），正确，符合题意； C、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意； D、（2a）3＝8a3，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，熟知以上运算法则是解题的关键． 8．（2023•益阳）下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5 C．（3x）2＝6x2 D．x3÷x＝x2 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可． 【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A不符合题意； B．（x3）2＝x6，故B不符合题意； C．（3x）2＝9x2，故C不符合题意； D．x3÷x＝x2，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质是解答的关键． 9．（2023•怀化）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．a6÷a2＝a3 C．（ab3）2＝a2b9 D．5a﹣2a＝3 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案． 【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意； B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意； C．（ab3）2＝a2b6，故此选项不合题意； D．5a﹣2a＝3a，故此选项不合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 10．（2023•湘潭）下列计算正确的是（　　） A．a8÷a2＝a4 B．a+a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a5 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案． 【解答】解：A．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意； B．a+a2，无法合并，故此选项不合题意； C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意； D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 考点05 整式的化简求值 1.（2025•湖南）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2024•长沙）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m． 【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3） ＝2m﹣m2+2m+m2﹣9 ＝4m﹣9， 当m时，原式＝49＝10﹣9＝1． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2 ＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2 ＝4﹣6a， 当a时，原式＝4﹣6×（） ＝4+2 ＝6． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解． 【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2 ＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2） ＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2 ＝2a2﹣6ab， 当a＝﹣3，时，原式24． 【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 考点06 因式分解 1．（2023•益阳）下列因式分解正确的是（　　） A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b） C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论． 【解答】解：A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意； B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意； C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意； D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 2．（2025•湖南）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025•长沙）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 4．（2023•永州）2a2与4ab的公因式为 　2a　． 【分析】根据公因式的定义解答即可． 【解答】解：2a2与4ab的公因式是2a． 故答案为：2a． 【点评】本题考查了公因式，能熟记公因式的定义是解此题的关键． 5．（2023•湘西州）分解因式：2x2﹣2＝　2（x﹣1）（x+1）　． 【分析】先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x﹣1）（x+1）． 故答案为：2（x﹣1）（x+1）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 6．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　． 【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【解答】解：2x2﹣4x+2， ＝2（x2﹣2x+1）， ＝2（x﹣1）2． 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 7．（2023•张家界）因式分解：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解：x2y+2xy+y ＝y（x2+2x+1） ＝y（x+1）2． 故答案为：y（x+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 8．（2023•常德）分解因式：a3+2a2b+ab2＝　a（a+b）2　． 【分析】先提取公因式a，再运用完全平方公式分解． 【解答】解：a3+2a2b+ab2 ＝a（a2+2ab+b2） ＝a（a+b）2． 故答案为：a（a+b）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 9．（2023•邵阳）因式分解：3a2+6ab+3b2＝　3（a+b）2　． 【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：3a2+6ab+3b2， ＝3（a2+2ab+b2）， ＝3（a+b）2． 【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$