专题2.4图形的位似变化、综合与实践（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题2.4图形的位似变化、综合与实践 教学目标 1.学会用位似变换把一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点。 2.了解相似变换、位似变换，位似图形及其有关概念。 3.掌握常用的测量物体高度的方法，并会用这些方法测量物体的高度。 教学重难点 教学重点：位似图形的概念；位似图形的性质；利用位似变换作图。 教学难点：位似与相似的区别与联系；位似中心的多样性对作图的影响；坐标系中位似图形的坐标变化；位似的实际应用建模 知识点01 位似图形的概念 1.定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 2.相似图形与位似图形的区别与联系 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3.位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 对应点到位似中心的距离比等于位似比； 对应线段的比等于位似比； 对应图形的面积比等于位似比的平方； 位似图形具有传递性（若图形 A 与 B 位似，B 与 C 位似，则 A 与 C 位似）。 4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 【即学即练】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 图形的放大与缩小 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；（可在图形内、外、边上或顶点处）②确定位似比（大于 1 为放大，0~1 为缩小）；③连接位似中心与图形各顶点，按位似比延长或缩短连线，确定对应点；④顺次连接对应点得到位似图形。 【即学即练】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在点O同侧画出线段的位似线段，使线段与线段的位似比为； (2)以点，为顶点画一个格点平行四边形． 知识点03 平面直角坐标系中图形的位似变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【即学即练】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． (1)以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； (2)计算的面积． 知识点04 利用相似三角形解决测量问题 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【即学即练】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 题型01 利用位似图形求图形的面积、周长等 【例1-1】（利用位似图形求相似比）（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（利用位似图形求图形的面积）（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【例1-3】（利用位似图形求图形的周长）（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 【变式1-4】（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 题型02 画位似图形 【例2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得，且点D在的下方，． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： (1)将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到； (2)以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； (2)将向上平移个单位长度得到，请画出． 题型03 确定位似中心 【例3】（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B都在格点上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点上，按要求完成下列任务． (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为． 题型04 平面直角坐标系中的位似图形 【例4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长都为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，以原点O为位似中心在第一象限画一个，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为）； (1)画出； (2) 坐标为 ，坐标为 ； (3)若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为 ． 【变式4-4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为，并写出点的坐标． 题型05 利用相似三角形解决测量问题 【例5-1】（测量物体的高度）（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，该古城墙的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．米 D．米 【例5-2】（测量物体的宽度）（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则物距是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【变式5-4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 题型06 位似与相似、函数的综合运用 【例6-1】如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【例6-2】如图，在矩形中，． (1)如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） (2)在（1）中，若，求矩形的面积； (3)如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标． 【变式6-2】如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； (2)试推断与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 【变式6-3】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 题型07 规律探究题 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 一．选择题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（    ） A．米 B．9米 C．米 D．米 二．填空题 3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 4.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 三．解答题 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，运河边上移栽了两棵老树，，它们相距10m，分别自两树上高出地面6m，8m的A，C处，向两侧地面上的点E和D，点B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索与的交点P离地面的高度为多少米？ 6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点M，使． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心作，使它与的位似比为； (2)在图2中，在AC边上找一个点E，使． 8．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上．以为位似中心，将放大，使得放大后的与的相似比为，要求所画与在原点两侧． (1)画的图形； (2)分别写出点、的坐标； (3)在中的任意一点坐标为，经过位似变换后对应点的坐标为______． 10.如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O． （1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形； （2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2； （3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来． 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 12．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4图形的位似变化、综合与实践 教学目标 1.学会用位似变换把一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点。 2.了解相似变换、位似变换，位似图形及其有关概念。 3.掌握常用的测量物体高度的方法，并会用这些方法测量物体的高度。 教学重难点 教学重点：位似图形的概念；位似图形的性质；利用位似变换作图。 教学难点：位似与相似的区别与联系；位似中心的多样性对作图的影响；坐标系中位似图形的坐标变化；位似的实际应用建模 知识点01 位似图形的概念 1.定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 2.相似图形与位似图形的区别与联系 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3.位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 对应点到位似中心的距离比等于位似比； 对应线段的比等于位似比； 对应图形的面积比等于位似比的平方； 位似图形具有传递性（若图形 A 与 B 位似，B 与 C 位似，则 A 与 C 位似）。 4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 【即学即练】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 知识点02 图形的放大与缩小 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；（可在图形内、外、边上或顶点处）②确定位似比（大于 1 为放大，0~1 为缩小）；③连接位似中心与图形各顶点，按位似比延长或缩短连线，确定对应点；④顺次连接对应点得到位似图形。 【即学即练】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在点O同侧画出线段的位似线段，使线段与线段的位似比为； (2)以点，为顶点画一个格点平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形是解决此题的关键． (1)利用位似变换的性质，分别作出，的对应点，即可； (2)根据平行四边形的判定作出图形即可(答案不唯一）． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，四边形即为所求（答案不唯一）． 知识点03 平面直角坐标系中图形的位似变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【即学即练】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． (1)以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； (2)计算的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（）根据位似图形的性质找到点的对应点，再连接即可求作； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作位似图形，三角形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积． 知识点04 利用相似三角形解决测量问题 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【即学即练】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 【答案】楼高为12.8米． 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ， 解得， 楼高为12.8米． 题型01 利用位似图形求图形的面积、周长等 【例1-1】（利用位似图形求相似比）（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 与的周长之比是， ， ， ， ． ∴的值为． 故选：C． 【例1-2】（利用位似图形求图形的面积）（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了位似变换．利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为：，进而得出面积比，即可得出四边形的面积． 【详解】解：， ， 四边形与四边形的位似比为：， 四边形与四边形的面积比为：， 四边形的面积为， 四边形的面积为：． 故答案为：． 【例1-3】（利用位似图形求图形的周长）（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比，根据，得到，确定位似比计算即可． 【详解】∵与是位似图形，点O为位似中心，． ∴， 根据位似图形的周长之比等于位似比，的周长为2， ∴， 解得， 故选B． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 ． 【答案】1:3 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的． 相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方． 【详解】已知两个相似三角形的面积比为1: 9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1: 3， 故答案为1: 3． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】利用相似三角形的性质求解、在坐标系中画位似图形、求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了作位似图形，位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． （1）根据位似图象的特征进行作图即可； （2）根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：作出点的对应点，点B的对应点，顺次连接，则为所求作的三角形． （2）解：∵放大为原来的2倍得到， ∴， ∴， ． 故答案为：；． 【变式1-4】（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）直接利用A点对应点位置结合位似中心得出B，C点对应点; （2）利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比； （3）得出三角形面积即可得出答案. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵由图可知，， ∴与的位似比为； （3）解：∵，， ∴与的面积比为． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键. 题型02 画位似图形 【例2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得，且点D在的下方，． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了作图——位似变换我，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与以静制动是正确解答此题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由题意得，与的相似比为，结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：因为与的对应边之比为，且点在的延长线上．如图，延长至，使，延长至，使，连接，即为所求； （2）解：，且点D在的下方，． ， ， 在下方作以为直角边的等腰直角，即为所求． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： (1)将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到； (2)以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）把、、三点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，顺次连接得到的各点即可； （2）延长到，使，同法得到其余各点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； (2)将向上平移个单位长度得到，请画出． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可； （）根据平移的性质即可画出； 本题考查了画位似图形和平移图形，掌握位似图形的性质和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接， ∴即为所求； （2）解：如图所示， ∴即为所求． 题型03 确定位似中心 【例3】（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，根据关于原点位似的关系，将点横纵坐标都乘以即可，熟练掌握位似变换的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，， ∴点C坐标为，即， 故选：C． 【变式3-1】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B都在格点上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了求关于原点成位似图形的点的坐标，解题的关键在于能够掌握两个图形关于原点位似，且相似比为k，那么它们对应的横纵坐标之比为．根据题意可知点B的坐标为，再由和 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，可得将点B的横、纵坐标都乘以，得点的坐标． 【详解】解：∵与 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴将点B的横、纵坐标都乘以，得点的坐标． 由B的坐标，得点的坐标为． 故选：A ． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．先由求出，再利用位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 以点为位似中心，作四边形的位似图形，， ， 四边形的面积是9， 四边形的面积是25， 故选：A． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点上，按要求完成下列任务． (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查作图——轴对称变换及位似变换，正确利用网格，根据轴对称及位似图形的性质找出对应点是解题关键． （1）根据轴对称的性质分别找出点A、B、C的对应点，，，顺次连接即可得答案； （2）连接并延长到，根据网格特征使，同理找出点B、C的对应点B2、C2，顺次连接即可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 题型04 平面直角坐标系中的位似图形 【例4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形、位似图形的识别、判断位似中心 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解，点坐标为 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：和是位似图形，点为所求位似中心，如图点即为所求． 可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并再网格点上， ∴点坐标为． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长都为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，以原点O为位似中心在第一象限画一个，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为）； (1)画出； (2) 坐标为 ，坐标为 ； (3)若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由位似中心为点O，相似比为，可知连接并延长使得，连接并延长使得，连接并延长使得，再顺次连接，即可得到； （2）由在坐标系中的位置可直接得出答案； （3）由（2）中结论可得内任意一点的对应点的横、纵坐标均为该点横、纵坐标的2倍． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：坐标为，坐标为， 故答案为：，； （3）解：若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标为 【知识点】求位似图形的对应坐标、坐标与图形变化——轴对称、在坐标系中画位似图形、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质与位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可，再写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标是 题型05 利用相似三角形解决测量问题 【例5-1】（测量物体的高度）（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，该古城墙的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即， ∴米， 故选：C． 【例5-2】（测量物体的宽度）（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则物距是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 过点O作，根据 ，，从而得到，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：过点O作，垂足为E，延长交于点F， ，， ，，， ， ， ∵蜡烛火焰的高度为6cm  ，像距为15cm  ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 9 cm ，物距为 ， 解得：， 物距是． 故选：B． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【知识点】矩形性质理解、相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 【变式5-4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 题型06 位似与相似、函数的综合运用 【例6-1】如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长，位似图形的性质，解题的关键是求出函数解析式； （1）得点B坐标为代入解析式即可； （2）由题意得正方形的面积为2，故其边长为，根据点G在反比例函数上，令，解得即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得点B坐标为， 将其代入反比例函数解析式，， 反比例函数解析式为； （2）解：由题意得正方形的面积为2，故其边长为，点G在反比例函数上， 令，解得， ． 【例6-2】如图，在矩形中，． (1)如图1，矩形的顶点分别在和边上，点在矩形的内部，以点为位似中心，作矩形的位似矩形，且使得矩形的顶点恰好落在对角线上；（不要求写作法） (2)在（1）中，若，求矩形的面积； (3)如图2，在一个矩形空地上，王师傅准备修建一个矩形的花坛，要求点位于对角线上，且点分别在和边上，设的长为，矩形的面积为，求当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)当时，S有最大值，最大值为． 【分析】本题是四边形综合题型，主要考查了位似图形的画法，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题． （1）根据位似图形的定义，连接并延长与相交于P，过P作交于M，作交于Q，四边形即为矩形的位似图形； （2）先求出，然后根据，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解； （3）用x表示出，然后根据，再利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：作矩形的位似矩形如图所示； ； （2）解∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三位似三角形性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，可得到，过点A作交y轴于点D，，此时与位似且位似中心为点C，符合题意，求出，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：， ∴点A的坐标为， 把点代入得：； （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴由（1）得：反比例函数解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 如图，过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 【变式6-2】如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； (2)试推断与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为， (2) (3)①；②的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数应用，位似图形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据抛物线的顶点坐标公式，求得顶点坐标为，再将代入正比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得，可得顶点坐标，再设抛物线的解析式为，从而可得抛物线 的解析式，结合顶点在上，即可得解； （3）依据题意，由①得抛物线的顶点坐标为，又将抛物线横向、纵向同时放大倍后，可得顶点坐标为，从而抛物线将点代入，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 抛物线的顶点坐标为， 将代入得 ； （2）与之间的数量关系为．理由如下： 由题意，顶点始终在直线上， ∴ ， ． 与之间的数量关系为． （3）①由题意，， ． 抛物线顶点的横坐标为， 顶点的纵坐标为． 设抛物线的解析式为 抛物线 的解析式为 抛物线 的顶点坐标为 在上 ． ②由①得抛物线的顶点坐标为． 将抛物线横向、纵向同时放大倍后， 顶点坐标为． 抛物线 将点代入得 解得： ∴的值为或． 【变式6-3】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式可求得A的坐标值，代入解析式可求得k值，即可求得解析式. （2）根据题意，得,过点A作交y轴于点D，从而得证，解得，求得，解答即可． （3）设直线的解析式为，确定直线的解析式为，设直线与x轴的交点为Q，则，过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N，此时，，故点，在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则直线是线段的垂直平分线，证明，则点即为所求． 【详解】（1）解：把点代入解析式 得， 故， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得； （2）解：令，得， ， ， 由，得， 由， 解得， ， ∴,, ∴, 过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， 解得， ∴， 故. （3）解：设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则， 解得， 故， ∴， ∴， 过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N， 此时，， 故点， 在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故点． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键. 题型07 规律探究题 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求位似图形的对应坐标、列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 【详解】解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 【答案】或（） 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，根据位似图形的性质求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的面积； ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 同理可得，的面积； …… 则的面积为， 故答案为：或（）． 一．选择题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、用勾股定理解三角形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的特征是解题关键． 两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．作射线，根据位似中心的概念、三角形的位似比解答即可． 【详解】解：作射线，如下图， 射线经过点，且，故， ∴点的对应点为点． 故选：B． 2．（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（    ） A．米 B．9米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题侧重考查相似三角形的应用，相似三角形对应边成比例、两角分别相等的两个三角形相似． 由镜面反射原理可知，可证明．可得，根据已知条件解决问题． 【详解】解：由题意可知， 又， ． ． ． ． (米) 故选：A． 二．填空题 3．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故答案为：． 4.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，作出木杆在轴上的投影，作轴交于点，可得，根据即可得到相似比，从而求解． 【详解】解：作出木杆在轴上的投影，作轴交于点，如图所示： ∵木杆两端的坐标分别为 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 三．解答题 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，运河边上移栽了两棵老树，，它们相距10m，分别自两树上高出地面6m，8m的A，C处，向两侧地面上的点E和D，点B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索与的交点P离地面的高度为多少米？ 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质知识点，解题的关键是通过相似三角形的性质建立比例关系求解． 过点作于，通过证明与相似，与相似以及与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来求解的长度． 【详解】 过点作于． ，． ，， ， ， ， 又，， ，． 设，，     ，． 通分得到，即， 解得米． 绳索与的交点P离地面的高度为米． 6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点M，使． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）根据位似图形的性质可直接进行求解； （2）根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作点M如图所示： 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心作，使它与的位似比为； (2)在图2中，在AC边上找一个点E，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了网络作图，熟练掌握位似三角形性质，相似三角形性质，是解题的关键． （1）在延长线取点，在延长线上取点，使，连接，即得； （2）根据，得，得，结合，即得． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：即为所求； 8．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接，，同法得到，，再顺次连接，，，，即可； （2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，五边形即为所求作的图形； ． （2）∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上．以为位似中心，将放大，使得放大后的与的相似比为，要求所画与在原点两侧． (1)画的图形； (2)分别写出点、的坐标； (3)在中的任意一点坐标为，经过位似变换后对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) 【知识点】位似图形相关概念辨析、写出直角坐标系中点的坐标、在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）由所得图形及网格即可直接得出答案； （3）根据位似变换的性质及已知条件，即可得出经过位似变换后对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：由图可知： 点、的坐标分别为： ，； （3）解：，且放大后的与的相似比为， 根据位似变换的性质及已知条件可得，经过位似变换后对应点的坐标为： ， 即：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，写出直角坐标系中点的坐标，位似变换的性质，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似变换的性质及位似图形的性质是解题的关键． 10.如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O． （1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形； （2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2； （3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）有，答案见解析． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、判断位似中心、平移(作图) 【解析】（1）根据平移的方向和距离，确定正方形四个顶点的对应点的位置后，顺次连接即可； （2）连接O点与各顶点，在同一方向延长，使延长后的线段为之前的两倍，确定对应点的位置后，顺次连接即可； （3）连接A'C1、B'D1、C'A1、D'B1，它们的交点即为位似中心． 【详解】解：（1）图形如图所示： （2）图形如图所示： （3）有，如图所示，P点即为所求： 【点睛】本题考查了网格中的作图，涉及到了平移、作位似图形、找位似中心等内容，要求学生理解并掌握相关概念与作图步骤等，解题的关键是明白两个图形位似，则对应点的连线交于一点，该点即为位似中心，同时应明白位似比的概念，能利用位似比作一个图形的位似图形等． 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 【答案】(1)见解析 (2)与的位似比为． (3)见解析 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似中心、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）本题考查位似作图和位似中心的特点，根据各对应点连线所在直线的交点即为位似中心，画出图形，即可解题． （2）本题考查位似比，由（1）中图形，得出，的长度，利用，即可求得与的位似比． （3）本题考查位似作图，根据点P为位似中心，与的位似比等于2，延长到，使，延长到，使，延长到，使，即找出顶点的对应点、、，依次连接对应点，就是所求作的三角形． 【详解】（1）解：如图所示：点O就是位似中心． （2）解：由（1）知，，， ， 与的位似比为． （3）解：如图所示：就是所求作的三角形． 12．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，； (3)点在中的对应点的坐标为． 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似中心、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可，根据图形写出坐标即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图，点为所作； （2）如图，为所作，点的坐标为； （3）点在中的对应点的坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$