精品解析：2025年辽宁省抚顺市新抚区中考四模数学试题

**基本信息** 融合传统文化与现实应用，梯度设计考查数学抽象、推理及应用意识，适配九年级模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、科学记数法、视图、随机事件等|以传统对称美考几何直观，祖冲之圆周率考数感| |填空题|5/15|函数取值、平行线性质、概率、反比例函数等|光的折射考空间观念，季节书签考数据意识| |解答题|8/75|代数运算、统计分析、几何证明、函数建模等|《九章算术》浮箭漏考模型意识，新定义“共赢函数”考创新思维|

2024-2025学年度（下）学期教学质量检测 九年级数学试卷（四） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图是 ， 故选：B． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和是360° B. 两张扑克牌，1张是方块，1张是黑桃，从中随机抽取1张扑克牌是红桃 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数小于7 D. 骑自行车过路口时遇到绿灯 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件；必然事件指一定发生的事件；不可能事件指一定不发生的事件；随机事件指可能发生也可能不发生的事件. 【详解】解：选项A：任意四边形的内角和恒为，是必然事件，排除； 选项B：两张扑克牌分别为方块和黑桃，均不含红桃，因此抽到红桃是不可能事件，排除； 选项C：骰子点数最大为6，故点数一定小于7，是必然事件，排除； 选项D：路口绿灯的出现具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件； 故选：D 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由不等式①得，， 由不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．先证明和都是等边三角形，求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 8. 小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、勾股定理等知识． 利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴ 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故选：D． 9. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 10. 小澎从家里出发骑自行车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间（分钟）之间的关系的图，根据前图中的信息，则下列说法正确的个数（ ） ①小澎家到学校的距离是1800米； ②小澎在文具店停留了4分钟； ③本次上学途中，小澎一共行了3400米； ④若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小澎骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确计算平均速度是解题的关键．根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断①的正误；根据平行x轴的线段的两个端点的自变量值的差，就是停留的时间，可以判断②的正误；根据题意，行走的总路程为米，可以判断③的正误；分别计算前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟；12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，可判定④的正误． 【详解】解：①、根据函数图象，学校的纵坐标为1800，小澎家的纵坐标为0，故小澎家到学校的路程是1800米，正确； ②、根据题意，小澎在书店停留的时间为从8分到12分，故小澎在书店停留了4分钟，正确； ③、本次上学途中，小澎一共行了米，正确； ④、由图象可知：前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟； 12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，此项错误； 所以说法正确的个数有3个． 故选：C． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式中x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 12. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同旁内角互补成为解题的关键． 先根据平角的定义求得，然后再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 一个不透明的盒子里装有如图所示的4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），则抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， 抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设．利用矩形的性质得出E为中点，．根据线段中点坐标公式得出．由勾股定理得出，列出方程，求出m，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】解：∵轴，， ∴C、E两点横坐标相同，都为2， ∴可设． ∵矩形的对角线的交点为E， ∴E为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． ∵反比例函数的图象经过点E， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 15. 如图，点为边长为6的正方形的边的中点，点是边上一点，交于点，连接，，当最小时，______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于点，将平移至，连接，证明，则，由勾股定理求得，则最小值即为的最小值，由平移性质可得四边形为平行四边形，则，，由，得到点三点共线时，取得最小值，即为，可得为等腰直角三角形，设，由，得到，根据，求出，则，，则． 【详解】解：过点作于点，将平移至，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴最小值即为的最小值 由平移可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线时，取得最小值，即为，如图： ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键在于转化思想的运用． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）10；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，分式的混合计算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，1的乘方，化简对称值，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分相减，再把除法变成乘法后分子分母分解因式，约分化简即可． 【详解】解：（1） ． 解：（2） ． 17. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在B组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在B组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 八年级 91 93 （1）求出表中的值，并把条形统计图补充完整： （2）根据以上数据，推断该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”的知识竞赛中哪个年级学生成绩较好？（从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）若该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）解：八年级，理由如下： 因为两个年级的平均数都是91，成绩平均水平相同，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，综上分析，八年级成绩较好 （3）810人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义，圆心角的计算，统计图的画法解答即可： （2）根据特征量作出决策解答即可； （3）用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查了中位数，众数，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握定义和计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 故中位数， 八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多， 故众数， ， 即， 七年级A组的人数为（人）， 图略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共约有810人． 18. 为丰富同学们的课余生活，全面响应中小学生每天体育锻炼不低于2小时的要求，引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质．七年四班拟组织学生大课间参加跳绳活动，需购买甲，乙两种跳绳，已知购买甲、乙两种跳绳部分信息如下： 甲种跳绳数量（根） 乙种跳绳数量（根） 总钱数（元） （1）求甲，乙两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买甲，乙两型跳绳共48根，乙型跳绳个数不少于甲型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】（1）甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元 （2）购买跳绳所需最少费用是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确的列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲种跳绳的单价是元，乙种跳绳的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买根甲种跳绳，所需总费用为元，则购买根乙种跳绳，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，由购买乙种跳绳根数不少于甲种跳绳根数的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得： 答：甲种跳绳的单价为25元，乙种跳绳的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买甲种跳绳根，则购买乙种跳绳根， 设购买跳绳所需费用为元． 根据题意得： 解得：． 则 随的增大而减小． 当时，为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是1360元． 19. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器（测量角的仪器）的高度为米，点在水平地面的同一直线上，在点处安置测倾器，测得电池板顶端点的仰角，在与点相距米的点处安置测倾器，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点与在一条直线上），，测得米． （1）求电池板顶端点离地面的高度； （2）求灯臂的长度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，构造直角三角形求解是解题的关键． （1）延长交于点，证明四边形，为矩形，利用特殊角证明等腰直角三角形，解答即可． （2）先解直角三角形，再证明，列比例式解答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， ， 四边形，为矩形， 米，， ， ， 米， 米， 米． 答：电池板顶端点离地面的高度为米． 【小问2详解】 解：四边形为矩形， 米， 在中， ， ， ， ， 米， ， ， ，即：， 米， 答：灯臂长约为米． 20. 某经销商销售一种成本价为元千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元千克，在销售过程中发现日销量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）小澎同学说若销售这种商品天，可以获得总利润元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：小澎同学的说法是错误的， 理由如下，设每天利润为元， ∴， 即， ∵，抛物线开口向下， ∴当元时，每天利润最大元， ∵， ∴他的说法是错误的． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，二次函数的应用，求出相应的函数关系式是解题的关键． （）由已知设与之间的函数表达式，把，，代入即可求解； （）设每天利润为元，则，即，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由已知设与之间的函数表达式， 把，，代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于点和点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为6，求弦和围成的阴影弓形部分面积． 【答案】（1） 证明：如图，过作于，如图， 是的角平分线， ， 为圆心，为半径，即， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线，角平分线的性质，勾股定理的应用，扇形面积公式． 通过做辅助线得到相关角度并由是解决本题的关键． （1）通过作辅助线，利用角分线的性质：“角分线上的点到角的两边距离相等”，可得，再根据圆的切线的性质即可证明． （2）根据并设出未知数，由勾股定理可求解的长度，再根据的余弦值可求解对应角度，再由的正弦值可求解的长度，由可求解阴影面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点，如图， 的半径为6， 设， 则， 在中，， 由勾股定理： 解得：（舍去），， ， ， ， ，即， 答：阴影部分面积为． 22. 如图，在中，，，，点是边所在直线上一点，连接，以点为旋转中心，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，CN． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当与不平行时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）将沿折叠，得到，点落在所在的平面内，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 如图，取的中点，连接，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， （SAS）， ， ， ， （SAS）， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，，由，可得，进而得到,在中利用正切函数，可得，即可得到； （2）取的中点，连接，，可得是等边三角形，，再证，可得，继而再证，可得结论； （3）先根据折叠性质得出点的轨迹,再推出和是等边三角形，证明得出，进而得出是等边三角形，最后根据等边三角形性质分情况求出的长． 【小问1详解】 解：由旋转知：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，在中，，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作直线与的垂直平分线交于点，， 连接， 由前面可知为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ， 根据折叠的性质，， 点的轨迹在直线上 ，， 为等边三角形， 为的垂直平分线， ， ， ， 也是等边三角形. ， 同理（2） 由SAS可证明， ， ， 又 ， 也是等边三角形， ， 如上图，当点在点右侧时，同理可得， 故的长度为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，通过平行线性质、旋转性质、折叠性质等，证明三角形全等和等边，进而求解线段长度． 23. 定义：在平面直角坐标系中，若两个函数，存在取同一个值时，使得，则称为“共赢函数”，则此时对应的点的坐标为的“共赢点”． 例如：函数与函数，当时，，则为“共赢函数”，点为“共赢点”． （1）判断函数与是否为“共赢函数”，如果是，请求出它们的“共赢点”；如果不是，请说明理由； （2）若函数与为“共赢函数”，请求出的取值范围； （3）已知“共赢函数”与的两个“共赢点”分别是点（点在点的左侧），点是与轴的交点，点在上，直线交轴于点，当的面积是面积的2倍时，请求出点的纵坐标． 【答案】（1）是，和 （2） （3）3或 【解析】 【分析】（1）根据“共赢函数”定义进行判断，联立求出“共赢点”即可； （2）根据“共赢函数”定义得出，求出，根据列出不等式组，解不等式组即可； （3）先求出“共赢点”，点C的坐标为，得出，分两种情况：当在直线上方抛物线时，当在直线下方抛物线时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：与是“共赢函数”，两函数有公共点， 联立， 解得或， “共赢点”和 【小问2详解】 解：函数与是“共赢函数” ， ， 即， 解得：； 【小问3详解】 解：联立， 解得“共赢点”， 把代入得， ∴点C的坐标为， ， 即点是的中点， 与图像草图如图所示： ①当在直线上方抛物线时，如图，作为垂足， ， 与面积的比是， 即（等底不同高）， ， ， ， ∵，， ∴， ，即点的纵坐标为3； ②如图，当在直线下方抛物线时，作为垂足， 同理可证出，即，此时点纵坐标为； 综上所述：点的纵坐标为3或． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，三角形相似的判定和性质，二次函数的性质，一次函数与反比例函数的交点坐标，两条直线的交点坐标，求不等式组的解集，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）学期教学质量检测 九年级数学试卷（四） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，每题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和是360° B. 两张扑克牌，1张是方块，1张是黑桃，从中随机抽取1张扑克牌是红桃 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数小于7 D. 骑自行车过路口时遇到绿灯 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 小澎从家里出发骑自行车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间（分钟）之间的关系的图，根据前图中的信息，则下列说法正确的个数（ ） ①小澎家到学校的距离是1800米； ②小澎在文具店停留了4分钟； ③本次上学途中，小澎一共行了3400米； ④若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小澎骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式中x的取值范围是 ________． 12. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是______． 13. 一个不透明的盒子里装有如图所示的4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），则抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为___________． 14. 在平面直角坐标系中， 矩形的顶点，， 点D在第一象限，轴， 若函数 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为_______． 15. 如图，点为边长为6的正方形的边的中点，点是边上一点，交于点，连接，，当最小时，______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在B组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在B组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 八年级 91 93 （1）求出表中的值，并把条形统计图补充完整： （2）根据以上数据，推断该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”的知识竞赛中哪个年级学生成绩较好？（从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）若该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 18. 为丰富同学们的课余生活，全面响应中小学生每天体育锻炼不低于2小时的要求，引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质．七年四班拟组织学生大课间参加跳绳活动，需购买甲，乙两种跳绳，已知购买甲、乙两种跳绳部分信息如下： 甲种跳绳数量（根） 乙种跳绳数量（根） 总钱数（元） （1）求甲，乙两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买甲，乙两型跳绳共48根，乙型跳绳个数不少于甲型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 19. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器（测量角的仪器）的高度为米，点在水平地面的同一直线上，在点处安置测倾器，测得电池板顶端点的仰角，在与点相距米的点处安置测倾器，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点与在一条直线上），，测得米． （1）求电池板顶端点离地面的高度； （2）求灯臂的长度．（结果精确到，参考数据：） 20. 某经销商销售一种成本价为元千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元千克，在销售过程中发现日销量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）小澎同学说若销售这种商品天，可以获得总利润元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 21. 如图，在中，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于点和点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为6，求弦和围成的阴影弓形部分面积． 22. 如图，在中，，，，点是边所在直线上一点，连接，以点为旋转中心，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，CN． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当与不平行时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）将沿折叠，得到，点落在所在的平面内，连接，当时，直接写出的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，若两个函数，存在取同一个值时，使得，则称为“共赢函数”，则此时对应的点的坐标为的“共赢点”． 例如：函数与函数，当时，，则为“共赢函数”，点为“共赢点”． （1）判断函数与是否为“共赢函数”，如果是，请求出它们的“共赢点”；如果不是，请说明理由； （2）若函数与为“共赢函数”，请求出的取值范围； （3）已知“共赢函数”与的两个“共赢点”分别是点（点在点的左侧），点是与轴的交点，点在上，直线交轴于点，当的面积是面积的2倍时，请求出点的纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $