专题07 函数的应用 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 函数的应用 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 函数零点的定义（5年1考） 2025年求函数零点或方程根的个数 上海高考数学函数的应用命题呈现 “基础与创新并重、实际与理论结合” 的特点，未来趋势将继续强化核心素养考查，突出导数工具的应用、新情境问题的设计，以及跨学科综合能力。备考时关注社会热点与科学前沿，提升将数学知识应用于实际问题的素养。 函数零点的分布（5年2考） 2024年根据二次函数零点的分布求参数的范围 2023年根据二次函数零点的分布求参数的范围 函数与方程的综合应用（5年1考） 2021年函数与方程的综合应用 考点01 函数零点的定义 1．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数、集合新定义 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 考点02 函数零点的分布 2．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 3．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数的单调性解不等式、等差中项的应用 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 考点03 函数与方程的综合应用 4．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数与方程的综合应用、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）解绝对值不等式即可得答案； （2）利用有两个不同的实数根，转化为有两个根，利用换元法可求实数a的取值范围； （3）分与两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的取值范围. 【详解】解：（1），∴，解得； 所以函数的定义域为. （2）由题知有2个不同实数根， 所以，， 设，∴有2个不同实数根， ∴整理得，有2个不同实数根，同时， ∴； （3）当，，在递减， 此时需满足，即时，函数在上递减； 当，，在上递减， ∵， ∴，即当时，函数在上递减； 综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减. 所以的取值范围是 【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为，有2个不同实数根，进而求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解. 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候即可判断A，根据若对应的根的个数为2，2，3即可判断C，根据若对应的根的个数为3，3，3即可判断D. 【详解】由题意可得，若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候， 的取值只要2个，若对应的根的个数为1，1，2， 则符合要求的集合的个数为，A有可能； 若对应的根的个数为2，2，3， 则符合要求的隹合的个数为，C有可能； 若对应的根的个数为3，3，3， 则符合要求的集合的个数为，D有可能. 故选：B. 二、填空题 2．（2025·上海·模拟预测）关于x的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 3．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 【答案】3 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 4．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 【答案】821 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 6．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 7．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，即，设为方程的两个根，且，分、两种情况进行讨论，从而可得以及实数a的取值范围，则的范围可求. 【详解】作出函数的图像，如图所示，    有，， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 由于，则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最大值为， 当时，，此时， 即； 故答案为：. 8．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为： 9．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由最多有两个零点，可得至少四个根，分别讨论当和时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可. 【详解】当时，令，则， 解得.因为，所以， 当时，，其对称轴为，二次函数最多两个零点. 当二次函数有两个零点时： 结合二次函数图象性质， 解得，即； 解得，即，， 所以当二次函数有两个零点时，的取值范围是. 此时应有四个解，即有四个解. 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 所以当有四个解时 所以当在区间内恰好有6个零点时的取值范围是. 当二次函数有一个零点时：或，即或， 此时应有五个解，即有五个解，即， 所以； 当二次函数有零个零点时：，即， 此时应有六个解，即有六个解，即， 所以此时无符合条件的的值. 终上所述：的取值范围是. 故答案为： 10．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据和的符号，将分为三个区间，，，并得到对应的不同的表达式，当时，无解；当时，有唯一解，通过分离常数得到，借助导数得到在上的值域，即可得到的取值范围；当时，将转化成关于的二次函数在上恰有两解的问题，即可求出的取值范围. 【详解】①当时， 所以，， ， 解得，不符合题意，所以在上无解. ②当时，， 所以，，， 令，所以， 即 令，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，即. 此时在上有唯一解； ③当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以在上有两解， 即在上有两解， 即在上有两解. 令 所以，即 解得， 综上①②③，所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 11．（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 12．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案； （2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案. 【详解】（1），当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. （2），求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. 14．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 15．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 16．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2）函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递减，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 17．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【详解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 18．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）带入参数，求出函数解析式，根据函数单调性，求出函数值域. （2）构造函数，求出函数单调性和极值，找出方程有三个解的范围，求得参数范围. （3）根据函数求出导数，对参数进行分类讨论，求出函数单调区间，根据单调区间确定函数是否有最小值，确定参数范围. 【详解】（1）若，，则 所以在单调递减，， . （2）关于的方程有且仅有三个实数解 ，化简得， 设 ， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减； 所以在处取得极小值为，在处取得极大值为 当时，，所以. （3） ， 令， 则，可知， 因为，可得， 当时，，单调递增，，所以在单调增，所以无最小值，不符题意； 当时，，且单调递增，时，；先单调递减后单调递增，，必有. 又当时，， 先单调递减后单调递增；，且，取值先负后正，先减小后增大，所以有最小值；符合条件. 综上所述：. 19．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 【答案】(1)次，理由见解析 (2) (3)存在 【分析】（1）找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）取，令，则，且，即可证明存在存在，则证明了结论. 【详解】（1） 当且仅当和时取等号，内成立且仅在两零点处等号成立 所以缠绕次数为次； （2）设， 因为在上“3次自倒缠绕函数”， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时取等号，所以是的三个变化零点. 注意到，所以是的一个零点.， ①当时，， 在上严格增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上严格递减，1是的唯一零点， 不合题意， ③当时，令， 由韦达定理可知，有两正根，且， 所以存在两正根，且， 当时，严格减; 当时，严格增， 当时，严格减， 所以， 因为， 设，因为， 所以在(0，1)上严格减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 所以恒成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （3）取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时取等号. 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且是在上“次缠绕函数”. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数的应用 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 函数零点的定义（5年1考） 2025年求函数零点或方程根的个数 上海高考数学函数的应用命题呈现 “基础与创新并重、实际与理论结合” 的特点，未来趋势将继续强化核心素养考查，突出导数工具的应用、新情境问题的设计，以及跨学科综合能力。备考时关注社会热点与科学前沿，提升将数学知识应用于实际问题的素养。 函数零点的分布（5年2考） 2024年根据二次函数零点的分布求参数的范围 2023年根据二次函数零点的分布求参数的范围 函数与方程的综合应用（5年1考） 2021年函数与方程的综合应用 考点01 函数零点的定义 1．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 考点02 函数零点的分布 2．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 3．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 考点03 函数与方程的综合应用 4．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·上海·模拟预测）关于x的方程的解集为 ． 3．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 4．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 5．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 6．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．    7．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 8．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 9．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 10．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 三、解答题 11．（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 12．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 14．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 15．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 16．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 17．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 18．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 19．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. / 学科网（北京）股份有限公司 $$