专题01 巧用有理数的七种方法计算（高效培优专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题01 巧用有理数的七种方法计算 题型一： 归类法 题型二：凑整法 题型三：拆项法 题型四： 逆向法 题型五：组合法 题型六： 裂项相消法 题型七： 倒数求值法 题型一： 归类法 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1)； (2)． 4．计算下列各式： (1) (2) (3) 5．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：凑整法 6．简便运算： (1)； (2)． 7．计算： (1) (2) 8．计算： (1) (2) 9．用简便方法计算： (1)； (2)． 10．计算：． 题型三：拆项法 11．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 12．先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 13．阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 14．计算题 15．阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 题型四： 逆向法 16．计算：． 17．计算： 18．计算：. 19．计算 20．计算：； 题型五：组合法 21．计算：． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： 24．计算：． 25．计算：． 26．计算 题型六： 裂项相消法 27．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 28．计算：． 29．． 30．观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 31．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 32．计算：． 题型七： 倒数求值法 33．数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 34．数学老师布置了一道题“计算”．姝姝仔细思考了一会儿，用了一种巧妙的解法算出了这道题的答案． 姝姝的解法：原式的倒数为，所以． (1)请你判断姝姝的解法是否正确； (2)请你用姝姝的解法计算． 35．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 36．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 37．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法③： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的（填序号） (2)请用恰当的方法计算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 巧用有理数的七种方法计算 题型一： 归类法 题型二：凑整法 题型三：拆项法 题型四： 逆向法 题型五：组合法 题型六： 裂项相消法 题型七： 倒数求值法 题型一： 归类法 1．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法运算律． 先根据加法运算律进行整理，再进行简便运算，即可作答． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可； （2）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶ ． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 4．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （2）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （3）利用有理数加法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，灵活利用有理数的加法运算律计算是解题的关键． 5．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再根据有理数的简便运算，即可求解； （2）先去括号，再正数与正数相加，负数与负数相加，即可求解； （3）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解； （4）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了去括号，有理数的加减法，解题关键是熟练掌握去括号的方法及有理数加减法法则． 题型二：凑整法 6．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）再将分母相同的两个数结合，简便计算即可求解； （2）分数化成小数，和为整数的两个数结合，简便计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号；在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键． 9．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)29 (2)4 【分析】（1）将和结合起来，13和结合起来，再按照有理数的加法法则进行计算即可； （2）将和结合起来，和结合起来，再按照有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．计算：． 【答案】13 【分析】在加减混合运算中，通常分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 题型三：拆项法 11．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 12．先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，牢牢掌握有理数的加法运算律是解答本题的关键． 根据（1）可知利用拆分法即可解答本题． 【详解】解：原式 ． 13．阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．计算题 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握运算法则、运算技巧是解题关键．将各代分数进行变形，然后利用加法结合律，进行计算即可． 【详解】原式 ． 15．阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题目提供的解题方法计算即可．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 【详解】解：① ； ② 题型四： 逆向法 16．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键． 原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了加法结合律、交换律及乘方分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键，运用加法结合律、交换律得，进而运用乘法分配律得，进而求解即可． 【详解】解： ． 18．计算：. 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 19．计算 【答案】 【分析】本题考查了有有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．逆用有理数的乘法运算律即可求解； 【详解】解：原式 ． 20．计算：； 【答案】350 【详解】本题考查乘法分配律的逆运算，逆用乘法分配律进行简便计算． 解：原式 ． 题型五：组合法 21．计算：． 【答案】50 【分析】此题主要考查了加减法中的巧算问题，通过观察，发现两两搭配在一起，可以得出组相同的数，然后再相加即可． 【详解】解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2500 (2)1000 【分析】本题主要考查了有理数加法运算律进行简便运算，掌握加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）先观察发现第1个数与第50个数，第2个数与第49个数，第3个数与第48个数……相加和都为100，然后进行计算即可； （2）可以利用有理数的结合律每两个数结合，即为1000个1即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．计算： 【答案】1012 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．每两个数为一组，每组的和为．除2023外，共有1011组，由此即可得． 【详解】解：原式 ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键． 【详解】解：原式． 25．计算：． 【答案】0 【分析】从第1个数开始，每4个数为一组，每组结果为0，由此可解． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数加减混合运算的简便方法，正确分组是解题的关键． 26．计算 【答案】 【分析】根据观察，每两个数为一组，结果是，再算出这些数一共有组，再算出结果即可． 【详解】每两个数为一组，结果是， 一共有组， ． 【点睛】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键． 题型六： 裂项相消法 27．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 28．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握裂项法．将变形为，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 29．． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先整理，，，，，，再将乘法变为加减，然后计算即可． 【详解】∵，，，，，， ∴ ． 30．观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，按照例题将分数裂项为两个分数的差的形式是解答本题的关键． （1）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，进行计算即可求解； （2）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 31．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算及乘法运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用，将带分数分为整数和分数分别进行计算，将分数进行变形，简化计算． 【详解】解：原式 ． 题型七： 倒数求值法 33．数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)甲 (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握运算方法是解题的关键． （1）根据解题过程判断即可； （2）先求出代数式的倒数，再求原数解题即可． 【详解】（1）解：乙； （2）解：原式倒数为 ； 原式． 34．数学老师布置了一道题“计算”．姝姝仔细思考了一会儿，用了一种巧妙的解法算出了这道题的答案． 姝姝的解法：原式的倒数为，所以． (1)请你判断姝姝的解法是否正确； (2)请你用姝姝的解法计算． 【答案】(1)正确 (2) 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：正确． 理由：一个数的倒数的倒数是其本身． （2）解：原式的倒数为 ， ． 35．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 36．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（ ）根据倒数的定义可得出答案； （）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （ ）再由倒数的定义直接得出答案即可． 本题考查了有理数的除法，倒数的定义，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴． 37．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法③： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的（填序号） (2)请用恰当的方法计算：． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法③最简便，所以利用解法③的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法①的计算结果与其它两种不同， ∴解法①不正确； （2）解： ∵ ． ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$