立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 考点一 表面积问题 1．（24-25高二下·广西南宁·期中）球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 2．（2025·江西·模拟预测）任意一圆锥的表面积与其侧面积之比的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习·多选）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习·多选）在正四棱台中，，点在四边形 内，且，则（   ） A．正四棱台的体积是56 B．正四棱台的侧面积是 C．正四棱台的外接球的表面积是 D．的轨迹长度是 8．（24-25高一下·北京昌平·期末）以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积是 ；表面积是 . 9．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ． 10．（2025·重庆·模拟预测）阅读下面两则材料解决问题: 材料一: 2025 年 4 月 29 日，长征火箭再次腾空，将 “互联网低轨卫星” 成功送入预定轨道. 低轨卫星距地面一般为 160~2000 公里，与高轨卫星相比，有速度快、 回传信号质量高等特点，在半径为 6400 公里的地球上空，更像 “贴地飞行”. 材料二: 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图). 当球面半径为 ，球冠高为 时，球冠表面积 .问题:若某低轨卫星位于赤道正上方 1600 公里高度的轨道，保持高度绕地球一圈 (地球相对静止)，回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号)，则该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为 . 11．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径和高均是a. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的最大表面积. 12．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； (2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 考点二 体积问题 1．（24-25高一下·福建厦门·期末）某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知正四棱台的所有顶点都在球O的表面上，且球心O在平面ABCD内，若，，则正四棱台的体积是（    ） A．61 B．122 C．183 D．366 5．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 6．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）正方体棱长为2，为中点，为平面上的动点（在四边形内部及其边界）且满足平面，则下列正确的是（    ） A．动点F的轨迹长度为 B．三棱锥的体积范围为 C．三棱锥的体积为定值 D．当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为 7．（24-25高二下·广东揭阳·期末·多选）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 8．（2025·湖北黄冈·二模）在正三棱台中，与平面所成角的正切值为1，则该棱台的体积 ． 9．（2025·辽宁·二模）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是 . 10．（2025·湖南永州·模拟预测）三棱柱的体积为1，P点为四边形的中心，则四面体的体积与三棱柱的体积比为 ． 11．（2025·河南·三模）如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形． (1)证明：； (2)若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． 12．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． (3)若，，求三棱锥的体积． 考点三 外接球问题 1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·吉林长春·期末·多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 6．（24-25高一下·甘肃白银·期末·多选）在四棱锥中，平面，，，，，，则（    ） A．四边形外接圆的半径为 B．四边形外接圆的半径为 C．四棱锥外接球的体积为 D．四棱锥外接球的体积为 7．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ． 8．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ． 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 10．（24-25高一下·陕西·期末）三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是 ． 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体． (1)若，证明：． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． (3)求四面体的外接球的半径的最小值． 12．（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 考点四 内切球问题 1．（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南长沙·三模）已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 7．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 考点一 表面积问题 1．（24-25高二下·广西南宁·期中）球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 2．（2025·江西·模拟预测）任意一圆锥的表面积与其侧面积之比的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设某圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l， 则其表面积与其侧面积之比为， 在直角三角形中，易得，故其取值范围为. 故选：D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作，垂足为， 绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥， 几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积， 则； 故选：C． 4．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设原圆锥的底面半径为2，高为，则原圆锥的表面积为． 小圆台的上下底面积为，侧面积为，表面积为． 故选：A． 5．（24-25高一下·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N， 由题意，， 半球形容器的球心为O， 显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A， 连接ON，则小球的半径， 球O的半径； 所以半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为， 故选：B 6．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习·多选）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BCD 【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为， ，，， 则为以为首顶，以为公比的等比数列， ∴是以为首项，以为公比的等比数列. ∴塔形的表面积 ， 令，解得， ∴该塔形中正方体的个数至少为5个. 故选：BCD. 7．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习·多选）在正四棱台中，，点在四边形 内，且，则（   ） A．正四棱台的体积是56 B．正四棱台的侧面积是 C．正四棱台的外接球的表面积是 D．的轨迹长度是 【答案】ACD 【详解】A选项，取正方形的中心，正方形的中心， 连接，则⊥平面， 过点作⊥于点，则⊥平面，， 因为，所以， 故，所以， 因为，由勾股定理得， 故正四棱台的体积为 ，A正确； B选项，过点作⊥于点，则， 故，    正四棱台的侧面积是，B错误； C选项，正四棱台的外接球球心在直线上，连接， 则， 如图所示，设，则， 由勾股定理得，， 所以，解得， 所以，故外接球表面积为，C正确； D选项，由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分， 如图，    其中，故， 又，由勾股定理得， 由于，所以， 故， 故的轨迹长度是，D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一下·北京昌平·期末）以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积是 ；表面积是 . 【答案】 【详解】由题意可知圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的体积为， 表面积为. 故答案为： 9．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ． 【答案】 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图扇形的半径为， 由题意可得，， 圆锥的侧面积为，圆锥的表面积， 故 故答案为： 10．（2025·重庆·模拟预测）阅读下面两则材料解决问题: 材料一: 2025 年 4 月 29 日，长征火箭再次腾空，将 “互联网低轨卫星” 成功送入预定轨道. 低轨卫星距地面一般为 160~2000 公里，与高轨卫星相比，有速度快、 回传信号质量高等特点，在半径为 6400 公里的地球上空，更像 “贴地飞行”. 材料二: 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图). 当球面半径为 ，球冠高为 时，球冠表面积 .问题:若某低轨卫星位于赤道正上方 1600 公里高度的轨道，保持高度绕地球一圈 (地球相对静止)，回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号)，则该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为 . 【答案】 【详解】令地球半径，则低轨卫星到球心的距离为，过作地球的切线，切点为为， 交于，则垂直平分，，，， 低轨卫星绕赤道旋转一周没有扫到的部分为以分别为球冠底面圆心，高为的两个球冠， 没有扫到的面积为，球的表面积为， 所以该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为. 故答案为： 11．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥的底面半径和高均是a. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的最大表面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，设圆锥母线与圆柱交点为A，连接. 依题意，，则有， 又为中点，设圆柱的高为h，则，解得. 设圆柱半径为r，则， 因为圆锥内部挖去一个圆柱，故剩下几何体的体积. （2）设圆柱半径为r，高为h. 则依题意，有，其中为圆锥的底面半径，即. 所以. 又圆锥内部挖去一个圆柱，所以剩下几何体的表面积 故时，取到最大值. 12．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥的底面直径和高均是2cm，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． (1)若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； (2)当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)表面积，体积； (2)，. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理知，，圆柱母线长， 而圆锥的母线长为，因此圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即. （2）设，则，解得， 因此被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号， 所以时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为. 考点二 体积问题 1．（24-25高一下·福建厦门·期末）某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的上底面半径为，高为，则圆台和圆柱的底面半径为， 则圆台体积，圆柱体积， 所以圆台与圆柱的体积之比为. 故选：B 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，延长相较于，连接，交于，相同方法，做出， 则五边形为截面， 不妨设正方体棱长为1， 则，所以，在，所以. 同理可得， 可知截得较小部分体积，边长代入得， 较大部分体积为，立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为. 故选：C. 4．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知正四棱台的所有顶点都在球O的表面上，且球心O在平面ABCD内，若，，则正四棱台的体积是（    ） A．61 B．122 C．183 D．366 【答案】B 【详解】如图，设上底面的中心为，连接， 由题中数据可知. 因为正四棱台的所有顶点都在球O的表面上，所以， 即，解得，即正四棱台的高为3， 则正四棱台的体积 . 故选：B.    5．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 【答案】A 【详解】如图所示： 由题设正四棱台，分别是上下底面中心，作， 由题意可知：，， 同理可得，故， ， ，示上下底面面积，，， 所以棱台的体积. 故选：A. 6．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）正方体棱长为2，为中点，为平面上的动点（在四边形内部及其边界）且满足平面，则下列正确的是（    ） A．动点F的轨迹长度为 B．三棱锥的体积范围为 C．三棱锥的体积为定值 D．当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，取的中点的中点为，连，过作交于，连，如下图所示： 因为为中点，由正方体性质可知，因此可得四点共面； 由可知为的中点， 又因为平面，平面， 所以平面； 又的中点为，所以， 又平面，平面， 所以平面； 因为，平面， 所以可得平面平面， 又因为需满足平面，且为平面上的动点， 所以动点的轨迹为线段，此时长度为，即A错误； 对于B，显然三棱锥的顶点到底面的距离为， 所以当的面积最小时，体积最小，其面积最大时，体积最大； 又因为，所以当在时，点到的距离最小为1， 此时体积最小，即的最小值为， 当在时，点到的距离最大为2， 此时体积最大，即的最大为； 因此三棱锥的体积范围为，即B正确； 对于C，由于，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值； 又因为底面的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值， 即不变，可得C正确； 对于D，当三棱锥的体积最小时，根据B中分析可知此时与重合， 即求的外接球的半径即可， 设外接球的球心为，半径为的外接圆圆心为，半径为为中点， 如下图所示： 则，在直角梯形和直角三角形中， 易知， 所以可得，解得； 所以外接球表面积为， 因此当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为，可得D正确. 故选：BCD 7．（24-25高二下·广东揭阳·期末·多选）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 【答案】AD 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 对于A选项，该圆锥的侧面积为，解得， 所以该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为，A对； 对于B选项，当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，   ，所以为钝角， 令、是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则， 所以， 当且仅当时，取等号，B错； 对于C选项，当时，即当时，该圆锥的侧面积为，可得， 高， 设圆锥的外接球球心为，圆锥的外接球半径为， 所以， 棱长为的正四面体可以补成正方体，如图所示，    则正方体的棱长， 正四面体的体积为， 正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球半径为， 则由等体积法可知， 注意到， 所以圆锥不能在棱长为的正四面体内任意转动，C错； 对于D选项，由题意可知，圆锥底面周长为，故， 该圆锥的高为， 所以，圆锥的体积为，故， 令，其中， 则，由，可得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值，D对. 故选：AD. 8．（2025·湖北黄冈·二模）在正三棱台中，与平面所成角的正切值为1，则该棱台的体积 ． 【答案】 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则棱台的体积， 故答案为：. 9．（2025·辽宁·二模）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是 . 【答案】 【详解】取上下底面的中心为,外接球的球心为，连接, 由于，所以, 所以, 故， 因此, 故答案为：    10．（2025·湖南永州·模拟预测）三棱柱的体积为1，P点为四边形的中心，则四面体的体积与三棱柱的体积比为 ． 【答案】 【详解】由题意有，所以， 所以， 故答案为： 11．（2025·河南·三模）如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形． (1)证明：； (2)若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． （2）方法一：因为，所以是等边三角形， 取中点M，连接，则， 以为坐标原点，分别以，，所在的直线为x轴，y轴和z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，． 所以，． 设平面的法向量为，则， 即，令，得． 由条件知为平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，易知为锐角． 则，解得． 因为三棱柱的高为，且， 所以其体积． 方法二：因为，所以． 过B做交的延长线于O，连接， 因为，所以面，所以， 所以是二面角的平面角． 所以，所以，即， 因为，所以． 在中，解得． 又平面，所以三棱柱的高为， 所以其体积． 12．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． (3)若，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 又，分别为，的中点， 所以易得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）证明：取中点，连接，， 则易知，，，平面， 所以平面，平面， 所以； （3），，则三棱锥的体积 ． 考点三 外接球问题 1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 2．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理可得， 设外接圆半径为r，再由正弦定理， 因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R， 所以， 所以外接球表面积为， 故选：C 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，． ， 在底面的射影为的中心， 设的中点为，则，， ， 设三棱锥的外接球球心为， ，在延长线上， 设，则， ，解得， 外接球的半径． 外接球的体积． 故选：． 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则为中点，为等腰直角三角形， 如图，中点是的外心，的中点是的外心， 正方体中易知平面，因此是棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A 5．（24-25高一下·吉林长春·期末·多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【详解】设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为， ，A选项正确； 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则， 点轨迹为以正中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是正边的三等分点，如图所示. 曲线的长度为，B选项错误； 线段的最小值，C选项正确； 所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面的了2小部分，其面积为面积，D选项正确. 故选：ACD 6．（24-25高一下·甘肃白银·期末·多选）在四棱锥中，平面，，，，，，则（    ） A．四边形外接圆的半径为 B．四边形外接圆的半径为 C．四棱锥外接球的体积为 D．四棱锥外接球的体积为 【答案】AC 【详解】连接，，设的中点为，过作直线平面， 因为，所以是和的公共斜边， 即是四边形的外接圆圆心， 所以直线上的点到点，，，的距离相等， 故球心一定在直线上，即平面，现在只要保证即可， 即球心也在的垂直平分线上.设的中点为，连接，则. 因为，所以，所以， 则（为四边形外接圆的半径）， 即，故A正确，B错误. 因为平面，平面，所以. 又，所以四边形为矩形，， 所以该四棱锥外接球的半径， 故四棱锥外接球的体积，故C正确，D错误. 故选：AC. 7．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图． 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为， 由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为． 故答案为： 8．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则， 所以，． 设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为， 则． 设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得， 所以或， 即或， 解得，所以三棱台的外接球的表面积为．    故答案为： 9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 10．（24-25高一下·陕西·期末）三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】设的外接圆圆心为，半径为,的外接圆圆心为，半径为,三棱锥的外接球的半径为. 由题，,，设的中点为，则. 设二面角的平面角的大小为，则,，因为， 所以四点共圆，且为直径，由正弦定理可知， 故外接球半径. 令,, 所以当,时，.所以. 故答案为：. 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体． (1)若，证明：． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． (3)求四面体的外接球的半径的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）平面平面，交线为，，平面，则平面， 平面，则，又，，平面，所以平面， 平面，则，因为，所以， 所以，可知． 在梯形中，由，，知，． 设， 得，，由，得， 解得，． （2），， 平面平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 则，， 所以，则直线，，交于一点， 可得．设，得，解得． 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，， ，． 设平面的法向量为， 即令，则， 设直线与平面所成的角为， ． （3）坐标系如（2）中所示，设，，，，， 设的中点为，球心， 的外心为，则平面，即，，由，即，得， ， 当时，取得最小值，最小值为， 即四面体的外接球的半径的最小值为． 12．（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 因为底面，平面，故， 而，故，故， 而平面，故平面， 而平面，故平面平面. （2）由（1）平面，而，故平面， 因为，故，故， 故可以为原点，以所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系， 故，设， 则， 设平面的法向量为，则， 所以，取. 设平面的法向量为，则， 所以，取. 因为二面角的正弦值为， 故，故， 因为平面，而平面，故， 同理，故的中点到的距离相等， 故的中点为三棱锥外接球的球心，而， 故三棱锥外接球的表面积为. 考点四 内切球问题 1．（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高， 体积，表面积， 设该棱锥的内切球半径为，则，即. 故选：C 2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图为圆锥及圆锥内半径最大球的轴截面图，球心为，设球半径为，则，， 则，所以， ，由等面积法， 可得， 故选：C. 3．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， 因为，所以，， 因为，所以， 因为三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面∥平面，所以， 由， 得， ， ，解得， 因为，所以，. 故选：A. 4．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 5．（2025·湖南长沙·三模）已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设圆锥的底面圆半径，则， 解得 ，于是圆锥的高. 设该圆锥内切球的球心为点，由对称性可知点在高线上， 设该圆锥内切球半径为， 因圆锥的轴截面为等腰三角形，故其面积为， 解得 . 故选： A 6．（24-25高三上·江苏·阶段练习）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 7．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 【答案】 【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体， 作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以， ，，又，所以， 即表面积为． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$