4.2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 课件2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 第四章 实数 1 1.了解算术平方根的概念及其性质. 2.会求一个数的算术平方根. 学习目标 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 身边小事 5 正方形的面积 1 9 16 36 边长 1 3 4 6 25 4 [任务一 探究算术平方根的定义] 活动1：1.已知正方形的面积，求出其边长 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 6 2.请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x2 = 12 + 12 ， ， ， ． 2 3 4 5 y2 = x2 + 12 z2 = y2 + 12 w2 = z2 + 12 问题1：x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数? x,y,w是无理数,z是有理数.因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5, 所以x,y,w不是有理数,而=4,所以z=2,是有理数. 问题2：我们发现这些问题都是知道一个正数的平方，去找这个正数，引出定义. 算术平方根的定义:若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫作a的算术平方根.记为“”,读作“根号a”.特别地,规定0的算术平方根是0,即 =0. 问题3：根据算术平方根是定义，你能表示x,y,z,w吗? x=,y=,z=,w=. 8 典 题 精 讲 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3） ；（4）14． 解:(1) 因为302=900,所以900的算术平方根是30, 即 ; (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即 ; (3)因为 ,所以 的算术平方根是 , 即 ; (4)14的算术平方根是 . 9 1．的算术平方根等于（　　） A．4 B．±4 C．2 D．±2 2．9的算术平方根为（　　） A．﹣ B．3 C．﹣3 D． 3．算术平方根等于它本身的实数有　 　个． 4．若=5，则m的值是　 　． 5．若x+2的算术平方根是3，求3x+4的算术平方根． 即时测评 解：∵x+2的算术平方根是3， ∴x+2＝9， ∴x＝7， ∴3x+4＝25， ∴3x+4的算术平方根为5． C B 2 25 10 问题1：在例1中，一些数的算术平方根的结果没了“”，这些数有什么持点？ 这些数是一个非负数数的完全平方即中a≥0. 问题2：的结果能为负数吗？ 不能，即≥0， 问题3：中a≥0且≥0（双重非负性）. 问题4：在例1中，=30.也就是=30.一般地，当a≥0时，＝a成立吗？ a≥0时，＝a成立. [任务二  探究算术平方根的性质] 活动2 11 问题5：思考当a＜0时，＝a成立吗？ 不成立，当a＜0时，＝﹣a. 问题6：=a成立吗？这里的a是什么数？你是怎么理解的？与同伴交流. =a成立，这里a≥0. 总结归纳： (1)算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是 ;0的算术平方根是0; 负数 算术平方根. (2)式子的双重非负性:一是a≥0,二是 （3）＝，=a（a≥0）。 一个正数 没有 12 例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？ 典例精讲 13 即时测评 1．∣2a-4∣=0，则a+b＝（　　） A．a+b＝﹣1 B．a+b＝1 C．a+b＝2 D．a+b＝3 2．已知+∣b+2∣=0，则的值为（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 3．若a，b为实数，且+=0，则（a+b）2025＝　 　． B C -1 14 4．若实数m、n满足+=0等式，求2m+n的算术平方根． 解：∵+=0， ∴m﹣2＝0，n+4＝0， ∴m＝2，n＝﹣4， ∴2m+n＝2×2﹣4＝0， ∵0的算术平方根是0， ∴2m+n的算术平方根为0． 15 5．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm2，求绣布的周长。 解：设绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据题意， 得4x•3x＝588， 即12x2＝588， ∴x2＝49， ∵x＞0，∴x＝7， ∴绣布的长为28cm，宽为21cm，周长为2×（28+21）＝98（cm）． 16 1.下列说法中，正确的是（  ） A.一个数的算术平方根一定是正数 B.-4 的算术平方根是2 C.-7是的算术平方根    D.如果a﹤0，那么没有意义 2.一个数的算术平方根为，比这个数小3的数是( ) A. a-3 B.-3 C. +3 D.-3 3.2的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 4．若与互为相反数，则的值为 ． 5.若，则实数a的取值范围为 ． D D 9 3 16 a≥0 18 6.求下列各式的值： (1) (2) (3)- 解：（1） =1.2； （2） =47； （3）-=﹣=﹣ 19 7.某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案． 甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1． 乙：花坛为正方形． （1）求长方形花坛的宽． （2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明． 20 解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m， 由题意得x•3x＝3x2＝75， 因此，x===5, 即长方形花坛的宽为5m． （2）嘉淇的说法错误，理由如下： 由（1）知长方形花坛的宽为5米， 若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m）， 则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2）， 因此假设不成立，即嘉淇的说法错误． 21 课堂总结 1.一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 = a，则这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”. 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0，即 . 2 算术平方根的性质： 非负数 算术平方根具有双重非负性 (a≥0) 22 基础题:1.课后随堂练习第3题 提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第5,6题，下节课在班内展示、交流。 课后作业 本节课到此结束，谢谢大家！ $$