第一章 特殊平行四边形（单元测试·提升卷）数学北师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊平行四边形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C C C B D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．/75度 12． 13．5 14． 15．①②③④ 16．或1 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形；.....................3分 （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ∵， ， ， ．.....................6分 18． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形；.....................3分 （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴．.....................6分 19． 【详解】（1）如图1，直线即为所求． .....................2分 （2）如图2，则点F即为所求． .....................4分 （3）如图3，则点F即为所求． .....................6分 20． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴．.....................2分 （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴．.....................4分 （3）如图，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积， 即， ∴解得， 在中，由勾股定理，得， 由（2）可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，．.....................6分 21． 【详解】（1）证明：过点作于点，的延长线交于点，于点，如图1所示： 四边形是正方形， ，，，， ， ， 四边形，四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ； .....................3分 （2）解：四边形是正方形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知，， ，， ， ， ；.....................6分 （3）解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图3①所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或．.....................8分 22． 【详解】证明：拓展：∵四边形、均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴．.....................4分 解：应用：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∵的面积为8， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的面积为．.....................8分 23． 【详解】（1）解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A；.....................2分 （2）解：四边形是“奇妙四边形”， 理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； .....................5分 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或．.....................8分 24． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：；.....................3分 ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长；.....................6分 （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；.....................9分 （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或．.....................12分 25． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．.....................4分 （2）成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴．.....................8分 （3）如图3中，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴；.....................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列结论中正确的个数是（    ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 4．如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D．64 5．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图①所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变这个教具的形状成为如图②所示的正方形，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 9．如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 10．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点H，I在边，上．已知的面积为1，矩形的面积为20，则矩形的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，矩形中，，点在上，且，则 ． 12．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 13．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 14．如图，在菱形中，，，E是边上的动点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 15．如图，在正方形中，点O是对角线，交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ． 16．在菱形中，，，为对角线的中点，为边上一动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 18．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长 19．如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)如图1，过点B画的垂线； (2)如图2，E为边上一点，在边上画点F，使得； (3)如图3，E为边上一点，在边上画点F，使得． 20．如图1，在中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 21．如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 22．【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 23．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 24．【问题背景】在矩形纸片中，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，则___________度； ②若点恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点恰好落在边上． 过点作交于点，连接．请在图2中画出线段，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 25．综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列结论中正确的个数是（    ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 4．如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D．64 5．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图①所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变这个教具的形状成为如图②所示的正方形，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 9．如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 10．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点H，I在边，上．已知的面积为1，矩形的面积为20，则矩形的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，矩形中，，点在上，且，则 ． 12．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 13．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 14．如图，在菱形中，，，E是边上的动点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 15．如图，在正方形中，点O是对角线，交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ． 16．在菱形中，，，为对角线的中点，为边上一动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 18．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长 19．如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)如图1，过点B画的垂线； (2)如图2，E为边上一点，在边上画点F，使得； (3)如图3，E为边上一点，在边上画点F，使得． 20．如图1，在中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 21．如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 22．【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 23．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 24．【问题背景】在矩形纸片中，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，则___________度； ②若点恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点恰好落在边上． 过点作交于点，连接．请在图2中画出线段，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 25．综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在菱形中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的性质可得出，，结合已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C 2．下列结论中正确的个数是（    ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质逐一判断各结论是否正确即可得出答案． 【详解】解：正方形的对角线相等，故①正确； 平行四边形对角线互相平分，不一定相等，故②错误； 菱形对角线互相垂直，故③正确； 平行四边形对边相等，故④正确； 矩形对角线相互平分，不一定垂直，故⑤错误； 综上，正确的结论为①③④，共3个． 故选：C． 3．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 4．如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D．64 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，与互相垂直且平分，再证明是等边三角形得， 由勾股定理和菱形的性质求出的长，最后用菱形的面积公式计算． 【详解】如图，设，相交于点O， 四边形是菱形， ，与互相垂直且平分， ，， 又， 为等边三角形， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 菱形的面积． 故选：C． 5．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，的面积为15，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，连接，先证明垂直平分，即，进而可得，再根据，问题得解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形，对角线， ∴，， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 6．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图①所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变这个教具的形状成为如图②所示的正方形，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．连接，根据菱形的性质可知，，可判定是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，故正方形的边长为． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的边长是， 故选：C． 7．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，即，根据勾股定理列方程即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值，此时， 则， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得（负值舍去）， ∴长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短、直角三角形的性质、利用平方根解方程，解题的关键是学会添加常用辅助线． 8．如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确理解题意，根据三角形中位线定理求出是解决问题的关键．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形中位线定理求出可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 在△中，为三角形中位线， ，， ， ， ， ， ， 矩形的面积． 故选D． 9．如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点H，I在边，上．已知的面积为1，矩形的面积为20，则矩形的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】如图所示，延长交于J，延长交于K，设，，证明出，得到，，然后表示出，，然后由的面积为1得到，然后由矩形的面积为20得到，整理后代入求出，然后利用完全平方公式求出，然后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】如图所示，延长交于J，延长交于K，设， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵四边形是矩形，四边形是正方形 ∴， 同理可得， ∴ ∵四边形是正方形，四边形是矩形 ∴ ∴， ∵的面积为1 ∴，即 ∵矩形的面积为20 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴矩形的周长． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，矩形中，，点在上，且，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，平行线性质，解决本题的关键是利用矩形的性质求出．根据矩形的性质求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，延长、相交于M，根据正方形的性质可得出，，，，证明四边形是矩形，得出，，，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形与三角形．熟练掌握矩形性质，三角形周长，勾股定理，是解题关键． 矩形性质可知，根据，，，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：5． 14．如图，在菱形中，，，E是边上的动点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，连接交于点，利用轴对称性质得到即，利用垂线段最短得到当时，的值最小，即的值最小，证明为等边三角形，利用等边三角形性质和勾股定理得出，即可解题． 【详解】解：连接，连接交于点， 四边形为菱形， 垂直平分， ， ， 当时，根据垂线段最短，此时的值最小，即移动到处时，为的值最小， ，， ，， 为等边三角形， ，， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题、菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，垂线段最短，熟知菱形的性质及垂线段最短是解答本题的关键． 15．如图，在正方形中，点O是对角线，交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①根据正方形的性质得到，，，推出，根据全等三角形的判定定理得到，故①正确； ②根据全等三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等，得到四边形的面积为正方形面积的，故③正确； ④根据勾股定理得到，等量代换得到．故④正确． 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等证明出，属于选择题的压轴题． 【详解】解：①在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴， 在△COE和△DOF中， ， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵四边形ABCD为正方形， ∴， ∴ ，故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴四边形的面积为正方形面积的，故③正确； ④在中，，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 16．在菱形中，，，为对角线的中点，为边上一动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 由菱形的性质可求，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理可求的长，分，两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， 与互相垂直平分，，， 是等边三角形， ，， ， 当时，则， ， ， ， ， ， ， 当时，， 故答案为：或1． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可求出的长，再利用勾股定理可求出． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ∵， ， ， ． 18．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 19．如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)如图1，过点B画的垂线； (2)如图2，E为边上一点，在边上画点F，使得； (3)如图3，E为边上一点，在边上画点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合菱形的性质，作直线即可； （2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，则点F即为所求； （3）连接，相交于点G，连接并延长交于点F，，则点F即为所求． 【详解】（1）如图1，直线即为所求． （2）如图2，则点F即为所求． （3）如图3，则点F即为所求． 20．如图1，在中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查菱形的性质及判定，矩形的性质及判定，勾股定理；解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定及性质，在线段长度计算中，通常可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）由条件先证是菱形，再根据菱形性质及勾股定理，即可求解； （2）由条件先证四边形是矩形，再利用对角线相等即可证明； （3）如图，过点作于点，通过菱形的等面积法求出，再利用勾股定理求． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积， 即， ∴解得， 在中，由勾股定理，得， 由（2）可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 21．如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)或 【分析】（1）过点作于点，的延长线交于点，于点，根据正方形的性质，证明出四边形，四边形和四边形都是矩形，从而证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质可证是等腰直角三角形，得出，由（1）可知，，得出，，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当与的夹角是时，即，利用四边形内角和求解即可；②当与的夹角是时，即，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，的延长线交于点，于点，如图1所示： 四边形是正方形， ，，，， ， ， 四边形，四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是正方形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知，， ，， ， ， ； （3）解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图3①所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 22．【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 【答案】拓展：证明见解析；应用： 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 拓展：先根据菱形的性质可得，，，，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； 应用：先证出，根据三角形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】证明：拓展：∵四边形、均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 解：应用：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∵的面积为8， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的面积为． 23．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)A； (2)四边形是“奇妙四边形”，理由见解析； 或． 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【详解】（1）解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； （2）解：四边形是“奇妙四边形”， 理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是理解“奇妙四边形”的定义，根据“奇妙四边形”找出边和角的关系，分情况求解即可． 24．【问题背景】在矩形纸片中，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，则___________度； ②若点恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点恰好落在边上． 过点作交于点，连接．请在图2中画出线段，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②；（2）四边形是菱形，见解析；（3）的长为或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 25．综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）成立；证明见解析；（3） 【分析】（1）连接，证明，得到，，求出，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再求出，即可证明； （3）连接交于点O，连接，作于F，根据菱形的性质得出，平分，根据勾股定理分别求出，，最后求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$