专题05 二次函数（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题05 二次函数 考点一、抛物线与x轴交点问题 1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 考点二、二次函数图象平移问题 2．（2022·河北·中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 考点三、二次函数实际应用 3．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 4．（2021·河北·中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点． （1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； （2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点； （3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？ 【注：（2）中不必写的取值范围】 考点四、二次函数综合问题 5．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 6．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 专练一、二次函数的图象和性质 7．（2025·河北保定·一模）点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 9．（2025·河北石家庄·三模）点在函数（k为常数）的图象上，则点A与点B的位置描述正确的是（   ） A．点A在点B的右侧 B．点A在点B的左侧 C．点A离y轴远 D．点B离y轴远 10．（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 11．（2025·河北沧州·模拟预测）抛物线与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数，（其中）．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象开口向上 B．函数和的图象的对称轴有可能相同 C．若函数和的图象交于x轴上同一点，则该交点可能为或 D．当时， 15．（2024·河北石家庄·一模）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 16．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（   ） ①； ②； ③若是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是； ④若抛物线与轴交于点（0，3），当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2025·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 18．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 19．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 20．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． (1)直接写出点B的坐标________； (2)求抛物线的表达式； (3)点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 21．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点，抛物线（h为常数）与y轴的交点为C． (1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标； (2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，其中，比较与的大小； (3)当线段被l只分为两部分，且这两部分的比是时，求h的值． 专练二、二次函数图象平移问题 22．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 23．（2025·河北唐山·二模）已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 24．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 25．（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线：经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求，的值及点的坐标． (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 26．（2025·河北保定·三模）如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； (2)试推断与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 专练三、二次函数临界点问题 27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 28．（2025·河北·模拟预测）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 29．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 30．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 31．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与轴交于点，对称轴是直线，点在此抛物线上，其横坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于，以为邻边作矩形．若抛物线在矩形内部的部分随的增大而增大，则的取值范围是______， (3)记两点之间的竖直距离为； ①求与的函数关系式； ②若存在个不同的值对应的值相同，直接写出的取值范围． 32．（2025·河北唐山·二模）已知抛物线，抛物线，图象与图象组合成图象． (1)如图，当时， ①求图象最低点的纵坐标的值； ②点在图象上，求的值； (2)已知，，当此图象与线段只有一个公共点时，确定的取值范围． (3)若图象有且只有4个点到轴的距离等于5时，直接写出的取值范围． 33．（2025·河北唐山·二模）某数学兴趣小组利用几何画板来研究二次函数的图象和性质，已知二次函数解析式（a，b为常数，且），学生们通过输入不同的参数a，b的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线的图象． (1)直接写出此二次函数与y轴的交点坐标________； (2)嘉嘉编制了如下问题：当，时，图象记作抛物线．请回答以下问题． ①求的最大值； ②嘉嘉又添画了满足条件时的一条抛物线，且新抛物线与x轴只有一个交点，该图象记作抛物线．把两条抛物线形成的封闭图形记为图象G（不包含边界），直线将图象G上的整点（横、纵坐标均为整数的点）分成上下两部分，分别将整点个数记为，，请求出的值； (3)淇淇说，当时，图象记作拋物线，请在（2）的条件下，使得与的图象在平面直角坐标系中相交于唯一一点，请直接写出此时参数a的值． 34．（2025·河北石家庄·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． (1)直接写出_____，并求出点的坐标 (2)请说明：无论为何值，抛物线对应的函数值都小于0． (3)如图2，连接，，．请判定的形状，并说明理由； (4)将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围_____． 专练四、二次函数实际应用问题 35．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 36．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 37．（2025·河北石家庄·三模）如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． (1)求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； (2)在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； (3)若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 38．（2025·河北张家口·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为4.25米． (1)求该抛物解析式，并写出点坐标； (2)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点、．且（在左侧）．当、间的水平距离为3米时，求的长； (3)为了节约成本，支架调整为线段，组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 39．（2025·河北唐山·二模）某电子屏上下边缘距离为，点在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为秒，点是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，由两部分组成：为常数，与的平方成正比，且有如表格中的数据． (1)用含的代数式表示； (2)若，用分别表示点的横坐标、纵坐标，求与之间的关系式； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点，若乙点比甲先出发，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出的最小整数值． 40．（2025·河北廊坊·二模）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路钱抛物线相同． (1)求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式； (2)若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点． ①求k的值； ②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； (3)如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线出进行训练，为斜坡与的交点，在点处设置可调节支撑杆；且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出的取值范围． 41．（2025·河北秦皇岛·一模）【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 专练五、二次函数营销问题 42．（2025·河北唐山·二模）某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． (1)求与的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 43．（2025·河北沧州·模拟预测）某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． (1)求y与x的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 44．（2025·河北唐山·二模）某商贸公司购进某种商品的成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表： 时间x（天） 1 3 6 10 … 日销量 142 138 132 124 … (1)求m与x的函数关系； (2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润给当地福利院，后发现：在这30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围． 45．（2025·河北·模拟预测）某果农要销售红富士苹果，已知每千克红富士苹果成本为6元，在销售的80天里，售价m（元/千克）与时间t（销售开始后的第t天）之间的关系式为： （t为整数）．日销量y（千克）是时间t（销售开始后的第t天）的一次函数，且第1天销量为198千克，第10天销量为180千克． (1)求y与t之间的关系式； (2)哪一天日销售利润最大，并求最大值； (3)在销售前40天中，利用某平台进行销售．该果农每销售1千克，就要付给平台n元，在这前40天中每天扣除平台费用后，日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 专练六、二次函数实物建模问题 46．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 47．（2025·河北石家庄·二模）为保障中学生每天运动一小时，学校开展了丰富多彩的体育活动．其中一项活动为跳长绳，在跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．甲乙两同学负责甩绳，他们之间的水平距离为，摇绳位置到地面的距离均为，当绳子甩到最高处时，最高点距离地面，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； (2)身高为的小明参加跳长绳，当绳子甩到最高处时，绳子刚好甩过他的头顶上方，求小明站的位置与点的水平距离； (3)学校要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少为，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学站的位置与点的水平距离的取值范围． 48．（2025·河北邯郸·一模）体育课上，甲、乙两名学生站在一排，同时，在同一高度处抛出相同品质的铅球，两只铅球的运动路径都可抽象为抛物线的一部分，为研究两个铅球的运动情况，将从侧面看到的两铅球运动情况画在同一直角坐标系中，轴为地面，出手点在与地面垂直的轴上，单位长度为，如图，两只铅球出手时和落地时的位置相同，乙抛出的铅球总在甲抛出的铅球的正上方，甲抛掷的铅球的路径为抛物线的一部分，铅球落地时，距离出手点水平距离为，铅球运行的水平距离为时达到最大高度，乙抛掷的铅球在距离出手点水平距离为时达到最大高度． (1)求甲抛掷的铅球运行路径所在抛物线的表达式； (2)若时，乙铅球的最大值与最小值的差总为，求的取值范围； (3)求两个铅球之间距离的最大值并求此时铅球运行的水平距离． 49．（2025·河北保定·二模）如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； (1)___________；求拱桥抛物线的解析式； (2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； (3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 50．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． (1)求出点P及抛物线最高点的坐标； (2)若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． (3)嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； (4)在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 51．（2025·河北石家庄·二模）如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决： (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． (3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，并绘制了如图2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道所在抛物线的解析式为． (1)直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离； (2)如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米．若某人腾空后的路径形成的抛物线L恰好与抛物线形状相同，且关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线L的解析式（不用写自变量的取值范围）； ②规定人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内（水面与地面的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图3，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道上距y轴8米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上（假设水滑道的正下方都是地面），请你直接写出这条钢架的长度（结果保留根号）． 53．（2025·河北唐山·二模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面左上方，桌面的长为．过点A作，垂足为O，，以O为原点，以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动到桌面上的落点D的路线为抛物线L的一部分，设乒乓球与出球口A的水平距离为，到桌面的高度为，经测试，得到抛物线L的部分数据如下表： 0 3 6 9 12 … 2.53 2.80 2.89 2.80 2.53 … (1)当________时，乒乓球达到最大高度，试求抛物线L的函数关系式． (2)若桌面正中间位置安装的球网的高度为，则乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果精确到） (3)乒乓球落在点D处后随即弹起，运动路线是抛物线的一部分，小明拿球拍接球，且球拍与桌面所在直线的夹角为，球拍击球面的中心线长为，下沿E在x轴上，假设抛物线L，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①________； ②点E到桌边的距离的取值范围是________． 在中，，， ，， 当时，即， 解得在上舍去），， 即， ． ． 54．（2025·河北沧州·模拟预测）甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动，乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计，最大高度逐次递减．图是甲、乙两位运动员的运动高度与运动时间的二次函数图象，点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为，且所有二次函数图象开口大小相同．设乙运动员第一次弹起的高度与运动时间的二次函数解析式为． (1)求，的值； (2)若甲运动员在这次训练中，当运动时到达最大高度，通过计算判断甲运动员着落点在点B的左侧还是右侧； (3)如图，教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都在同一视线上，教练员的视线与水平线的夹角为． 在的条件下，若甲、乙运动员在时运动高度相同，求直线的函数解析式； 当时，直接写出乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的整数值．（参考数据：，，） 55．（2025·河北邢台·三模）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若点最终落在上，求此时的长； ③竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，直接写出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 专练七、二次函数与几何的综合问题 56．（2025·河北唐山·二模）如图1，抛物线：与开口向下的抛物线均经过点，，抛物线与y轴交于点． (1)求，的值； (2)若与恰好关于轴对称，求抛物线的顶点坐标； (3)若点的坐标为，直线：分别与，交于点，，，，如图． 求抛物线的解析式； 当时，求的值； (4)已知，分别是抛物线，的顶点，连接，过点作交于点，连接，如图．当时，直接写出此时点的横坐标． 57．（2025·河北·模拟预测）如图1~图3，菱形的边长为6，，M，N，K分别在边，，上，，，．点P从点M出发，沿折线匀速运动，到达点N时停止．连接，作，射线与菱形的另一边交于点E，若与对角线有交点，设交点为F．设点P运动的路程为x． (1)______； (2)淇淇认为：“当点P在折线上运动时，如图1和图2，始终满足．”请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由； (3)如图2，若点P在边上运动（不含端点，即）， ①请用含x的式子表示的长； ②当取得最大值时，试确定与的位置关系； (4)当点K在外部时，直接写出符合条件的x的整数值． 58．（2025·河北邯郸·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为；抛物线与抛物线相交于点，顶点为． (1)直接写出的值； (2)说明抛物线恒过定点； (3)连接，当时，求的长； (4)设是实数，连接，，，的面积为，若，直接写出的取值范围． 59．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，经过点的抛物线与轴交于点． (1)写出，之间满足的数量关系； (2)条件Ⅰ：点在抛物线上，且轴； 条件Ⅱ：关于的方程有两个实数根，，且． 请从条件Ⅰ、Ⅱ中任选一个，求抛物线的解析式； (3)在（2）的基础上，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点． ①定义：对于点，，若点的坐标为，则点为线段的特殊点．已知点，是抛物线上的两个动点，连接，为线段的特殊点．当点在轴的下方时，求点纵坐标的取值范围； ②已知直线与抛物线交于，两点（线段在线段的下方），连接，，直线与直线交于点．如图，当时，点的横坐标是定值，请你直接写出该定值． 60．（2025·河北沧州·一模）如图，是一个直角三角形零件，其中，，，零件的两个顶点，分别安装在正方形框架的边，上，点从点开始，在边上滑动，滑动到点时停止，点带动点在边上滑动．    (1)当平分时，求证：； (2)在点从点滑动到点的过程中，求点，之间的距离的取值范围； (3)过点分别作于点，于点，连接，试判断与的长度能否相等？若能，请说明理由；若不能，请求出的最小值； (4)当点到的距离为时，请直接写出的值． 61．（2025·河北保定·一模）已知抛物线交轴于两点，交轴于点，矩形各顶点坐标分别是． (1)求抛物线顶点坐标，以及与轴交点的坐标，并求出的长度； (2)抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线，此抛物线与轴的交点为和（在的左侧），若线段的长度在时，则的取值范围是多少； (3)当抛物线与轴的交点为，顶点为，当为何值时，以为顶点的四边形为菱形．（直接写出答案） 62．（2025·河北邯郸·二模）已知抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，点是轴上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点为抛物线的顶点时，求四边形的面积； (3)如图2，将直线绕点顺时针旋转，它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线． ①___________； ②当点关于直线的对称点落在抛物线上时，求点的坐标． 63．（2025·河北·一模）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点为，过点向轴作垂线，交轴于点，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点从点出发，沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度．设点的运动时间为秒，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)当为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，当的面积最大时，求的值． (4)如图2，点运动的同时，点从点出发沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度，为矩形内一点，且点在点的正下方，当四边形为菱形时，直接写出的值． 专练八、二次函数综合问题 64．（2025·河北邯郸·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，点是线段上一点（不含端点），作射线轴交于点D，交于点E． (1)求抛物线的函数解析式． (2)嘉嘉和淇淇分别提出一个问题． 嘉嘉：m为何值时，使得的长最大？ 淇淇：m为何值时，使得点E是的中点？ 请选择其中一人的问题进行解答． (3)将抛物线向上平移n个单位长度，再向左平移个单位长度，使其经过点得到抛物线点D也相应地平移到上的点F处，设直线的解析式为．点P在线段上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律． 65．（2025·河北廊坊·一模）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 66．（2025·河北沧州·一模）如图，抛物线与轴交于M，N两点（点在的左侧），交轴于点，抛物线也经过点，且其顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若与关于轴对称，直接写出的值，并求出点的坐标； (3)点在抛物线上，且横坐标为6，过点的直线与抛物线有且仅有一个公共点． ①求出直线的解析式； ②平移直线得到，直线与抛物线交于，两点，直线，与轴分别交于P，Q两点，设点P，Q的横坐标分别为p，q，直接写出p，q之间的关系式． 67．（2025·河北保定·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新的抛物线，的顶点为，与轴的交点为，（点在点左侧），连接； 求出点和点的坐标； 点为抛物线在第二象限内任意一点（不与点重合），过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接．求证：； (3)若直线与抛物线，共有两个公共点，请直接写出的取值范围． 试卷第2页，共139页 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数 考点一、抛物线与x轴交点问题 1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：令，则和， 解得或或或， 不妨设， ∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴与原点关于点对称， ∴， ∴或（舍去）， ∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2， 故选：A． 考点二、二次函数图象平移问题 2．（2022·河北·中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线，的最大值为4， (2)5 【详解】（1）， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； （2）∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 考点三、二次函数实际应用 3．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)的最高点坐标为，，； (2)符合条件的n的整数值为4和5． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 4．（2021·河北·中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点． （1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； （2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点； （3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？ 【注：（2）中不必写的取值范围】 【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）． 【详解】解：（1）当，， 解得：， 在左侧，， 关于对称， 轴与重合，如下图： 由题意在坐标轴上标出相关信息， 当时，， 解得：， ， ∴点会落在的台阶上，坐标为， （2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：， 由（1）知，抛物线过，将代入， ， 解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过）， 抛物线:， 关于，且， 其对称轴与台阶有交点． （3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大； 当，， 解得：（取舍）， 故点的横坐标最大值为：， 当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小； 当，， 解得：（舍去）， 故点的横坐标最小值为：， 则点横坐标的最大值比最小值大：， 故答案是：． 考点四、二次函数综合问题 5．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 6．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】(1)， (2)两人说法都正确，理由见解析 (3)①；②或 (4) 【详解】（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， （4）解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 专练一、二次函数的图象和性质 7．（2025·河北保定·一模）点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，， ∴点比点离对称轴远， ∴当点在对称轴左侧时，； 当点在对称轴右侧时，， ∴． 故选：C． 8．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 9．（2025·河北石家庄·三模）点在函数（k为常数）的图象上，则点A与点B的位置描述正确的是（   ） A．点A在点B的右侧 B．点A在点B的左侧 C．点A离y轴远 D．点B离y轴远 【答案】D 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，y的值越小的点离对称轴越远，而其对称轴为直线，即y轴， ∵点在函数（k为常数）的图象上，且 ∴点B离y轴远， 故选：D． 10．（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【答案】C 【详解】解：， ， ， 无论取何值，总是负数，故①正确； 抛物线与交于点， 当时，，即，解得：， ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确； ， 随着的增大，的值减小；故③错误． 故选：C． 11．（2025·河北沧州·模拟预测）抛物线与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间， ∴， ∴，故排除B、C选项； 由图象可知，当时，， ∴， ∴b，c的取值可能是，． 故选：A． 12．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由图可知，，， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 13．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知二次函数，（其中）．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象开口向上 B．函数和的图象的对称轴有可能相同 C．若函数和的图象交于x轴上同一点，则该交点可能为或 D．当时， 【答案】D 【详解】A：，二次项系数为， 由且， 得，故开口向下，选项A错误； B：的对称轴为，的对称轴为， 令两者相等，化简得， 因（否则，但而矛盾），且（因），故无解，选项B错误； C：若交点为，则且，需，此时成立；若交点为，需或，均与条件矛盾，故交点可能为，但不可能为，选项C错误； D：计算，因，故；当时，，故负数乘以负数，即，选项D正确； 综上，正确答案为D． 故选：D． 15．（2024·河北石家庄·一模）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 【答案】A 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：A． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（   ） ①； ②； ③若是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是； ④若抛物线与轴交于点（0，3），当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①抛物线经过点 将代入，得 ， 故①错误； ②抛物线对称轴为 ，即 故②正确； ③当时，两点为 此时两点关于对称 ， 故③不正确； ④抛物线的对称轴为，且与轴交于点 抛物线与轴的另一个交点坐标为 抛物线解析式为 又抛物线过点 抛物线解析式为 ∴顶点坐标， 当时，则为， 此时，当时，函数的最大值4， ∵当时，；当时，， ∴时，最小值为， 此时，函数y的最大值与最小值的差为：， 故④不正确； 综上，只有②正确． 故选：A． 17．（2025·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 【答案】4 【详解】解：， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 故答案为：4. 18．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 19．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 20．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． (1)直接写出点B的坐标________； (2)求抛物线的表达式； (3)点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴顶点为B的坐标为． 故答案为： （2）由题意得：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 抛物线的表达式为 即为； （3）①由（1）知，， 由中点坐标公式得点， 当时，， ∴点E的坐标为， 则； ②由（2）知，， ∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O， 当时，， 则（不合题意的值已舍去）， 即点； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴根据点C平移的规律可得到 21．（2025·河北邯郸·一模）如图，已知点，抛物线（h为常数）与y轴的交点为C． (1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标； (2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时l上有两点，其中，比较与的大小； (3)当线段被l只分为两部分，且这两部分的比是时，求h的值． 【答案】(1)，此时抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)的最大值为2；此时 (3)或 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 所以抛物线的解析式为， 所以这个抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：∵抛物线（为常数）与轴的交点为，且点的纵坐标为， ∴， ∵， ∴，即， ∴的最大值为2，此时， ∴此时抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵此时上有两点，其中， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵线段被只分为两部分，且这两部分的比是， ∴抛物线与线段的交点坐标为或， ①当抛物线与线段的交点坐标为时， 则，解得或， 当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，符合题意； 当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，位于线段上，即此时线段被分成三部分，不符合题意，舍去； ②当抛物线与线段的交点坐标为时， 则，解得或， 当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，位于线段上，即此时线段被分成三部分，不符合题意，舍去； 当时，抛物线的对称轴为直线，此时抛物线与轴的另一个交点为，符合题意； 综上，的值为或． 专练二、二次函数图象平移问题 22．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 【答案】C 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 23．（2025·河北唐山·二模）已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】A 【详解】解：当时，解得，， 二次函数与x轴的两个交点横坐标为，， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为6， 二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离为； ∴平移后的抛物线与x轴有两个交点其横坐标分别为，， ∴平移后的抛物线解析式为 ∵平移后的解析式为， ∴， 解得， 故选：A． 24．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：抛物线， 抛物线平移前的顶点纵坐标为， 平移后抛物线的顶点的纵坐标为， 平移的距离为， ， 平移后抛物线的顶点在线段的垂直平分线上， 平移得到的点的纵坐标为． 故答案为：B． 25．（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线：经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求，的值及点的坐标． (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①3 ，，② 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴的解析式为． 将代入， 得，即． ∵， ∴点的坐标为． （2）解： ①∵抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． ∵点在抛物线上关于对称轴对称的点为点， 且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ∴． 26．（2025·河北保定·三模）如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； (2)试推断与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为， (2) (3)①；②的值为或 【详解】（1）解：， ， 抛物线的顶点坐标为， 将代入得 ； （2）与之间的数量关系为．理由如下： 由题意，顶点始终在直线上， ∴ ， ． 与之间的数量关系为． （3）①由题意，， ． 抛物线顶点的横坐标为， 顶点的纵坐标为． 设抛物线的解析式为 抛物线 的解析式为 抛物线 的顶点坐标为 在上 ． ②由①得抛物线的顶点坐标为． 将抛物线横向、纵向同时放大倍后， 顶点坐标为． 抛物线 将点代入得 解得： ∴的值为或． 专练三、二次函数临界点问题 27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 28．（2025·河北·模拟预测）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 【答案】C 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， ∴或， 解得， 故选：C． 29．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：由， ∴顶点坐标为， ∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为， ∴新线顶点为， ∵与轴相交于点和点，与轴交于点， ∴当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 当顶点在上时，， 解得：， 当顶点在上时，， 解得：， ∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为； 故选C. 30．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 31．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与轴交于点，对称轴是直线，点在此抛物线上，其横坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于，以为邻边作矩形．若抛物线在矩形内部的部分随的增大而增大，则的取值范围是______， (3)记两点之间的竖直距离为； ①求与的函数关系式； ②若存在个不同的值对应的值相同，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线在矩形内部的部分随的增大而增大，的横坐标为， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：； （3）解：①∵点在此抛物线上，其横坐标分别为，， ∴，， ∴， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上，； ②由①画函数图象如下：    ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由函数图象可知，当时，存在个不同的值对应的值相同， ∴的取值范围为． 32．（2025·河北唐山·二模）已知抛物线，抛物线，图象与图象组合成图象． (1)如图，当时， ①求图象最低点的纵坐标的值； ②点在图象上，求的值； (2)已知，，当此图象与线段只有一个公共点时，确定的取值范围． (3)若图象有且只有4个点到轴的距离等于5时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①此函数的最小值为；②的值为或； (2)或时函数与线段有一个交点； (3)或． 【详解】（1）解：①当时， ：， ， 时，最小值为， ：， ， 时，最小值为， 图象最低点的纵坐标的值为； ②， ，， 当在上时，， 解得， ； 当在时，， 解得或（舍去）， 的值为或； （2）解：，，图象与线段只有一个公共点， 如图， 公共点在上， ，对称轴为直线， 令， 当与相切时，则， ， ， 解得或（舍去）； 当与相交时，交点在之间，如图所示： 当时，， ， ， 综上所述，或时函数与线段有一个交点； （3）解：两抛物线的对称轴为直线， 当时，如图1， 时，， 当时，， ， 或（舍去）， 当时，如图2， 当时，， 当时，， ， 或（舍去）， 综上所述，或． 33．（2025·河北唐山·二模）某数学兴趣小组利用几何画板来研究二次函数的图象和性质，已知二次函数解析式（a，b为常数，且），学生们通过输入不同的参数a，b的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线的图象． (1)直接写出此二次函数与y轴的交点坐标________； (2)嘉嘉编制了如下问题：当，时，图象记作抛物线．请回答以下问题． ①求的最大值； ②嘉嘉又添画了满足条件时的一条抛物线，且新抛物线与x轴只有一个交点，该图象记作抛物线．把两条抛物线形成的封闭图形记为图象G（不包含边界），直线将图象G上的整点（横、纵坐标均为整数的点）分成上下两部分，分别将整点个数记为，，请求出的值； (3)淇淇说，当时，图象记作拋物线，请在（2）的条件下，使得与的图象在平面直角坐标系中相交于唯一一点，请直接写出此时参数a的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴此二次函数与y轴的交点坐标为； （2）解：①当，时，则：， ∴当时，函数值最大为； ②∵， ∴， ∵新抛物线与x轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵两条抛物线与直线能形成的封闭图形，且有整点， ∴， ∴， ∴的顶点坐标为， 联立，解得：或， ∴两条抛物线的交点为， 由①可知：的顶点坐标为， ∴图象中的整点有，共11个， 其中在直线上， ∴直线上方的整点有共5个， 直线下方的整点有共4个， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 由①知：与轴的交点均为， ∴与只有1个交点时，交点为，分两种情况： ①，即两条抛物线的开口方向和开口大小均相同，此时满足题意，如图： ②当时，令，整理得：， 解得：或， ∵只有一个交点为， ∴只能有一个值为0， ∴， ∴； 综上：或． 34．（2025·河北石家庄·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． (1)直接写出_____，并求出点的坐标 (2)请说明：无论为何值，抛物线对应的函数值都小于0． (3)如图2，连接，，．请判定的形状，并说明理由； (4)将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)；(2)详见解析(3)是等腰三角形；理由见解析(4)且， 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴， 当时， 解得：， ∴； （2）证明：∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，函数有最大值， ∴无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0； （3）解：是等腰三角形，理由如下： 由（2）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：如图，设与轴交于点，交于点 ∵， ∴当时，， ∴点， 联立， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 当时，直线为，此时直线与图象有2个交点， 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有2个交点； 当直线过点时，， 解得， 此时直线与图象有3个交点； 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有3个交点； 由图象可知，当且，时，直线与图象有3个交点． 故答案为：且，． 专练四、二次函数实际应用问题 35．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 36．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 37．（2025·河北石家庄·三模）如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． (1)求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； (2)在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； (3)若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 【答案】(1)船轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为； (2)能砸中，计算说明过程见解析； (3)若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是． 【详解】（1）解：根据题意，设船轮廓线所在抛物线的解析式为， 将的坐标代入，得 ．解得． ∴， 把代入抛物线解析式，得． 解得，，（舍去）， 点B的坐标为， 答：船轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为． （2）能砸中． 将点的坐标代入，得 ， 解得，， ， 当时， 小球能砸到标志杆． （3）解： 水面上涨2米，小船再向右移动米，小球所走路线抛物线的解析式为 若抛物线经过点，则， 解得，，． ． 答：若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是． 38．（2025·河北张家口·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为4.25米． (1)求该抛物解析式，并写出点坐标； (2)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点、．且（在左侧）．当、间的水平距离为3米时，求的长； (3)为了节约成本，支架调整为线段，组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：题意可得， 设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为； 当时，， ∴； （2）已知，，设直线的解析式为 把，代入，得 ， 解得． ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， ∵，在抛物线上，在直线上： 抛物线解析式为， ∴点纵坐标为． ∵直线解析式为， ∴点纵坐标为． 那么的长度为、两点纵坐标之差，即： ∵、间的水平距离为米，且，在左侧， ∴点的横坐标为． 同理，设点横坐标为，则点纵坐标为，点纵坐标为． 的长度为： ∵， ∴． ． ． 把代入： ． （3）已知，， 设点的横坐标为， 由（2）得的长度表达式为． 在中，，， ∴函数图象开口向下，存在最大值，： ∴ 把代入的表达式得 ∵支架长度为， ∴支架所需铝合金材料的最大长度为：． 39．（2025·河北唐山·二模）某电子屏上下边缘距离为，点在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为秒，点是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，由两部分组成：为常数，与的平方成正比，且有如表格中的数据． (1)用含的代数式表示； (2)若，用分别表示点的横坐标、纵坐标，求与之间的关系式； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点，若乙点比甲先出发，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出的最小整数值． 【答案】(1)(2)(3)3 【详解】（1）解：设，则： ， 当时，，当时，， ， ， ， （2）解：由题意得：， 故当时，①， ②． 由①可得：③， 把③代入②中，可得： ． （3）解：的最小值为3，理由如下： 在下落过程中，， ， 故当甲点恰好处于乙点正上方时，， ． 由（2）可知，， ． 当甲点恰好落在乙点正上方时，可设． 由题意知此时，即： ， 根据二次函数的图像与性质可得：， ， ， ，即的最最小整数值为3． 40．（2025·河北廊坊·二模）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路钱抛物线相同． (1)求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式； (2)若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点． ①求k的值； ②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由； (3)如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线出进行训练，为斜坡与的交点，在点处设置可调节支撑杆；且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，代入得， ， 解得：， ∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为； （2）解：①∵第一个蛙跳在点处落地， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵第二个蛙跳路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同． ∵在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点， ∴， 又∵， ∴， 解得：； ∴第二个蛙跳路线为抛物线为； ②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下， 当时，， ∵， ∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆； （3）解：∵第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点， ∴的顶点的纵坐标为， 当时，联立， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等， ∴的解析式为， 代入得，， 解得：（舍去）或， 当时，联立， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等， ∴的解析式为， 代入得，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，． 41．（2025·河北秦皇岛·一模）【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 【答案】【情景导入】；【尝试探索】；【实际应用】不能得以生存 【详解】解：[情景导入]根据题意，当时， ，解得 与的关系式为． [尝试探索] 当时， 下落点到地面的距离为． [实际应用]当时，， 解得 不能得以生存． 专练五、二次函数营销问题 42．（2025·河北唐山·二模）某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． (1)求与的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 【答案】(1)与的函数表达式为； (2)糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； (3)的值为6． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 把，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∵ ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时，有最大值为392， ∴糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∴， ∴， 解得：（舍去），． ∴的值为6． 43．（2025·河北沧州·模拟预测）某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． (1)求y与x的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【答案】(1)(2)元，元(3)元 【详解】（1）解：由题意可得： ， 整理，得：； （2）解：由题意得： ， ， 抛物线开口向下， 有最大值， 当时，， 答：当销售单价为元时，每月获得的利润最大，最大利润是元； （3）解：由题意得： ， 解得：，， 为了让消费者得到最大的实惠，故， 答：当销售单价定为元时，能让消费者得到最大的实惠． 44．（2025·河北唐山·二模）某商贸公司购进某种商品的成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表： 时间x（天） 1 3 6 10 … 日销量 142 138 132 124 … (1)求m与x的函数关系； (2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润给当地福利院，后发现：在这30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)（且为整数） (2)第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元 (3) 【详解】（1）解：设，将，代入可得： ，解得， ∴； （2）解：设日销售利润为元，根据题意可得： 当且为整数时， ， 此时当时，取得最大日销售利润为1568元， 综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，由题意得： ， 其对称轴为直线， ∵在30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，且只能取整数， ∴，求得， 又∵， ∴的取值范围是：． 45．（2025·河北·模拟预测）某果农要销售红富士苹果，已知每千克红富士苹果成本为6元，在销售的80天里，售价m（元/千克）与时间t（销售开始后的第t天）之间的关系式为： （t为整数）．日销量y（千克）是时间t（销售开始后的第t天）的一次函数，且第1天销量为198千克，第10天销量为180千克． (1)求y与t之间的关系式； (2)哪一天日销售利润最大，并求最大值； (3)在销售前40天中，利用某平台进行销售．该果农每销售1千克，就要付给平台n元，在这前40天中每天扣除平台费用后，日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)第30天日销售利润最大，最大值为2450元； (3)． 【详解】（1）解：设，将，代入可得， 解得， 与t之间的关系式为； （2）解：设日销售利润为W元， 当时，， 则 ， ， 当时，W有最大值2450， 当时，， 则 ， 二次项系数，对称轴为，在上W随t的增大而减小， 当时，（元）， ∵， 可知第30天日销售利润最大，最大值为2450元； （3）解：设扣除平台费用后利润为，前40天中， 对称轴为， 随t的增大而增大，且， ，解得， 又， 专练六、二次函数实物建模问题 46．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②可以过球网，不出边界 (2) 【详解】（1）解：①因为排球飞行到距离球网时达到最大高度，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴； ②当时， ， ∴可以过球网， 当时，， ∴排球不出边界； （2）解：设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； 当该轨迹经过右边界的坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； ∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是． 47．（2025·河北石家庄·二模）为保障中学生每天运动一小时，学校开展了丰富多彩的体育活动．其中一项活动为跳长绳，在跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．甲乙两同学负责甩绳，他们之间的水平距离为，摇绳位置到地面的距离均为，当绳子甩到最高处时，最高点距离地面，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； (2)身高为的小明参加跳长绳，当绳子甩到最高处时，绳子刚好甩过他的头顶上方，求小明站的位置与点的水平距离； (3)学校要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．某班挑选出身高都为的10个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少为，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），求左边第一位同学站的位置与点的水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)小明站在位置与点的水平距离为或； (3) 【详解】（1）解：依题得：，，最高点纵坐标为， ，， 绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线， 点是该抛物线的顶点，横坐标应为， ， 设抛物线解析式为， 将代入可得， 该抛物线解析式为． （2）解：依题得，小明所站位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 解得或， 小明站在位置与点的水平距离为或； （3）解：当时，即， 解得，， 可以站立跳绳的距离范围为， 人队伍的总长度为， 左边第一位同学跑离点的水平距离需满足，， 综合可得，的取值范围是． 48．（2025·河北邯郸·一模）体育课上，甲、乙两名学生站在一排，同时，在同一高度处抛出相同品质的铅球，两只铅球的运动路径都可抽象为抛物线的一部分，为研究两个铅球的运动情况，将从侧面看到的两铅球运动情况画在同一直角坐标系中，轴为地面，出手点在与地面垂直的轴上，单位长度为，如图，两只铅球出手时和落地时的位置相同，乙抛出的铅球总在甲抛出的铅球的正上方，甲抛掷的铅球的路径为抛物线的一部分，铅球落地时，距离出手点水平距离为，铅球运行的水平距离为时达到最大高度，乙抛掷的铅球在距离出手点水平距离为时达到最大高度． (1)求甲抛掷的铅球运行路径所在抛物线的表达式； (2)若时，乙铅球的最大值与最小值的差总为，求的取值范围； (3)求两个铅球之间距离的最大值并求此时铅球运行的水平距离． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时铅球运行的水平距离为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，解一元二次方程等． （1）根据题意得，再将代入得，解出，，继而得到本题答案； （2）先设乙抛掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为：，后得到，再将代入得，解出，继而得到，再利用二次函数顶点式性质即可得到本题答案． （3）设两个铅球某一时刻的高度差为，后列式，再利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：甲抛掷的抛物线的表达式为，由铅球运行的水平距离为时， 铅球达到最大高度，． ， ， 将代入得：，解得，， 故甲抛掷的抛物线的表达式为； （2）解：根据题意可设乙抛掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为：， 由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点， ∴，， ∴， 将代入得：，解得：， ， ，当时，取最大值，最大值为， ，的对称点为， 时，乙铅球的最大值与最小值的差总为． （3）解：设两个铅球某一时刻的高度差为， ， ，当时，取最大值，最大值为， 答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为． 49．（2025·河北保定·二模）如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； (1)___________；求拱桥抛物线的解析式； (2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； (3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最大值为 【详解】（1）解：； 由题知，，，顶点，即， 设拱桥抛物线的解析式为， ， 解得， 拱桥抛物线的解析式为； （2）设的解析式为， ， ， 的解析式为， 当时， ，此时点坐标为 ， 解得：，， 此时点坐标为， 照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）存在， 如图，过点作轴于点，交于点， 顶点为， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为1， 的最大值为． 50．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． (1)求出点P及抛物线最高点的坐标； (2)若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． (3)嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； (4)在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)点P的坐标为，最高点的坐标为 (2)①；② (3) (4)2个或3个 【详解】（1）解：点P在抛物线上，且在y轴上， 当时，， 即点P的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线最高点的坐标为； （2）①由题意，令， 整理得， 解得，， ， ， 当时，， 乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ， ， 抛物线的解析式为； （3）的顶点为，的顶点为， 可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 平移的最短路程为； （4），， ， 对于， 当时，， 当时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ， ， 答：竖直摆放的回收箱的个数为2个或3个． 51．（2025·河北石家庄·二模）如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决： (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． (3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2)不能实现，理由见解析； (3) 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； （3）解：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时，， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为， 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，并绘制了如图2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道所在抛物线的解析式为． (1)直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离； (2)如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米．若某人腾空后的路径形成的抛物线L恰好与抛物线形状相同，且关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线L的解析式（不用写自变量的取值范围）； ②规定人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内（水面与地面的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图3，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道上距y轴8米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上（假设水滑道的正下方都是地面），请你直接写出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)，点B到地面的距离为2米 (2)①抛物线L的解析式为y=-（x-3）2+；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内 (3)这条钢架的长度为2米 【详解】（1）∵ ∴水滑道最低点C 的坐标为； 将代入，得 ∴点B到地面的距离为2米； （2）①由题意得抛物线L的顶点与点C关于点B成中心对称，即B是它们的中点． 又∵，， ∴抛物线L的顶点为， ∴此人腾空后的最大高度为米． ∵抛物线L和抛物线形状相同，开口向下， ∴抛物线L的解析式为； ②由①得抛物线L的解析式为 令， ∴，解得，（舍去）， ∴． 又∵米， ∴（米）米， ∴落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的横坐标为， 代入 ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 53．（2025·河北唐山·二模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面左上方，桌面的长为．过点A作，垂足为O，，以O为原点，以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动到桌面上的落点D的路线为抛物线L的一部分，设乒乓球与出球口A的水平距离为，到桌面的高度为，经测试，得到抛物线L的部分数据如下表： 0 3 6 9 12 … 2.53 2.80 2.89 2.80 2.53 … (1)当________时，乒乓球达到最大高度，试求抛物线L的函数关系式． (2)若桌面正中间位置安装的球网的高度为，则乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果精确到） (3)乒乓球落在点D处后随即弹起，运动路线是抛物线的一部分，小明拿球拍接球，且球拍与桌面所在直线的夹角为，球拍击球面的中心线长为，下沿E在x轴上，假设抛物线L，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①________； ②点E到桌边的距离的取值范围是________． 【答案】(1)6， (2) (3)①23；② 【详解】（1）解：设抛物线的关系式为，将，，代入得， ， ． 抛物线的关系式为； ， 当时，乒乓球达到最大高度； （2）解：由题意得，， ， 当时， ． 乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． 答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． （3）解：①当时，即， 解得，， ， 即， 乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而， ， 解得； ②由①，乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：， 当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与x轴的右交点为点E）， 当时，即， ，． ． ， 如图，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于， 在中，，， ，， 当时，即， 解得在上舍去），， 即， ． ． 54．（2025·河北沧州·模拟预测）甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动，乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计，最大高度逐次递减．图是甲、乙两位运动员的运动高度与运动时间的二次函数图象，点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为，且所有二次函数图象开口大小相同．设乙运动员第一次弹起的高度与运动时间的二次函数解析式为． (1)求，的值； (2)若甲运动员在这次训练中，当运动时到达最大高度，通过计算判断甲运动员着落点在点B的左侧还是右侧； (3)如图，教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都在同一视线上，教练员的视线与水平线的夹角为． 在的条件下，若甲、乙运动员在时运动高度相同，求直线的函数解析式； 当时，直接写出乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的整数值．（参考数据：，，） 【答案】(1)；(2)右侧；(3)； ． 【详解】（1）解：将点的坐标和点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， ，； （2）解：当运动时到达最大高度， 二次函数的解析式为， 当时，可得：， ， 甲运动员着落点在点的右侧； （3）解：当t＝2.4时，． 设乙运动员第二次弹起的高度与运动时间的解析式为， 将点和代入解析式， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 将点的坐标和点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的整数值为， 如下图所示，延长交轴于点，过点作轴，点的坐标为， ，， 当时， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 将点的坐标和点的坐标代入解析式， 解得：， 直线的解析式为， 设乙运动员第二次弹起的高度与运动时间的解析式为， 将点的坐标代入解析式， 可得：， 点的坐标为， 将点的坐标为代入中， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)，， ， 当时，， 乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的整数值为． 55．（2025·河北邢台·三模）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若点最终落在上，求此时的长； ③竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，直接写出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【详解】（1）解：①由题意，得抛物线的解析式为， 又抛物线过点， ， ， 抛物线的解析式为． ②抛物线的解析式为， 当时，，即， ． ③由②可得抛物线经过点， 要经过点， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：． 顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 专练七、二次函数与几何的综合问题 56．（2025·河北唐山·二模）如图1，抛物线：与开口向下的抛物线均经过点，，抛物线与y轴交于点． (1)求，的值； (2)若与恰好关于轴对称，求抛物线的顶点坐标； (3)若点的坐标为，直线：分别与，交于点，，，，如图． 求抛物线的解析式； 当时，求的值； (4)已知，分别是抛物线，的顶点，连接，过点作交于点，连接，如图．当时，直接写出此时点的横坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为 (3)； (4) 【详解】（1）解：把点，的坐标分别代入， 可得：， 解得：， ，； （2）解：由可知的解析式为， 整理可得：， 抛物线的顶点坐标为， 与恰好关于轴对称， 抛物线的顶点坐标是； （3）解：抛物线经过点， 设抛物线的解析式为， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 当时， 可得：，， 设点、的横坐标分别为、， 则有，， ， 设点、的横坐标分别为、， ， ，， ， ， ， 解得：； （4）解：如下图所示，连接，交轴于点，过点作，作轴于点， ， 又轴， ， 四边形是矩形， ，， 设抛物线对应的函数关系式是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， ，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， 点的坐标是， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 点在抛物线上， ， 整理可得：， ， ， ， 整理可得：， 解得：(不符合题意，舍去)，， 点的横坐标是． 57．（2025·河北·模拟预测）如图1~图3，菱形的边长为6，，M，N，K分别在边，，上，，，．点P从点M出发，沿折线匀速运动，到达点N时停止．连接，作，射线与菱形的另一边交于点E，若与对角线有交点，设交点为F．设点P运动的路程为x． (1)______； (2)淇淇认为：“当点P在折线上运动时，如图1和图2，始终满足．”请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由； (3)如图2，若点P在边上运动（不含端点，即）， ①请用含x的式子表示的长； ②当取得最大值时，试确定与的位置关系； (4)当点K在外部时，直接写出符合条件的x的整数值． 【答案】(1)6 (2)淇淇的说法错误 (3)①；② (4)12或13 【详解】（1）解：∵菱形的边长为6，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：淇淇的说法错误，理由如下： 当点在上时，如图1， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，如图2， ∵，， ∴， ∴，不满足； ∴淇淇的说法错误； （3）解：①∵， ∴， ∵点P在边上运动（不含端点，即）， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴当点到达点时，， ∴在线段上时，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 由图1和图2可以发现，当点P在折线上运动时点K在内部， ∴当点K在外部时，在线段上，此时， ∴，即， ∴符合条件的x的整数值为或． 58．（2025·河北邯郸·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为；抛物线与抛物线相交于点，顶点为． (1)直接写出的值； (2)说明抛物线恒过定点； (3)连接，当时，求的长； (4)设是实数，连接，，，的面积为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：将点代入抛物线中，得， 解得； （2）解：抛物线与轴相交于点， ， 抛物线， 当时，， 抛物线恒过定点； （3）解：当时，抛物线， 联立两抛物线解析式，得， 解得，或， ， 令抛物线， 解得，， ， ； （4）解：由（1）得抛物线， 顶点， 为抛物线的顶点， ， 联立抛物线，，得， 解得或， ， 如图，过点作轴垂线，分别过点，作轴平行线，交过点的垂线于点，， ，，，，， ， ， ， ， 即． 59．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，经过点的抛物线与轴交于点． (1)写出，之间满足的数量关系； (2)条件Ⅰ：点在抛物线上，且轴； 条件Ⅱ：关于的方程有两个实数根，，且． 请从条件Ⅰ、Ⅱ中任选一个，求抛物线的解析式； (3)在（2）的基础上，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点． ①定义：对于点，，若点的坐标为，则点为线段的特殊点．已知点，是抛物线上的两个动点，连接，为线段的特殊点．当点在轴的下方时，求点纵坐标的取值范围； ②已知直线与抛物线交于，两点（线段在线段的下方），连接，，直线与直线交于点．如图，当时，点的横坐标是定值，请你直接写出该定值． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②点的横坐标为定值 【详解】（1）解：将点代入中，得到； （2）解：选条件Ⅰ： ∵轴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 选条件Ⅱ： 由题意可得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）①抛物线的解析式为， 由题意可得抛物线的解析式为， ∴，， ∴点的纵坐标， 当时，解得，， ∵点在轴的下方， ∴， ∵，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，， ∴； ②点的横坐标是3． 由①可得，． 当时，， ∴，可得直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为 ∵∥，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以表示为， 设直线的解析式为，将，代入，解得，， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线与交于点， ∴， 整理得， ∵线段在线段的下方， ∴， ∴，即点的横坐标为定值3． 60．（2025·河北沧州·一模）如图，是一个直角三角形零件，其中，，，零件的两个顶点，分别安装在正方形框架的边，上，点从点开始，在边上滑动，滑动到点时停止，点带动点在边上滑动．    (1)当平分时，求证：； (2)在点从点滑动到点的过程中，求点，之间的距离的取值范围； (3)过点分别作于点，于点，连接，试判断与的长度能否相等？若能，请说明理由；若不能，请求出的最小值； (4)当点到的距离为时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)不能；的最小值是4，； (4)的值为或． ． 平分， ， 又， ， ； （2）如图1，取的中点，连接，，， 在和中，，， ． 当点与点重合时，最小，此时， ∴点，之间的距离的取值范围是； （3）不能，理由如下： 如图2，延长交于点， 在中，，， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，最小，最小值是16， 的最小值是4，； （4）的值为或 如图3，如图4，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， 在图3中，， ， 在图4中，， ． 61．（2025·河北保定·一模）已知抛物线交轴于两点，交轴于点，矩形各顶点坐标分别是． (1)求抛物线顶点坐标，以及与轴交点的坐标，并求出的长度； (2)抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线，此抛物线与轴的交点为和（在的左侧），若线段的长度在时，则的取值范围是多少； (3)当抛物线与轴的交点为，顶点为，当为何值时，以为顶点的四边形为菱形．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， ， ； （2）解：当时，， ，则， 的对称轴， 当为4时，， ∴，把点的坐标为代入，得： 当为5时，， ∴把点的坐标为代入，此时． ； （3）解：四边形是矩形， ， 又平移后抛物线， 当时，四边形为菱形， ， ． 62．（2025·河北邯郸·二模）已知抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，点是轴上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点为抛物线的顶点时，求四边形的面积； (3)如图2，将直线绕点顺时针旋转，它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线． ①___________； ②当点关于直线的对称点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)①；②或 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点N，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴顶点坐标， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ； （3）解：①如图，过点作轴的垂线，交直线于点D， 则点D的横坐标为3， ∵点E为的中点， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 由平移的性质得：直线的解析式为， 当时，，即， ， ， 故答案为：； ②由题意得：垂直平分，设交于点F， 如图，过点F作轴于点G， 则，， 根据解析①可知：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， 则，解得，即， 将点代入得：， 整理得：， 解得或， 则点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、解直角三角形的相关计算，轴对称的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 63．（2025·河北·一模）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点为，过点向轴作垂线，交轴于点，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点从点出发，沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度．设点的运动时间为秒，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)当为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，当的面积最大时，求的值． (4)如图2，点运动的同时，点从点出发沿向点运动，运动的速度为每秒个单位长度，为矩形内一点，且点在点的正下方，当四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)（秒） (4)（秒） 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ， 解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为， ∵点和点关于直线对称，且， ∴点坐标为， ， ，， ， 又， ， ∵M为的中点， ， ． （3）解：当边上的高最大时，的面积最大， 即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大， 设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为， 解得：， 设平行于直线且与抛物线相切的直线为， ∵两直线平行， ， ， ∵直线与抛物线相切， ， 整理，得：， ， 解得：， ， 抛物线和直线解析式联立得 ， 解得：， 即：， 此时，点横坐标为，代入得： ， 即：， ， ， （秒）． （4）解：， ， 根据题意可知点和点的纵坐标相等， ∴将代入得： ， ， ∵， ， ， 可设点坐标为， 则， 当四边形为菱形时，， 即：， 整理，得：， ∴点坐标为， 根据题意，由勾股定理可得： ， ， 即：， 整理，得：， 解得：（舍去），， （秒）． 专练八、二次函数综合问题 64．（2025·河北邯郸·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，点是线段上一点（不含端点），作射线轴交于点D，交于点E． (1)求抛物线的函数解析式． (2)嘉嘉和淇淇分别提出一个问题． 嘉嘉：m为何值时，使得的长最大？ 淇淇：m为何值时，使得点E是的中点？ 请选择其中一人的问题进行解答． (3)将抛物线向上平移n个单位长度，再向左平移个单位长度，使其经过点得到抛物线点D也相应地平移到上的点F处，设直线的解析式为．点P在线段上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)k的值不变，为 【详解】（1）解：由题意得，， 解得 ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设直线表达式为， 则代入点坐标得：， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 选嘉嘉的问题：由题意得，，， ∴的长为， ∴当时，的长最大． 选淇淇的问题：由题意得，，， 若点E是的中点，则， 解得或（舍去）， ∴当时，点E是的中点； （3）解：整理，得，顶点为． 由题意得，， ∵经过点， 则， 解得或（舍去）， 的解析式为，顶点为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为． ∵点的对应点为点，点的对应点为点， ∴， ． 65．（2025·河北廊坊·一模）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于M，N两点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)设点M，N的横坐标分别为，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； (3)若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 【答案】(1)， (2)不变， (3)证明见解析 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴； 解得：， ∴抛物线为； 当时，则：， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； （2）解：不会改变：理由如下： ∵直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴令， 整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值； （3）解：设直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立，则：， ∵，不重合， ∴， 解得：， ∴，即：点的横坐标是一个定值． 66．（2025·河北沧州·一模）如图，抛物线与轴交于M，N两点（点在的左侧），交轴于点，抛物线也经过点，且其顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若与关于轴对称，直接写出的值，并求出点的坐标； (3)点在抛物线上，且横坐标为6，过点的直线与抛物线有且仅有一个公共点． ①求出直线的解析式； ②平移直线得到，直线与抛物线交于，两点，直线，与轴分别交于P，Q两点，设点P，Q的横坐标分别为p，q，直接写出p，q之间的关系式． 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3)①；② 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将的坐标代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：与关于轴对称，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为直线， ， ； 抛物线， 当时，， 解得，， 点为抛物线与轴的左交点， 点的坐标为； （3）解：①点在抛物线上，且横坐标为， 当时，， 即， 设直线的解析式为， 将代入，得， 即， 直线的解析式为， 过点的直线与抛物线有且仅有一个公共点， ， 即， 当， 解得， 直线的解析式为； ②设直线的解析式为， 由题意得， 整理得，， 直线与抛物线交于，两点， 设，， ， 设直线为， 代入和， 得， ， ， 同理可求直线为， 令， ，， ，， 直线，与轴分别交于P，Q两点，点P，Q的横坐标分别为p，q， ，， ， 即． 67．（2025·河北保定·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新的抛物线，的顶点为，与轴的交点为，（点在点左侧），连接； 求出点和点的坐标； 点为抛物线在第二象限内任意一点（不与点重合），过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接．求证：； (3)若直线与抛物线，共有两个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）解：已知抛物线 顶点为 ， 设其顶点式为 ， 代入点 得 ， 解得 ， 故解析式为 ； （2）由题可知原顶点 平移后为 ，即顶点 ， 则的解析式为 ， 令 ，解得 或 ， 又点在点左侧， 点的坐标为 ； 设 点坐标为 ，点坐标为， 坐标为, 点在 上， ， 直线过、两点, 直线 的斜率, 直线 的方程为 ， 代入点整理得 ， 直线 过点、, 直线 的斜率为 ， 与 的斜率相同， 故 ； （3） 整理得 ， 则判别式， 解得； 整理得 ， 判别式 ， 解得． 直线与抛物线，共有两个公共点， 故的取值范围为． 试卷第2页，共139页 2 / 119 学科网（北京）股份有限公司 $$