3.4 指数函数与对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.4 指数函数与对数函数 目录 知识点一：指数式与对数式 2 考点1：指数幂与对数式的运算 3 考点2：指数与对数运算的实际应用 4 知识点二：指数函数与对数函数 5 考点3：指数函数的图像与性质的应用 7  指数型代数式大小的比较 7  指数函数的图像及应用 8  指数型方程或不等式的求解 9  指数函数性质的综合运用 9 考点4：对数函数图像与性质的应用 10  对数函数值大小的比较 10  对数函数图像及应用 11  对数型方程、不等式的求解 12  对数函数性质的综合应用 12 考点5：指数函数、对数函数的综合问题 13 【强化训练】 15 知识点一：指数式与对数式 1. 指数与指数的运算 (1) 根式：；负指数：；分数指数幂：. (2) 根式的性质： 1　 若有意义，则； 2　 (3) 指数幂的运算性质： ①； ②； ③. 2. 对数与对数的运算 (1) 对数的概念： 如果，那么叫做以为底的对数，记做，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2) 常用对数：以10为底的对数，记做. 自然对数：以为底的对数，记做. (e=2.71828…) (3) 对数的基本性质： ①; ②； ③ (N>0); ④. (4) 对数的运算性质： 如果，那么： 1　 . 2　 . 3　 ． (5) 换底公式： 1　 . 2　 . 3　 . 考点1：指数幂与对数式的运算 方法提炼 1. 指数幂的运算方法： (1) 指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2) 当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3) 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2. 对数运算的一般思路与方法 (1) 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并. (2) 利用换底公式先将对数式化为同底数对数式的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3) 对常用对数式的化简，要充分利用 ． 3. 指对互换 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【例1.1.】 （1） ； （2） ； （3） 已知 ，则 ； （4） 已知，则 . 【例1.2.】 已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【例1.4.】 已知正实数满足，，则 . 【例1.5.】 已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【例1.6.】 已知正实数满足，则 ． 【例1.7.】 在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 函数，则 . 考点2：指数与对数运算的实际应用 方法提炼 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1) 理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； (2) 运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 【例2.1.】 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【例2.2.】 “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【例2.3.】 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【例2.4.】 放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 知识点二：指数函数与对数函数 1. 指数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 · 如图所示是指数函数(1)，(2)，(3)，(4)的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大． 2. 对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 · 如图，作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故，即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 3. 反函数 (1) 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． (2) 由得到，则是的反函数，记做. (3) 考点3：指数函数的图像与性质的应用 · 指数型代数式大小的比较 方法提炼 指数型代数式大小比较的方法： (1) 能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小; (2) 不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小; (3) 根据指数式的特征，在同一坐标系中作出它们相应的函数图像，在图像上找出相应的位置，进行比较. (4) 通过作差或作商进行比较大小. 【例3.1.】 ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． · 指数函数的图像及应用 方法提炼 对一些可通过平移、伸缩、对称变换作出其图像的指数型函数，常利用数形结合法求解. 【例3.6.】 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3.7.】 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【例3.8.】 已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 · 指数型方程或不等式的求解 方法提炼 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 【例3.9.】 已知，且，，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.10.】 已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3.11.】 已知，，则 ． 【例3.12.】 已知实数，满足，，则 ． · 指数函数性质的综合运用 方法提炼 涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【例3.13.】 （多选）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【例3.14.】 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.15.】 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.16.】 定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.17.】 已知函数，，则函数的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点4：对数函数图像与性质的应用 · 对数函数值大小的比较 方法提炼 对数函数值大小比较的方法： (1) 单调性法，在同底的情况直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. (2) 中间量过渡法，即选取适当的“媒介”，通常以“0”“1”或其他特殊值为媒介进行比较传递. (3) 图像法，根据图像观察得出大小关系. (4) 比较法,有作差比较法与作商比较法两种，其原理分别为：① ②在两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断或即可. (5) 构造函数，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小. 【例4.1.】 若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，则（   ）． A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 设，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知，则（   ） A． B． C． D． · 对数函数图像及应用 方法提炼 (1) 对一些可通过平移、伸缩、对称变换作出其图像的对数型函数，常利用数形结合法求解. (2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． (3) 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可对不等式变形，不等号两边对应两函数,在同一坐标系中作出两函数图像，根据当在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或不等式解的情况. 【例4.8.】 已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例4.9.】 已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【例4.10.】 不等式的解集为 . 【例4.11.】 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． · 对数型方程、不等式的求解 方法提炼 对数方程(不等式)的求解主要利用对数函数的单调性进行转化. 【例4.12.】 实数满足：，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.13.】 已知正实数、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.14.】 已知，则 . · 对数函数性质的综合应用 方法提炼 利用对数函数的性质研究对数型复合函数的性质问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 【例4.15.】 函数的定义域为 ，值域为 . 【例4.16.】 设函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例4.17.】 已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4.18.】 已知函数，若恒成立，则 . 【例4.19.】 若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【例4.20.】 已知函数，若，则的最大值为 . 考点5：指数函数、对数函数的综合问题 方法提炼 (1) 指数函数与对数函数是互为反函数的关系，由反函数的定义，知指数函数与对数函数的定义域和值域互换，它们的图像关于直线对称. (2) 解决与指数函数、对数函数有关的问题，要注意数形结合. 【例5.1.】 （多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在单调递增 D．函数有两个零点 【例5.2.】 已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数，.若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【例5.6.】 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【强化训练】 1. 已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 2. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB 3. 已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4. 设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5. 已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 6. 若，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知，，则（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 9. （多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 10. （多选）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 11. 已知，，则 ． 12. 如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则 ． 13. 已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ． 15. 已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §3.4 指数函数与对数函数 目录 知识点一：指数式与对数式 2 考点1：指数幂与对数式的运算 3 考点2：指数与对数运算的实际应用 7 知识点二：指数函数与对数函数 9 考点3：指数函数的图像与性质的应用 11  指数型代数式大小的比较 11  指数函数的图像及应用 13  指数型方程或不等式的求解 16  指数函数性质的综合运用 18 考点4：对数函数图像与性质的应用 22  对数函数值大小的比较 22  对数函数图像及应用 26  对数型方程、不等式的求解 29  对数函数性质的综合应用 31 考点5：指数函数、对数函数的综合问题 34 【强化训练】 39 知识点一：指数式与对数式 1. 指数与指数的运算 (1) 根式：；负指数：；分数指数幂：. (2) 根式的性质： 1　 若有意义，则； 2　 (3) 指数幂的运算性质： ①； ②； ③. 2. 对数与对数的运算 (1) 对数的概念： 如果，那么叫做以为底的对数，记做，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2) 常用对数：以10为底的对数，记做. 自然对数：以为底的对数，记做. (e=2.71828…) (3) 对数的基本性质： ①; ②； ③ (N>0); ④. (4) 对数的运算性质： 如果，那么： 1　 . 2　 . 3　 ． (5) 换底公式： 1　 . 2　 . 3　 . 考点1：指数幂与对数式的运算 方法提炼 1. 指数幂的运算方法： (1) 指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2) 当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3) 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2. 对数运算的一般思路与方法 (1) 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并. (2) 利用换底公式先将对数式化为同底数对数式的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3) 对常用对数式的化简，要充分利用 ． 3. 指对互换 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【例1.1.】 （1） ； （2） ； （3） 已知 ，则 ； （4） 已知，则 . 【答案】（1）16；（2）0；（3）/0.5；（4） 【详解】（1）. （2）令，则， 所以. 故选：A. （3）由题意，所以. 故答案为：. （4）依题意，，故. 故答案为：. 【例1.2.】 已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 【例1.3.】 若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由，得，又， 所以 . 故选：C. 【例1.4.】 已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 【例1.5.】 已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 【例1.6.】 已知正实数满足，则 ． 【答案】15 【详解】因为，则． 故答案为：15. 【例1.7.】 在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，则， 所以， 故选：D. 【例1.8.】 函数，则 . 【答案】 【分析】 由计算可得，则有，计算即可得解. 【详解】， 故， 则 ， 故. 故答案为：. 考点2：指数与对数运算的实际应用 方法提炼 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1) 理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； (2) 运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 【例2.1.】 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【答案】C 【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为， 当时，，代入得，解得， 当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，， 则，即， 则， 所以所需的训练迭代轮数至少为79． 故选：C. 【例2.2.】 “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 【例2.3.】 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 【例2.4.】 放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【详解】不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位， 则经过年动物标本中碳含量为， 令，则年. 故选：C. 知识点二：指数函数与对数函数 1. 指数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 · 如图所示是指数函数(1)，(2)，(3)，(4)的图象，则，即在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大． 2. 对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 · 如图，作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故，即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 3. 反函数 (1) 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． (2) 由得到，则是的反函数，记做. (3) 考点3：指数函数的图像与性质的应用 · 指数型代数式大小的比较 方法提炼 指数型代数式大小比较的方法： (1) 能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小; (2) 不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小; (3) 根据指数式的特征，在同一坐标系中作出它们相应的函数图像，在图像上找出相应的位置，进行比较. (4) 通过作差或作商进行比较大小. 【例3.1.】 ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 【例3.2.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 【例3.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C 【例3.4.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，且 因为是单调递减函数，且，即能成立，所以A，B都不正确； 因为，又当时，，则，当时，，则， 当时，， 综上，，所以C错误，D正确. 故选：D. 【例3.5.】 已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，即， 因为，所以； 又，结合，可得， 而， 即得，即，则必有， 则，即选项A中不等式成立， 故选：A · 指数函数的图像及应用 方法提炼 对一些可通过平移、伸缩、对称变换作出其图像的指数型函数，常利用数形结合法求解. 【例3.6.】 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 【例3.7.】 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 【例3.8.】 已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B · 指数型方程或不等式的求解 方法提炼 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 【例3.9.】 已知，且，，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，两边同除以，得，即，① 因为，两边同除以，得，即， 整理得，② 由①②可构造函数，显然该函数是上的增函数， 于是根据①②知，所以，因此． 故选：B． 【例3.10.】 已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】令，显然函数为R上单调递增函数， 又，， 所以. 故选：C 【例3.11.】 已知，，则 ． 【答案】 【详解】令，，则，， 由题可得，， 所以，. 因为函数在上单调递减，所以. 由，得， 得，故. 故答案为：. 【例3.12.】 已知实数，满足，，则 ． 【答案】1 【详解】因为，化简得． 所以，又， 构造函数， 因为函数，在上都为增函数， 所以函数在上为单调递增函数， 由，∴， 解得，， ∴． 故答案为：. · 指数函数性质的综合运用 方法提炼 涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【例3.13.】 （多选）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【答案】ACD 【详解】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【例3.14.】 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则函数的减区间为，增区间为， 又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数， 所以，，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【例3.15.】 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 【例3.16.】 定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【例3.17.】 已知函数，，则函数的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称． 又，函数在R上单调递增， 所以在上单调递减，因此在上单调递减，且其图象关于点对称. 由题知， 由函数的解析式和二次函数的性质可得在上单调递减， 而时，， 当时，同理有， 故图象关于点对称， 函数与的图象如图1所示． 因此在上单调递减， 且， 故图象关于点对称， 又，故点关于点的对称点为， 所以，连接，如图2． 易知的图象与x，y轴围成的封闭图形可以通过割补变成一个直角三角形， 如图中的，其中，，故， 即的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积为4． 故选：A. 考点4：对数函数图像与性质的应用 · 对数函数值大小的比较 方法提炼 对数函数值大小比较的方法： (1) 单调性法，在同底的情况直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. (2) 中间量过渡法，即选取适当的“媒介”，通常以“0”“1”或其他特殊值为媒介进行比较传递. (3) 图像法，根据图像观察得出大小关系. (4) 比较法,有作差比较法与作商比较法两种，其原理分别为：① ②在两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断或即可. (5) 构造函数，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小. 【例4.1.】 若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵函数为上的单调递增函数，∴， ∵函数在上单调递增，∴， ∴， ∴大小关系为， 故选：C. 【例4.2.】 已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 【例4.3.】 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 【例4.4.】 已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 【例4.5.】 设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】则 ， ，即 ，所以， 则， 所以.即. 综上所得，. 故选：A. 【例4.6.】 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，而， 因此，又函数在R上单调递增， 所以. 故选：A 【例4.7.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. ∵函数在为减函数， ∴，即， ∵函数在为增函数， ∴，即，∴. ∵，， ∴， ∵，∴， 由得，，由得，， 综上得，. 故选：A. · 对数函数图像及应用 方法提炼 (1) 对一些可通过平移、伸缩、对称变换作出其图像的对数型函数，常利用数形结合法求解. (2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． (3) 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可对不等式变形，不等号两边对应两函数,在同一坐标系中作出两函数图像，根据当在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或不等式解的情况. 【例4.8.】 已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 【例4.9.】 已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数与的图象，如图， 当时，，作出函数与的图象， 由图象可知，此时解得； 当时，，作出函数与的图象， 它们的交点坐标为，，结合图象知此时． 所以不等式的解集为． 故选：C. 【例4.10.】 不等式的解集为 . 【答案】 【详解】设，则不等式为：，即， 令， 则， 令得，（舍负） t 0 0 0 0 递增 递减 ，. 与在同一坐标系中的图像如下： 由图像可得的解为，即，所以 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例4.11.】 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A · 对数型方程、不等式的求解 方法提炼 对数方程(不等式)的求解主要利用对数函数的单调性进行转化. 【例4.12.】 实数满足：，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，则，，. 令得；令得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 又，∴，即，解得. 故选：D. 【例4.13.】 已知正实数、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（方法一）由得，即． 又因为，所以和都是方程的解． 构造函数， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故，即， （方法二）由可知，即， 由可得，所以和都是方程的解． 构造函数， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递增， 任取、且，则有，， 由不等式的基本性质可得， 所以在上单调递增，故，即， 故选：C． 【例4.14.】 已知，则 . 【答案】2026 【详解】法一：， ， 设，则， 由于在R上单调递增，故， 故； 法二：， 设与的交点为， 与的交点为， 由于和为反函数， 即和关于对称， 而和垂直，关于对称， 联立，解得， 所以与关于对称， 故，所以. 故答案为：2026 · 对数函数性质的综合应用 方法提炼 利用对数函数的性质研究对数型复合函数的性质问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 【例4.15.】 函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 【例4.16.】 设函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】令，， 则可视为由和构成的复合函数， 由对数函数性质得在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数性质得在区间上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为直线， 显然开口向上，故，解得， 则的最大值为4，故C正确. 故选：C 【例4.17.】 已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，化简可得， 解得. 故选：A 【例4.18.】 已知函数，若恒成立，则 . 【答案】4 【详解】显然时，无意义， 当时，由可得，即函数定义域为， 此时，若，则，即，解得， 故在定义域上不恒成立，不合题意； 当时，由可得，即函数定义域为， 由，解得，当时，，由， 需， 当时，，由，需， 由于，上述两种情况都需成立，所以只需，即, 此时，对于，都有恒成立. 故答案为：4 【例4.19.】 若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 【例4.20.】 已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【详解】函数的定义域为，， 函数在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增， 不妨设，则，即， 因此，整理得，则， 当且仅当时取等号，则，即， 而，解得，从而最大值为2，此时， 所以的最大值为2. 故答案为：2 考点5：指数函数、对数函数的综合问题 方法提炼 (1) 指数函数与对数函数是互为反函数的关系，由反函数的定义，知指数函数与对数函数的定义域和值域互换，它们的图像关于直线对称. (2) 解决与指数函数、对数函数有关的问题，要注意数形结合. 【例5.1.】 （多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在单调递增 D．函数有两个零点 【答案】ACD 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 【例5.2.】 已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得. 因为，所以，所以. 设函数，则， 易知在上单调递增，所以，即. 故选：D. 【例5.3.】 记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即. 故选：B. 【例5.4.】 已知函数，.若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意知在上有解，因此在上有解， 故函数与的图象在上有交点， 函数的图象过点， 将点代入得，， 令得，，由图象可知，解得， 故选：B. 【例5.5.】 已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 当时，，当时，， 故在上递增，在上递减，故， 所以，故，故， 故的图像在的下方. ∵ ∴， 如图，为函数与函数图象交点的横坐标， 为函数与函数图象交点的横坐标， 为函数与函数图象交点的横坐标， 由图知，，而， 由为增函数得，故，故A，B选项错误. 由得，． ∵与的图象关于直线对称， ∴点和关于对称，且，， ∴且， ∴，故C选项错误. ∵，∴，故D选项正确． 故选：D. 【例5.6.】 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C 【强化训练】 1. 已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB 【答案】A 【详解】由， 因为，所以， 故答案为：A 3. 已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 4. 设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 5. 已知，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由换底公式等价变形得：， 因为，两边取以7为底的对数可得：， 又因为，两边取以7为底的对数可得：， 可知， 由，可得， 由，可得， 从而可得， 故选：C. 6. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令函数， 因为都是增函数，所以是增函数， 所以， 对于AB，，故A错误，B正确； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：B. 7. 已知，，则（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以， 故，因为，所以， 令，定义域为， 而， 而，故， 而，故，得到， 由对数函数性质得在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 故在上单调递增，得到， 代入中得到，即， 故，故B正确. 故选：B 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图，，    由反函数性质知，关于对称，则，，，ABD错误； 函数在R上都是增函数，则函数是上增函数， 又，，则， 而点在直线上，即， 所以，C正确. 故选：C 9. （多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为 ，故D正确. 故选：ABD 10. （多选）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，为增函数， 当时，，则函数、均为增函数， 故函数也为增函数， 综上所述，当时，函数单调递增，A对； 对于B选项，取，则，此时， 所以，此时， 函数的定义域为，，即函数为偶函数， 因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且， 此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错； 对于D选项，因为，则， 由题意可知时，函数为增函数， 当时，由题意可知，对任意的，恒成立， 只需，即， 因为，则， 因为，则，所以，即， 所以，可得，解得或， 因为，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对. 故选：ABD. 11. 已知，，则 ． 【答案】 【详解】由已知得，， ， ． 故答案为：． 12. 如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则 ． 【答案】/0.5 【详解】令，则，整理得，即， 令，则，整理得，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 【详解】由可得，，即， 所以函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因直线互相垂直， 所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 因为， 令， 则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值3， 此时， 故答案为： 15. 已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，即，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$