第一章 第4节 第一课时 基本不等式（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第4节　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 衔接教材 夯基固本 落实 a＝b 衔接教材 夯基固本 落实 x＝y x＝y 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 谢谢观看！ 1．掌握基本不等式 eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 2．掌握基本不等式在实际生活中的应用． 一、基本不等式： eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0) 1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当______时，等号成立． 二、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为____，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 三、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： 1．如果积xy等于定值P，那么当______时，和x＋y有最小值是____．(简记：积定和最小) 2．如果和x＋y等于定值S，那么当______时，积xy有最大值是_______．(简记：和定积最大) 2 eq \r(P) eq \f(1,4)S2 谨防2个失误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则可能会造成错误． (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值． 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2) eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2(a，b同号). (3)ab≤( eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R). (4) eq \f(a2＋b2,2)≥( eq \f(a＋b,2))2(a，b∈R). (5)基本不等式链 eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤ eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 一、教材典题改编 1．(苏教版必修第一册P59T4改编)设a＞0，则9a＋ eq \f(1,a)的最小值为(　　) A． 4 B．5 C．6 D．7 解析：9a＋ eq \f(1,a)≥2 eq \r(9a×\f(1,a))＝6.当且仅当9a＝ eq \f(1,a)，即a＝ eq \f(1,3)时，等号成立． 2．(人教B版必修第一册P73例1改编)若x<0，则x＋ eq \f(1,x)(　　) A． 有最小值，且最小值为2 B． 有最大值，且最大值为2 C． 有最小值，且最小值为－2 D． 有最大值，且最大值为－2 解析：因为x<0，则－x＞0，所以－(x＋ eq \f(1,x))＝(－x)＋(－ eq \f(1,x))≥2 eq \r(（－x）·（－\f(1,x)）)＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋ eq \f(1,x)≤－2. 3．[人教A版必修第一册P46例3(2)改编]矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　) A． 4 B． eq \f(9,2) C． eq \f(3\r(2),2) D．2 解析：依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2 eq \r(a·2b)＝2 eq \r(2)· eq \r(ab)，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以ab≤ eq \f(62,8)＝ eq \f(9,2)，则矩形面积的最大值为 eq \f(9,2). 4．[人教A版必修第一册P48习题2.2T1(2)改编]函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________________． 答案： eq \f(9,8)　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝ eq \f(1,2)·2x·(3－2x)≤ eq \f(1,2)[ eq \f(2x＋（3－2x）,2)]2＝ eq \f(9,8)，当且仅当2x＝3－2x，即x＝ eq \f(3,4)时，等号成立． 二、易误易混澄清 1．(应用基本不等式忽略“正”)函数y＝1－2x－ eq \f(3,x)(x<0)的最小值为________________． 答案：1＋2 eq \r(6)　解析：因为x<0，所以y＝1－2x－ eq \f(3,x)＝1＋(－2x)＋(－ eq \f(3,x))≥1＋2 eq \r(（－2x）·（－\f(3,x)）)＝1＋2 eq \r(6)，当且仅当－2x＝－ eq \f(3,x)，即x＝－ eq \f(\r(6),2)时，等号成立，故y的最小值为1＋2 eq \r(6). 2．(连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则 eq \f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值为________________． 答案：4 eq \r(3)　解析：∵x>0，y>0，∴ eq \r(xy)>0.∵x＋2y＝5，∴ eq \f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))＝ eq \f(2xy＋x＋2y＋1,\r(xy))＝ eq \f(2xy＋6,\r(xy))＝2 eq \r(xy)＋ eq \f(6,\r(xy))≥2 eq \r(12)＝4 eq \r(3)，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\r(xy)＝\f(6,\r(xy))，,x＋2y＝5，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(3,2)))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1))时，等号成立，∴ eq \f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值为4 eq \r(3). 第一课时　基本不等式 考点一　对基本不等式的理解及简单应用 [例1] (1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b> eq \f(a＋b,2)>a> eq \r(ab) B．b> eq \r(ab)> eq \f(a＋b,2)>a C．b> eq \f(a＋b,2)> eq \r(ab)>a D．b>a> eq \f(a＋b,2)> eq \r(ab) (2)(2025·扬州期末)若a>b>1，x＝ln eq \f(a＋b,2)，y＝ eq \f(1,2)(ln a＋ln b)，z＝ eq \r(ln a·ln b)，则(　　) A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．z<y<x 解析：(1)∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b> eq \f(a＋b,2)> eq \r(ab).∵b>a>0，∴ab>a2，∴ eq \r(ab)>a.故b> eq \f(a＋b,2)> eq \r(ab)>a. (2)由a>b>1，得ln a>ln b>0，所以 eq \f(1,2)(ln a＋ln b)> eq \r(ln a·ln b)，即y>z.由 eq \f(a＋b,2)> eq \r(ab)，得ln eq \f(a＋b,2)>ln eq \r(ab)＝ eq \f(1,2)(ln a＋ln b)，即x>y.综上可得，x>y>z. 基本不等式的两个关注点 (1)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． 训练1 (1)(2025·贵阳期末)若x∈R，则“x>0”是“ eq \f(x2＋1,x)≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当x>0时，由基本不等式可得x＋ eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝ eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立；当 eq \f(x2＋1,x)≥2时， eq \f(x2－2x＋1,x)≥0，即 eq \f(（x－1）2,x)≥0，解得x>0.所以“x>0”是“ eq \f(x2＋1,x)≥2”的充要条件． (2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A． eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(ab)(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C． eq \r(ab)≥ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0) D． eq \f(a2＋b2,2)≥ eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0) 解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,2)(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝ eq \f(CD2,OD)＝ eq \f(ab,\f(a＋b,2)).因为OD≥CD，所以 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)(a>0，b>0).因为CD≥DE，所以 eq \r(ab)≥ eq \f(2ab,a＋b)＝ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0). 考点二　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法求最值 [例2] (1)已知x＞2，则函数y＝x＋ eq \f(1,2（x－2）)的最小值是(　　) A．2 eq \r(2) B．2 eq \r(2)＋2 C．2 D． eq \r(2)＋2 (2)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为_________． 答案：(1)D　(2) eq \f(1,16)　解析：(1)由题意可知，x－2＞0，∴y＝(x－2)＋ eq \f(1,2（x－2）)＋2≥2 eq \r(（x－2）·\f(1,2（x－2）))＋2＝ eq \r(2)＋2，当且仅当x－2＝ eq \f(1,2（x－2）)，即x＝2＋ eq \f(\r(2),2)时，等号成立，∴函数y＝x＋ eq \f(1,2（x－2）)(x＞2)的最小值为 eq \r(2)＋2. (2)正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab＝ eq \f(1,4)×a·4b≤ eq \f(1,4)×( eq \f(a＋4b,2))2＝ eq \f(1,16)，当且仅当a＝4b，即a＝ eq \f(1,2)，b＝ eq \f(1,8)时，等号成立． 配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 训练2 (2024·眉州模拟)设b>0，ab＋b＝1，则a2b的最小值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：因为b>0，ab＋b＝1，所以b＝ eq \f(1,a＋1)，所以a＋1>0，所以a2b＝ eq \f(a2,a＋1)＝ eq \f(（a＋1－1）2,a＋1)＝a＋1＋ eq \f(1,a＋1)－2≥2－2＝0，当且仅当a＋1＝ eq \f(1,a＋1)，即a＝0时，等号成立，故a2b的最小值为0. 考向2　常值代换法求最值 [例3] (1)已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．7 D．10 (2)已知0<x<1，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,1－x)的最小值是________________． 答案：(1)B　(2)9　解析：(1)将x＋y＝xy两边同时除以xy，得 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＝1，则x＋4y＝(x＋4y)·( eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y))＝5＋ eq \f(4y,x)＋ eq \f(x,y)≥5＋2 eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝9，当且仅当 eq \f(4y,x)＝ eq \f(x,y)，即x＝2y＝3时，等号成立，故x＋4y的最小值为9. (2)由0<x<1，得1－x>0，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,1－x)＝( eq \f(1,x)＋ eq \f(4,1－x))[x＋(1－x)]＝5＋ eq \f(1－x,x)＋ eq \f(4x,1－x)≥5＋2 eq \r(\f(1－x,x)·\f(4x,1－x))＝9，当且仅当 eq \f(1－x,x)＝ eq \f(4x,1－x)，即x＝ eq \f(1,3)时，等号成立，所以 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,1－x)的最小值是9. 常值代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 训练3 (2025·保定模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则 eq \f(2,a＋1)＋ eq \f(8,b＋1)的最小值是(　　) A．2 B．4 C． eq \f(9,2) D．9 解析：因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则 eq \f(2,a＋1)＋ eq \f(8,b＋1)＝ eq \f(1,4)[(a＋1)＋(b＋1)]·( eq \f(2,a＋1)＋ eq \f(8,b＋1))＝ eq \f(1,4)[ eq \f(2（b＋1）,a＋1)＋ eq \f(8（a＋1）,b＋1)＋10]≥ eq \f(1,4)×(2×4＋10)＝ eq \f(9,2)，当且仅当 eq \f(2（b＋1）,a＋1)＝ eq \f(8（a＋1）,（b＋1）)，即a＝ eq \f(1,3)，b＝ eq \f(5,3)时，等号成立，故 eq \f(2,a＋1)＋ eq \f(8,b＋1)的最小值为 eq \f(9,2). 考向3　消元法求最值 [例4] 已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据题意可得2xy＝1－x2，因为x>0，所以y＝ eq \f(1－x2,2x)＝ eq \f(1,2x)－ eq \f(x,2)，由y＝ eq \f(1,2x)－ eq \f(x,2)>0，可得x2<1，即0<x<1，所以3x2＋4y2＝3x2＋4( eq \f(1,2x)－ eq \f(x,2))2＝4x2＋ eq \f(1,x2)－2≥2 eq \r(4x2·\f(1,x2))－2＝2，当且仅当4x2＝ eq \f(1,x2)，即x＝ eq \f(\r(2),2)时，等号成立，所以3x2＋4y2的最小值为2. 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 训练4 设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则 eq \f(xy,z)的最大值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 解析：由题意得z＝4x2－3xy＋y2，则 eq \f(xy,z)＝ eq \f(xy,4x2－3xy＋y2)＝ eq \f(1,\f(4x,y)＋\f(y,x)－3)≤ eq \f(1,2\r(\f(4x,y)·\f(y,x))－3)＝1，当且仅当 eq \f(4x,y)＝ eq \f(y,x)，即y＝2x>0时，等号成立．故 eq \f(xy,z)的最大值为1. $$